1、本文刊登于高等數(shù)學研究,(西北工業(yè)大學 陜西省數(shù)學學會主辦)第12卷第3期（總第131期），2009年5月,pp2325科學計算能力的培養(yǎng)與線性代數(shù)改革陳懷琛 高淑萍 楊威 西安電子科技大學 陜西 西安710071， 摘要：討論了大學教學中科學計算能力的重要性，評價了我國在這個領域的落后狀況。目前的線性代數(shù)課程忽視實用性：第一方面沒有把后續(xù)課的需求作為制訂大綱的依據，第二是沒有引進計算機作為改革的動力。結合研究經驗，提出改進的建議。關鍵詞：教育現(xiàn)代化，科學計算能力，線性代數(shù)，改革 中圖分類號 G6421。培養(yǎng)科學計算能力應該是理工科的教育目標之一科學計算能力是指的利用現(xiàn)代計算工具（包括硬件和軟

2、件）解決教學和科研中計算問題的能力。它包括掌握最新的科學計算軟件、建立適當?shù)挠嬎隳Ｐ汀⒉捎谜_的計算方法、實現(xiàn)高效的編程和運算、對計算結果作正確的表述和圖解、等多方面的綜合能力。所以提高科學計算能力當然是理工科數(shù)學教育現(xiàn)代化中一個十分重要的基本環(huán)節(jié)?；仡櫞髮W中的計算工具的進化歷史：1630年發(fā)明了計算尺，1970年起被計算器取代。20世紀90年代，計算器取代了計算機，它的標志是個人計算機的普及和科學計算軟件的成熟。這些軟件的共同特點是用矩陣和數(shù)組為模型，可以對海量數(shù)據群進行計算。 計算機取代計算器，但必須要用新的模型和編程方法，所以要有意識地納入教學計劃之中。中國的大學乎還沒有給學生進行以計算

3、機為計算工具的教育。奇怪的是改革開放初期列為必修課的FORTRAN，到80年代末，在數(shù)學軟件高速發(fā)展時卻被取消了。直到現(xiàn)在，情況并沒有根本變化。我國在大學課程中使用計算機方面與世界各國的差距，在不斷加大。其標志之一，就是在大部分課程的教學大綱和教材中，沒有反映出計算機在課程教學中的應用。在1990年代中期，國外大量的課程的教材都已采用數(shù)學軟件來作分析和計算。而國內教材則都比國外滯后，出書時間的差距大體如下，自動控制為3年，信號處理為8年，線性代數(shù)則至少在10年以上，因為今天國外所有線性代數(shù)教材都用了數(shù)學軟件，并且充實了大量的應用實例。但國產的幾乎所有教材卻還都是20年前的老面孔。為了減少與世界

4、的差距，2005年，我們申請了“用軟件工具提高線性代數(shù)教學水平”的校基金項目，此項目歷經三年，有40多名教師參加了培訓，800多名學生進行了試點，編寫并正式出版了兩本教材和，其中一本用作教師培訓，一本面向本科學生。今年五月，由教育部數(shù)學基礎課程分教指委和西安電子科技大學聯(lián)合組織的鑒定小組對此項目進行了鑒定，評價為：“該項目改革理念先進，特色鮮明，具有創(chuàng)新性，是一項高水平的教學改革成果，具有很好的推廣價值?！保ㄨb定意見的全文可從作者的博客網址6中查到。）下面簡要介紹該項目的主要思路和做法。 二。改革理念之一：“需求牽引”工科后續(xù)課對線性代數(shù)的需求是什么？數(shù)學基礎課的大綱應該以后續(xù)課和培養(yǎng)目標的需

5、求來決定。這是教學計劃論證(Abet)的一條原則。我們針對電子工程和機電工程兩類招生量最大的專業(yè)作了初步調查，共計有化學、高等數(shù)學、電路、理論力學、材料力學、數(shù)值計算方法、傳熱學、（物理）實驗、計算機圖形學、信號與系統(tǒng)、數(shù)字信號處理、系統(tǒng)動力學、自動控制原理、機械振動、機器人學、等十多門課程需要用矩陣進行建模和解題，因篇幅所限，下面只舉幾個例子來說明。靜力學中的核心是平衡方程，一個空間物體有6個平衡方程，就是n=6的線性方程組,兩個剛體相聯(lián)，方程數(shù)n就加倍； 剛體空間運動的坐標變換可用4×4的矩陣乘法來描述； 電路課中穩(wěn)態(tài)電路核心是基爾霍夫方程，n個節(jié)點（或回路）就有n個方程；交流電

6、路更是復數(shù)方程；信號流圖可以表為N元的線性方程組，其中N是信號的數(shù)目；信號頻譜的計算可表為單行矩陣與N×N復數(shù)矩陣的乘積，通常N=1024；最優(yōu)化FIR濾波器的設計歸結為在n階超定線性方程組中求m個系數(shù)(n>m)；坐標測量儀測量圓物體圓周上n點坐標來推算其半徑的模型是n階三元超定線性方程組；。所有這些問題，現(xiàn)在的線性代數(shù)課程都解決不了。要滿足后續(xù)課的這些要求，學完線性代數(shù)課程以后，學生應該會做不低于6階的復數(shù)矩陣運算，解6元以上的代數(shù)方程組，會解6階三元以上的超定方程組，這是我們?yōu)榫€性代數(shù)制訂的課程要求。怎么可能在不增加太多學時的前提下達到這個要求，唯一的方法就是引入計算機和軟

7、件工具?？梢杂孟聢D表示數(shù)學軟件對線性代數(shù)的作用。白色區(qū)為筆算能解的區(qū)，黑色區(qū)是筆算不能解的區(qū)域，灰色區(qū)是計算太繁的區(qū)域，用了數(shù)學軟件后則全部區(qū)域都能解，而且其階數(shù)可以向上擴展到幾十、幾百。不難看出，數(shù)學軟件成百倍地擴展了學生解題的能力，從而使線性代數(shù)能較好地滿足后續(xù)課和未來工程計算的需要。階次876543適定方程 欠定方程 超定方程線性方程組求解|求向量相關性 |求特征值三。理念之二：技術推動引入軟件工具還有哪些好處？歷來學生對線性代數(shù)課程的反映是抽象、冗繁和枯燥。在編寫補丁書2時，我們就通過引入軟件工具，使它變得形象、簡明和精采。在編寫改革教材工程線性代數(shù)(MATLAB版) 2時，我們更遵循

8、了以下原則：1、所有概念都從幾何形象引入，做到抽象與形象的結合；首先要把二、三維系統(tǒng)的方程解、行列式、向量相關、特征值和特征向量等的幾何意義講透，然后向高階推廣。MATLAB自動產生圖形和動畫的功能可以起很大的作用。2、一切繁瑣計算都有簡明程序，推動筆算與機算的結合；數(shù)學軟件可以使冗繁變?yōu)楹喢?，?階以下的題目（包括求特征根和特征向量）不到3分鐘，用了數(shù)學軟件可以讓學生不再在低級的四則運算上耗時間，而在高一個層次上思考解題的路線。3、要使枯燥變?yōu)樯鷦泳?，關鍵就是要聯(lián)系實際，本書較淺的應用實例有近20個，由于解題幾乎不用時間，講實例的時間只用在建模上，極大地激勵了學生的積極性。 4、本書介紹了

9、后續(xù)課中的矩陣的10個實例，使基礎與專業(yè)更好地銜接。雖然講課時不一定講，但可使讀者增加了對線性代數(shù)重要性的理解，提高了他們的抽象建模能力。教指委的鑒定意見對我們的兩本教材給予了很高的評價，指出：課題組編寫的線性代數(shù)實踐及MATLAB入門及工程線性代數(shù)（MATLAB版）兩本教材，較好的體現(xiàn)了經典理論與現(xiàn)代計算手段相結合，將抽象概念形象化，使一些復雜的計算問題得以實現(xiàn)，激發(fā)了學生學習的興趣，培養(yǎng)了解決問題的能力，提高了教學質量。為后續(xù)相關課程中應用線性代數(shù)知識打下了很好的基礎。 對我們的改革措施也曾提出過兩種異議：一是用了計算機，學生會偷懶，不注意概念：二是講實例太多，不利于培養(yǎng)學生抽象思維；我們

10、的實踐得出的結果恰好相反。第一、學會機算的學生，對線性代數(shù)產生了很大的興趣，在對比考試中，不僅實踐能力強得多，其理論成績也遠高于對比組。其實，歷史上“新技術讓人變懶”的論調不知重復了多少次，統(tǒng)統(tǒng)都是反科學的倒退的謬論；第二、如果學生像現(xiàn)在這樣，只學矩陣理論，不聯(lián)系實際，整個大學四年中都不會用矩陣建模，怎么可能指望他們對未來更深奧的問題進行抽象呢？事實上，只有讓學生看到線性代數(shù)在自己熟悉的各門課程中都能建模，才能逐步培養(yǎng)學生的抽象思維能力。兩者是統(tǒng)一的。在線性代數(shù)中教會了學生用軟件工具解題，后續(xù)其他課程中就有了進行推廣的基礎。當然這還要花力氣，因為后續(xù)課的老師也要再學習，其教材也要進行改造。所以

11、提高大學生科學計算能力是一項很大的系統(tǒng)工程。需要領導機關和廣大教師長期的、持之以恒的努力，而線性代數(shù)課程的改革則是其中關鍵的、必不可少的第一步。用計算機算題的優(yōu)越性只有用矩陣（含數(shù)組）模型才能體現(xiàn)。矩陣之所以重要，也是因為它提供了一種規(guī)范化表示和計算海量數(shù)據群的形式。甚至可以說，任何一門課程想要高效地用計算機解題，其前提是必須能用矩陣建模。四。學習國外的先進經驗，推動科學計算工具的改革作為參考，我們不妨先了解一下美國的線性代數(shù)課程研究組LACSG(類似于我國管線性代數(shù)的教學指導委員會)卓有成效的兩項工作。1990年，他們在國家科學基金會(NSF)資助下組織了數(shù)學和工科專家的一次會議，提出了非數(shù)

12、學專業(yè)線性代數(shù)課程改革的五點建議，簡稱為LACSG Recommendations3，其核心是兩點：一。減少課程的抽象性，強調它的應用性；二。強調教學中必須使用軟件工具。1992年，為了推動軟件工具的使用，他們得到了美國國家基金會(NSF)資助，開始了一個ATLAST（用軟件工具增強線性代數(shù)教學的縮寫）計劃，該計劃在六年間培訓了來自各大學的數(shù)百名教師，并出了一本專講實踐的書4。此后，美國的線性代數(shù)教材都給出大量應用實例并采用了MATLAB?？梢娊虒W指導部門的前瞻性和指導作用極為重要。鑒于我國大學教育界在采用數(shù)學軟件方面嚴重落后，我覺得教學行政部門和學術指導部門應采取有力的措施。首先是教育部要按

13、照十七大 “提高教育現(xiàn)代化水平”的要求，專門立項，制訂實施方案和政策，推動大學計算工具的現(xiàn)代化；同時，希望數(shù)學教指委在將要制訂的非數(shù)學專業(yè)基礎數(shù)學教學基本要求里面充實以下的三條意見：1。要承擔起大學本科科學計算能力培養(yǎng)的重任，要把數(shù)學軟件的教育統(tǒng)管起來。改變過去二十年中沒人管的狀態(tài)。2。按照需求牽引和技術推動兩條原則，參照國外先進經驗，修訂基礎數(shù)學（特別是線性代數(shù)）的大綱。前一條原則強調把應用放在首要地位，重點培養(yǎng)學生的矩陣建模和解題能力，充分滿足后續(xù)課程和實際應用的要求；后一條原則是鼓勵采用數(shù)學軟件進行教學。這兩條原則要成為評估和精品課程的要求。在修訂大綱時，最好采用與工科教師代表相結合的方

14、法，在實用性和抽象性之間找到合理的平衡點。研究生考試部門也要相應地改變考試的要求，把學生引向正確的方向。3。把培養(yǎng)師資、編寫教材放到突出地位。申請建立 “把數(shù)學軟件用于線性代數(shù)教學”的教育部科學研究基金，在三年中，在全國至少培養(yǎng)2000名熟悉數(shù)學軟件和后續(xù)課應用的線性代數(shù)老師，編出不少于30種新型的使用數(shù)學軟件的線性代數(shù)教材，表彰使全校線性代數(shù)課都使用數(shù)學軟件的前50所大學。后記 在上述文章交稿幾個月以后，2009年1月，教育部高教司設立了“使用信息技術工具改造課程項目”，其中由我校申報的“用MATLAB和建模實踐改造線性代數(shù)課程”項目得到批準。要求由我校牽頭，聯(lián)合15所大學在兩年內，把數(shù)學軟

15、件充分地應用于工科線性代數(shù)改造，精簡理論，強化實踐，大大提高本課程的教學質量，提高學生的科學計算能力，進而對后續(xù)課產生輻射效應。按照“115150全國”的冪次規(guī)律，我們希望，在教育部的關心和直接領導下，我國線性代數(shù)現(xiàn)代化的水平能夠大面積地很快提高，對本科教學質量的提高作出重要的貢獻。參考文獻1 陳懷琛、龔杰民，線性代數(shù)實踐及MATLAB入門，北京：電子工業(yè)出版社，2005年2 陳懷琛、高淑萍、楊威，工程線性代數(shù)(MATLAB版),北京：電子工業(yè)出版社，2007年3 Jeffrey L.Stuart, Linear Algebra/Linear Algebra and its Applications/Linear Algebra: A Geometric Approach/ Introduction to Linear Algebra,:American Mathematical Monthly, Mar 2005   4