1、第十一章全等三角形及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形； 兩個(gè)全 等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。 互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合 的角叫對(duì)應(yīng)角。2,全等三角形的表示方法：若4ABC和AA B C是全等的三角形，記作“ ABCA B C其中，“0”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的 字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。3,全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；4,尋找對(duì)應(yīng)元素的方法(1)根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角； 以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn) 為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，

2、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫(xiě)在 對(duì)應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的元素。(2)根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；(3)通過(guò)觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過(guò)下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。翻折如圖(1), BOC2 EOD BOCM以看成是由 EOD&直線A01折180 得到的；旋轉(zhuǎn)如圖(2), CO犀 BOA COM以看成是由 BOA繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180 得到的；平移如圖(3), DE/ ACB DEFW以看成是由 ACBft CB方向平行移動(dòng)而 得到的。5

3、 .判定三角形全等的方法：(1)邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理(2)推論：角角邊定理6 .注意問(wèn)題：(1)在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；(2)不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a:三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即 AAA b :有兩 邊和其中一角對(duì)應(yīng)相等，即SSA全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的 工具。在平面幾何知識(shí)應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移 動(dòng)圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識(shí)?！痉诸?lèi)解析】全等三角形知識(shí)的應(yīng)用(1)證明線段(或角)相等【例 11 如圖，已知 AD=AE,AB=AOffi: BF=FC分析：由已

4、知條件可證出A AC堂A ABE而B(niǎo)F和FC分別位于A DB林口 EFC 中，因此先證明A AC* A ABE再證明A DB/ ECF既可以得到BF=FC.證明：在A ACDffi A ABE中，A AE=ADY / A= / AL AB=AC. . A AC* A ABE (SAS) . ZB=Z C (全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)又 v AD=AE,AB=AC.AB -AD=AC- AE即 BD=CE在 A DBW A ECF中B=/ CJ / BFD= ZCFE (對(duì)頂角相等) BD=CE ADB/ A ECF (AAS. BF=FC (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)(2)證明線段平行【例2】已知：如

5、圖，DEL AC, BF AC垂足分別為 E、F, DE=BF AF=CE. 求證：AB/ CD分析：要證AB/ CD需證/ C= /A,而要證/ C= /A,又需證A AB售A CDE. 由已知 BF AC, DEL AC,知 / DE（C= B BFA=90 ,且已知 DE=BF AF=CE顯然證 明A AB售A CD舔件已具備，故可先證兩個(gè)三角形全等，再證/ C= /A,進(jìn)一步 證明 AB/ CD.證明：: DEL AC BF AC （已知）丁. / DEC= / BFA=90（垂直的定義）在AABF與ACDE中，A AF=CE （已知）4 ZDEC = Z BFA（已證）I DE=BF

6、 （已知） AAB售 A CDE（SAS. /C= /A （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）. AB / CD （錯(cuò)角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段 相等【例3】如圖，在 ABC中，AB=AC延長(zhǎng)AB至ij D,使BD=AB取AB的中點(diǎn) E,連接CD和CE.求證：CD=2CE分析：（i ）折半法：取CD中點(diǎn)F,連接BF,再證A CEBi A CFB這里注意利用BF 是A ACDfr位線這個(gè)條件。證明：取CD中點(diǎn)F,連接BF1 . BF=2 AC,且BF/ AC （二角形中位線定理） /AC氏/2 （兩直線平行錯(cuò)角相等）又 = AB=AC /AC氏

7、/3 （等邊對(duì)等角） /3=/2在 A CEBf ACFB中，BF=BE * Z3=Z2-CB=CB ACEB A CFB （SAS）1. ce=cf=2 cd （全等二角形對(duì)應(yīng)邊相等）即 CD=2CE（ii）加倍法證明：延長(zhǎng)CE至ij F,使EF=CE連BF.在 A AECW ABEF中， AE=BE* Z1 = Z2 （對(duì)頂角相等） AE （三角形兩邊之和大于第三邊）AB + AO 2AD （等量代換）說(shuō)明：一般在有中點(diǎn)的條件時(shí)，考慮延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形。5 .分析：由于 BD與CG分別在兩個(gè)三角形中，欲證 BD與CGK等，設(shè)法證 CGE2 BDF 由于全等條件不充分，可先證 AE8

8、ACFB證明：在 RtAAECf RtACFEI,. ACU CB, AEE CDT E, BF, C交 CD的延長(zhǎng)線于 F /AE生 ZCFB= 900又/AC氏90 . ZCAE= 90 /AC白 /BCF Rt AAECCiRtACFB .CE= BF在 RtBFD與 RtEG, /F=/GE於 90 , CE= BF,由/FBA 90 / FD艮 900 / CDN /EC。 Rt ABFtDlRtACEG. BD= CG第十二章軸對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)一：軸對(duì)窗及有關(guān)柢念1 .如果一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分能完全重合，那么就稱這樣的圖形為軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱軸。這

9、時(shí)，我 們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（或軸）對(duì)稱。2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過(guò)去，如果它能夠和另一個(gè)圖形完全重合， 那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸。兩個(gè)圖形中經(jīng)過(guò)翻折之 后互相重合的點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn)。注意：1、一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條；2、兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的概念，前提不一樣，前者是兩個(gè)圖形，后 者是一個(gè)圖形。3、成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形不僅大小、形狀一樣而且與位置有關(guān)。題型一：軸對(duì)稱圖形的判斷【例1】如圖，我國(guó)主要銀行的商標(biāo)設(shè)計(jì)基本上都融入了中國(guó)古代錢(qián)幣的圖案, 下圖中我國(guó)四大銀行的商標(biāo)圖案中軸對(duì)稱圖形的是 （）。頷（ A.B.（C .分析：圖形

10、沿一條直線折疊-相互重合-舉一反三：1、卜列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（A . 角形C.線段2、卜列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A.兩條相交直線B.叁C.有公共端點(diǎn)的兩條相等線段D. 有，3、下列英文字母屬于軸對(duì)稱圖形的是（A NB、SC、L4、下列說(shuō)法中，正確的是（）A.兩個(gè)全等三角形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形B.直角三角形一定是軸對(duì)稱圖形C.軸對(duì)稱圖形是由兩個(gè)圖形組成的D.等邊三角形是有二條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形 D.軸對(duì)稱圖形判斷）B . 等邊三角D.不等邊三角形三段公共端點(diǎn)的兩條不相等線段）D、E題型二：找軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸【例2】等腰三角形的對(duì)稱軸 條.舉一反三：1、下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（

11、）（1）軸對(duì)稱圖形只有一條對(duì)稱軸，（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是一條線段，（3） 兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這兩個(gè)圖形是全等圖形，（4）全等的兩個(gè)圖形一定成軸對(duì)稱，（5）軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，而軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形而言。（A） 1 個(gè)（B） 2 個(gè)（C） 3 個(gè)（D） 4 個(gè)2、軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)（）（A）只有一條（B） 2條（C） 3條（D）至少一條3、正五角星的對(duì)稱軸的條數(shù)是（）A . 1 條B . 2 條C . 5條D. 10條4、下列圖形中有4條對(duì)稱軸的是（）A.平行四邊形B.矩形C.正方形D .菱形常見(jiàn)圖形及其對(duì)稱軸：名稱是否是軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸有幾條對(duì)稱軸的位置線段是2條垂直平分線或線段所

12、在的直線角是1條角平分線所在的直線長(zhǎng)方形是2條對(duì)邊中線所在的直線正方形是4條對(duì)邊中線所在的直線和對(duì)角線 所在的直線圓是無(wú)數(shù)條直徑所在的直線平行四邊形不是0條軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形區(qū) 別指兩個(gè)圖形而百；指兩個(gè)圖形的一種形狀與位置關(guān)系。對(duì)一個(gè)圖形而百；個(gè)圖形的特殊形狀。聯(lián) 系都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，就世個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過(guò)來(lái)，把 軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩音B分,這兩部分關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。如識(shí)點(diǎn)二：線段的垂直平分線1、線段垂直平分線的概念：(1)垂直于一條線段，并平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線；(2 )線段的垂直平分線可以看做和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離

13、相等的所有點(diǎn)的集合。2、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等。3、線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。注意：(1) “線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等”的作用是：證明兩 條線段相等；(2 ”到段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。”的作用是：判 定一點(diǎn)在線段的垂直平分線上；(3) “如果到兩點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么，這兩點(diǎn)所在直線是該線段的垂直平分線?！钡淖饔檬牵捍怪逼椒志€的判定。題型一:線段垂直平分線的性質(zhì)【例3】 如圖1,在 ABC中，已知AC=27 AB的垂直平分線交

14、 AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E, BCE勺周長(zhǎng)等于50,求BC的長(zhǎng).圖-1點(diǎn)評(píng)：此題是 ABC中一邊AB的垂直平分線AC相交；那么當(dāng)AB的垂直平分線與 BC相交時(shí)，(如圖2),對(duì)應(yīng)的是 ACE勺周長(zhǎng)，它的周長(zhǎng)也等于AC+BC圖形變化, 但結(jié)論不變.圖-2舉一反三：1、如圖1,在4ABC中，AB的垂直平分線交 AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若/ BEC=70 , 貝 U / A=點(diǎn)評(píng)：此題變式求角的計(jì)算方法，應(yīng)用了兩個(gè)定理.按照同樣的方法，圖2中也能 得出相應(yīng)的結(jié)論：/ AEC=Z B.【例4】如圖3,在 ABC中，AB=AC, BC=12/BAC =120 ,AB的垂直平分線交AENBC邊于點(diǎn)E, A

15、C的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.(1)求AEN勺周長(zhǎng).(2)求/EAN勺度數(shù).判斷AEN勺形狀.舉一反三：1 .如圖4,在zABC中，AB=AC, BC=12,/BAC =130 ,AB的垂直平分線交 BC邊 于點(diǎn)E, AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.(1)求4AEN勺周長(zhǎng).(2)求/EAN勺度數(shù).判斷4人沖勺形狀.2 .如圖，己知AB=ACDE垂直平分AB交AG AB于 D E兩點(diǎn)，若AB=12cmBC=10cm, Z A=490 ,求BCE勺周長(zhǎng)和/ EBC的度數(shù).【例5】如圖，D是線段AR BC的垂直平分線的交點(diǎn)，若/ ABC= 50求/ADC1 .如圖，ABC, DE垂直平分 AC交 A

16、B于 E, /A=30 , / ACB=80 ,求 / CBE2 .如圖，ABCT一點(diǎn)D,且D為直線AR AC垂直平分線的交點(diǎn), 若 / DAB=20 , D DAC=30 ,貝U/ BDC勺大小是（）A. 100B . 800 C . 70D . 50題型二:線段垂直平分線的判定【例6】如圖所示，RtABC中，D是AB上一點(diǎn)，BD=BC過(guò)D作AB的垂線交ACE于點(diǎn)E, CD交BE于點(diǎn)F。求證：BE垂直平分CD (用定義法和判定定理法兩種 方法)【經(jīng)典例題回顧】現(xiàn)在你有什么更加簡(jiǎn)潔的證明過(guò)程嗎?【例7】 如圖，在 ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，A葉分/ BAC且DEL AB于 點(diǎn)E, DF!

17、AC于點(diǎn)F,連接EF交AD于點(diǎn)G,求證：AD直平分EF。a如圖所示，ABAC A的平分線與BC的垂直平分線相交于 D,自D作DE AB于E, DF ACTF ,求證：bf=cg如識(shí)點(diǎn)三：軸對(duì)稱與擷摘的性舞A/* 1、軸對(duì)稱的性質(zhì)：(1)關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形是全等形；(2 )如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；(3)兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交， 那么交點(diǎn) 在對(duì)稱軸上；(4)如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。2、軸對(duì)稱作(畫(huà))圖：(1 )畫(huà)圖形的對(duì)稱軸(2 )如果一個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱

18、點(diǎn)之間的線段的垂直平分線就是 該圖形的對(duì)稱軸。(3)畫(huà)某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法(4)畫(huà)已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形注意：(1)全等的圖形不一定是軸對(duì)稱的，軸對(duì)稱的圖形一定是全等的。(2)性質(zhì)(4)的作用是判定兩個(gè)圖形是否關(guān)于某直線對(duì)稱，它是作對(duì)對(duì)稱圖 形的主要依據(jù)。例8如圖，A A AB(C A AABC和A A B C關(guān)于直線對(duì)稱，下列結(jié)論中:直線BC和BC的交點(diǎn)不一定在l上，正確的有（A, 4個(gè)個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1舉一反三:1、如圖,A ABCt AB/C關(guān)于直線l對(duì)稱，則/B的度數(shù)為（A.50i2、如圖六邊形ABCDE是軸對(duì)稱圖形，CF所在的直線是它白對(duì)稱軸，若/ AFC+

19、/BCF=150 ,貝U/AFE吆 BCD勺大小是（）.A. 150B. 300C. 210D. 3300B C;/ BAC 9 / B AC; l 垂直平分 CC ;【例9】如圖，點(diǎn)P在/AOB點(diǎn)M N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)、BO的對(duì)稱 點(diǎn)，若 PEF的周長(zhǎng)為15,【知識(shí)精讀】（-）等腰三角形的性質(zhì)1 .有關(guān)定理及其推論定理：等腰三角形有兩邊相等;定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）。推論1:等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等 腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2:等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。等腰三角

20、形 是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；2 .定理及其推論的作用等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。 等腰三角形底邊上的 中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等， 兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定1 .有關(guān)的定理及其推論定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě) 成”等角對(duì)等邊”。）推論1:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論2:有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形。推論3:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30 ,

21、那么它所對(duì)的直角邊等 于斜邊的一半。2 .定理及其推論的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相 等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)， 是本節(jié)的重點(diǎn)。3 .等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰 三角形問(wèn)題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半， 所以常通過(guò)它來(lái)證明 線段或角的倍分問(wèn)題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊 上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平 分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來(lái)定?！痉诸?lèi)解析】【例1】

22、如圖，已知在等邊三角形 ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一 點(diǎn)，且CE= CD DML BC,垂足為 M 求證：M是BE的中點(diǎn)。分析：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DMLBC,所以想到連結(jié)BD證B況ED因?yàn)?ABC等邊三角形，/ DBE= 1 / ABC而由CE= CD又可證/ E= - Z ACB 22所以/ 1 = / E,從而問(wèn)題得證。證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)2又因?yàn)镃E= CD所以/ CDM / E所以 / 1 = 1 /ABC所以/ AC氏2/E所以BA BE,又DML BC,垂足為M所以M是BE的中點(diǎn)（等腰三角形三線合一定理）【例 2如圖，已知： AB

23、C中，AB AC , D是 BC上一點(diǎn)，且 AD DB, DC CA ,求 BAC 的度數(shù)。分析：題中所要求的 BAC在 ABC中，但僅靠AB AC是無(wú)法求出來(lái)的。 因此需要考慮AD DB和DC CA在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角 形，構(gòu)成了外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角關(guān)系定理 來(lái)求。解：因?yàn)锳B AC ,所以 B C因?yàn)锳D DB ,所以 B DAB C;因?yàn)镃A CD ,所以 CAD CDA （等邊對(duì)等角）而 ADCBDAB所以 ADC 2 B, DAC 2 B所以 BAC3B又因?yàn)?BCBAC180即 B C 3 B 180 所以 B 36即求得 BAC

24、108說(shuō)明1.等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān) 系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重 要的作用，這一點(diǎn)在后邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。2 .注意“等邊對(duì)等角”是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。3 .此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，而邊證邊算又是解決這類(lèi)題目的常用 方法。【例 3】 已知：如圖， ABC中，AB AC, CD AB于 D。求證： BAC 2 DCB。分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，BAC是等腰三角形 的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，冉證與DCB的關(guān)系。證明：過(guò)點(diǎn)A作AE BC于E, AB AC所以12 1 BAC （等腰

25、三角形的三線合一性質(zhì)）2因?yàn)?1 B 90又 CD AB ,所以 CDB 90所以3B 90 （直角三角形兩銳角互余）所以13 （同角的余角相等）即 BAC 2 DCB說(shuō)明：1 .作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角 的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線；2 .對(duì)線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”或“倍長(zhǎng)中線”等輔助線的 添加方法，對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題 還可以有其它的證法，如構(gòu)造出DCB的等角等。4、中考題型：1 .如圖，4ABC中,AB= AC, /A= 36 , BD CE分另為/ ABCt/ACB的角平

26、分線，且相交于點(diǎn)F,則圖中的等腰三角形有（）A. 6 個(gè) B. 7 個(gè) C. 8 個(gè) D. 9 個(gè)分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形角和的度數(shù)可求得等腰三 角形有8個(gè)，故選擇C。2 .)已知：如圖，在 ABCP, AB= AC D是 BC的中點(diǎn)，DH AB, DF=1 AC E、 F分別是垂足。求證：A已AR證明：因?yàn)锳B AC,所以 B C又因?yàn)镈E AB, DF AC所以 BED CFD 90又D是BC的中點(diǎn)，所以DB DC所以 DEB CFD(AAS)所以BE CF,所以AE AF說(shuō)明：證法二：連結(jié)AD通過(guò) AEDAFD證明即可5、題形展示：【例1】如圖， ABC中，AB AC

27、, A 100 , BD平分 ABC。求證：AD BD BC o分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取BF BD ,只需證明CF AD , 考慮到12 ,想到在BC上截取BE BA ,連結(jié)DE易得，則有AD FD ,只需證明DE CF,這就要從條件出發(fā)，通過(guò)角度計(jì)算可以得出 CF DF DE。證明一：在BC上截取BE BA, BF BD ,連結(jié)DE DF在 ABD 和 EBD 中，BA BE, 12, BD BDABD EBD (SAS)AD DE, BED A 100 DEF 80又ABAC,A 100八八1ABCC-(180100)40112 40202而 BD BF12) -(1802

28、0 ) 80DE DF1BFDBDF -(180DEFDFE 80DFE 80 , C 4040AD DE DF FCFDC DFE C 8040FDC CDF FCBC BF FC BD AD即 AD BD BC分析二：如圖，可以考慮延長(zhǎng) BD至UE,使DE= AD 這樣BNAD=BD+DE=BE只需證明BE= BC,由于 2 20 ,只需證明 E BCE 80易證 EDC ADB1801002060BDC 120 ,故作 BDC 的角平分線，則有ABDFBD ,進(jìn)而證明 DECDFC ,從而可證出 E 80 。證明二：延長(zhǎng)BD至UE,使 DE= AD連結(jié)CE彳DF平分 BDC交BC于Fo由

29、證明一知：11003 1801002060BDC 18060120DF平分BDC6060ABD和FBD中12,BDBD,ABDFBD(ASA)AD FD,BFD100DE, DF DE在DEC和DFC 中,DEDF, 5 6, DC DCDEC DFC(SAS)E DFC 180BFD 18010080在 BCE 中，2 20 ,3 80BCE 80 , E BCEBC BE, AD BD BC說(shuō)明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會(huì)，進(jìn)一步提高自身的解題能力?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1 .選擇題：等腰三角形底邊長(zhǎng)

30、為 5cm, 一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的 差為3cm,則腰長(zhǎng)為（）A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或 8cmD.以上都不對(duì)2. 如圖，ABC是等邊三角形，CBD 90 , BD BC ,則 1的度數(shù)是03. 求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上4. ABC中，AB AC, A 120 , AB的中垂線交AB于D,交CA延長(zhǎng)線于_ 一一1一E,求證：DE -BC 0 2【試題答案】1. B2 .分析：結(jié)合三角形角和定理，計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重 要應(yīng)用。解：因?yàn)锳BC是等邊三角形所以 AB BC, ABC 60因?yàn)锽D BC ,所以AB BD所以32在 A

31、BD 中，因?yàn)?CBD 90, ABC 60所以 ABD 150 ,所以 2 15所以 12 ABC 753 .分析：首先將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。已知：如圖，在 ABC中，AB AC , D E分別為AC AB邊中點(diǎn)，BD CE 交于。點(diǎn)。求證：點(diǎn)。在BC的垂直平分線上。分析：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就是證明 OB OC。而OB OC在 ABC中， 于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證含有1、 2的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵?ABC中，AB AC所以 ABC ACB （等邊對(duì)等角）又因?yàn)镈 E分別為AG AB的中點(diǎn)，所以DC EB （中線定義）在BCD和 CBE

32、中，DC EB（已證） DCBEBC（已證）BC CB（公共邊）所以 BCD CBE（SAS）所以12 （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。所以O(shè)B OC （等角對(duì)等邊）即點(diǎn)。在BC的垂直平分線上。說(shuō)明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號(hào)語(yǔ)言是非常重要的一步。 特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“。氏OC是關(guān)鍵的一點(diǎn)。（2）實(shí)際上，本題也可改成開(kāi)放題： 2ABC中，AB= AC D E分別為AC AB上的中點(diǎn)，BD. CE交于Q連結(jié)AO后，試判斷AO與BC的關(guān)系，并證明你的 結(jié)論”其解決方法是和此題解法差不多的。4.分析：此題沒(méi)有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫(huà)出圖形。題目中是求線段 的

33、倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取 BC的中點(diǎn)。證明：過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線AF,垂足為F。在 ABC 中，AB AC, BAC 120所以 B C 3033 11所以12 60, BF BC （等腰三角形三線合一性質(zhì)）。2所以3 60 （鄰補(bǔ)角定義）。所以13又因?yàn)镋D垂直平分AB,所以E 30 （直角三角形兩銳角互余）。1AD 1AB （線段垂直平分線定義）。又因?yàn)锳F 1AB （直角三角形中角所對(duì)的邊等于斜邊的一半）。2所以AD AF在 Rt ABF 和 Rt AED 中，13（已證）AF AD （已證）AFB ADE 90所以 Rt ABF Rt AED （ASA ）所以ED BF1 一即 ED

34、 -BC 0 2說(shuō)明：(1)根據(jù)題意，先準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形，是解幾何題的一項(xiàng)基本功；(2)直角三角形中30角的特殊關(guān)系，溝通了邊之間的數(shù)量關(guān)系，為順利證 明打通了思路。第十三章實(shí)數(shù)【知識(shí)要點(diǎn)】一、實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。1、實(shí)數(shù)有以下兩種分類(lèi)方法：(1)按定義分類(lèi)(2)按大小分類(lèi)正實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)0負(fù)實(shí)數(shù)正有理數(shù)有理數(shù)0有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)無(wú)理數(shù) ?無(wú)理?無(wú)限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)2、實(shí)數(shù)中的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值概念和有理數(shù)一樣，例如 V3的相反數(shù)為 第,倒數(shù)為_(kāi)1, 0;2幅(n為正整數(shù))在實(shí)數(shù)圍有意義，則a 0,此時(shí)指 0;3、非負(fù)數(shù)有如下性質(zhì)：有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和是非負(fù)數(shù)；有限個(gè)非負(fù)數(shù)

35、之和是零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)是零?！镜淅馕觥?、無(wú)理數(shù)的識(shí)別與估算方法例 1、(1)在實(shí)數(shù) 3.14 , 2 , 3.333叫，33 , 0.412 , 0.110 ，兀，7256 中， 5哪些是有理數(shù)，哪些是無(wú)理數(shù)？(2)估算于3的伯：()A.在5和6之間 B. 在6和7之間 C. 在7和8之間 D.在8和9 之間2、實(shí)數(shù)的大小比較方法例2、(1)比較大小：7 國(guó)(填“”或“ ”)(2)已知a 3菲,b 2幣1,則a、b的大小關(guān)系為 (3)比較大小：當(dāng)實(shí)數(shù)a 0時(shí)，1 a 1 a.(填“ ”或“ ”)3、實(shí)數(shù)有數(shù)軸的關(guān)系例3、如右圖：數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為x,則x213的立方根是()A. V5-

36、13 B. - J5-13 C.2 D. -24、實(shí)數(shù)的運(yùn)算例4、(1) |72 悶卜3 22詞 1 閩；(2)& 品 6 6 12001 0 V36 ;(3) 222.5 痂 V 3 33 2 791 ;(4) 4 6 2)工 1，75。3 35、實(shí)數(shù)性質(zhì)的使用例 5、（1）化簡(jiǎn)：m mm2| （m 0）；（2）實(shí)數(shù)a, b在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示， 則2a 0；a+ b 0；一 | b一 a | 0； | 2a | | a + b |?例6、（1）已知y x 2、2 x 5,求yx的值。（x 2） 2005（2）已知7 #的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b ,則a b=【課堂檢測(cè)】? ?

37、c1、在2.71,716, J25,0, -,V3,中，屬于有理數(shù)的是屬于無(wú)理數(shù)的8是2、（1） V1-?V27； 3 j J3。3 3.31721117 12 J 27 M。64（3）若 a b 0貝U a b Va2 =。（4）計(jì)算J2 超版。3、比較大?。?） 3M3 V12 （2） 3 亞 2 76。24、下列語(yǔ)句中不正確的是（）A.無(wú)理數(shù)是帶根號(hào)的數(shù)，其根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)方開(kāi)不盡；B. 8的立方根是土 2;C.絕對(duì)值等于76的實(shí)數(shù)是6 D.每一個(gè)實(shí)數(shù)都有數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)。5、與2 V3相乘，結(jié)果為1的數(shù)是（）A . 3B. 2 3C. 2 V3 D. 2 J36、下列計(jì)算正確的是（

38、）A 2.3 32 53 B .8.2 2C.5 5.2 6.2 D.6 267、數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)x的點(diǎn)在表示1的點(diǎn)的左邊，則式子J x 2 2 2 x 1 2的值是（）A .正數(shù)B. -1C.小于-1 D.大于-1八，。3一8、 化簡(jiǎn) 一3 L ,甲.5.2乙兩同學(xué)的解法如下乙:、5 2 2 55 . 25 22 ,對(duì)于他們的解法，正確的是A .甲、乙的解法都正確正確C.甲、乙的解都錯(cuò)誤確9、計(jì)算或化簡(jiǎn)：(1) 32B.甲正確、乙不D. 正確、甲不正32 -6 鬧；6(2) 1 x v x 2 2 1 x 版;(4) 1 閻卜5 3|卜3倒;(5)已知a(6)已知xy2的值1313 + 2,y

39、 ，求x222210、已知y=。彳8 J8x +18,求代數(shù)式 無(wú) 利 的值11、細(xì)心觀察右圖和認(rèn)真分析下列各式，然后解答問(wèn)題：(丁彳)2 1 2,3 T ；N2)2 1 3 ,S2 必；2(%/3)2 1 4 ,S3 -；2(1)請(qǐng)用含n的(n為正整數(shù))的等式表示上述變化的規(guī)律;(2)推算出 OA5 , OA10S9 ；(3)求出 s12 s22*02 的值。第十四章一次函數(shù)變化的世界s4 一次函數(shù)函數(shù)函數(shù)一元一次方程 一元一次不等 式二元方程rinI質(zhì)像在某變化過(guò)程中，存在 個(gè)變量x、y, y隨x的變化而發(fā)生變化，對(duì)于x 在其取值圍，每一個(gè)確定的他y都有 的值與之對(duì)應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)。

40、練習(xí)：函數(shù)丫= 31中自變量的取值圍是, y=L中x的取值圍是 x 1二一次函數(shù)和正比例函數(shù)1 .概念：若兩個(gè)變量x, y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+t) (k, b為常數(shù)，kw0) 的形式，則稱y是x的 (x為自變量)，特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x 的 .(1) 一次函數(shù)的自變量的取值圍是一切實(shí)數(shù),但在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)函數(shù)的來(lái)確定.(2) 一次函數(shù)y=kx+b (k, b為常數(shù)，kw0)中的“一次”和一元一次方程、一 元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量 x的次數(shù)為1, 一次項(xiàng)系數(shù)k必 須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).練習(xí)：已知函數(shù)y (m 2)xim 3 n 2;(1)若是一次函

41、數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？(2)若是正比例函數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？2、一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b (k, b為常數(shù)，kw0)的圖象是一條直線，所以一次 函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b.此直線與y軸的交點(diǎn)(),與x 軸的交點(diǎn)().畫(huà)正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)(0,),(1,) 即可.3、一次函數(shù)性質(zhì)(1)性質(zhì)函數(shù)kb|位置Y隨x的變化|草圖(2)點(diǎn)P (x。，y。)與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系A(chǔ).如果點(diǎn)P(xo,y。)在直線y=kx+b的圖象上，那么xo,y。的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b;B.如果xo, yo是滿足函數(shù)解析式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，那么以 xo, yo為坐標(biāo)

42、的點(diǎn)必在函 數(shù)的圖象上.(3)確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件A.由于正比例函數(shù)y=kx (kwo)中只有一個(gè)待定系數(shù)k,故只需一個(gè)條件(如一 對(duì)x, y的值或一個(gè)點(diǎn))就可求得k的值.B.由于一次函數(shù)y=kx+b (kwo)中有兩個(gè)待定系數(shù)k, b,需要兩個(gè)獨(dú)立的條件 確定兩個(gè)關(guān)于k, b的方程，求得k, b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì) x, y的化4. 一次函數(shù)與方程(不等式)(1) . 一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關(guān)系， 解決 此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是找到函數(shù)y=kx+b (kw0, k, b為常數(shù))與x軸的交點(diǎn)(), ?直線y=kx+b在x軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x的值是不等式(kw0)的解；在 x軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x的值是不等式(kw0)的解；在x軸上也就是函數(shù)值等于零，x的值是方程 的解。(2) 一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值;圖像在上方的函數(shù)的值較 o熱身訓(xùn)練1 .下列各式y(tǒng)是x 一次函數(shù)的為()A B y=x 2+2x+5 C y=2x D E y=a+3F3 .函數(shù)y=x的圖象是一條過(guò)原點(diǎn)及(2,)的直線，這條直線經(jīng)過(guò)第 象限，當(dāng)x增大時(shí)，y隨之4 .函數(shù)y=2x 4,