1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學二次函數(shù)的綜合復習及詳細答案一、二次函數(shù)1 . (10分)(2015?佛山)如圖，一小球從斜坡 。點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y= - x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=r；x刻畫.(1)請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標；(2)小球的落點是 A,求點A的坐標；(3)連接拋物線的最高點 P與點O、A得POA,求4POA的面積；(4)在OA上方的拋物線上存在一點 M (M與P不重合)，4MOA的面積等于 POA的 面積.請直接寫出點 M的坐標.71 172131 15【答案】(1) (2, 4) ; (2)送，4)；(3) 4 ； (4)(2, 4

2、).【解析】試題分析：(1)利用配方法拋物線的一般式化為頂點式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標；(2)聯(lián)立兩解析式，可求出交點 A的坐標;(3)作PQ±x軸于點Q, ABx軸于點 計算即可求解；(4)過P作OA的平行線，交拋物線于點 相等，根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等,11線PM的解析式為y=-x+b,將P (2, 4)B.根據(jù) 國POA=SaPOQ+S：M弟形PQBA- S BOA,代入數(shù)值M,可得代入,連結OM、AM,由于兩平行線之間的距離 MOA的面積等于 4POA的面積.設直求出直線 PM的解析式為y=x+3.再與拋物線的解析式聯(lián)立，得到方程組,解方程組即可求出點

3、M的坐標.(2)聯(lián)立兩解析式可得:P的坐標為(2, 4)；試題解析：(1)由題意得，y=- x2+4x=- (x-2) 2+4,故二次函數(shù)圖象的最高點故可得點A的坐標為(？，4)；(3)如圖，作PQL x軸于點Q, AB±x軸于點B.Sa poa=S poq+S 梯形 pqba Sa boa二2Jx2x4 +C( 4+4) X(711 17 7? - 2) - 269=4+ 21=T.(4)過P作OA的平行線，交拋物線于點 M,連結OM、AM,則 MOA的面積等于 POA的面積.111設直線PM的解析式為y=/x+b,P的坐標為(2, 4), 1.-4=彳X 2+b 解得 b=3,1

4、直線PM的解析式為y=%+3.1產(chǎn)/ + 341卜=2R 二一 x2 + 4jcv = 4由，解得口 ：，點M的坐標為考點：二次函數(shù)的綜合題2 .在平面直角坐標系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c (a、b、c為常數(shù)，aw。的 衍生直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其 衍生三角形”.已知拋物線y 迪 x2勺亙x 2隼與其衍生直線”交于A、B兩點(點A3 3在點B的左側)，與x軸負半軸交于點 C.(1) 標為(2)填空：該拋物線的衍生直線”的解析式為，點A的坐標為 ，如圖，點M為線段CB上一動點，將4ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點B的坐對稱點

5、為N,若4AMN為該拋物線的 衍生三角形”，求點N的坐標；F,使(3)當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的衍生直線”上，是否存在點E F的坐標;得以點A、C E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點 若不存在，請說明理由.述X+述；(2 26；(1,0)；(2) N點的坐標為(0, 2依-3) , ( 0, 2J3+3 );E T號)、F (0,也)或 E (-1,3述)，F(xiàn)(-4,吟【解析】【分析】(1)由拋物線的 衍生直線”知道二次函數(shù)解析式的 a即可；(2)過A作AD，y軸于點D,則可知AN=AC,結合A點坐標，則可求出 ON的長，可求出N點的坐標；(3)分別討 論

6、當AC為平行四邊形的邊時，當 AC為平行四邊形的對角線時，求出滿足條件的 E、F坐 標即可【詳解】(1) y2、3巫X 迤x 2石，a= R3,則拋物線的 衍生直線”的解析式為3332、3y=y聯(lián)立兩解析式求交點y=2x2 <2x 2.3 332 .32 .3x+x=-2,解得或y=2 .3x=1y=0A (-2, 2代)，B (1,0)；(2)如圖1,過A作AD，y軸于點D,在y逋x2 £3x 2J3中，令y=0可求得x= -3或x=1,33 C (-3,0),且 A (-2, 20), -AC= Q(-2+3)2+ (2 百2 =屈 由翻折的性質(zhì)可知 AN=AC=A , A

7、MN為該拋物線的 衍生三角形 N在y軸上，且 AD=2,在RtAND中，由勾股定理可得DN= x/AN2-AD2=>/i3-4=3， .OD=2V3,，ON=2>/3-3 或 ON=2V3+3 ，N 點的坐標為(0, 23-3), (。，2向+3)；過A作AK± x軸(3) 當AC為平行四邊形的邊時，如圖 2 ,過F作對稱軸的垂線 FH, 于點K,則有 AC/ EF且AC=EF/ ACK= EFH, 在 ACKn EFH 中ACK= EFHAKC= EHFAC=EF . ACKA EFH, .FH=CK=1, HE=AK=2V3,.拋物線的對稱軸為x=-1, F點的橫坐標

8、為。或-2,點F在直線AB上， ，當F點的橫坐標為0時，則F (0, 2Y3),此時點E在直線AB下方，3，E到y(tǒng)軸的距離為 EH-OF=2.3-7 =皿3 ,即E的縱坐標為-生3 , 333 E (-1,-延)；3當F點的橫坐標為-2時，則F與A重合，不合題意，舍去；當AC為平行四邊形的對角線時， C (-3,0),且 A (-2, 273), 線段AC的中點坐標為(-2.5, J3),設 E (-1, t) , F (x, y),則 x-1=2X(-2.5) , y+t=2/3 ,x= -4, y=2>/3-t,2向皿逋x (-4) +也，解得1=-逋，333.E(-1,-迤)，F(xiàn)(

9、-4,小)；33綜上可知存在滿足條件的點F,此時E (-1, -W1)、(0,冬叵)或E (-1,33-j , F(-4,3)33【點睛】本題是對二次函數(shù)的綜合知識考查，熟練掌握二次函數(shù)，幾何圖形及輔助線方法是解決本 題的關鍵，屬于壓軸題23.如圖，對稱軸為直線 x 1的拋物線y ax bx c a 0與x軸相交于A、B兩點，其中A點的坐標為（一3, 0）（1）求點B的坐標;（2）已知a 1, C為拋物線與y軸的交點. 若點P在拋物線上，且 S POC 4sBOC , 求點P的坐標； 設點Q是線段AC上的動點，作 QD）± x軸交拋物線于點 D,求線段QD長度的最大值.【答案】（1）

10、點B的坐標為（1,0）.（2）點P的坐標為（4, 21）或（一4, 5）.線段QD長度的最大值為 -.4【解析】【分析】（1）由拋物線的對稱性直接得點B的坐標.（2）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點C的坐標，得到S boc ,設出點P的坐標，根據(jù)S POC 4S BOC列式求解即可求得點 P的坐標.用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由點 Q在線段AC上，可設點Q的坐標為（q,-q-3）,從而由QDx軸交拋物線于點 D,得點D的坐標為（q,q2+2q-3）,從而線段QD等于兩點 縱坐標之差，列出函數(shù)關系式應用二次函數(shù)最值原理求解【詳解】解：（1） ,A、B兩點關于對稱軸 x 1對稱，且

11、A點的坐標為（一3, 0）,.點B的坐標為（1,0）.（2）拋物線a 1,對稱軸為x 1 ,經(jīng)過點A （3, 0）,a 11,解得2a _ 2_9a 3b c 0拋物線的解析式為 y x2 2x 3._ _- c _ 1_3，B 點的坐標為（0, 3） .，OB=1, OC=3.，Sboc 13一.22設點P的坐標為（P，P2+2p-3）,則S POC-3POC 4s BOC，.二|p|6 ,解得當 P 4時 p2 2p 3 21 ；當 P 4 時，p2 2p 3 5, .點P的坐標為（4, 21）或（一4, 5）.設直線ac的解析式為ykx b ,將點A, C的坐標代入，得:3k bb 3直

12、線AC的解析式為y x 3.點Q在線段AC上,，設點Q的坐標為（q,-q-3）.又 QD,x軸交拋物線于點 D, 點D的坐標為（q,q2+2q-3）.2-1 QD q 3q2 2q 3 q2 3q q - 一24. a 1< 0 , -3< 3< 02線段QD長度的最大值為 9.44.如圖，在平面直角坐標系中有一直角三角形AOB, O 為坐標原點，OA= 1, tan/BAO=3,將此三角形繞原點 O逆時針旋轉90°,得到DOC,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C.菁用國（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，其橫坐標為t,設拋物線對

13、稱軸l與x軸交于一點E,連接PE,交CD于F,求以C、E、F為頂點三角形與 4COD相似時點P的坐標.【答案】（1）拋物線的解析式為 y=-x2- 2x+3; （ 2）當4CEF與ACOD相似時，P點的坐 標為（-1, 4）或（-2, 3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)，可得 OB,根據(jù)旋轉的性質(zhì)，可得 DOXAOB,根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；(2)分兩種情況討論： 當/CE390。時，ACEFACOD),此時點P在對稱軸上，即點 P為拋物線的頂點； 當/CFE= 90°時，ACFEACOD),過點P作PMx軸于M點，得 到EFCEMP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得 PM與

14、ME的關系，解方程，可得 t的 值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案.【詳解】(1)在 RtAOB 中，OA=1, tan/BAO OB 3, .OB=3OA= 3.OA,DOC是由AOB繞點O逆時針旋轉 90而得到的，ADOCAAOB,OC= OB= 3,OD=OA= 1 ,9a3b c.A, B, C的坐標分別為(1,0), ( 0, 3) , ( - 3, 0),代入解析式為12 ,拋物線的解析式為 y= - x 5.拋物線y x bx c (b, c為吊數(shù))與x軸交于點 x1,0和x2,0 ,與y軸交于點 - 2x+3；3(2)拋物線的解析式為x2- 2x+3, 對稱軸為l2a1

15、 , E點坐標為(-1, 0),如圖，分兩種情況討論： 當/CEF= 90 °時，ACEFACOD),(T, 4)；此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，Pc期£ 當/CFE= 90 °時，ACFEACOD),過點P作PMx軸于M點, / CFE4 PME=90° ,/CEF=/ PEM,AEFCAEMP,EMMPEFOD1-,.-.MP=3ME.CFCO3點 P 的橫坐標為 t, P (t, t22t+3).P 在第二象限，PM=- t2-2t+3, ME=- 1 -t, t<0, . 一 t2 2t+3=3 ( 1 t), 解得：t1= -

16、 2, t2=3 (與tv 0矛盾，舍去).當 t=-2 時，y= - (- 2) 2-2X( - 2) +3= 3,，P (-2, 3).綜上所述：當4CEF與ACOD相似時，P點的坐標為(-1, 4)或(-2, 3).【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題.解(1)的關鍵是利用旋轉的性質(zhì)得出OC, OD的長，又利用了待定系數(shù)法；解(2)的關鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得出MP=3ME.A,點E為拋物線頂點。（I ）當Xi1,X2 3時，求點A,點E的坐標；（n）若頂點E在直線y X上，當點A位置最高時，求拋物線的解析式；（出）若Xi1, b 0,當P（1,0）滿足PA PE值最小時，求b的值。【答案】（

17、I ） A 0,3 , E（1,4） ； （ n） yx2 x 1 ；（出）b 3 J77 .4【解析】【分析】（I ）將（-1, 0） , （ 3, 0）代入拋物線的解析式求得b、c的值，確定解析式，從而求出拋物線與y軸交于點A的坐標，運用配方求出頂點E的坐標即可；（n ）先運用配方求出頂點 E的坐標，再根據(jù)頂點 E在直線y X上得出吧b與c的關系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出當b=1時，點A位置最高，從而確定拋物線的解析式；（出）根據(jù)拋物線經(jīng)過（-1,0）得出c=b+1,再根據(jù)（n）中頂點E的坐標得出E點關于X軸的對稱點E的坐標，然后根據(jù) A、P兩點坐標求出直線 AP的解析式，再根據(jù)點在直線AP

18、上，此時PA PE值最小，從而求出 b的值.【詳解】解：（I ）把點（-1,0）和（3,0）代入函數(shù)y X2 bX c,1 b c 0有。解得b 2,9 3b c 02 -一2yX22x 3 (x 1)2A(0,3), E(1,4)(n )由 yx2 bx c xc 34b 2生上得E b,竺上2424點e在直線y x上,b 4c b2241b241b 2；(b 1)24121A 0, -(b 1)2 4421當b 1時，點A是取局點此時，y xx-4（出）：拋物線經(jīng)過點（1,0）,有1 b c 0QE H ,A(0,c)2b (b 2)2E 2,尸，A(0,b 1)2、,4 b (b 2)2

19、，E關于x軸的對稱點e為一，24設過點A, P的直線為y kx t.把A(0,b 1),P(1,0)代入y kx t,得y (b i)(x 1)b (b 2)2把點 E b, ()-代入 y (b 1)(x 1).242得 (b 1) 1 ,即 b2 6b 8 042解得，b 3 "。Q b 0, b 3行舍去.b 3 .17【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次的解析 式、最短距離，數(shù)形結合思想及待定系數(shù)法的應用是解題的關鍵，屬于中考壓軸題.6.如圖，拋物線 y=ax2+bx+c與x軸交于點 A和點B (1, 0),與y軸交于點C (0, 3

20、), 其對稱軸l為x= - 1 .(1)求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標；(2)若動點P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動點N在對稱軸l上.當PA! NA,且PA=NA時，求此時點 P的坐標； 當四邊形PABC的面積最大時，求四邊形 PABC面積的最大值及此時點 P的坐標.【答案】(1) y=- (x+1) 2+4,頂點坐標為(-1,4); (2)點P(- J2T,【解析】試題分析：(1)將B、C的坐標代入已知的拋物線的解析式，由對稱軸為x 1即可得到拋物線的解析式；(2) 首先求得拋物線與 x軸的交點坐標，然后根據(jù)已知條件得到PD=OA,從而得到方 S四邊形 ABCP =SAOBCSMPD程求得x的

21、值即可求得點 P的坐標；S梯形PDOC,表示出來得到二次函數(shù)，求得最值即可.B (1, 0),與y軸交于a 1b 2,，二次函數(shù)的c 3試題解析：(1) ,拋物線y ax2 bx c與x軸交于點A和a b c 0點C (0, 3),其對稱軸l為x 1,c 3,解得B i 2a解析式為yx2 2x 3= (x 1)2 4,，頂點坐標為(-1,4);令 y x22x30 ,解得x3或 x1 , 點 A ( - 3,0) ,B (1,0),作PD± x 軸于點 D,點P 在yx22x3 上，設點P (x,x22x3),2_一一.一-. PAI NA,且PA=NA, APADAAND, .

22、OA=PD,即 yx2x32,解得x=J2 1 (舍去)或 x= J2 1，點 p( J2 1，2)；設P(x, y),則yx2 2x 3 ,SI邊形 ABCP=SAOBCSMPDS梯形PDO C= 1OB?OC+1AD?PD+1(PD+OC)?OD=1 3 1 + 122222(3、1 /x)y -(y23)( x)=33323293=-x-( x 2x 3)=- x-x6=- (x222222當x= '時，Sg邊形abcp最大值=孕，當x= °時，y2823、2 75-)一，282x 2x15.3=,此時P432'考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.二次函數(shù)的最值；3.

23、最值問題；4.壓軸題.1 27,函數(shù)y-x mx 1 x > 0, m>0的圖象記為C1 ,函數(shù)21 2y x mx 1 x 0,m>0的圖象記為C2,其中m為常數(shù)，C1與C2合起來的圖象 2記為C.（I ）若Ci過點1,1時，求m的值；（n ）若C2的頂點在直線y 1上，求m的值；3（出）設C在4wxw2上最局點的縱坐標為 y0,當一 w y0 < 9時，求m的取值氾圍21 .9【答案】（I） m -； （n） m 2； （ni）1wmw-.2 2【解析】【分析】（I ）將點C的坐標代入C1的解析式即可求出 m的值；（n）先求出拋物線 C2的頂點坐標，再根據(jù)頂點在直線

24、 y 1上得出關于m的方程，解之 即可（出）先求出拋物線 C1的頂點坐標，結合（n ）拋物線C2的頂點坐標，和x的取值范圍，分三種情形討論求解即可；【詳解】1解：（I ）將點1,1代入C1的解析式，解得 m -.22（n ）拋物線C2的頂點坐標為 m, 1 ,22令叱1 1 ,得m 2,2m>0, m 2.22（出）.拋物線C1的頂點P m,m- 1 ,拋物線C2的頂點Q m,m- 1 ,22當0 m 2時，最高點是拋物線 G1的頂點3 m2，一 y0 1 9,解得 1 m 2.4 2當2 m 4時，G1中（2, 2m-1 ）是最高點，y0 2m-151 一 2m-1 9,解得 2 m

25、4.2當 m>4 時，G2 中（-4, 4m-9 ）是最高點， y 0 4m-9 .39- 4m-9 9,解得 4 m .,、，一9綜上所述，1 m ,即為所求.【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法、不等式組等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活 運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，利用數(shù)形結合的思想解決問 題，屬于中考壓軸題.0,2，連接AE .8.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y ax2 bx c交x軸于點 A 4,0、(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求ADE面積的最大值;(3)拋物線對稱軸上是否存在點P,使 AEP為等

26、腰三角形，若存在，請直接寫出所有P點的坐標，若不存在請說明理由【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為 y3 2 32x x 6； （2）當* 一時，ADE 的423面積取得最大值 日；(3) P點的坐標為1,1 ,1,石1 ,3分析：(1)把已知點坐標代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可;(2)根據(jù)函數(shù)解析式設出點 D坐標，過點D作DGx軸，交AE于點F,表示AADE的 面積，運用二次函數(shù)分析最值即可；(3)設出點P坐標，分PA=PE, PA=AE, PE=AE三種情況討論分析即可.詳解：(1)二.二次函數(shù) y=ax2+bx+c 經(jīng)過點 A ( - 4, 0)、B (2, 0) , C (0, 6),

27、16a 4b c 04a 2b c 0 , c 63a -4一3解得：b -,2c 63 23所以二次函數(shù)的解析式為：y= 3x2 3x 6；42(2)由 A (- 4, 0) , E (0,12),可求AE所在直線解析式為y= -x 2,2G,過點E作EHI±DF,垂足為H,如圖,過點D作DNx軸，交AE于點F,交x軸于點3 231c設 D (m,-m-m6),則點 F (m,-m2 ),422.DF= 3m2 3m 6-42m 2)= 3m2 m 8, 24 Saade=Sadf+Saedf= ><DF>AG+工 DF>EH22=-XDF>AG+-

28、>DF>H221=-X 4DF2=2 (x 3 m2 m 8)43,2、2 50=一 (m -),233、“250- m=一時， ADE的面積取得取大值為 一.333 23A (一(3) y= -x -x 6 的對稱軸為 x=T,設 P ( - 1, n),又 E (0,424, 0),可求 PA=79n2 , PE=J一("n_2p，AE= 16Q4 2而,分三種情況討論: 當 PA=PE時，由工2 = J1 (n 2)2，解得：n=1,此時 P L 1, 1)；當pa=ae時，9-nT=>/T64 2J5,解得：n= 布，此時點P坐標為(-1, 而)；當 PEA

29、E 時，J1(n2)2= J1642x/5,解得：n=-2J19,此時點 P 坐標為:(-1，- 2 曬).綜上所述：P點的坐標為：(-1, 1) , (- 1,萬)，(-1,-2 屈).點睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數(shù)分析三角 形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關鍵.9.如圖，已知點 A(0,2), B(2,2), C (-1,-2),拋物線F：y=x2-2mx+m2-2 與直線x=-2交于點P.(1)當拋物線F經(jīng)過點C時，求它的解析式；(2)設點P的縱坐標為yp,求yp的最小值，此時拋物線 F上有兩點(X1, y1)

30、, ( X2,y2),且xK X2<2,比較y1與y2的大小.【答案】(1) y x2 2x 1； (2)y1 y2.【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線 F： y=x2-2mx+m2-2過點C (-1, -2),可以求得拋物線 F的表達式；(2)根據(jù)題意，可以求得 yp的最小值和此時拋物線的表達式，從而可以比較 y1與y2的大 小.【詳解】拋物線F經(jīng)過點C ( 1, 2),2 12mm2 2.m1=m2=-1.，拋物線F的解析式是y x2 2x 1. ,.2-2(2)當 x=-2 時，yP 4 4mm 2= m 22.當 m=-2 時，yP 的最小值為2.2此時拋物線F 的表達式是y x

31、22 .，當x 2時，y隨x的增大而減小.- Xi X2 J 2,yi> y2.【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答問題10.在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y=x2-2x+a-3,當a = 0時，拋物線與y軸交于點 A,將點A向右平移4個單位長度，得到點 B.( i )求點 B 的坐標；(2)將拋物線在直線y= a上方的部分沿直線 y=a翻折，圖象的其他部分保持不變，得到 一個新的圖象，記為圖形 M,若圖形M與線段AB恰有兩個公共點，結合函數(shù)的圖象，求 a 的取值范

32、圍【答案】(1) A (0, 3) , B (4, 3) ; (2) - 3< a<Q【解析】【分析】(1)由題意直接可求 A,根據(jù)平移點的特點求 B;(2)圖形M與線段AB恰有兩個公共點，y=a要在AB線段的上方，當函數(shù)經(jīng)過點 A時， AB 與函數(shù)兩個交點的臨界點；【詳解】解：(1) A (0, 3) , B (4, - 3);(2)當函數(shù)經(jīng)過點 A時，a=0,;圖形M與線段AB恰有兩個公共點， y=a要在AB線段的上方，. . a > - 3 - 3V a w q【點睛】本題二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象的特點，函數(shù)與線段相交的交點情況 是解題的關鍵211.如

33、圖1,在平面直角坐標系中，直線y x 1與拋物線y x bx c交于A、B兩點， 其中A m,0 ,B 4,n .該拋物線與y軸交于點C,與x軸交于另一點D.ffllNI2Hb(1)求m> n的值及該拋物線的解析式；(2)如圖2.若點P為線段AD上的一動點(不與A D重合).分別以AP、DP為斜邊,在直線 AD的同側作等腰直角 APM和等腰直角 DPN ,連接MN ,試確定 MPN面積最大時 P點的坐標.(3)如圖3.連接BD、CD，在線段CD上是否存在點Q,使得以A、D、Q為頂點的三角形 與 ABD相似，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.2【答案】(1) y x 6x

34、 5 ； ( 2)當m 2 ,即AP 2時，S mpn最大，此時7 8OP 3,所以P 3,0 ； (3)存在點Q坐標為(2,-3或WF . 3 3【解析】分析：(1)把A與B坐標代入一次函數(shù)解析式求出m與n的值，確定出A與B坐標，代入二次函數(shù)解析式求出 b與c的值即可；(2)由等腰直角 4APM和等腰直角DPN,得到/MPN為直角，由兩直角邊乘積的一半表示出三角形 MPN面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出三角形面積最大時P的坐標即可；(3)存在，分兩種情況，根據(jù)相似得比例，求出 AQ的長，利用兩點間的距離公式求出Q坐標即可.詳解：(1)把 A (m, 0) , B (4, n)代入 y=x1 得：

35、m=1, n=3, . A (1, 0) , B (4,3) .o1 b c 0b 6y=-x2+bx+c經(jīng)過點A與點B,解得：，則二次函數(shù)解16 4b c 3c 5析式為 y= - x2+6x - 5；(2)如圖2,/ MPN=90 ； APM與 DPN都為等腰直角三角形，/ APM=/ DPN=45 °, 4MPN 為直角三角形，令-x2+6x- 5=0,得到 x=1 或 x=5,，D (5,0),即 DP=5 一1=4,設AP=m,則有DP=4- m, PM=-m, PN=- (4m),Sa mpn= _ PM?PN= X(4-m) =- - m2- m= " (m-

36、2) 2+1 .當44'm=2,即AP=2時，Smpn最大，此時(3)存在，易得直線 CD解析式為/BAD=/ADC=45 ;分兩種情況討論：OP=3,即 P (3, 0);y=x- 5,設 Q (x, x-5),由題意得:人 2 AB BD 日口當ABA4DAQ時，=-,即DA AQ4 AQ,解得：AQ=8_2 ,由兩點間的距離3公式得：(X- 1) 2+ (x-5) 2=1283當abdsdqa時-BD-=17 AQ,解得：x=7,此時Q(；，即 AQ= Vl0 ，(x 1) 2+8)；(x 5) 2=10,解得:x=2,此時 Q (2, -3).78、綜上，點Q的坐標為(2, -

37、 3)或(一，-一).33點睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的 圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，兩點間的距離公式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解答 本題的關鍵.12.如圖，已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A (-1, 0) , B (3, 0)兩點, 與y軸相交于點C(0, - 3).(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PHI±x軸于點H,與BC交于點M,連接PC.求線段PM的最大值；P的坐標. 當4PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點9-【答案】(1)二次函數(shù)的表達式 y=x

38、2- 2x- 3; (2)PM最大=;P (2, - 3)或4(3-" 2-472)-【解析】【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次 函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；根據(jù)等腰三角形的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案.【詳解】(1)將A, B, C代入函數(shù)解析式，a b c 0a 1得 9a 3b c 0,解得 b2,c 3c3這個二次函數(shù)的表達式 y=x2 - 2x - 3 ;(2)設BC的解析式為y=kx+b, 將B, C的坐標代入函數(shù)解析式，得3kbBC的解析式為y=x- 3,設 M (n, n

39、-3) , P(n, n2-2n-3),PM= (n- 3) - ( n2-2n - 3) =- n2+3n= - ( n- - ) 2+9 ，24當n= 3時，PM最大=9 ; 24 當 PM=PC 時，(-n2+3n) 2=n2+ (n2-2n-3+3) 2,解得ni=0 (不符合題意，舍)，n2=2,n2- 2n - 3=-3,P (2, -3)；當 PM=MC 時，(-n2+3n) 2=n2+ (n - 3+3) 2,解得ni=0 (不符合題意，舍)，n2=3+J2 (不符合題意，舍)，n3=3-J2 ,n2- 2n - 3=2-4 亞,P (3-、,2 , 2-4、2 );綜上所述：

40、P (2, - 3)或(3-J2 , 2- 4衣).【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰三角形等知識，綜合性較強，解題的關鍵是認真分析，弄清解題的思路有方法13.在直角坐標系中，我們不妨將橫坐標，縱坐標均為整數(shù)的點稱之為中國結”。(1)求函數(shù)y= J3x+2的圖像上所有 中國結”的坐標；k(2)求函數(shù)y= (kwQ k為吊數(shù))的圖像上有且只有兩個中國結，試求出吊數(shù)k的值x與相應中國結”的坐標；2.2 一 2 一 一 一 2(3)若二次函數(shù)y=(k 3k 2)x(2k 4k 1)x k k (k為常數(shù))的圖像與 x軸相交得到兩個不同的中國結”，試問該函數(shù)的圖

41、像與 x軸所圍成的平面圖形中(含邊界)，一共包含有多少個中國結”？【答案】(1) (0,2)； ( 2)當k=1時，對應中國結”為(1,1) ( 1, 1)；當k=1時，對應中國結”為(1, 1) , ( 1,1) ; ( 3) 6個.【解析】試題分析：（1）因為X是整數(shù)，xwo時，J3x是一個無理數(shù)，所以 xwo時，J3x+2不是 整數(shù)，所以x=0, y=2,據(jù)此求出函數(shù)y= J3x+2的圖象上所有 中國結”的坐標即可.k（2）首先判斷出當k=1時，函數(shù)y=- （kwQ k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個中國xk結：（1,1）、（- 1、- 1）;然后判斷出當 kwi時，函數(shù)y=_ （kwQ k

42、為常數(shù)）的圖 x象上最少有4個 中國結”，據(jù)此求出常數(shù)k的值與相應 中國結”的坐標即可.（3）首先令（k2 3k+2） x2+ （2k24k+1） x+k2- k=0,貝U （k1） x+k （k2） x+ （k 1） =0 ,求出x1、x2的值是多少；然后根據(jù) x1、x2的值是整數(shù)，求出 k的值是多少；最后 根據(jù)橫坐標，縱坐標均為整數(shù)的點稱之為中國結”，判斷出該函數(shù)的圖象與 x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個中國結”即可.試題解析：（1）=”是整數(shù)，xwo時，T3x是一個無理數(shù)，xw時，J3x+2不是整數(shù)，.x=0, y=2,即函數(shù)y=J3x+2的圖象上 中國結”的坐標是（0

43、, 2）.k（2） 當k=1時，函數(shù)y=- （kwQ k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個中國結：x（1,1）、（- 1、- 1）；一k當k=-1時，函數(shù)y=- （kwQ k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個中國結：x（1, - 1）、（-1,1）.k當kw 土時，函數(shù)y=- （kwQ k為常數(shù)）的圖象上最少有 4個中國結：xk（1, k）、（- 1, - k）、（ k, 1）、（- k, - 1）,這與函數(shù) y=- （kwQ k 為常數(shù)）的 x圖象上有且只有兩個中國結”矛盾， k綜上可得，k=1時，函數(shù)y= （kwQ k為吊數(shù)）的圖象上有且只有兩個中國結：（1,x1）、（- 1、T）； k k=-1時，

44、函數(shù)y=- （kwQ k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個中國結：（1, - 1）、x（-1、1）.（3）令（k2-3k+2） x2+ （2k2-4k+1） x+k2 - k=0,則（k1） x+k （k 2） x+ （k1） =0,X1X2X1X112x2 1X2 1整理，可得X1X2+2X2+1=0, .X2(X1+2):1,- xi> X2都是整數(shù),或1X23或X1X2_ r rX1當X213時,.-.k=3;2當X21時,11- k=k - 1,綜上，可得無解;,3-k= , X1 = 32，y= (k2- 3k+2)X2=1 ,x2+( 2k2 - 4k+1) x+k2 - k3 c

45、 3.=(2)2-3x-+2X2+23、x(一)22 - 4X° +1x+2、2 3)22=-1X2- 1X+3 424當x= - 2時，y= - 1X2 -x+ -=4241-x( -2)42 12 X (_ 2)23+4當x= - 1時,y=- lx2- -x+3 4241，、x ( 1) 4-x ( - 1) + =13當x=0時，y=一,4另外，該函數(shù)的圖象與 x軸所圍成的平面圖形中 x軸上的 中國結”有3個：（-2, 0）、（- 1、0）、（0,0）.綜上，可得若二次函數(shù)y= （ k2 - 3k+2） x2+ （ 2k2- 4k+1） x+k2 - k （ k為常數(shù)）的圖象

46、與 x軸相交得到兩 個不同的中國結”，該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有6個中國結”：（-3,0）、（-2,0）、（-1,0）（-1,1）、（ 0,0）、（1,0）考點：反比例函數(shù)綜合題14. （14分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=mx2-8mx+4m+2 （m>2）與y軸的交點為A,與x軸的交點分別為B（x1，0）, C （龍，0）,且x2-x1=4,直線AD/x軸，在x軸上有一動點E （t, 0）過點E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線 AD的交點分別 為 P、Q.I1*（1）求拋物線的解析式;（2）當0vtw時，求4APC面積的最大值;（3）當t&g

47、t;2時，是否存在點 P,使以A、P、Q為頂點的三角形與 4AOB相似？若存在,16(3) t= 332或 t= 3 或 t=14.求出此時t的值；若不存在，請說明理由.y =產(chǎn)1 - 2工 + 3【答案】（1）4; （2） 12;【解析】試題分析：（1）首先利用根與系數(shù)的關系得出：由+祝二日，結合條件性"求出'打的值，然后把點 B, C的坐標代入解析式計算即可；（2） （2）分0Vt<6時和6<t<8時兩種情況進行討論，據(jù)此即可求出三角形的最大值；（3） （3）分2vtw時和t>6時 兩種情況進行討論，再根據(jù)三角形相似的條件，即可得解.試題解析：解：(1)由題意知Xi、X2是方程mx2-8mx+4m+2=0的兩根,- X1+X2=8, 工+ K工二名於二6.B (2, 0)、C (6, 0)貝U 4m - 16m+4m+2=0 ,解得：m，,1 o _該拋物線解析式為：yqx2富+3 ；.(2)可求得A (0, 3