1、概率例1. 11分制乒乓球比賽，每贏一球得 1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得 2分的一方 獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5 ,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4 ,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.(1)求 P(X 2)；(2)求事件 X 4且甲獲勝”的概率.【答案】(1) 0.5； (2) 0.1 .【解析】(1) X 2就是10:10平后，兩人又打了 2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分.因此 P(X 2) 0.5 0.4 (1 0.5) (1 0.4)

2、0.5 .(2) X 4且甲獲勝，就是10:10平后，兩人又打了 4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這 4個(gè)球的得分情況為： 前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.因此所求概率為0.5 (1 0.4) (1 0.5) 0.4 0.5 0.4 0.1 .例2.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7: 30之前到校的概率均為 -.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不3影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7: 30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生

3、的概率.20 【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，E(X) 2； (2) .2432【解析】(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7: 30之前到校的概率均為 -,352故 X B(3, 一)，3從而 P(X k) c3 (2) k (1)3 k, k 0,1,233 3即隨機(jī)變量X的分布列為0I23124Sp279927隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X) 3 - 2 .32(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為 Y ,則YB(3, ),3且 M X 3,Y 1UX 2,Y 0.由題意知事件X 3,Y 1與X 2,Y0互斥，且事件X 3與Y 1,事件X 2與Y 0均相互獨(dú)立

4、，從而由(1)知 P(M) P(X 3,Y 1UX2,Y 0)P(X 3,Y 1) P(X 2,Y 0) P(X 3) P(Y 1) P(X 2)P(Y 0)82 4120 .27 9 9 2724368位將領(lǐng)，善用騎1.明初出現(xiàn)了一大批杰出的騎兵將領(lǐng)，比如徐達(dá)、常遇春、李文忠、藍(lán)玉和朱棣.明初騎兵軍團(tuán)擊敗了不可世的蒙古騎兵，是當(dāng)時(shí)世界上最強(qiáng)騎兵軍團(tuán).假設(shè)在明軍與元軍的某次戰(zhàn)役中，明軍有 兵的將領(lǐng)有5人；元軍有8位將領(lǐng)，善用騎兵的有 4人.(1)現(xiàn)從明軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取 4名將領(lǐng)，求至多有 3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率;(2)在明軍和元軍的將領(lǐng)中各隨機(jī)選取2人，X為善用騎兵的將領(lǐng)的人數(shù)，寫(xiě)出 X的

5、分布列，并求EX13 9【答案】(1) ; (2)分布列見(jiàn)解析，EX .144【解析】(1)設(shè)從明軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取 4名將領(lǐng)，則有4名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率為c C4515 C470 14,一一-113故從明軍將領(lǐng)中隨機(jī)選取 4名將領(lǐng)，至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率為P 1 一 一.14 14(2)由題意知，X22則 P(X 0) C2C C2C2P(X 1) 392C5 c3 c4 C4 c4c269C2C2392'P(X 2)c5 c3 c4c4 c5c2 c2c4159C2c2392，P(X 3)211 112C5c4c4C5c3c4C2C2125392P(X 4)C2C2C2

6、C23015392 196，所以X的分布列為y01231p_9_392至 3921593921253921519669EX 12392159125 , 30 93 4 392392392 42.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知甲命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是1乙命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是 85-,任意兩次射擊相互獨(dú)立.8(1)求甲運(yùn)動(dòng)員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率;(2)現(xiàn)在甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每一輪比賽兩人各射擊1次，環(huán)數(shù)高于對(duì)方為勝，環(huán)數(shù)低于對(duì)方為負(fù),環(huán)數(shù)相等為平局，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝者，比賽結(jié)束，求恰好進(jìn)行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率.14(1)

7、；327(1)記X表示甲運(yùn)動(dòng)員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和，則 X 18包含 第一次10環(huán)和第二次8環(huán)”,第一次8環(huán)第二次10環(huán)”，第一次9環(huán)和第二次9環(huán)”這三種情況,甲運(yùn)動(dòng)員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率為PC111111233333(2)記A表示甲在第i輪勝利,B表示甲在第i輪平局,G表示甲在第i輪失敗,15 1P(A)()3 8 411 八予 P(Bi) %, P(Ci) 2316當(dāng)甲獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽時(shí)，由第2輪、第3輪甲連續(xù)勝利，第一輪甲沒(méi)有獲得勝利,_1 1 其概率P(12 21) 128當(dāng)乙獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽時(shí)，則第2輪、第3輪乙連續(xù)月4利，第1輪乙沒(méi)有獲得勝利,-11

8、55其概率P2- ,6 6 6 216154，經(jīng)過(guò)3輪比賽結(jié)束的概率 P P P2 .8 216 273. 2019年在印度尼西亞日惹舉辦的亞洲乒乓球錦標(biāo)賽男子團(tuán)體決賽中，中國(guó)隊(duì)與韓國(guó)隊(duì)相遇，中國(guó)隊(duì)男子選手A, B, C, D, E依次出場(chǎng)比賽，在以往對(duì)戰(zhàn)韓國(guó)選手的比賽中，他們五人獲勝的概率分別是 0.8, 0.8, 0.8, 0.75, 0.7 ,并且比賽勝負(fù)相互獨(dú)立.賽會(huì)采用5局3勝制，先贏3局者獲得勝利.(1)在決賽中，中國(guó)隊(duì)以 3:1獲勝的概率是多少？(2)求比賽局?jǐn)?shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1) 0.288； (2)分布列見(jiàn)解析，E(X) 3.648.【解析】(1)若中國(guó)隊(duì)以3:1獲勝，則前三局中贏兩局輸一局，第四局比賽勝利，1 2設(shè)中國(guó)隊(duì)以3:1獲勝為事件A,則P(A) C； 0.2 0.82 0.75 0.288 .(2)設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為 X ,則X所有可能的取值為3, 4, 5,則 P(X 3) 0.83 0.23 0.520, P(X 4)