1、涼山州2020屆高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.第卷（選擇題），第卷（非選擇題），共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.2.選擇題使用2b鉛筆涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡收回.第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的.）1. 已知集合則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】解對數(shù)不等式可得集合a，由交集運算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運算可得，故選：b.【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算，對數(shù)不等式解法，屬于基礎(chǔ)題.2. 設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則實數(shù)的值是（ ）a. 1b. -1c. 0d. 2【答案】a【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡，由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)乘法運算化簡可得，所以由復(fù)數(shù)定義可知，解得，故選：a.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算，復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.3. 等比數(shù)列若則（ ）a. 6b. 6c. -6d. 【答案】b【解析】【

3、分析】根據(jù)等比中項性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項性質(zhì)可知，所以，而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項符號相同，所以，故選：b.【點睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項的簡單應(yīng)用，注意項的符號特征，屬于基礎(chǔ)題.4. 曲線在點處的切線方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】將點代入解析式確定參數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，即可由點斜式求的切線方程.【詳解】曲線，即，當(dāng)時，代入可得，所以切點坐標(biāo)為，求得導(dǎo)函數(shù)可得，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，由點斜式可得切線方程為，即，故選：a.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在曲線上一點的切線方程求法，屬于基礎(chǔ)

4、題.5. 閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25，那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計算可得輸出為25時的值，進(jìn)而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知， 則，此時輸出，因而不符合條件框的內(nèi)容，但符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項可知c為正確選項，故選：c.【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應(yīng)用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.6. 若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（ ）a. b. 2c. d. 1【答案】c【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線

5、距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，解得，所以焦點坐標(biāo)為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：c.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7. 若，則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的（ ）a. 必要不充分條件b. 充分不必要條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】【分析】求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要

6、性不成立.故選:b.【點睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.8. 將函數(shù)向左平移個單位，得到的圖象，則滿足（ ）a. 圖象關(guān)于點對稱，在區(qū)間上為增函數(shù)b. 函數(shù)最大值為2，圖象關(guān)于點對稱c. 圖象關(guān)于直線對稱，在上的最小值為1d. 最小正周期為，在有兩個根【答案】c【解析】【分析】由輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項.【詳解】函數(shù)，則，將向左平移個單位，可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的對稱中心滿足，解得，所以a、b選項中的對稱中心錯誤；對于c，的對稱軸滿

7、足，解得，所以圖象關(guān)于直線對稱；當(dāng)時，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，所以在上的最小值為1，所以c正確；對于d，最小正周期為，當(dāng)，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，時僅有一個解為，所以d錯誤；綜上可知，正確的為c，故選：c.【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.9. 若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）a b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項b, 為 奇函數(shù)可判斷b錯誤;對于選項c,當(dāng)時, ,可判斷c錯誤;對于選項d, ,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故d錯誤;故選:

8、a.【點睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.10. 如圖，長方體中，點t在棱上，若平面.則（ ）a. 1b. c. 2d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知；結(jié)合即可證明，進(jìn)而求得.由線段關(guān)系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中，點t在棱上，若平面.則，則，所以， 則，所以，故選：d.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.11. 已知，則的大小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式

9、及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，所以最小；而由對數(shù)換底公式化簡可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：d.【點睛】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形，對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.12. 一個超級斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項起，每一項都等于前面所有項之和(例如:1，3，4，8，16).則首項為2，某一項為2020的超級斐波那契數(shù)列的個數(shù)為（ ）a. 3b. 4c. 5d. 6【答案】a【解析】【分析】根據(jù)定義，表示出數(shù)列的通項并等于2020.

10、結(jié)合的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個數(shù).【詳解】由題意可知首項為2，設(shè)第二項為，則第三項為，第四項為，第五項為第n項為且，則，因為，當(dāng)?shù)闹悼梢詾椋患从?個這種超級斐波那契數(shù)列，故選：a.【點睛】本題考查了數(shù)列新定義的應(yīng)用，注意自變量的取值范圍，對題意理解要準(zhǔn)確，屬于中檔題.第卷（非選擇題，共90分）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13. 從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表，甲被選中的概率為_.【答案】【解析】【分析】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據(jù)公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一

11、人即有種方法, 從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型的概率的計算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.14. 定義在上的奇函數(shù)滿足，并且當(dāng)時，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)所給表達(dá)式，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，即可確定函數(shù)對稱軸及周期性，進(jìn)而由的解析式求得的值.【詳解】滿足，由函數(shù)對稱性可知關(guān)于對稱，且令，代入可得，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以令，代入可得，所以是以4為周期的周期函數(shù)，則當(dāng)時，所以，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與對稱性的綜合應(yīng)用，周期函數(shù)的判斷及應(yīng)用，屬于中檔題.15. 已知平面向量，的夾角為，且，則=_【答案】1【解析】【分析

12、】根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得；將化簡并代入即可求得.【詳解】，則，平面向量，的夾角為，則由平面向量數(shù)量積定義可得，根據(jù)平面向量模求法可知，代入可得，解得，故答案為：1.【點睛】本題考查了平面向量模的求法及簡單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及運算，屬于基礎(chǔ)題.16. 數(shù)學(xué)家狄里克雷對數(shù)論，數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù)，稱為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論:的值域為;其中正確的結(jié)論是_(寫出所有正確的結(jié)論的序號)【答案】【解析】【分析】根據(jù)新定義，結(jié)合實數(shù)的性質(zhì)即可判斷，由定義求得比小的有理數(shù)個數(shù)，即可確定.【詳解】對于，由定義可知，當(dāng)為

13、有理數(shù)時；當(dāng)為無理數(shù)時，則值域為，所以錯誤；對于，因為有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，所以滿足，所以正確；對于，因為，當(dāng)為無理數(shù)時，可以是有理數(shù)，也可以是無理數(shù)，所以錯誤；對于，由定義可知，所以錯誤；綜上可知，正確的為.故答案為：.【點睛】本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解題意是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題（解答過程應(yīng)寫出必要的文字說明，解答步驟.共70分）17. 傳染病的流行必須具備的三個基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環(huán)節(jié)必須同時存在，方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，

14、人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識和防控情況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本，統(tǒng)計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握認(rèn)為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？（2）用樣本估計總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.10000500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).（2）【解析】【分析】(1) 根據(jù)列聯(lián)表和獨立

15、性檢驗的公式計算出觀測值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷.(2) 因為樣本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年輕人有10人,用樣本估計總體,則出行不戴口罩的年輕人的概率為，是老年人的概率為.根據(jù)獨立重復(fù)事件的概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).（2）由樣本估計總體，出行不戴口罩的年輕人的概率為，是老年人的概率為.人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率.【點睛】本題主要考查獨立性檢驗及獨立重復(fù)事件的概率求法,難度一般.18. 如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，點是棱的中點，.（1）若，證明：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.【答

16、案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進(jìn)而證得結(jié)論.(2) 過作交于,由為的中點,結(jié)合已知有平面.則,可求得.建立坐標(biāo)系分別求得面的法向量,平面的一個法向量為,利用公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：平面，平面，,又四邊形為正方形，.又、平面，且，平面.中，為的中點，.又、平面，平面.平面，平面平面.（2）解：過作交于，如圖為的中點，.又平面，平面.，.所以,又、兩兩互相垂直，以、為坐標(biāo)軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，設(shè)平面的法向量，則，即.令，則，.平面的一個法向量為.二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明方法,考查了

17、空間線線、線面、面面位置關(guān)系，考查利用向量法求二面角的方法,難度一般.19. 如圖，在平面四邊形中，.（1）求；（2）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)式可求得，結(jié)合正弦和角公式求得，即可求得，進(jìn)而由三角函數(shù)（2）設(shè)根據(jù)余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，結(jié)合三角形面積公式可求得的最大值，即可求得四邊形面積的最大值.【詳解】（1），則由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得，則 ，則，所以.（2）設(shè)在中由余弦定理可得，代入可得，由基本不等式可知，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由三角形面積公式可得，所以四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查了正弦和角公式化簡三角函數(shù)式的

18、應(yīng)用，余弦定理及不等式式求最值的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.20. 設(shè)（1）證明:當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式可得，構(gòu)造函數(shù)，求得并令，由導(dǎo)函數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.（2）對函數(shù)求導(dǎo)，變形后討論當(dāng)時的函數(shù)單調(diào)情況：當(dāng)時，可知滿足題意；將不等式化簡后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗的符號，即可確定整數(shù)的最大值；當(dāng)時不滿足題意，因為求整數(shù)的最大值，所以時無需再討論.【詳解】（1）證明：當(dāng)時代入可得，令，則，令解得，當(dāng)時，

19、所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，所以，則，即成立.（2）函數(shù)則，若時，當(dāng)時，則在時單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時成立；所以此時需滿足的整數(shù)解即可，將不等式化簡可得，令 則令解得，當(dāng)時，即在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取得最小值，則，所以此時滿足的整數(shù) 的最大值為；當(dāng)時，在時，此時，與題意矛盾，所以不成立.因為求整數(shù)的最大值，所以時無需再討論，綜上所述，當(dāng)時，整數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系和應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法求最值，并判斷函數(shù)值法符號，綜合性強(qiáng)，屬于難題.21. 已知分別是橢圓的左焦點和右焦點，橢圓的離心率為是橢圓上兩點，

20、點滿足.(1)求的方程；(2)若點在圓上，點為坐標(biāo)原點，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)和離心率，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，即可求得的值，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程為，由題意可知為中點.聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出，由判別式可得；由平面向量的線性運算及數(shù)量積定義，化簡可得，代入弦長公式化簡；由中點坐標(biāo)公式可得點的坐標(biāo)，代入圓的方程，化簡可得，代入數(shù)量積公式并化簡，由換元法令，代入可得，再令及，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定的取值范圍，即確定的取值范圍，因而可得的取值范圍.【詳解】（1）分別是橢圓的左焦點和右焦點，則，橢圓的離心率為則解得，所以，所

21、以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點滿足，則為中點，點在圓上，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡可得，所以 則，化簡可得，而 由弦長公式代入可得為中點，則 點在圓上，代入化簡可得，所以令，則，令，則令，則，所以， 因為在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即所以【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，直線與橢圓的位置關(guān)系綜合應(yīng)用，由韋達(dá)定理研究參數(shù)間的關(guān)系，平面向量的線性運算與數(shù)量積運算，弦長公式的應(yīng)用及換元法在求取值范圍問題中的綜合應(yīng)用，計算量大，屬于難題.請考生在第22、23兩題中選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2b鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.