1、淺談初中數(shù)學(xué)證明題解題技巧與步驟 北師大版初中數(shù)學(xué)教材中 證明 占三章節(jié)， 教材這樣安排的目 地是想：通過對證明的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過對圖形的性質(zhì)及相互關(guān) 系進行大量的探索，在探索的同時，使學(xué)生經(jīng)歷推理的過程，進行了 簡單的推理訓(xùn)練，從而具備了一定的推理能力，樹立了初步的推理意 識，為嚴格的推理證明打下了基礎(chǔ)。但生活很豐滿，現(xiàn)實很骨干，許 多學(xué)生在實際解決證明題的過程中，卻因為種種原因而感到無從下 手！那如何求解證明題呢？如何讓學(xué)生不再畏懼證明題呢？通過對教 材中證明的教學(xué)，根據(jù)學(xué)生的認知水平，本人認為可以從以下六 個方面來解決： 例題 證明：等腰三角形兩底角的平分線相等 1. 弄清題意 此為“文

2、字型”數(shù)學(xué)證明題，既沒有圖形，也無直觀的已知與求證。 如何弄清題意呢？根據(jù)命題的定義可知， 命題由條件與結(jié)論兩部分組 成，因此區(qū)分命題的條件與結(jié)論至關(guān)重要， 是解題成敗的關(guān)鍵。 命題 可以改寫成“如果 . .；那么 . .”的形式，其中“如果:.” 就是命題的條件，“那么：”就是命題的結(jié)論，據(jù)此對題目進行改寫: 如果在等腰三角形中分別作兩底角的平分線， 那么這兩條平分線長度 相等。于是題目的意思就很清晰了，就是在等腰三角形中作兩底角平 分線，然后根據(jù)已知的條件去求證這兩條平分線相等。 這樣題目要求 我們做什么就一目了然了！ 2. 根據(jù)題意，畫出圖形。 圖形對解決證明題，能起到直觀形象的提示，所

3、以畫圖因盡量與 題意相符合。并且把題中已知的條件，能標在圖形上的盡量標在圖形 上。 3. 根據(jù)題意與圖形，用數(shù)學(xué)的語言與符號寫出已知和求證。 眾所周知，命題的條件-已知，命題的結(jié)論-求證，但要特別注 意的是，已知、求證必須用數(shù)學(xué)的語言和符號來表示。 已知：如圖（1），在厶ABC中，AB=AC, BD、CE分別是 ABC 的角平分線。 求證：BD=CE 4. 分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。 對于證明題，有三種思考方式： （1）正向思維。對于一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可 以做出，這里就不詳細講述了。 （2）逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運用逆向 思維解題，能使學(xué)

4、生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法, 從而拓寬學(xué)生的解題思路。這種方法是推薦學(xué)生一定要掌握的。 在初 中數(shù)學(xué)中，逆向思維是非常重要的思維方式， 在證明題中體現(xiàn)的更加 明顯，數(shù)學(xué)這門學(xué)科知識點很少，關(guān)鍵是怎樣運用，對于初中幾何證 明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經(jīng)上初三了，幾何 學(xué)的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現(xiàn)在開始，總結(jié)做 題方法。同學(xué)們認真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你 從結(jié)論出發(fā)。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等， 那么結(jié)合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可；要證三角 形全等，結(jié)合所給的條件，看還缺少什么條件需要證明，證

5、明這個條 件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去這樣我們就找到了解題的 思路，然后把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學(xué) 們一定要試一試。 (3) 正逆結(jié)合。對于從結(jié)論很難分析出思路的題目，同學(xué)們可以結(jié) 合結(jié)論和已知條件認真的分析，初中數(shù)學(xué)中，一般所給的已知條件都 是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我 們?nèi)切文尺呏悬c，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用 到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰， 或平移對角線，或補形等等。正逆結(jié)合，戰(zhàn)無不勝。 分析：此題要想證明 BD=CE就要引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形(圖形(1), 弄清題意。發(fā)現(xiàn)BD、CE分

6、別存在于兩對三角形中： ABD與厶 ACE, BEC與厶CDB,只要能證明其中任何一對三角形全等，即 可利用全等三角形性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等。（此思維屬于逆向思維） 5. 根據(jù)證明的思路，用數(shù)學(xué)的語言與符號寫出證明的過程 證明過程的書寫，其實就是把證明的思路從腦袋中搬到紙上。這 個過程，對數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用要求較高，在講解時，要提醒 學(xué)生任何的“因為、所以”，在書寫是都要符合公理、定理、推論或以 已知條件相吻合，不能無中生有、胡說八道，要有根有據(jù)！ 證明： AB=AC（已知） ABC= / ACB（等邊對等角） V BD、CE分別是 ABC的角平分線（已知） / 1 = / ABC, / 2

7、= / ACB （角平分線的定義） 1 = / 2（等量代換） 在厶BEC與厶CDB中， vz ACB= / ABC, BC=CB, / 1 = / 2 二 BEC CDB（ASA） 二BD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等） 6. 檢查證明的過程，看看是否合理、正確 任何正確的步驟，都有相應(yīng)的合理性和與之相應(yīng)證的公理、定理、 推論，證明過程書寫完畢后，對證明過程的每一步進行檢查，是非常 重要的，是防止證明過程出現(xiàn)遺漏的關(guān)鍵。最后，同學(xué)們在平時練習(xí) 中要敢于嘗試，多分析，多總結(jié)。 如何讓學(xué)生在書寫證明題時做到工整大方、 有理有據(jù)呢？你一定覺得很 簡單，誰都可以做到。實際上要達到這樣要求，對學(xué)生有一

8、定難度。為 什么呢？ 一方面是因為新課程注重的是自主探究、 合作學(xué)習(xí)、對話交流， 所以數(shù)學(xué)課堂中較少有時間手把手來糾正學(xué)生的書寫步驟。另一方面， 現(xiàn)在學(xué)科設(shè)置比較多，因為作業(yè)多等原因不容易養(yǎng)成良好的書寫規(guī)， 所 以造成到真正書寫步驟的時候特別是考試的時候又回到了老路上來， 字 跡潦草不能辨認，理由先寫一大推然后直接下結(jié)論， 或者條件與結(jié)論的 得出根本沒有一絲一毫的聯(lián)系。 目前對學(xué)生來說，正確的練成說明題解 答的規(guī)非常重要。如何有效地輔導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成書寫規(guī)的習(xí)慣呢？愿把我的 一點實踐與思考與大家分享。 首先教師輔導(dǎo)要有目標，做到心中有數(shù)。我的目標就是在養(yǎng)成良好 書寫規(guī)的習(xí)慣，并在學(xué)習(xí)書寫規(guī)中領(lǐng)略到事

9、情前因后果的辯證關(guān)系， 體 會數(shù)學(xué)解題中的嚴謹性，并在考試中不因為步驟而失分。 要做到以上的 目標，那就要先做好學(xué)生的思想工作，因為態(tài)度決定一切，書寫步驟的 前提是要充分認識到步驟的重要性，熱愛教學(xué)中，經(jīng)常給學(xué)生說說道理， 叫學(xué)生認識不管是什么事，只要把事情的前因后果給理清楚了， 書寫步 驟就已經(jīng)成功了以小步了，書寫嚴謹?shù)牟襟E就是要自己的理論基礎(chǔ)。 指 導(dǎo)中我對學(xué)生的整體要首先書寫自己一定要干凈利索， 整潔大方，這是 基本書寫所有文字的前提，這一點也是很重要的。的書寫版面，可以不 拘一格，最終目標是工整大方。對于寫不好的同學(xué)的作業(yè)就要求其說明 理由給我，為什么他是這樣做的，這樣做的理由是什么，

10、 讓他意識到在 論證的過程中每一個小小結(jié)論的得出都是需要正確的理由來說明的， 這 理由或者是題目已知告訴我們的， 或者要根據(jù)已知條件來得到推理論證 的，整個的過程還是要學(xué)生意識到一個命題的兩部分題設(shè)與結(jié)論， 且我 們研究的是真命題，也就是根據(jù)已知的條件要得到相應(yīng)的正確的結(jié)論， 而不再是隨性的書寫。 對于一道證明題，先讓學(xué)生在草稿紙上把題目給出的已知條件全部 按照順序?qū)懞?，不要急著去書寫步驟，這樣容易造成涂改的壞習(xí)慣， 因 為一般學(xué)生沒有熟練到一定的程度，都不能一步到位的將書寫步驟寫得 非常的完美，所以應(yīng)該要學(xué)生先練習(xí)在草稿紙上的工作， 將寫好的已知 條件列好之后，再仔細分析下，我們由已知條件是

11、不是又可以得出比較 顯而易見的結(jié)論，得出的這些結(jié)論可能就可以在證明的過程中得到很好 的利用。對于一目了然的證明題，我們可以從已知條件所得出的結(jié)論中 簡單的得到要證明的問題，而大部分證明題是隱藏得比較深的， 這時候 就應(yīng)該在做了草稿紙上的工作后， 試著從要證明的結(jié)論出發(fā)，如果我要 證明最后的結(jié)論，那么我上一步應(yīng)該要證明的應(yīng)該是什么結(jié)論比較好， 這樣像剝洋蔥一樣，將結(jié)論看做是罪外面的表皮，一步一步反推上去， 并且一定在草稿紙上做好反推的圖形示意，就可以得出最上面的一步， 這時候就很清楚的意識到，在證明過程中，我們書寫的第一步應(yīng)該是什 么，并且在書寫的過程中，不斷的反問自己，我得出這個結(jié)論的原因是

12、什么，我這個已知條件得出這個結(jié)論是不是正確的， 并且，每當要用一 個題目沒有出現(xiàn)的結(jié)論的時候， 一定要在之前做好準備工作， 也就是要 把得出這個結(jié)論的有理有據(jù)的步驟書寫清楚，只要遵循這幾個步驟習(xí) 慣，我相信，對于證明題的書寫過程一定會有所收獲的， 當然規(guī)的書寫 步驟的前提是，一定要對課本知識的充分把握， 每一個我們講過的可以 利用的公理結(jié)論等。 最重要的是要學(xué)生自己動手書寫， 有很多學(xué)生讓他說明證明題的分 析過程可以很好的回答，但是一旦要開始動手操作了就不知所措了， 其 實這是學(xué)生心理的一種恐懼， 總覺得自己會書寫得不標準， 所以這個時 候不應(yīng)該過多的批評否決學(xué)生，而是在他書寫過程中適時的夸獎

13、鼓勵學(xué) 生，讓他體會到學(xué)習(xí)的樂趣，在自己分析問題中得到自信，強調(diào)要學(xué)生 做到做每一步時的自我反問 以上就是我個人的實踐。 初中幾何證明題不但是學(xué)習(xí)的重點。而且是學(xué)習(xí)的難點，很多同學(xué)對幾何證明題。 不知從何著手，一部分學(xué)生雖然知道答案，但敘述不清楚，說不出理由，對邏輯 推理的證明過程幾乎不會寫，這樣，導(dǎo)致大部分的學(xué)生失去了幾何學(xué)習(xí)的信心， 雖然新的課程理念要求，推理的過程不能過繁。一切從簡，但證明的過程要求做 到事實準確、道理嚴密，證明過程方能完整，教學(xué)中怎樣才能把幾何證明題的求 解過程敘述清楚呢？根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，我在教學(xué)中是這樣做的，希望與大家一起探 討。 “讀”讀題 如何指導(dǎo)學(xué)生讀題？仁者見仁

14、、智者見智，我們課題組結(jié)合我們的研究和本校學(xué) 生的實際，將讀題分為三步：第一步，粗讀（類似語文閱讀的瀏覽）?？焖俚貙?題目從頭到尾瀏覽一遍，大致了解題目的意思和要求；第二步，細讀。在大致了 解題目的意思和要求的情況下，再認真地有針對性地讀題， 弄清題目的題設(shè)和結(jié) 論， 搞清已知是什么、 需要證明的是什么？并盡可能地將已知條件在圖形中用符 號簡明扼要地表示出來（如哪兩個角相等，哪兩條線段相等，垂直關(guān)系，等等）， 若題中給出的條件不明顯的（即有隱含條件的），還要指導(dǎo)學(xué)生如何去挖掘它們、 發(fā)現(xiàn)它們；第三步，記憶復(fù)述。在前面粗讀和細讀的基礎(chǔ)上，先將已知條件和要 證明的結(jié)論在心里默記一遍，再結(jié)合圖形中自

15、己所標的符號將原題的意思復(fù)述出 來。到此讀題這一環(huán)節(jié)，才算完成。 對于讀題這一環(huán)節(jié)，我們之所以要求這么復(fù)雜，是因為在實際證題的過程中，學(xué) 生找不到證明的思路或方法，很多時候就是由于漏掉了題中某些已知條件或?qū)㈩} 中某些已知條件記錯或想當然地添上一些已知條件，而將已知記在心里并能復(fù)述 出來就可以很好地避免這些情況的發(fā)生。 (2 ) “析”一一分析 指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法中的“分析法”，執(zhí)果索因，一步一步探究證明的思路和方 法。教師用啟發(fā)性的語言或提問指導(dǎo)學(xué)生，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下經(jīng)過一系列的質(zhì) 疑、判斷、比較、選擇，以及相應(yīng)的分析、綜合、概括等認識活動，思考、探究， 小組討論、交流、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路和

16、方法。 (3 ) “述”口述 學(xué)生學(xué)習(xí)小組推選小組代表，由小組代表分析自己那一組探究到的證明的思路和 方法，口述證明過程及每一步的依據(jù)。 我們知道學(xué)習(xí)語文、外語及其他語言都是 從“說”開始學(xué)起的，那么學(xué)習(xí)幾何語言，也可以嘗試先“說”后寫。特別是初 一初二的學(xué)生，讓他們先在小組自主探索、討論交流，弄清證題思路，然后再讓 學(xué)生代表口述證題過程，這對于訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用和提高幾何語言的表達能力很有好 處。 (4 ) “擇”一一選擇最簡易的方法 在各位學(xué)生代表口述完解題過程后， 教師引導(dǎo)學(xué)生比較、選擇最簡單的一種證題 方法，這樣做，不僅能幫助學(xué)生進一步理清證明思路、記憶相關(guān)的幾何定理、性 質(zhì)，而且還增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和好奇心， 從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動 性。 (5 ) “演”一一板演 在學(xué)生集體復(fù)述解題的基礎(chǔ)上，教師板演上述解題過程，給學(xué)生作證題的書寫示， 讓學(xué)生體會怎樣合理、規(guī)、科學(xué)地書寫證明過程。 (6 ) “練”一一變式練習(xí) 變式，既是一種重要的思想方法，又是一種行之有效的教學(xué)方法。通過變式訓(xùn)練, 在課堂上展現(xiàn)知識發(fā)生、發(fā)展、形成的完整認知過程。在教學(xué)實踐中，筆者深深 體會到：變式教學(xué)符