1、初三數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題含詳細(xì)答案一、圓的綜合1.如圖1,已知扇形 MON的半徑為 J2 , /MON=90，點(diǎn)B在弧MN上移動，聯(lián)結(jié) BM , 作OD，BM,垂足為點(diǎn) D, C為線段OD上一點(diǎn)，且 OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長交半徑 OM于 點(diǎn)A,設(shè)OA=x, /COM的正切值為y.(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時，求證：AM=AC;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時，求 x的值.【答案】(1)證明見解析；(2) y x.(0 x 乏)；(3) x 9 件 x ,22【解析】分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進(jìn)而判斷出 OAXBAM,

2、即可得出結(jié)論;(2)OAOE(3)先判斷出BD=DM,進(jìn)而得出-DM ME,進(jìn)而得出AE=-1(J2 x),再判斷出BD AE2OC 2DM“，即可得出結(jié)論；OD OD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.詳解：(1)OD)± BM, AB± OM,/ ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如圖2,過點(diǎn)D作DE/AB,交OM于點(diǎn)E.-.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1. DE/AB,DMBDME,

3、AE=EM.AE OM=V2， .AE=1(拒 x).21. DE/AB,OAOC 2DMOEOD ODDMOAOD 2OEy xm(0<x72)(3)1(i)當(dāng) OA=OC時. DM BM 211OC x .在 RtZODM 中,22OD yDM，ODDM 21x22 1x2(ii)當(dāng) AO=AC時，則 /AOC=/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, . / ACO>/ AOC,，此種情況不存在.(iii)當(dāng) CO=CA 時，貝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M , Z M=90° - a, . . a>

4、90° a, a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時，x的值為 E 衣.2點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定 理，等腰三角形的性質(zhì)，建立 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.2.如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0, 6) , (0, 3),點(diǎn)P為x軸正半軸上一動點(diǎn)，過 點(diǎn)A作AP的垂線，過點(diǎn)B作BP的垂線，兩垂線交于點(diǎn) Q,連接PQ, M為線段PQ的中 點(diǎn).(1)求證：A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個圓上；(2)當(dāng)。M與x軸相切時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)

5、；(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)(2, 0)運(yùn)動到點(diǎn)(3, 0)時，請直接寫出線段 QM掃過圖形的面積.【答案】 見解析；(2) Q的坐標(biāo)為(3J2, 9) ;(3)竺.8【解析】(1)解：連接AM、BM,0. AQIAP*, BQ，BPAPQ和4BPQ都是直角三角形， M是斜邊PQ的中點(diǎn)AM = BM = PM=QM= - PQ,2A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個圓上。(2)解：作 MGy軸于G, MCx軸于C,. AM = BM.G 是 AB 的中點(diǎn)，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，點(diǎn) M到x軸的距離始終為4.5則點(diǎn)Q到x軸的距離始終為

6、9,即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為 9,當(dāng)。M與x軸相切時則 PQx軸，作QHy軸于H,。BP 工HB=93=6,設(shè) OP= HQ= x由BOPQHB,彳X2 x2=3XG 8, x= 3 ”點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3 J2 , 9)則 Mi (3, 4.5)(3)解：由相似可得：當(dāng)點(diǎn) P在Pi (2, 0)時，Qi (4, 當(dāng)點(diǎn) P在 P2 (3, 0)時，Q2 (6, 9),則 M2 (4.5, 4.5)93MiM2= - -3= 一 , QiQ2=6-4= 222線段QM掃過的圖形為梯形 M1M2Q2Q1其面積為：1 X 3 + 2) X 45 63 .【解析】【分析】再根據(jù)這個條件結(jié)合題意直接根據(jù)已知可得

7、出三角形 APQ和三角形BPQ都是直角三角形, 解答此題.【詳解】(1)解：連接 AM、BM,AQAP, BQ，BPAPQ和ABPQ都是直角三角形， M是斜邊PQ的中點(diǎn)AM = BM = PM=QM= p PQ, A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個圓上。(2)解：作 MG，y軸于G, MC，x軸于C,. AM = BM.G 是 AB 的中點(diǎn)，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，點(diǎn) M到x軸的距離始終為4.5則點(diǎn)Q到x軸的距離始終為 9,即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為 9,當(dāng)。M與x軸相切時則 PQx軸，作QHy軸于H,HB= 9-3=6,設(shè) O

8、P= HQ= x由BO'QHB,彳X2 x2= 3X 8, x= 3，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3加9)(3)解：由相似可得：當(dāng)點(diǎn)P在Pi(2, 0)時，Qi(4,9)則Mi(3,4.5)當(dāng)點(diǎn) P在 P2 (3, 0)時，Q2 (6, 9),則 M2 (4.5, 4.5)9 c 3 0 . M iM2=下 一 3=, QiQ2= 6 4=2線段QM掃過的圖形為梯形 M1M2Q2Q1其面積為：JxR+2）X4百號.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生根據(jù)題意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考驗(yàn)學(xué)生對相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用，掌握探索題目隱含條件是解決此題的關(guān)鍵3.（類比概念）三角形的內(nèi)切圓是以三

9、個內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)為圓心，以這點(diǎn)到三邊的距離為半徑的圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形，可以得出三角形的三邊與該圓相切.以此類推，如圖 1,各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形（性質(zhì)探究）如圖1,試探究圓外切四邊形的 ABCD兩組又右邊AB, CD與BC, AD之間的數(shù) 量關(guān)系猜想結(jié)論： （要求用文字語言敘述）寫出證明過程（利用圖 1,寫出已知、求證、證明）（性質(zhì)應(yīng)用）初中學(xué)過的下列四邊形中哪些是圓外切四邊形 （填序號）A：平行四邊形：B：菱形：C：矩形；D：正方形如圖2,圓外切四邊形 ABCD,且AB=12, CD=8,則四邊形的周長是圓外切四邊形的周長為 48cm,相鄰的三條邊的比為

10、5： 4： 7,求四邊形各邊的長.【分析】(1)根據(jù)切線長定理即可得出結(jié)論；(2) 圓外切四邊形是內(nèi)心到四邊的距離相等，即可得出結(jié)論；根據(jù)圓外切四邊形的對邊和相等，即可求出結(jié)論；根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)求出第四邊，利用周長建立方程求解即可得出結(jié)論.【詳解】性質(zhì)探討：圓外切四邊形的對邊和相等，理由：如圖1,已知：四邊形 ABCD的四邊AB, BC, CD, DA都于。相切于G, F, E, H. 求證：AD+BCAB+CD.證明：AB, AD 和。相切，AG=AH,同理：BG=BF, CE=CF, DE=DH, .AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD,即：圓外切四

11、邊形的對邊和相等.故答案為：圓外切四邊形的對邊和相等；性質(zhì)應(yīng)用：二.根據(jù)圓外切四邊形的定義得：圓心到四邊的距離相等.平行四邊形和矩形不存在一點(diǎn)到四邊的距離相等，而菱形和正方形對角線的交點(diǎn)到四邊 的距離相等.故答案為：B, D; :圓外切四邊形 ABCD,AB+CD=AD+BC. AB=12, CD=8,AD+BC=12+8=20, .四邊形的周長是 AB+CD+AD+BC=20+20=40.故答案為：40 ；二相鄰的三條邊的比為5: 4: 7, 設(shè)此三邊為5x, 4x, 7x,根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)得：第四邊為5x+7x- 4x=8x.圓外切四邊形的周長為48cm, .1.4x+5x+7x+8

12、x=24x=48, . x=2,此四邊形的四邊為4x=8cm, 5x=10cm, 7x=14cm, 8x=16cm.A _S本題是圓的綜合題，主要考查了新定義圓的外切的性質(zhì)，四邊形的周長，平行四邊形，矩 形，菱形，正方形的性質(zhì)，切線長定理，理解和掌握圓外切四邊形的定義是解答本題的關(guān) 鍵.4.已知AB, CD都是e O的直徑，連接 DB,過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)E.1 如圖 1,求證： AOD 2 E 1800；2如圖2,過點(diǎn)A作AF EC交EC的延長線于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DG AB ,垂足為點(diǎn)G,求證：DG CF;3如圖3,在2的條件下，當(dāng)DG 3時，在e O外取一點(diǎn)H,連接CH、DH分別交

13、 CE 4e O于點(diǎn)M、N,且 HDE HCE ,點(diǎn)P在HD的延長線上，連接 PO并延長交CM于點(diǎn)Q,若PD 11, DN 14, MQ OB ,求線段HM的長.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3) 8，3 7【解析】【分析】(1)由 /D+/E=90°,可得 2/D+2/E=180°,只要證明 /AOD=2/D 即可；(2)如圖2中，作OR，AF于R只要證明 4AO宅 ODG即可；(3)如圖 3 中，連接 BC OM、ON、CN,彳BT，CL于 T,作 NK±CH于 K,設(shè) CH 交 DE 于W.解直角三角形分別求出 KM, KH即可；【詳解】1證明：

14、如圖1中,QeO與CE相切于點(diǎn)C,OC CE, OCE 900，E 90°,2 D 2 E 180°,Q AOD COB, BOC 2 D , AOD 2 D , AOD 2 E 180° 2證明：如圖2中，作OR AF于R.Q OCF F ORF 90°, 四邊形OCFR是矩形，AF/ /CD , CF OR ,A AOD , 在VAOR和VODG中，Q A AOD, ARO OGD 90°，OA DO ,VAOR VODG ,OR DG , DG CF , 3解：如圖3中，連接BC OM、ON、CN,彳BT CL于T,作NK CH于K,設(shè)C

15、H交DE于W.設(shè) DG 3m,則 CF 3m, CE 4m ,Q OCF F BTE 90°,AF/ /OC/ /BT ,Q OA OB,CT CF 3m,ET m ,QCD為直徑，CBD CND 90oCBE ,E 90oEBT CBT ,tan E tan CBT ,BT CT , ET BTBT 3m m BT 'BT J3m（負(fù)根已經(jīng)舍棄），*7 3m tan E3 ，mE 60°,Q CWD HDE H , HDE HCE , H E 60°，MON 2 HCN 60°，QOM ON ,VOMN是等邊三角形，MN ON , Q QM O

16、B OMMOQ MQO ,P 180° H 120°,Q MOQ PON 180°MON 120°, MQOPON P,ON NP 14 11 25,CD 2ON 50, MN ON 25,在 RtVCDN 中，cn Jcd2 DN2 J502 1 42 48，在 RtVCHN 中，tan H CN 也 73, HN HNHN 16/3,在 RtVKNH 中，KH - HN 873 , NK HN 24, 22在 RtVNMK 中，mK .MN2 NK2 ,252 242 7，HM HK MK 873 7 .【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性

17、質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的 判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或直角三角形解題 的關(guān)鍵.5.四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn) E,且AE= EC BE= ED,以AD為直徑的半圓過點(diǎn) E,圓 心為O.(1)如圖，求證：四邊形 ABCD為菱形；(2)如圖，若BC的延長線與半圓相切于點(diǎn) F,且直徑AD = 6,求弧AE的長._一 ”.?！敬鸢浮?1)見解析；(2) 21 ，一 。，一。Z CDA=30 ,，/ADE=15 .2303 -.1802試題分析：(1)先判斷出四邊形 ABCD是平行四邊形，再判斷出 AC± BD即可得出結(jié)論； (2)先判斷出

18、 AD=DC且DE，AC, / ADE=/ CDE進(jìn)而得出 Z CDA=30°,最后用弧長公式 即可得出結(jié)論.試題解析：證明：(1) .四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn) E,且AE=EC, BE=ED, .四邊形ABCD是平行四邊形.二,以AD為直徑的半圓過點(diǎn) E,/ AED=90°,即有AC BD,二.四邊 形ABCD是菱形；(2)由(1)知，四邊形 ABCD是菱形， 4ADC為等腰三角形，AD=DC且DEL AC, /ADE=/CDE如圖2,過點(diǎn)C作CG,AD,垂足為G,連接FO. 丁 BF切圓。于點(diǎn)F,1 .OFXAD,且 OF -AD 3 ,易知，四邊形 CGOF為矩形

19、，CG=OF=3. 2.CG在 RtCDG 中，CD=AD=6, sinZADC= CD連接 OE,貝U/AOE=2X/ ADE=30°, Ae點(diǎn)睛：本題主要考查菱形的判定即矩形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)，熟練掌握其判定與性 質(zhì)并結(jié)合題意加以靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.6.已知：如圖，在矩形 ABCD中，點(diǎn)O在對角線 BD上，以O(shè)D的長為半徑的。與AD, BD分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,且/ABE=/ DBC.(1)判斷直線BE與。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若 sinZ ABE=, CD=2,求。的半徑.C【答案】（1）直線BE與。O相切，證明見解析；（2）。的半徑為 旦.2【解析】分析：（

20、1）連接OE,根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證 /BEO=90。，即可得出直線 BE與OO相切；（2）連接EF,先根據(jù)已知條件得出 BD的值，再在BEO中，利用勾股定理推知 BE的 長，設(shè)出。的半徑為r,利用切線的性質(zhì)，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.詳解：（1）直線BE與。O相切.理由如下：連接 OE,在矢巨形 ABCD 中，AD/BC, . . / ADB=/DBC. OD=OE,Z OED=Z ODE.又/ ABE=/DBC,Z ABE=Z OED,矩形 ABDC, / A=90 °,Z ABE+ / AEB=90 °, . / OED+/AEB=90 ；，/BEO=90；

21、 .直線 BE 與。O 相切；(2)連接EF,方法1:.四邊形 ABCD是矩形，CD=2,Z A=ZC=90 °, AB=CD=2. ZABE=ZDBC, . .sinZ CBD=sin ABEDC . BD2、3,sin CBD22.2AE AL二, AE 、. 2 ,2在 Rt:A AEB 中，CD=2, ，BCDC tanZ CBD=tan /ABE,，二BC由勾股定理求得BE 、6 .在 RtBEO中，/BEO=90°, EO2+eB?=OB2.設(shè)。的半徑為r,則r2 （而）2 （2向23r) , r=，2方法 2: DF是。的直徑，Z DEF=90 °.

22、四邊形 ABCD是矩形，.1. Z A=Z C=90 °, AB=CD=2 . /ABE=/DBC,sinZCBD=sin ABE設(shè) DC x, BDBCJ2xCD=2,BC272 tanZ CBD=tanZABE, DCBCAB22.2E為AD中點(diǎn).DF 為直徑，ZFED=90°,EF/ AB,DF1BD J3, 。的半徑為43. 223【答案】(1)證明見解析；(2)點(diǎn)睛：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)，具有較強(qiáng)的 綜合性，有一定的難度.7.如圖，。是4ABC的內(nèi)心，BO的延長線和 4ABC的外接圓相交于 D,連結(jié)DC DA、OA、OC,四

23、邊形OADC為平行四邊形.(1)求證：BOCCDA.(2)若AB=2,求陰影部分的面積.43、. 39分析：(1)根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)得 /1 = /2, /3=/4,則AD=CD,于是可判斷四邊形 OADC為菱 形，則BD垂直平分 AC, /4=/5=/6,易得 OA=OC /2=/3,所以O(shè)B=OC,可判斷點(diǎn) O 為4ABC的外心，則可判斷 ABC為等邊三角形，所以 / AOB=/ BOC=Z AOC=12 0,BC=AC再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得 /ADC=/ AOC=120°, AD=OQ CD=OA=OB則根據(jù)“SA院明BOXACDA；(2)作OH, AB于H,如圖，根據(jù)等腰三角形的

24、性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到/ BOH=30 ；根據(jù)垂徑定理得到 BH=AH=1AB=1,再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系2得到OH=_3bH=_3, OB=2OH=2_3,然后根據(jù)三角形面積公式和扇形面積公式，利用 333S陰影部分=S扇形AOB-S AOB進(jìn)行計算即可.詳解：(1)證明：:。是4ABC的內(nèi)心，/2=/3, /5=/6, - / 1 = 7 2,/ 1 = 73,由 AD/ CO,AD=CO,/ 4=7 6,.,.BOCACDA (AAS)(2)由(1)得，BC=AG/3=/4=/6, / ABC=Z ACB.AB=AC .ABC是等邊三角形 .O是4ABC的內(nèi)心也是外心.

25、OA=OB=OC設(shè)E為BD與AC的交點(diǎn)，BE垂直平分 ACOA=OB=OC=2、33SvaOB132 23在 RtOCE中，CE=1AC=-AB=1, Z OCE=3O°, 22/ AOC=120 ,. Sfe 影=5扇 AOB1202.3 2()360343、§9點(diǎn)睛：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，： 角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心 就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和扇形面積的計 算.8.如圖， ABC內(nèi)接于OO,弦ADBC,垂足為H,連接OB.(1)

26、如圖 1,求證：/DAC=/ ABO;(2)如圖2,在弧AC上取點(diǎn)F使/CAF=/ BAD,在弧AB取點(diǎn)G,使AG/ OB,若/ BAC=6C0, 求證:GF=GD;(3)如圖3,在(2)的條件下，AF、BC的延長線相交于點(diǎn)E若AF: FE=1:9,求sin/ADG的值。14【解析】試題分析：(1)延長BO交。于點(diǎn)Q,連接AQ.由圓周角定理可得：/AQ&/ACB,再由等角的余角相等即可得出結(jié)論；(2)證明4DFG是等邊三角形即可；(3)延長 GA,彳FQ±AG,垂足為 Q,作 ON± AD,垂足為 N,作OM，BC,垂足為 M,延長AO交。于點(diǎn)R連接GR/DP,AG

27、, DK±AE,垂足為P、K.設(shè)AF=k,則FE=9k, AE=10k.在 4AHE 中，AH=5k.設(shè) NH=x,貝U AN=5k-x, AD=10k-2x.在 AQF中,AF=k, AQ=k , FQ= k.由（2）知：4GDF是等邊三角形，得到 GD=GF=DF,進(jìn)而得到22AG=9k-2x.OM=NH=x, BC=2V3x, GF=BC=2>/3x.在 AGQF中，GQ=AG+AQ=129 k-2x, QF=k,-,t7,-11 ,八 八.GF=2V3x,由勾股定理解出 x k,得至ij AG=9k-2x=-k, AR=2OB=4OM=4x=7k.在 42 GAR中，由

28、sin/ADG=sin/R即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）證明：如圖1,延長BO交。于點(diǎn)Q,連接AQ. BQ 是。直徑，./QAB=900. AD± BC, ./AHO900.弧 ABWAB, . / AQB=/ACB./ AQB+Z ABO=900， / ACB/ CAD=900/ ABO=Z CAD(2)證明：如圖2,連接DF. AG/OB, . . / ABO=/BAG. / ABO=/CAD, . / CAD=/BAG./ BAO600,/ BAD+Z CAD=Z BAD+Z BAG=600,即Z GAD=Z BAC=60 .° / ZBAD=ZCAF. . .

29、/ CAF+/CAD=60°,Z GAD=Z DAF=600,/ DGF=Z DAF=60 :,弧 GD=MGD,Z GAD=ZGFD=600, -1 / GFD=Z DGF=600, . . DFG是等邊三角形，.GD=GF.(3)如圖3,延長GA,彳FQ,AG,垂足為 Q,彳ONXAD,垂足為N,作OMLBC,垂足為 M,延長 AO交。O于點(diǎn)R,連接GR/DPXAG, DK, AE,垂足為 P、K. AF： FE=1： 9, 設(shè) AF=k,貝U FE=9k, AE=10k,在 AHE中，Z E=300, . AH=5k.設(shè) NH=x，貝U AN=5k-x. / ONXAD, .

30、AD=2AN=10k-2x又在 AQF 中， / GAF=1200, . / QAF=600, AF=k,，AQ=K, FQ= -k22由(2)知：4GDF是等邊三角形，.-.GD=GF=DF, / GAD=/DAF=600,DP=DK, GPD FKD, AAPDAAKDFK=GP, AP=AK, ZADK=300,，AD=2AK=AP+AK=AF+AG .AG=10k-2x-k=9k-2x.1作 OMBC, ON LAD,OM=NH=x. / Z BOD=- Z BOC=Z BAC=6002.BC=2BM=23x. / Z BOC=ZGOF, . GF=BC=2V3x在AGQF 中，GQ=

31、AG+AQ=?k-2x, QF=3k, GF=26x2 GQ2FQ2GF222x713Xik,X2k舍去.4211.AG=9k-2x= k , AR=2OB=4OM=4x=7k,2在 AGAR 中，/RGA=90°,AG 11 sin / ADG=sinZ R=.AR 14點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題.熟練掌握圓的基本性質(zhì)和常用的輔助線做法是解答本題的關(guān) 鍵.9.如圖，AN是。M的直徑，NB/X軸，AB交。M于點(diǎn)C.(1)若點(diǎn) A (0, 6) , N (0, 2) , /ABN=30,求點(diǎn) B 的坐標(biāo);CD是。M的切【答案】(1) B(q依，2) . (2)證明見解析.【解析】試題分析：

32、(1)在RtA ABN中，求出AN、AB即可解決問題;(2)連接MC, NC.只要證明/MCD=9°0即可試題解析：(1) :人的坐標(biāo)為(0, 6) , N (0, 2), .AN=4, / ABN=30 ； / ANB=90 ；.AB=2AN=8,，由勾股定理可知：NB=j 加工=4花，B (4曲，2).(2)連接 MC, NC.AN是。M的直徑，/ ACN=90 ；/ NCB=90 ；在RtNCB中，D為NB的中點(diǎn),，CD=NB=ND,2/ CND=Z NCD, . MC=MN ,/ MCN=Z MNC, / MNC+Z CND=90 ； / MCN+Z NCD=90 ；即 MC

33、CD.直線CD是。M的切線.考點(diǎn)：切線的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).10.如圖，在 RtABC中，C 90 , AD平分/BAC,交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O在AB上,。經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F. (1)求證：BC是。的切線；兀和根號)(2)若。O的半徑是2cm, E是弧AD的中點(diǎn)，求陰影部分的面積(結(jié)果保留【答案】(1)證明見解析 (2) 2- J33(1)連接OD,只要證明OD/AC即可解決問題；(2)連接OE, OE交AD于K.只要證明AOE是等邊三角形即可解決問題.【詳解】(1)連接OD.2D C. OA=OD,/ OAD=Z ODA. / OAD=/DAC, ./ODA=/DAC,

34、 ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ； . . OD,BC, . BC是 OO的切線.(2)連接OE, OE交AD于K.Ae De ,OE± AD./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ；AAKCAAKE, ，AO=AE=OE, .AOE是等邊三角形，ZAOE=60°,. S-S扇形 oae-Saaoe602-21227336043【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、 全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識 解決問題，屬于中考?？碱}型.11

35、.如圖，4ABC中，ZACB= 90°, /A=30： AB=6. D是線段AC上一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，OD與AB相切，切點(diǎn)為 E, OD交射線.DC于點(diǎn)F,過F作FG± EF交百線,BC于 點(diǎn)G,設(shè)OD的半徑為r.(1)求證 AE= EF;(2)當(dāng)。D與直線BC相切時，求r的值；(3)當(dāng)點(diǎn)G落在。D內(nèi)部時，直接寫出r的取值范圍.【答案】 見解析，(2)r=. 3,(3) -.3 r 盛5【分析】(1)連接 DE,貝U / ADE=60 =/DEF+/ DFE,而 / DEF=Z DFE 貝U / DEF玄 DFE=30 = /A,即可求解；BF=3,(2)如圖2所示，

36、連接DE,當(dāng)圓與BC相切時，切點(diǎn)為 F, /A=30。，AB=6, AD=2r,由勾股定理，即可求解；(3)分點(diǎn)F在線段AC上、點(diǎn)F在線段AC的延長線上兩種情況，分別求解即可. 【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r；(1)連接 DE,則 / ADE=60 =/ DEF+-Z DFE,且EB圖1而 / DEF=Z DFE,貝U / DEF=Z DFE=30 = / A, .AE=EF(2)如圖2所示，連接DE,當(dāng)圓與BC相切時，切點(diǎn)為 FZA=30 ； AB=6,貝U BF=3, AD=2r,由勾股定理得：(3r) 2+9=36,解得：r=J3；(3)當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時，如圖3所示，連接DE、DG,當(dāng)點(diǎn)

37、F在線段AC的延長線上時，如圖 4所示，連接DE、DG,FC 3.3 3r, GC 3FC 3 3r 9兩種情況下GC符號相反，GC2相同，由勾股定理得：DG2=CD2+CC2,點(diǎn)G在圓的內(nèi)部，故： DG2vr2,即：(3,3 2r)2 (3. 3r 9)2 r2整理得：5r2 11.3r 18 0解得：3 r 635【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；利用勾股定理計算線段的長.12.如圖，。的直徑AB=8, C為圓周上一點(diǎn)，AC= 4,過點(diǎn)C作。的切線1,過點(diǎn)B 作1的垂線BD,垂足為D, BD與。交于點(diǎn)E.(1)求/ AEC的度數(shù)；【分析】(1)易得4AOC是等邊三角

38、形，則 ZAOC= 60°,根據(jù)圓周角定理得到 /AEC= 30°(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到 OCL 1,則有OC/ BD,再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到 /AEB= 90 °,則/EAB= 30 °,可證得AB/CE,得到四邊形 OBEC為平行四邊形，再由 OB = OC,即可判斷四邊形 OBEC是菱形.【詳解】(1)解：在 4AOC中，AC= 4,.AO=OC= 4,.AOC是等邊三角形，/ AOC= 60 ；/ AEC= 30 ;(2)證明： OCX l, BD± l.OC/ BD./ ABD= / AOC= 60 :.AB為。的直徑，/

39、 AEB= 90 ； AEB為直角三角形，/ EAB= 30 :/ EAB= / AEC. .CE/ OB,又 CO/ EB 四邊形OBEC為平行四邊形.又 OB= OC= 4. 四邊形OBEC是菱形.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理及其推論以 及菱形的判定方法.13.已知四邊形 ABCD是。的內(nèi)接四邊形， /DAB= 120 °, BC= CD, AD=4, AC= 7,求 AB的長度.【答案】AB= 3.【解析】【分析】unn uiu作DE±AC, BFLAC,根據(jù)弦、弧、圓周角、圓心角的關(guān)系，求得 BC CD ,進(jìn)而得到 /

40、DAC=/CAB= 60；在RtA ADE中，根據(jù)60銳角三角函數(shù)值，可求得 DE= 2石，AE=2,再由RtDEC中，根據(jù)勾股定理求出 DC的長，在4BFC和4ABF中，利用60°角的銳角 三角函數(shù)值及勾股定理求出 AF的長，然后根據(jù)求出的兩個結(jié)果，由 AB=2AF,分類討論求 出AB的長即可.【詳解】作 DEL AC, BF± AC,BC= CD, urnr ujm BC CD，/ CAB= / DAC, / DAB= 120 ；/ DAC= / CAB= 60 °, .DEXAC, / DEA= / DEC= 90 ; DE .sin60 = , cos60

41、 =4 .DE=2T3, AE=2,AE4 .AC=7, .CE= 5, DC=2 3 252 、37，BC= . 37 ， .BFXAC,/ BFA= / BFC= 90 °,tan60BFAF.BF= 3AF,bf2+cF=bG,.327-32 .AF = 2 或 AF= 一 ,2AFcos60 =,AB.AB=2AF,當(dāng) AF=2 時，AB=2AF= 4, .AB= AD,3 . DC=BC, AC=AC,4 .ADCAABC (SS§ ,/ ADC= / ABC,ABCD是圓內(nèi)接四邊形，5 / ADC+/ ABC= 180 :/ ADC= / ABC= 90 ；但A

42、C2=49, ad2 DC2 42 后 2 53AC2w A2+DC2,AB=4 （不合題意，舍去），3當(dāng) AF= 2時，AB= 2AF=3,2 .AB=3.【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形模型，利 用直角三角形的性質(zhì)解題.14.如圖，RtABC中，/B=90°,它的內(nèi)切圓分別與邊 BC CA、AB相切于點(diǎn)D、E、F,設(shè) AB=c, BC=a, AC=b證：內(nèi)切圓半徑 r= （a+b-c）2(2)若AD交圓于P PC交圓于H, FH/BC,求/ CPD;(3)若 r=3 廂,PD= 18, PC=2772 .求 ABC各邊長.【答案】（1

43、）證明見解析（2） 45。（3） 9屬，12710,15710【解析】【分析】（1）根據(jù)切線長定理，有 AE=AF, BD=BF, CD=CE易證四邊形 BDOF為正方形， BD=BF=r,用r表示AF、AE、CD CE,禾ij用AE+CE=Aa等量關(guān)系列式.（2） /CPD為弧DH所對的圓周角，連接 OD,易得弧DH所對的圓心角/ DOH=9 0,所以 / CPD=45 .°（3）由PD=18和r=3 J10,聯(lián)想到垂徑定理基本圖形，故過圓心。作PD的垂線OM,求得弦心距OM=3,進(jìn)而得到/ MOD的正切值.延長 DO得直徑DG,易證PG/ OM ,得到同位 角/G=/ MOD,又

44、利用圓周角定理可證 ZADB=Z G,即得到/ADB的正切值，進(jìn)而求得 AB,再設(shè)CE=CD=x用x表示BG AC,利用勾股定理列方程即求出 x.【詳解】解：（1）證明：設(shè)圓心為 O,連接OD、OE、OF, 。0分別與BC、CA、AB相切于點(diǎn) D、E、F ODXBC, OELAC, OFXAB, AE=AF, BD=BF, CD=CE/ B=ZODB=Z OFB=90 ° 四邊形BDOF是矩形 ，OD=OF=r ,.矩形BDOF是正方形.BD=BF=rAE=AF=AB-BF=c-r CE=CD=BC-BD=a-r,.AE+CE=ACc-r+a-r=b1. FH/ BC/ AFH=Z B=90 °.AB與圓相切于點(diǎn) F,二FH為圓的直徑，即 O為圓心1. FH/ BC/ DOH=Z ODB=90 °/1 ,/ CPD= / DOH=452(3)設(shè)圓心為O,連接DO并延長交OO于點(diǎn)G,連接PG,過O作OMLPD于M/ OMD=90 °.PD=18.DM= 1PD=92 BF=BD=OD=r=3710 ,-0M= OdDM 2 = J(3而)2 92 = J90 81 =