1、第十四章：現(xiàn)代數(shù)學概觀二十世紀的數(shù)學第一節(jié) 五大新興學科的建立 一、數(shù)理邏輯 1符號邏輯數(shù)理邏輯作為一門數(shù)學學科，來源于對數(shù)學和邏輯基礎的探討，它最早可追溯到萊布尼茨，他關于邏輯演算的觀念預示著布爾代數(shù)，而英國數(shù)學家布爾(GBoole 18151864)在1847年出版邏輯的數(shù)學分析一書，正式推出所謂布爾代數(shù)，在邏輯上相當于命題演算其后由英國數(shù)學家杰方斯(WSJevons，18351882)和小皮爾斯(CSPeirce，18391914)在1874年加入次序關系，德國數(shù)學卷中加以公理化第一個完全形式化的語言是德國數(shù)學家弗瑞格(GFrege，18481925)在1879年出版的概念文字中引進的他

2、首先定義了全稱量詞及存在量詞并引進一般的謂詞邏輯不過相應的邏輯代數(shù)一直到1950年才由波蘭數(shù)學家塔斯基(ATarski，19021983)所發(fā)展，他引進所謂“圓柱代數(shù)”1955年美國數(shù)學家哈爾莫斯(PHalmos，1916)又引進多進代數(shù)，形成一般的邏輯代數(shù)理論1889年意大利數(shù)學家皮亞諾(GPeano，18581932)提出自然數(shù)的公理系統(tǒng)，即后來所謂皮亞諾算術公理而戴德金在前一年也提出類似的公理系統(tǒng)弗雷格在1884年出版的算術基礎中開始提到算術無非是擴展的邏輯戴德金也提出類似的觀點弗雷格在1893年出版的算術的基本規(guī)律第一卷中，用五條邏輯公理來推導算術命題1902年6月羅素給弗雷格一封信，

3、提出著名的羅素悖論，并指出弗雷格的矛盾弗雷格在1903年出版的算術的基本規(guī)律第二卷附錄中承認這是對他的巨大打擊，正是這個悖論，揭開了數(shù)理邏輯新的一章2羅素悖論羅素的悖論是關于集合論的，康托爾已經意識到不加限制地談論“集合的集合”會導致矛盾其他人也發(fā)現(xiàn)集合論中存在矛盾而羅素在1903年出版的數(shù)學的原理(Principles of Mathematics)中，則十分清楚地表現(xiàn)出集合論的矛盾，從而動搖了整個數(shù)學的基礎羅素的悖論是說：可以把集合分成兩類：凡不以自身為元素的集合稱為第一類集合，凡以自身做為元素的集合稱為第二類的集合，每個集合或為第一類集合或為第二類集合設M表示第一類集合全體所成的集合如果

4、M是第一類集現(xiàn)了這個矛盾之后，導致第三次數(shù)學危機，在數(shù)學界出現(xiàn)了各種意見，從拋棄集合論到盡可能保持集合論在數(shù)學中的基礎地位的都有由于20世紀數(shù)學的發(fā)展主流是建立在集合論基礎之上，這里只考慮數(shù)學家如何消除悖論在20世紀初，大致有兩種辦法，一個辦法是羅素的分支類型論，它在1908年發(fā)表，在這個基礎上羅素與懷特海(ANWhitehead，18611947)寫出三大卷數(shù)學原理(principia Mathematica，19101913)，成為數(shù)理邏輯最早一部經典著作還有一個辦法是公理方法限制集合，由此產生公理集合論3集合論的公理化康托爾本人沒有對集合論進行公理化集合論公理化是策梅羅(EZermelo

5、，18711953)在1908年發(fā)表的富蘭克爾(AFraenkel，18911965)等人曾加以改進，形成著名的ZF系統(tǒng)，這是最常用的一個系統(tǒng)，因此大家都希望從中推出常用的選擇公理(1904年策梅羅引進它來設與ZF系統(tǒng)是相容的1963年，柯亨(PCohen，1934)發(fā)明“力迫法”證明這兩條“公理”的否定也不能在ZF系統(tǒng)中證明，從而推出其獨立性4希爾伯特綱領為了使數(shù)學奠定在嚴格公理化基礎上，1922年希爾伯特提出希爾伯特綱領，首先將數(shù)學形式化，構成形式系統(tǒng)，然后通過有限主義方法證明其無矛盾性1928年希爾伯特提出四個問題作為實現(xiàn)其綱領的具體步驟：(1)分析的無矛盾性1924年阿克曼(WAcke

6、rmann，8961962)和1927年馮諾伊曼(JVon Neumann，19031957)的工作使希爾伯特相信只要一些純算術的初等引理即可證明分析的無矛盾性1930年夏天，哥德爾開始研究這個問題，他不理解希爾伯特為什么要直接證明分析的無矛盾性哥德爾認為應該把困難分解：用有限主義的算術證明算術的無矛盾性，再用算術的無矛盾性證明分析的無矛盾性哥德爾由此出發(fā)去證明算術的無矛盾性而得出不完全性定理(2)更高級數(shù)學的無矛盾性特別是選擇公理的無矛盾性這個問題后來被哥德爾在1938年以相對的方式解決(3)算術及分析形式系統(tǒng)的完全性這個問題在1930年秋天哥尼斯堡的會議上，哥德爾已經提出了一個否定的解決這

7、個問題的否定成為數(shù)理邏輯發(fā)展的轉折點(4)一階謂詞邏輯的完全性，這個問題已被哥德爾在1930年完全解決這樣一來哥德爾把希爾伯特的方向扭轉，使數(shù)理邏輯走上全新的發(fā)展道路5哥德爾的三項重大貢獻除了連續(xù)統(tǒng)假設的無矛盾性之外，哥德爾在19291930年證明下面兩大定理：(1)完全性定理：哥德爾的學位論文邏輯函數(shù)演算的公理的完全性解決了一階謂詞演算的完全性問題羅素與懷特海建立了邏輯演算的公理系統(tǒng)及推演規(guī)則之后，數(shù)學家最關心的事就是公理系統(tǒng)的無矛盾性及完全性所謂完全性就是，每一個真的邏輯數(shù)學命題都可以由這個公理系統(tǒng)導出，也就是可證明命題演算的完全性已由美國數(shù)學家波斯特(EPost，18971954)在19

8、21年給出證明而一階謂詞演算的完全性一直到1929年才由哥德爾給出證明(2)不完全性定理：這是數(shù)理邏輯最重大的成就之一，是數(shù)理邏輯發(fā)展的一個里程碑和轉折點哥德爾證明不完全性定理是從考慮數(shù)學分析的無矛盾性問題開始的1930年秋在哥尼斯堡會議上他宣布了第一不完全性定理：一個包括初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，如果是無矛盾的，那就是不完全的不久之后他又宣布：如果初等算術系統(tǒng)是無矛盾的，則無矛盾性在算術系統(tǒng)內不可證明哥德爾的不完全定理造的是一個不自然的數(shù)論問題，數(shù)學家一直希望在一階皮亞諾算術中找到一個數(shù)學表述既簡單又有趣的數(shù)論問題，就像哥德巴赫猜想或費馬大定理來說明算術的不完全性這一直到1977年才由巴黎斯(JP

9、aris)等人造出，這更加證明希爾伯特綱領是不可能實現(xiàn)的6哥德爾以后的數(shù)理邏輯哥德爾的不完全性定理從根本上動搖了數(shù)學的基礎，它指出絕對的無矛盾性的證明是不可能實現(xiàn)的，數(shù)學家只能限制自己的領域及要求數(shù)理邏輯也成為一個專門的學科，它分成四大分支：證明論、遞歸論、公理集合論及模型論，它們都在30年代發(fā)展起來證明論仍然繼續(xù)希爾伯特綱領，但不得不放寬有限主義的條件其中最主要的成就是根岑(GGentzen，19091945)在1934年用超窮歸納法證明自然數(shù)算術的無矛盾性遞歸論也奠定基礎，1935年克林尼(S.Kleene，19091994)定義一般遞歸函數(shù)，1936年圖林(ATuring，1912)提出

10、圖林機概念同年車爾赤(AChurch1903)提出車爾赤論點：任何有效可計算函數(shù)均等價于一般遞歸函數(shù)遞歸論與數(shù)學關系至為密切，它不僅為計算機科學奠定基礎，同時一系列判定問題則直接涉及數(shù)學基本問題：如群的基本問題是問什么時侯兩個群同構，對于有限表出群是1908年提出的，到50年后，蘇聯(lián)數(shù)學家阿其揚(CA，)在1957年及以色列數(shù)學家拉賓(MORabin，)在1958年獨立證明這問題是不可解的在這個基礎上，小馬爾科夫(AAMapkoB，19031979)證明拓撲學的基本問題同胚問題也是不可解的，1970年最終證明希爾伯特第十問題是不可解的模型論首先是處理真假問題，它指出一系列命題在某些模型下為真，

11、而在另外模型下非真其次它構造一批非標準模型1934年斯科侖(TSkolem，18871968)給出整數(shù)的非標準模型，1961年魯賓遜(ARobinson，19181974)提出非標準分析，使萊布尼茨的無窮小合法化，創(chuàng)立了非標準數(shù)學 二、抽象代數(shù)學 代數(shù)學與拓撲學是現(xiàn)代數(shù)學的兩大部門它們構成現(xiàn)代數(shù)學的基礎與核心沒有代數(shù)學和拓撲學，現(xiàn)代數(shù)學(除了那些較為孤立的、相對地講不太重要的學科)可以說寸步難行抽象代數(shù)學或近世代數(shù)學是在20世紀初發(fā)展起來的19301931年范德瓦爾登(BLvander Waerden，1903)的近世代數(shù)學(Moderne Algebra)一書問世，在數(shù)學界引起轟動，由此之后

12、，抽象代數(shù)學或近世代數(shù)學成為代數(shù)學的主流，不久之后也就理所當然地把“抽象”及“近世”的帽子甩掉，堂爾皇之成為代數(shù)的正統(tǒng)范德瓦爾登的書至今仍然是代數(shù)學的模式它是根據(jù)德國女數(shù)學家E諾特(ENoether，18821935)和德國數(shù)學家阿廷(EArtin，18981962)的講義編寫而成，在精神上基本來源于他們兩位，特別是諾特，被公認為“近世代數(shù)學之母”在諾特之前，不少大數(shù)學家都對近世代數(shù)學有過這樣或那樣的貢獻，但是這種與經典代數(shù)學迥然不同的思想主要來源于戴德金和希爾伯特，戴德金不僅引進大多數(shù)抽象代數(shù)觀念如理想、模、環(huán)、格等，而且初步研究它們的結構及分類，而希爾伯特的抽象思維方式及公理方法則對現(xiàn)代整

13、個數(shù)學都有舉足輕重的影響抽象代數(shù)學的研究對象與研究目標與經典代數(shù)學有著根本的不同：經典代數(shù)學的主要目標是求解代數(shù)方程和代數(shù)方程組，而抽象代數(shù)學的目標則是研究具有代數(shù)結構的集合的性質，刻劃它們并加以分類，這些對象是用公理定義的1域論從古代起，人們就已經熟悉有理數(shù)和它們的運算加法和乘法這些運算滿足加法交換律和加法結合律，乘法交換律和乘法結合律，以及分配律，而且對于加法存在零元素(0)及逆元素(倒數(shù))所有有理數(shù)的集合是人們最早認識的具體的域，后來也知道實數(shù)集合、復數(shù)集合同樣滿足上述公理，它們也是城除了這些最熟悉的域之以，在19世紀研究得最多的域是代數(shù)數(shù)域，這些都是含有無窮多元素的數(shù)域有沒有有限多個元

14、素的域呢？1830年伽羅瓦已知有有限多個元素的域(后來被稱為伽羅瓦域)，其元素被稱為伽羅瓦虛數(shù)，它們滿足pa0，其中p是一個素數(shù)，p稱為域的特征伽羅瓦曾具體證明，在一個特征為p的伽羅瓦域中，元素個數(shù)是p的一個冪如在當時的情況一樣，伽羅瓦所作的一切都是有具體表示的到19世紀末，人們知道其他域的例子還有有理函數(shù)域及代數(shù)函數(shù)域從整體結構上對域進行考察始自戴德金及克羅內克對代數(shù)數(shù)域的研究(從1855年起)但抽象域的觀念則來自德國數(shù)學家韋伯(HWeber，18421913)，他的思想來自抽象群的觀念后來美國數(shù)學家狄克遜(LEDickson，18741954)及亨廷頓(EVHuntington，18741

15、952)給出域的獨立的公理系統(tǒng)在韋伯的影響下，德國數(shù)學家施泰尼茨(ESteinitz，18711928)在1910年發(fā)表域的代數(shù)理論一文，為抽象域論奠定了基礎他把域分為兩種類型：一種是特征為p的域，也即對所有元素a滿足pa0的域，它們一定包含最小的城(稱為素域)，最小的域一定是只含p個元素的伽羅瓦域另一種是不存在這種p的域，稱為特征0，其素域一定是有理數(shù)域不管域屬于哪一種類型，任何域均可由素域添加一些新元素“擴張”而成所以域的根本問題是研究域的擴張他對擴張進行了分類，其中主要的一類是添加系數(shù)在原域中的多項式的根后所得的擴張(代數(shù)擴張)當一個域通過代數(shù)擴張不能再擴大時稱為代數(shù)封閉域施泰尼茨證明，

16、每個域均有唯一的代數(shù)封閉域特別他還對特征p一般域脅許多特殊性質如不可分性、不完全性進行研究關于抽象有限域，已經有了相當完整的結果：1893年美國數(shù)學家莫爾(EHMoore，18621932)證明，任何一有限域必定與某一個伽羅瓦域同構反過來，對于任意素數(shù)p和正整數(shù)a，必定存在唯一一個伽羅瓦域，具有pa個元素有限域理論在數(shù)論、編碼理論、組合理論及數(shù)理統(tǒng)計等方面有著許多應用在域論中引進p進域是一個重大成就德國數(shù)學家亨澤爾(KHensel，18611941)在1908年出版的代數(shù)數(shù)論(Theorie der algebraischen Zahlen)中系統(tǒng)闡述了p進數(shù)，他對這種數(shù)規(guī)定了加、減、乘、除四

17、種基本運算，構成一個域稱p進域，而它是有理數(shù)域的一個完備化，如同實數(shù)域一樣但是與實數(shù)域性質的一個很大的不同是實數(shù)域具有阿基米德性質，也就是對任何兩個實數(shù)a，b總存在一個正整數(shù)n，使nabp進域雖然也有一個自然的順序，但卻沒有阿基米德性質p進數(shù)域是一種“局部”域，在它里面也可定義整數(shù)及代數(shù)數(shù)，它的建立大大有助于數(shù)論的發(fā)展亨澤爾之后，抽象賦值論得到發(fā)展，在代數(shù)數(shù)論及代數(shù)幾何學上有著重要應用抽象理論的建立不僅使已有的零散知識系統(tǒng)化，而且有助于許多問題的解決，1927年阿廷解決希爾伯特第17問題就是靠他引進抽象的實域(他稱為形式實域)實域k是把實數(shù)域的一個特性抽象化：即-1不能表示為k中元素的平方和通

18、過這個概念，他證明“任何正定有理函數(shù)都可表示為有理函數(shù)平方和”2環(huán)論環(huán)的概念原始雛型是整數(shù)集合它與域不同之處在于對于乘法不一定有逆元素抽象環(huán)論的概念來源一方面是數(shù)論，整數(shù)的推廣代數(shù)整數(shù)具有整數(shù)的許多性質，也有許多不足之處，比如唯一素因子分解定理不一定成立，這導致理想數(shù)概念的產生戴德金在1871年將理想數(shù)抽象化成“理想”概念，它是代數(shù)整數(shù)環(huán)中的一些特殊的子環(huán)這開始了理想理論的研究，在諾特把環(huán)公理化之后，理想理論被納入環(huán)論中去環(huán)的概念的另一來源是19世紀對數(shù)系的各種推廣這最初可追溯到1843年哈密頓關于四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)他的目的是為了擴張用處很大的復數(shù)它是第一個“超復數(shù)系”也是第一個乘法不交換的線性結合

19、代數(shù)它可以看成是實數(shù)域上的四元代數(shù)不久之后凱萊得到八元數(shù)，它的乘法不僅不交換，而且連結合律也不滿足，它可以看成是第一個線性非結合代數(shù)其后各種“超復數(shù)”相繼出現(xiàn)1861年，魏爾斯特拉斯證明，有限維的實數(shù)域或復數(shù)域上的可除代數(shù)，如滿足乘法交換律，則只有實數(shù)及復數(shù)的代數(shù)(1884年發(fā)表)1870年戴德金也得出同樣結果(1888年發(fā)表)1878年弗洛賓尼烏斯(FGFrobenius，18491917)證明實數(shù)域上有限維可除代數(shù)只有實數(shù)、復數(shù)及實四元數(shù)的代數(shù)1881年小皮爾斯也獨立得到證明1958年用代數(shù)拓撲學方法證明，實數(shù)域上有限維可除代數(shù)，連非結合可除代數(shù)也算在內，只有1，2，4，8這四種已知維數(shù)可

20、見實數(shù)域及復數(shù)域具有獨特的性質關于域上線性結合代數(shù)的研究在19世紀末處于枚舉階段，1870年老皮爾斯(BPeirce，18091880)發(fā)表線性結合代數(shù)，列舉6維以下的線性結合代數(shù)162個他還引進冪零元與冪等元等重要概念為后來的結構理論奠定基礎1898年、嘉當(ECartan)在研究李代數(shù)的結構基礎上，對于結合代數(shù)進行類似的研究，1900年，德國數(shù)學家摩林(TMolien，18611941)征明，復數(shù)域上維數(shù)2的單結合代數(shù)都與復數(shù)域上適當階數(shù)的矩陣代數(shù)同構線性結合代數(shù)的結構定理是1907年由美國數(shù)學家魏德本(JHMWedderburn，18821948)得出的：線性結合代數(shù)可以分解為冪零代數(shù)及

21、半單代數(shù)，而半單代數(shù)又可以表示為單代數(shù)的直和單代數(shù)可表為域上可除代數(shù)的矩陣代數(shù)這樣結合代數(shù)就歸結為可除代數(shù)的研究可除代數(shù)有著以下的結果1905年魏德本證明：有限除環(huán)都是(交換)域，也即伽羅瓦域當時除了伽羅瓦域及四元數(shù)之外，不知道有別的除環(huán)20世紀雖然發(fā)現(xiàn)了一些新的除環(huán)，但除環(huán)的整個理論至今仍不完善從線性結合代數(shù)到結合環(huán)的過渡是阿廷完成的1928年，阿廷首先引進極小條件環(huán)(即左、右理想滿足降鍵條件的環(huán)，后稱阿廷環(huán))，證明相應的結構定理對于半單環(huán)的分類，雅可布孫(N.Jacobson，1910)創(chuàng)立了他的結構理論他認為對任意環(huán)均可引進根基的概念，而對阿廷環(huán)來說，根基就是一組真冪零元對于非半單的阿廷

22、環(huán)(主要出現(xiàn)于有限群的模表示中)，如福洛賓尼烏斯代數(shù)及其推廣也有許多獨立的研究而與阿廷環(huán)對應的是諾特環(huán)，對于有么無的環(huán)，秋月康夫(19021984)及霍普金斯(CH opkins)證明阿廷環(huán)都是諾特環(huán)對于諾特環(huán)，卻長期沒有相應的結構理論一直到1958年英國數(shù)學家戈爾迪(AWGoldie)才取得突破，他證明任何諾特半素環(huán)都有一個阿廷半單的分式環(huán)，這才促進了新研究與諾特環(huán)平行發(fā)展的是滿足多項式等式的環(huán)近來環(huán)表示論及同調方法的應用對結合環(huán)理論有極大促進環(huán)論的另一來源是代數(shù)數(shù)論及代數(shù)幾何學及它們導致的交換環(huán)理論1871年戴德金引進理想概念，開創(chuàng)了理想理論環(huán)這個詞首先見于希爾伯特的數(shù)論報告代數(shù)幾何學的研

23、究促使希爾伯特證明多項式環(huán)的基定理在本世紀初英國數(shù)學家臘斯克(ELasker，18681941)及麥考萊(FSMacaulay，18621937)對于多項式環(huán)得出分解定理對于交換環(huán)的一般研究來源于E諾特她對一般諾特環(huán)進行公理化，證明準素分解定理從而奠定交換環(huán)論乃至抽象代數(shù)學基礎，其后克魯爾(WKrull，18991971)給出系統(tǒng)的研究，他還引進了最值得注意的局部環(huán)四十年代，薛華荔、柯恩(ISCohen，19171955)及查瑞斯基(OZariski，18991986)對局部環(huán)論進行了系統(tǒng)的研究3群論19世紀末抽象群開始成為獨立研究的對象，當時主要問題仍是以置換群為模式的有限群，問題涉及列舉給

24、定階數(shù)的所有群以及群的可解性的判據(jù)當時主要的定理是由挪威數(shù)學家西洛(LSylow，18321918)在的而19世紀90年代群論最主要成就是群表示論的出現(xiàn)，它是由德國數(shù)學家福洛賓尼烏斯奠定的后由他的學生舒爾(ISchur，18751941)所發(fā)展，成為研究群論不可缺少的工具所謂群表示即是把群具體實現(xiàn)為某種結構的自同構群，例如域F上的有限維線性空間的線性變換群，通常是把群的元素與F上的nn可逆矩陣相對應在英國數(shù)學家伯恩塞德(WBurnside，18521927)的經典著作有限階群論(Theory of Groups of Finite Order)第二版(1911)已經進行綜述并給出應用20世紀有

25、限群論的中心問題是有限單群的分類很久以來，就已經知道一個相當長的有限單群的表，除了素數(shù)階循環(huán)群之外，對于每一個整數(shù)n5存在一個n！/2階單群，它由n個事物的所有偶置換構成，這就是所謂交錯群當n=5時，它就是二十面體群另外還知道許多射影特殊線性變換群PSL(n，q)，它們通過行列式為1的nn矩陣群(元素取在有限域GL(q)中)的商群構造出來另外對于正交矩陣、辛矩陣、酉矩陣也可以造出一批單群來這些“典型群”，從若爾當時候起就已知道，后來經過美國數(shù)學家狄克遜、荷蘭數(shù)學家范德瓦爾登、法國數(shù)學家丟東涅(JDieudonn，19061992)進行系統(tǒng)研究真正重大的突破是1955年薛華荔在日本東北數(shù)學雜志上

26、發(fā)表的“論某些單群”的論文，這篇論文的重要性不僅展示一些新單群，而且更重要的是對于以前知道的絕大部分通過李代數(shù)換基的辦法進行統(tǒng)一的處理，從而得出九個系列的薛華荔群其后，這些薛華荔群經過美國數(shù)學家斯坦伯格(RSteinberg，1922)、韓國數(shù)學家李林學、比利時數(shù)學家梯茨(JTits，1930)、日本數(shù)學家鈴木通夫(1926)等人加以擴充，得出全部李型單群的16系列除了上述這18個序列中的有限單群之外，還有幾個不屬于它們的所謂“散在單群”，其中頭一個是7920階的群M11是法國數(shù)學家馬丟(ELMathieu，18351890)在1861年發(fā)現(xiàn)的，他不久又發(fā)現(xiàn)另外4個單群M12，M22，M23，

27、M24一直到1965年之前再沒有發(fā)現(xiàn)新的散在單群了突然1965年南斯拉夫數(shù)學家嚴科(ZJanko，1932)發(fā)現(xiàn)了一個175560階的新單群，其后10年間，陸續(xù)發(fā)現(xiàn)另外20個敬在單群，其中最大的稱為費舍爾(BFischer，1936)“魔群”，其階大約為8.1053，到這時候是否所有單群均已找到，也就是有限單群的分類已經完成了呢？在這條漫長的路上，首先的突破是一系列群論性質及表示論的成果，其中包括1955年布勞爾(RBrauer 19011977)的工作第二個突破是1963年美國數(shù)學家費特(WFeit，1930)和湯姆遜(JGThompson，1932)證明除循環(huán)群之外，奇階群都是可解群，這個

28、長達250頁的論文包括了極其豐富的信息70年代，在群的結構研究上有了新的突破，最終導致1981年，有限單群的分類徹底完成，不過全文需要1萬頁以上，這是各國上百位群論專家通力合作的結果對于無窮階的離散群，也有一些重要的研究，其中重要的是與數(shù)理邏輯有關的“字的問題”，即兩個符號序列何時相等，對于有限生成的具有有限個關系式的群，1955年左右蘇聯(lián)數(shù)學家諾維科夫(CH，19011975)、美國數(shù)學家布里頓(JLBritton)和布恩(WBoone，19201983)證明一般的字的問題是不可解的，也就是不存在一個普遍的算法來判定兩個字是否相等，但是另一方面德國數(shù)學家馬格努斯(WMagnus，1907)在

29、1932年解決一個關系式的有限生成群的字的問題另一個重要的問題是伯恩賽德問題，他問一個有限生成的群如果其所有元素都是有限階的，該群是否有限，這個問題一直到1964年由前蘇聯(lián)數(shù)學家考斯特利金(，1929)舉出例子而得出否定的回答另外還有一個狹義的伯恩賽德猜想，即有限生成群當所有元素x滿足xn0是有限群，現(xiàn)在知道當n2，3，4，6時，狹義伯恩賽德猜想成立，但如果n相當大，諾維科夫和布里頓等人也舉出反例 三、測度與積分理論 測度是長度、面積和體積概念的精密化及推廣各民族數(shù)學發(fā)展一開始均致力于測量長度和面積，得出相應的公式及方法，而統(tǒng)一的求積方法一直到牛頓和萊布尼茨建立微積分之后才得到這時求積問題變成

30、一個特殊的積分問題但積分是一個相當復雜的概念，19世紀由于分析的嚴格化才導致由柯西、黎曼及達布相繼改進的黎曼積分的概念，最后確定下來隨著康托爾點集論的建立，要求對更一般的點集的“大小”進行比較及量度，這要求定義測度先是對黎曼可積性條件中函數(shù)的不連續(xù)點集的“測度”給出定義最早是哈那克(AHarnack，18511888)、杜布瓦瑞芒(Pdu Bois Reymond，18311889)、史托爾茨(OStolz，18421905)及康托爾在1881到1885試著做出定義，他們均采用覆蓋區(qū)間長度的下確界，但是這樣定義有毛病例如，兩個無公共點集的并集的“測度”有時能夠小于兩集的“測度”之和，除了上述定

31、義的“外”測度之外，最先定義“內”測度的是皮亞諾，他在1887年定義“可測”集為內、外測度相等，這樣雖然克服上述困難，但有界開集并不一定可測若爾當在他的分析教程第一卷第二版(1893)中也做了類似的定義，同樣也有類似的毛病對這些毛病的補救來自波萊爾(EBorel，18711956)，他在函數(shù)論教程中大大改進了以前的測度觀念，利用可數(shù)可加性對任一有界開集構造地定義測度他還考慮零測度集(實際上這個觀念可以追溯到黎曼)而真正把波萊爾的方法同皮亞諾若爾當?shù)霓k法結合而形成系統(tǒng)測度論的則是波萊爾的學生勒貝格，這些發(fā)表在他的博士論文積分、長度、面積當中勒貝格的功績不僅在于建立系統(tǒng)的測度理論，更主要的是建立系

32、統(tǒng)的積分理論在勒貝格之前，除了黎曼積分之外，還有斯蒂爾吉斯(TJStieltjes，18561894)積分斯蒂爾吉斯在1894年發(fā)表的“連分式的研究”中證明：如連分式數(shù)F(Z)，F(xiàn)(Z)可表為曼積分對于一般的數(shù)學分析已經足夠，但是還有一系列不理想的地方微積分的基本定理是微分和積分互為逆運算，也就是說如果則導數(shù)F(x)存在，而且等于f(x)，至少在f光滑的點是如此但是1881年沃爾泰拉(VVolterra，18601940)還在比薩大學做學生時，發(fā)現(xiàn)一個例子：一個函數(shù)F在(0，1)區(qū)間上定義有界，其導數(shù)fF處處存在，但是在當時流行的積分黎曼可積的意義是不可積的因此，需要定義一種積分，它可以在更廣

33、的一類函數(shù)上定義，而且使微分和積分成為互逆的運算另外對這種積分還希望收斂級數(shù)可以逐項積分勒貝格在他的1902年學位論文中邁出新的一步，他定義勒貝格積分與以前定義積分的方式不同，以前是先定義積分，然后由積分得到“測度”，勒貝格與此相反，他先定義測度，然后定義積分他定義積分時，不去把自變量的區(qū)間加以區(qū)分，而把因變量y的區(qū)間(對于實函數(shù)來說是R的子集)加以重分(成有限個區(qū)間)，再仿照通常的辦法定義積分，這樣就可以使一些很壞的函數(shù)也成為勒貝格可積的，最明顯的例子就是狄利克雷函數(shù)這樣，大大擴充了可積函數(shù)的范圍另外如果勒貝格可積函數(shù)同時也黎曼可積，則兩個積分相等并且與一些極限運算可以交換，而且可以推廣到高

34、維勒貝格積分雖然能解決沃爾泰拉原來的問題，但并不足夠一般以致能夠使所有具有有限導數(shù)f(x)F(x)的函數(shù)F(x)的導數(shù)f(x)=F(x)都可積為此，法國數(shù)學家當日瓦(ADenjoy，18841974)在1912年和德國數(shù)學家佩隆(OPerron，18801975)在1914年分別設計了以他們各自的姓定義的積分其后魯金(HH，18831950)給出描述性定義，這三者是等價的1915年法國數(shù)學家弗雷歇把積分擴張到抽象集合的泛函上他的模式取自1913年奧地利數(shù)學家拉東(JRadon，18871956)的工作，其中引進集函數(shù)他實際上綜合了斯蒂爾吉斯積分與勒貝格在1910年把勒貝格測度論推廣到高維(三維

35、及三維以上)歐氏空間的研究勒貝格通過可測函數(shù)的積分定義一個集函數(shù)，證明它是完全可加的而且絕對連續(xù)的不過他只有點函數(shù)觀念，而拉東則利用集函數(shù)定義拉東測度1930年波蘭數(shù)學家尼古丁(ONikodyn，18871974)對抽象測度論完成了1910年勒貝格定理在抽象測度論的推廣，最終完成抽象測度論的建立它不僅構成概率論的基礎，同時也是抽象調和分析、譜理論等分支不可少的前提 四、泛函分析 泛函分析是一門新興學科，1932年才被正式列入德國數(shù)學文摘“泛函分析”這個詞首先出現(xiàn)于列維(PLvy，18861971)的1922年出版的泛函分析教程中它是一門分析學科，但與傳統(tǒng)的分析學科不太一樣，后者強調演算，而前者

36、強調概念它們的對象也有所不同，后者主要討論個別函數(shù)(類)的性質，而前者主要討論函數(shù)空間及其上算子的集合，特別是其上的拓撲、代數(shù)及序結構不過很難說它有一個統(tǒng)一的對象及目標泛函分析大致可分為四大塊：一是函數(shù)空間理論，從希爾伯特空間、巴拿赫空間到一般拓撲線性空間的理論二是函數(shù)空間上的分析，這是最先發(fā)展的一部分，即所謂泛函演算三是函數(shù)空間之間的映射及算子理論，發(fā)展最成熟的是希爾伯特空間中的線性算子理論四是算子(或函數(shù))集合的代數(shù)結構，如巴拿赫代數(shù)、馮諾伊曼代數(shù)、C*代數(shù)以及算子半群等理論泛函分析的來源可以追溯到18世紀變分法的產生正如微積分研究函數(shù)的極值一樣，變分法研究函數(shù)集(空間)上的函數(shù)泛函的極值

37、而泛函分析的直接推動力則是19世紀末興起的積分方程的研究它導致線性泛函分析的誕生泛函分析的發(fā)展可分三個時期：第一階段是創(chuàng)始時期，大約從19世紀80年代到20世紀20年代開始是意大利一些數(shù)學家引進泛函演算，特別是他們引進原始泛函以及線性算子的概念后來法國數(shù)學家發(fā)展了泛函演算，這反映在阿達馬(JHadamard)在1897年第一次國際數(shù)學家大會上的報告中他為了研究偏微分方程而考慮了閉區(qū)間0，1上全體連續(xù)函數(shù)所構成的族，發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)構成一個無窮維的線性空間，并于1903年定義了這個空間上的函數(shù)，即泛函這些還只是具體的結果法國數(shù)學家弗雷歇利用當時的集合論觀念把前人的結果統(tǒng)一成為一個抽象的理論，他把他們

38、的共同點歸納起來而且加以推廣：(1)把函數(shù)或曲線看成一個集合或空間中的點不妨把它們看成一個抽象集合(2)點列的極限概念也可以推廣，這樣有極限概念的集合他稱為L空間，這是后來拓撲空間的萌芽(3)集合上可以定義取值在實數(shù)里的實函數(shù)，即泛函由于有了極限概念，就可以定義泛函的連續(xù)性(4)泛函可以進行代數(shù)運算，也可以進行分析演算，比如微分這樣就成為名符其實的泛函分析了1906年他還在抽象的空間中引進“距離”的觀念，具有歐幾里得空間距離的性質，這種空間就有更豐富的結構大約在弗雷歇同時，希爾伯特對于積分方程進行系統(tǒng)的研究他在前人基礎上，深刻認識積分方程與無窮多變無線性方程組之間的相似性，積分方程的有解性與無

39、窮多變元的收斂性條件有關這樣他實際上得到了具體的希爾伯特空間的理論抽象的希爾伯特空間理論是他的學生施密特(ESchmidt，18761959)得到的他引進實和復的希爾伯特空間的幾何觀念，把函數(shù)看成是平方可積序列的空間(l2空間)的點1907年，匈牙利數(shù)學家黎斯(FRiesz，18801956)等人引進勒貝格平方可積空間(L2空間)，發(fā)現(xiàn)其性質和l2空間相同，兩個月之后，德國數(shù)學家費歇爾(EFischer，18751959)與黎斯(MRiesz，18861969)證明l2空間和L2空間同構，只不過是同一種抽象希爾伯特空間的兩種具體表現(xiàn)而已這也反映出研究抽象空間的重要意義黎斯費歇爾定理也更清楚表明

40、積分理論和抽象空間的泛函之間的緊密聯(lián)系1910年黎斯仿照L2空間研究了Lp空間(1p)就是p次方可積函數(shù)全體構成的空間，后又研究lp空間，它們不是希爾伯特空間，而是巴拿赫(SBanach，18921945)空間他發(fā)現(xiàn)lp上連續(xù)線性泛函全體方面是不可少的工具第二階段泛函分析正式發(fā)展成為一門學科， 1920年到1922年間奧地利數(shù)學家哈恩(HHahn，18791934)，海萊(EHelly，18841943)，維納(NWiener，18941964)和巴拿赫都對賦范空間進行定義并加以研究，海萊還得到所謂哈恩巴拿赫定理但對泛函分析貢獻最杰出的是巴拿赫他進一步把希爾伯特空間推廣成巴拿赫空間，用公理加以

41、刻劃，形成了系統(tǒng)的理論他在1932年出版的線性算子論一書統(tǒng)一了當時泛函分析眾多成果，成為泛函分析第一本經典著作這時泛函分析不僅理論上比較完備，而且在古典分析的應用上起著舉足輕重的作用，其中特別是波蘭數(shù)學家肖德爾(JSchauder，18991940)和法國數(shù)學家勒瑞(JLeray，1906)的不動點理論是現(xiàn)代偏微分方程理論的重要工具他們把微分方程的解看成巴拿赫空間到自身映射的不動點，得出了基本定理，這是現(xiàn)代非線性泛函分析的出發(fā)點1926年馮諾伊曼來到哥丁根大學，當時正是哥丁根物理學與數(shù)學的全盛時代量子力學的產生和抽象代數(shù)、泛函分析的發(fā)展使人們思想空前活躍馮諾伊曼把希爾伯特空間公理化，并把量子力

42、學的數(shù)學基礎建立在泛函分析之上雖然馮諾伊曼的公理的來源可以從維納、外爾和巴拿赫的工作中看到，但馮諾伊曼的工作更為系統(tǒng)，特別是他關于厄米算子的譜理論三十年代末，波蘭數(shù)學家馬祖爾(SMazur，19051981)與蘇聯(lián)數(shù)學家蓋爾范德(.，1913)發(fā)展巴拿赫代數(shù)(賦范環(huán))理論，而且通過抽象方法輕而易舉證明古典分析中的大定理這顯示了泛函分析方法的威力，也論證了泛函分析的獨立存在的價值第三階段是泛函分析的成熟階段從40年代起泛函分析在各方面取得突飛猛進的發(fā)展頭等重要的事是施瓦茲(LSchwartz 1915)系統(tǒng)地發(fā)展了廣義函數(shù)論，它現(xiàn)在已成為數(shù)學中不可缺少的重要工具它的前身就是狄拉克(PDirac，

43、19021984)在量子力學中引進的函數(shù)第二次世界大戰(zhàn)以后，泛函分析取得突飛猛進的發(fā)展：1920年到1940年間所發(fā)展的局部凸向量空間理論的技術在1945年后主要通過沙頓(RSchatten，1911)及格羅登迪克(AGrothendieck，1927)引入拓撲張量積的理論而完成在這個理論的發(fā)展過程中，格羅登迪克引進一種新型的拓撲凸空間一核空間，它在許多方面比巴拿赫空間還接近于有限維空間，并且具有許多卓越的性質，使它在泛函分析及概率論的許多分支中證明是非常有用的巴拿赫時代就提出來的兩個老問題直到1973年才被恩福樓(PEnflo)否定解決掉：他造出一個可分巴拿赫空間，其中不存在(巴拿赫意義下的

44、)基；他還造出一個可分巴拿赫空間的緊算子的例子，它不是有限秩算子(關于緊集上的一致收斂拓撲)的極限1900年到 1930年間由希爾伯特、卡勒曼(TCarleman，18921949)及馮諾伊曼所發(fā)展的希爾伯特空間的算子譜理論由于蓋爾范德及其學派于1941年所創(chuàng)始的巴拿赫代數(shù)理論而大大簡化及推廣但是，這個理論中最有趣的部分仍然是馮諾伊曼代數(shù)的研究馮諾伊曼代數(shù)的研究開始得稍早一些，它和希爾伯特空間中局部緊群的酉表示理論有著非常緊密的聯(lián)系在馮諾伊曼的先驅性文章之后，這些代數(shù)的分類并沒有取得多少進步，特別是相當神秘的“”型因子到1967年，不同構的型因子只知道三個其后，事情開始發(fā)展很快，幾年之內許多數(shù)

45、學家發(fā)現(xiàn)了新的型因子，一直到1972年到達頂點，發(fā)展成一般的分類理論，這個分類理論是建立在富田稔(1924)的思想及康耐(AConnes，1947)定義的新的不變量的基礎上的，康耐的不變量使他解決了馮諾伊曼代數(shù)理論中許多未解決的問題 五、拓撲學 拓撲學是現(xiàn)代數(shù)學的基礎，研究拓撲空間及其間的連續(xù)映射在20世紀初期，分為一般拓撲學(也稱點集拓撲學)及組合拓撲學一般拓撲學討論點集的一般的拓撲性質，如開、閉性、緊性、可分性、連通性等等它們的具體體現(xiàn)可追溯到很久以前，但抽象化的定義則是20世紀的事情最早的拓撲概念在康托爾、拜爾(Baire1874193z)及若爾當?shù)热酥髦幸呀洺霈F(xiàn)，1906年弗雷歇正式

46、提出非度量的抽象空間，同時黎斯也提出“聚點”的公理化定義，然后用它定義鄰域，但真正從鄰域出發(fā)定義拓撲的是豪斯道夫(FHausdorff，18681942)，他在1914年的集論大綱中通過鄰域定義所謂豪斯道夫空間以及開集、閉集、邊界、極限等概念，從而正式形成了一般拓撲學的分支另一種不通過度量定義拓撲的方法是庫拉托夫斯基(CKuratowski，18951980)在1922年提出來的，他用閉包概念定義拓撲1923年，蒂茨(HTietze，18801964)以開集做為定義拓撲的中心概念，現(xiàn)在通用的公理首先是亞歷山大洛夫(，18961982)在1925年提出來的豪斯道夫在他的書的第二版集論中加以總結，

47、使般拓撲學的表述得以確立下來使組合拓撲學成為一個重要的數(shù)學分支的是龐加萊他在1881年到1886年在微分方程定性理論以及后來天體力學的研究中，都有意識地發(fā)展拓撲的思想他從1892年起對拓撲學開始進行系統(tǒng)地研究在1895年到1904年發(fā)表的關于“位置分析”的六篇論文中，他創(chuàng)造了組合拓撲學的基本方法并引進重要的不變量，同調及貝蒂數(shù)(1895)、基本群(1895)、撓系數(shù)(1899)，并進行具體計算他還證明了龐加萊對偶定理的最初形式1904年他提出了著名的龐加萊猜想；單連通、閉(定向)三維流形同胚于球面他有意識地研究兩個閉流形(首先是三維流形)同胚的條件在他的第二篇補充(1900)中，曾猜想如果兩個

48、閉流形的貝蒂數(shù)及撓系數(shù)對應相等，則它們同胚但不久(1904)他自己就舉出反例，因而他進一步把基本群考慮進去1919年美國數(shù)學家亞力山大(J.w.Alexander，18881971)舉出兩種透鏡空間，證明它們貝蒂數(shù)、撓系數(shù)和基本群對應相等，但仍不同胚至今三維流形的同胚問題尚未解決布勞威爾繼龐加萊之后對拓撲學做出突出貢獻，創(chuàng)造單純逼進方法，使拓撲學的證明有了嚴格的基礎1915年亞歷山大證明貝蒂數(shù)及撓系數(shù)的拓撲不變性對偶定理是拓撲不變量之間關系的重要方面，1922年亞力山大證明亞歷山大對偶定理，是對龐加萊對偶定理的重要補充及發(fā)展1930年，列夫希茲(SLefschetz，18841972)證明列夫

49、希茲對偶定理，以上述兩定理為其特殊情形對基本的拓撲不變量加以改造，早在1908年蒂茨的文章中已經開始，他和其他人開始考慮整數(shù)以外的系數(shù)，如模p系數(shù)及有理數(shù)1926年亞歷山大引進Zn系數(shù)1925年底到1926年初，諾特同亞歷山大洛夫等拓撲學家接觸時，曾建議把組合拓撲學建立在群論基礎上，在她的影響下，浩普夫(HHopf，18941971)于1928年定義同調群，但諾特的思想直到以后才逐步為大家了解和接受1935年切赫(ECech，18931960)考慮系數(shù)取在任何交換群中二十年代起，數(shù)學家曾試圖把同調論從流形逐步推廣到更一般的拓撲空間先是維埃陶瑞斯(L.Vietoris，1891)(1927)、亞

50、歷山大洛夫(1928)等人推廣到緊度量空間，繼而切赫推廣到一般拓撲空間(1932)，即所謂切赫同調論同時列夫希茲發(fā)展了奇異同調論這是兩個最重要的同調理論在代數(shù)與幾何的對偶觀念的影響下，許多數(shù)學家在三十年代初提出同調群的對偶觀念上同調群除了同調群和上同調的加法結構外，許多人從各個角度尋找其中的乘法結構，列夫希茲和浩普夫在1930年左右研究流形的交口環(huán)1935年到1938年亞力山大、切赫、惠特尼(HWhitney，19071989)、柯爾莫哥洛夫(，19031987)等人獨立引進復形的上積后來才證明(1952)一般同調不一定有上同調那種自然的乘法上同調具有環(huán)的結構，帶來更多的應用1947年，斯廷洛

51、德(NSteenrod，19101971)定義了平方運算，后來發(fā)展成上同調運算的理論同樣在三十年代，另一個更廣泛的概念同倫產生了同倫觀念的重點由拓撲空間的性質轉移到空間與空間的映射的性質上1895年龐加萊定義的基本群是第一個同倫群其后布勞威爾、浩普夫等人對于球面到球面的映射進行過初步的研究，得出拓撲度的概念尤其是1931年浩普夫映射的發(fā)現(xiàn)促使人們注意連續(xù)映射的研究1932年，切赫在國際數(shù)學家大會上定義了高維同倫群，但未引起注意1933年波蘭數(shù)學家虎爾維茲(WHure- wicz，19041956)對連續(xù)映射進行研究，在19351936年發(fā)表四篇論文，定義了高維同倫群并研究了其基本性質虎爾維茲還

52、定義了倫型的概念，由于當時所知的大多數(shù)拓撲不變量均為倫型不變量，使同倫論的研究有了巨大的推動力1942年列夫希茲的代數(shù)拓撲學問世，標志著組合拓撲學正式轉變?yōu)榇鷶?shù)拓撲學第二節(jié) 老學科的新進展 一、復變函數(shù)論 19世紀數(shù)學上最主要的成就之一是復變函數(shù)論的產生與發(fā)展有人說“19世紀是函數(shù)論的世紀”實際上，19世紀研究的主要是特殊函數(shù)，特別是橢圓函數(shù)及其推廣，以及特殊的應用，尤其是用殘數(shù)演算計算定積分和為繪制地圖而進行的保形變換的研究復變函數(shù)論三個奠基人是柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯，他們各有一套方法和課題，各有自己的追隨者到19世紀末，出現(xiàn)了這三條途徑的融合，形成了統(tǒng)一的復變函數(shù)論，另外，把一般函數(shù)論作

53、為函數(shù)論的主要方向大大擴充了函數(shù)論的研究領域整函數(shù)及亞純函數(shù)理論比多項式復雜的函數(shù)是超越整函數(shù)，n次多項式有n個根，它可以表示為各因子的乘積如果復變元z的復值函數(shù)在所有不等于的點z處全純，則稱f(z)為整函數(shù)當是f(z)的極點，f(z)就是多項式，而不是多項式的整函數(shù)，就是超越整函數(shù)，例如ez，sinz，cosz等魏爾斯特拉斯最先研究一般(超越)整函數(shù)，他在1876年把整函數(shù)表示成典范乘積他還證明，所有復值都是f(z)可以趨于任何復數(shù)值C1879年法國數(shù)學家皮卡(EPicard，18951941)證明了皮卡大定理：每一個超越整函數(shù)f(z)對每一有限值w，最多除了一個之外，都取無窮多次這個定理成

54、為后來值分布理論的出發(fā)點這個可能不取的值稱為例外值，如果我們把也算一個值，則例外值可以有兩個儒利雅(GJulia，18931978)在1919年把皮卡定理加以精密化，他證明，對于超越整函數(shù)，至少存在一個方向，在這個方向的狹窄角域中，皮卡定理也成立，這個方向稱為儒利雅方向比整函數(shù)再稍微復雜一些的函數(shù)是亞純函數(shù)(半純函數(shù))，它在復平面上可以有極點同樣，魏爾斯特拉斯也給出了表示1877年瑞典數(shù)學家米塔格萊夫勒(GMittagLeffler，18461927)給出部分分式的表示：對于亞純函數(shù)，皮卡大定理也成立在經過許多人研究之后，芬蘭數(shù)學家耐凡林那(RNevanlinna，18951980)對于亞純函

55、數(shù)的值分布理論進行了統(tǒng)一的論述他引進了特征函數(shù)T(r)及虧數(shù)等概念，證明了第一、第二定理，使值分布理論成為精致的定量理論 1935年芬蘭數(shù)學家阿爾福斯(LVAhlfors，1907)用拓撲的方法建立了覆蓋面理論，由它不僅可推出耐凡林那理論，而且還得出亞純函數(shù)許多其他結果，由它還明確了例外值個數(shù)2的拓撲意義，它與球面的歐拉示性數(shù)有關其后的值分布理論是本著耐凡林那理論的模式向一般區(qū)域或黎曼面上推廣冪級數(shù)及狄利克雷級數(shù)是應用最多的復變函數(shù)，從19世紀末有著多方面的研究特別是一個冪級數(shù)的收斂圓周成為自然邊界的條件，有各種各樣的缺項定理應用上最常用的是陶伯爾型定理陶伯爾型定理是奧地利數(shù)學家陶伯爾(ATa

56、uber，18661943)給出逆定理成立的條李特爾伍德的陶伯爾型定理推廣到可測函數(shù)，進而證明素數(shù)定理在數(shù)的研究，另外也有相應的陶伯爾型定理，在數(shù)論上有許多應用函數(shù)論一個重要方面是保角映射，其基本定理是黎曼映射定理(1851)它指出單連通區(qū)域之間可通過解析函數(shù)進行保角映射在區(qū)域D內定義的單值解析函數(shù)f(z)，如D內不同兩點映到不同點，稱為單葉函數(shù)單葉函數(shù)理論是保角映射的重要組成部分，在單位圓內單葉函數(shù)族的理論開始于科貝(PKoebe，18821945)單值化問題的研究他于1909年得出畸變定理，畸變定理反映函數(shù)值的某種限界德國數(shù)學家比勃巴赫(LBieberbach，18861982)在1916年推導定量結果時，得出單葉函數(shù)系統(tǒng)理論，同時證明單葉函數(shù)a22，他猜想ann幾十年來，數(shù)學家對所猜想發(fā)表了上千篇論文，研究了各種方法，特別方程，