1、2020-2021無(wú)錫中考數(shù)學(xué)二模試題分類(lèi)匯編一一相似綜合一、相似1 .如圖，在矩形 ABCD中，AB=18cm, AD=9cm,點(diǎn) M沿AB邊從 A點(diǎn)開(kāi)始向 B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn) N沿DA邊從D點(diǎn)開(kāi)始向M、N同時(shí)出發(fā)，用t (s)表示移動(dòng)時(shí)間(046，求:A以1cm/s的速度移動(dòng).如果點(diǎn)(1)當(dāng)t為何值時(shí)，/ANM=45 ?(2)計(jì)算四邊形 AMCN的面積，根據(jù)計(jì)算結(jié)果提出一個(gè)你認(rèn)為合理的結(jié)論;(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn) M、N、A為頂點(diǎn)的三角形與 BCD相似？【答案】(1)解：對(duì)于任何時(shí)刻 t, AM=2t, DN=t, NA=9-t,當(dāng) AN=AM 時(shí)，AMAN為等腰直角三角形，即

2、：9-t=2t,解得：t=3 (s),所以，當(dāng)t=3s時(shí)，AMAN為等腰直角三角形(2)解：在 4NAC 中，NA=9-t, NA 邊上的高 DC=12,1 1 S*A NAC=NA?DC=a(9-t) ?18=81-9t.在 AMC 中，AM=2t , BC=9,Saamc=' AM?BC=:？2t?9=9t .二. S 四邊形 namc=Sxnac+Saamc=81 (cm2).由計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在M、N兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，四邊形 NAMC的面積始終保持不變.(也可提出：M、N兩點(diǎn)到對(duì)角線AC的距離之和保持不變)(3)解：根據(jù)題意，可分為兩種情況來(lái)研究，在矩形 ABCD中：當(dāng)NA: A

3、B=AM : BC 時(shí)，NA2 4ABC,那么有：(9-t) : 18=2t: 9,解得 t=1.8 (s),即當(dāng) t=1.8s 時(shí)，NA'ABC; 當(dāng) NA: BC=AM: AB 時(shí)，MANsabc,那么有：(9-t) : 9=2t: 18,解得 t=4.5 (s),即當(dāng) t=4.5s 時(shí)， MANs ABC；所以，當(dāng)t=1.8s或4.5s時(shí)，以點(diǎn)N、A、M為頂點(diǎn)的三角形與 4ABC相似【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得：因?yàn)閷?duì)于任何時(shí)刻t, AM=2t, DN=t, NA=9-t.當(dāng)NA=AM時(shí)，/MAN為等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。(2)根據(jù)(1)中.在4NAC中，N

4、A=9-t, NA邊上的高DC=18,利用三角形的面積公式， 可得Sanac= =81-9t, SaAMc=9t.就可得出 S四邊形namc=81 ,因此在 M、N兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程 中，四邊形NAMC的面積始終保持不變。(3)根據(jù)題意，在矩形 ABCD中，可分為 當(dāng)NA: AB=AM: BC時(shí)，NA24ABC; 當(dāng)NA: BC=AM: AB時(shí)， MAN s ABC兩種情況來(lái)研究，列出關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)可得答 案。2.如圖，在。0中，直徑 AB經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)E,點(diǎn)M在OD上，AM的延長(zhǎng)線交。于 點(diǎn)G,交過(guò) D的直線于F,且/BDF=Z CDB, BD與CG交于點(diǎn)N.(1)求證：DF是。的切線;(2

5、)連結(jié)MN,猜想MN與AB的位置有關(guān)系，并給出證明. 【答案】(1)證明：二.直彳至AB經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)E,二四上修，窗=創(chuàng),二 /BOB = 2ZCDB.；*= XO夙Z= /CDF,V NBOD + /觸=郵" ZODE + NQF = 901即,: "是£的切線(2)解：猜想：MN/AB.證明：連結(jié)CB.直徑AB經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)E,=,=,|或-.一，；2 如.；， 一硬；.學(xué)"加 產(chǎn).AO 0M fCB BN限="4 =.決|DO OM f “麗一而.DO DM “而一"Qj"哪考/匚二一.I"割?=/志心

6、.MN / AB.【解析】 【分析】(1)要證 DF是。O的切線，由切線的判定知，只須證/ ODF先“即可。由垂徑定理可得 AB± CD,貝U / BOD+/ ODE=用,而/ ODF=/ CDF+Z ODE,由已知易 得/BOD=/ CDF,則結(jié)論可得證；(2)猜想：MN/AB.理由：連結(jié) CB,由已知易證CBNAOM ,可得比例式AO OMDO DMCB m，于是由已知條件可轉(zhuǎn)化為'泗 而，/ ODB是公共角，所以可得 MDNAODB,貝U/DMN=/DOB,根據(jù)平行線白判定可得 MN /AB。3.如圖1,過(guò)等邊三角形 ABC邊AB上一點(diǎn)D作DE"。交邊AC于點(diǎn)

7、E,分另1取BC, DE 的中點(diǎn)M, N,連接MN.33Cc圖1圖3S A/圖2(1)發(fā)現(xiàn):在圖MM1 中，BD(2)應(yīng)用:如圖2,將/ ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)求出MNBD的值;(3)拓展:如圖3, ABC 和| /ADE是等腰三角形，且|/BAC 二 -DAE , M, N分別是底邊BC,MXDE的中點(diǎn)，若 比 工CE,請(qǐng)直接寫(xiě)出 而的值.AM、AN,【答案】(1):上BAD上MAN?：2 ABC, A ADE都是等邊三角形，BY MC ,帆 %:媼 1 BC * 土 DE? ?AN-sinfit?AD- MAN?MN AM。j3BD AB-sin&O - r(3)解：如圖3中，連接

8、AM、AN,延長(zhǎng) AD交CE于H,交AC于O,A圖3AC AD AE 醐 CM 踹 NEAM 1 K 城 1 DE:'nBAC jDAE , : JIBC /疝目，：siiijABY sin/ADY ?AM AN-9"AB AD .【解析】【解答】解：（1）如圖1中，作DH工EC于H,連接am,ASi丁妞 AC ,網(wǎng) LM, AM 1 BC：*£ ADE時(shí)等邊三角形， ：-ADE="二*B| ? : DE/ 吟:* AM 1 BC ? AM 工 DE , ：W平分線段DE,:* DM - NE ? ：A、N、M共線， ：/NMH =上MND = NDHM

9、=如“ ?J四邊形MNDH時(shí)矩形， : MN DH ?MNDH，陋二一-sintft? - -1BDBD2?也故答案為：J ;【分析】(1)作 DH，BC于H,連接 AM.證四邊形 MNDH時(shí)矩形，所以 MN=DH,則 MN: BD=DH: BD=sin60 ；即可求解；(2)利用 ABC , ADE都是等邊三角形可得 AM: AB=AN: AD,易得/ BAD = /MAN ,從而得 BAD s man,貝U NM: BD=AM: AB=sin60 ；從而求解；(3)連接 AM、AN,延長(zhǎng) AD交CE于H,交AC于O.先證明 BAD s man可得 NM: BD=AM: AB=sin/ABC

10、;再證明 BAD CAE,貝 U / ABD = / ACE ,進(jìn)而可得 / ABC = 45,可求出答案.4.在等腰直角三角形 ABC中,/ACB= 90 ,AC= BC,D是AB邊上的中點(diǎn)，RtEFG的直角頂 點(diǎn)E在AB邊上移動(dòng).F(1)如圖1,若點(diǎn)D與點(diǎn)E重合且EG，AC、DU BC,分另U交 AC BC于點(diǎn)M、N,易證EM=EN;如圖2,若點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，將 EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，則線段 EM與EN的長(zhǎng) 度還相等嗎？若相等請(qǐng)給出證明，不相等請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)將圖1中的RtEGF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 a(0< “V45 ),如圖2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) /MDC=15°時(shí)，連接

11、MN,若AC= BC= 2,請(qǐng)求出線段 MN的長(zhǎng)；（3）圖3,旋轉(zhuǎn)后，若RtEGF的頂點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)（不與點(diǎn)D、B重合），當(dāng)AB= 3AE 時(shí)，線段EM與EN的數(shù)量關(guān)系是 ;當(dāng)AB= m-AE時(shí)，線段EM與EN的數(shù)量關(guān)系 是.【答案】（1）解：EM=EN原因如下：3 / ACB= 90 ° AC= BC D是 AB 邊上的中點(diǎn).DC=DB /ACD=/B=45° / CDB= 90 °4 / CD斗 / FDB= 90 °5 / GDF= 90 °.1. / GDC+ / CDF= 90 二 C CDM= / BDN在CDM和4BDN中/

12、MCD=/B, DC= DB, /CDM=/BDN,6 .CDMABDN DM = DN 即 EM= EN(2)解：作DP,AC于P,則/ CDP= 45 ° CP= DP= AP= 17 / CDG= 15/ MDP = 30. cos/ MDP= MND為等腰直角三角形(3) NE= 2ME; EN= (m 1)ME【解析】 【解答】解：(3)NE= 2ME,EN=(m 1)ME證明：如圖3,過(guò)點(diǎn)E作EP)±AB交AC于點(diǎn)P則4AEP為等腰直角三角形，/ PEB= 90°1 .AE=PE AB= 3AE . BE= 2AE . BE= 2PE又 / MEP+

13、/ PEN= 90°/ PEN+ / NEB= 90 °/ MEP= / NEB又 / MPE= / B=45°2 .PMEABNE慳 PE 1班一，即 EN= 2EM由此規(guī)律可知，當(dāng) AB= mAE時(shí)，EN=(m-1) ME【分析】(1) EM=EN;原因如下：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出 DC= DB Z ACD= Z B= 45° / CDB= 90°根據(jù)同角的余角相等得出/ CDM= / BDN,然后由ASA判斷出 CDMABDN根據(jù)全等三角形的應(yīng)邊相等得出 DM = DN即EM=EN;(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出/CDP= 45

14、° CP= DP=AP= 1,根據(jù)角的和差得出/MDP = 30 ；根據(jù)余弦函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，由cos/MDP=的得出DM的長(zhǎng)，又DM = DN,故4MND為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出 MN 的長(zhǎng)；(3)NE= 2ME,EN=(m-1)ME,如圖3,過(guò)點(diǎn)E作EP!AB交AC于點(diǎn) 巳 則4AEP為等腰直角 三角形，ZPEB= 90° ,根據(jù)同角的余角相等得出/ MEP = / NEB然后判斷出 PMEABNE,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出 u結(jié)論，由此規(guī)律可知，當(dāng) AB = m AE 時(shí)，EN= (m-1) ME 5.已知直線 m/n

15、,點(diǎn)C是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn) D是直線n上一點(diǎn)，CD與直線m、n不垂 直，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn).m hm/用(1)操作發(fā)現(xiàn)：直線 l，m, l±n,垂足分別為 A、B,當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖 所 示)，連接PB,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段 PA與PB的數(shù)量關(guān)系： .(2)猜想證明：在圖 的情況下，把直線 l向上平移到如圖 的位置，試問(wèn)(1)中的 PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)延伸探究：在圖 的情況下，把直線 l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得/APB=90 (如圖所 示)，若兩平行線 m、n之間的距離為 2k.求證：PA?PB=k?AB【答案】(1) PA=PB(2)

16、解：把直線l向上平移到如圖 的位置，PA=PM然成立，理由如下:如圖，過(guò)C作CH n于點(diǎn)E,連接PE,* ，2三角形CED是直角三角形，點(diǎn) P為線段CD的中點(diǎn)，PD=PEPC=PE PD=PE/ CDE=/ PEB直線 m / n, . . / CDE=Z PCA,，/PCA=/ PEB,又直線 l,m, l±n, CE! m, CE! n, ：.H CE, ，AC=BEPC = PEZPCA =/FEE在 APAC 和 PBE 中，W BE.PAgPBE, . PA=PB(3)解：如圖，延長(zhǎng)AP交直線n于點(diǎn)F,彳AE± BD于點(diǎn)E,直線 m / n ,AP=PF, / A

17、PB=90 ,°BP± AF,又 AP=PF,BF=AB;在AAEF和4BPF中，AEF = ZBPF = 90*kFE =*HFPAAEFABPF,AF ABBF 一訕, .AF?BP=AE?BFPA?PB=k?AB.三角形CBD是直角三角形，又二.點(diǎn)P,. AF=2PA, AE=2k, BF=AB, . 2PA?PB=2k AB,【解析】【解答】解：（1） .l±n, ，BCa BD,為線段CD的中點(diǎn),PA=PB【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半；(2)把直線l向上平移到如圖 的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如圖 ，過(guò)C作 CE!

18、n于點(diǎn)E,連接PE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半得出PD=PE=PC根據(jù)等邊對(duì)等角得出 / CDE=Z PEB,根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出/ CDE=Z PCA,故/ PCA=/ PEB,根據(jù)夾在兩平行線間的平行線相等得出AC=BE然后利用 SAS判斷出 PAC PBE,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出PA=PB(3)如圖，延長(zhǎng)AP交直線n于點(diǎn)F,彳AELBD于點(diǎn)E,根據(jù)平行線分線段成比例定 理得出ap=pf,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得出BF=AB;然后判斷出AEFBPF,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出AF?BP=AE?BF根據(jù)等量代換得出 2PA

19、?PB=2k AB,即 PA?PB=k?AB 6.如圖，已知 AB是。的直徑，弦 CD與AB交于點(diǎn)E, F為CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AF,且 FA2=FD?FC(1)求證：FA為。的切線；(2)若 AC=8, CE ED=6: 5, AE: EB=2: 3,求 AB 的值.【答案】(1)證明：連接BD> AD,如圖，F(xiàn)聲-FD FC,FA FC：.7b "方 / F=Z F, .FADAFCA./ DAF=Z C. / DBA=Z C, / DBA=Z DAF.AB是。的直徑，：.一門(mén)陰，=絢1，二必14 =緲1RE招二的: 即 AF±AB. .FA為。O的切線.(2

20、)解：設(shè) CE=6x, AE=2y,則 ED=5x, EB=3y. 由相交弦定理得：EC?ED=EB?EA.30 少上，J .，肛， A5七A Zl'AB - 90 ,皿 FC =- A度卬仞11 x) = (FD W- (yj5x) . FD=5x.J#1 = H) - FC = 80f.At, 人立七.上FAF 二/ ° . H) = ED =助 ED 5x. .FADAFCA.AD DF .而不AD - VF - 5xr AC = & 好 人每，5x 5x8!5x |5.f5a - 10.，AB的值為10【解析】【分析】(1)連接BD、AD,根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角

21、相等可得FADFCA由 FAg FCA及同弧所對(duì)的圓周角相等可得/ DBA=Z DAF;再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角即可得出結(jié)論。(2)設(shè)CE=6x則ED=5x,用相交弦定理表示出則AE的長(zhǎng)，用勾股定理及題中的已知條件分別表示出FD> AF、AD的長(zhǎng)；再利用 FA2 4FCA即可得出結(jié)論。7.如圖1,在 ABC中，/BAC=90°, AB=AC=4, D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AD,以 AD為邊向右側(cè)作等腰直角 4ADE,其中/ADE=90.求證：(1 )如圖2 , G , H分別是邊AB , BC的中點(diǎn)，連接DG, AH , EH. AGDsMHE；(2)如圖3,連接BE,直

22、接寫(xiě)出當(dāng)BD為何值時(shí)，4ABE是等腰三角形;(3)在點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求 4ABE周長(zhǎng)的最小值.【答案】(1)證明：如圖2,由題意知4ABC和4ADE都是等腰直角三角形,/ B=ZDAE=45 ,°2 .H為BC中點(diǎn),3 AHXBC./ BAH=45 =/ DAE./ GAD=Z HAE.在等腰直角 BAH和等腰直角4DAE中，AH= J AB=把 AG, AE=% AD.AH云一五4 r ?5 .AGDAAHE;(2)解：分三種情況： 當(dāng)B與D重合時(shí)，即BD=0,如圖3,此時(shí)AB=BE;C重合,.BD= BC=2當(dāng)AB=BE時(shí)，如圖 5,過(guò)E作EH，AB于H,交BC于M,

23、連接 AM,過(guò)E作EG±BC于.AM=BM ,6 / ABC=45 ；旦 TH等腰直角三角形,o.-.AM ±BC, ABMH ,. AD=DE, /ADE=90, 易得ADM0DEG,.DM=EG,7 / EMG=Z BMH=45 ； EMG是等腰直角三角形,.ME= 7= MG,HE由(1)得：AHDsAME,且防，/AHD=/ AME=135 ； ME=在 DH,/ BHD=45 ； MG=DH, BDH是等腰直角三角形，bd=dh=eg=dmM ;綜上所述，當(dāng)BD=0或V2或2%'£時(shí)，4ABE是等腰三角形；(3)解：當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E的位置

24、記為點(diǎn) M,連接CM,如圖6,AN此時(shí)，ZABM=ZBAC=90, ZAMB=ZBAM=45 , BM=AB=AC.四邊形abmc是正方形./ BMC=90 ；/ AMC=Z BMC-Z AMB=45 ； / BAM=Z DAE=45 ；z bad=z mae,在等腰直角 bam和等腰直角 adae中， rIAM= 5 ab, ae=Mad. A8 AL2 .ABDAAME./ AME=Z ABD=45 °.點(diǎn)e在射線mc上，作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,連接AN交MC于點(diǎn)E',3 be+ae=ne+ae > an=ne ' +ae =be ' +ae

25、' ABE就是所求周長(zhǎng)最小的 abe.在 RtABN 中，. AB=4, BN=2BM=2AB=8,.AN=(疝：/ 加 S ABE周長(zhǎng)最小值為 AB+AN= 4+4 被.【解析】【分析】(1 )由等腰直角三角形的性質(zhì)可得 / B=Z DAE=Z BAH=45 ,所以AH 施/GAD=/ HAE,計(jì)算可得比例式： 弘 康,根據(jù)有兩對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且它們的夾角也相等 的兩個(gè)三角形相似可得 AGD AHE;(2)根據(jù)等腰三角形的定義可知分3種情況討論：當(dāng)B與D重合時(shí)，即BD=0,此時(shí)AB=BE 當(dāng)AB=AE時(shí)，此時(shí)E與C重合，用勾股定理可求得 BD的值；當(dāng)AB=BE時(shí)，過(guò) E作EHI

26、7; AB于H,交BC于 M,連接 AM,過(guò)E作EG± BC于G,連接 DH,由已知條件和(1)的結(jié)論可求解；(3)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E的位置記為點(diǎn) M,連接CM,作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對(duì)稱(chēng) 點(diǎn)N,連接AN交MC于點(diǎn)E',由已知條件易證四邊形 ABMC是正方形，由已知條件通過(guò)計(jì)AM Ah算易得比例式：，根據(jù)有兩對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似可得ABA4AME,則/AME=/ABD=45 ,于是可得點(diǎn) E在射線 MC上，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性 質(zhì)可得 ABE就是所求周長(zhǎng)最小的 ABE,在RtAABN中，用勾股定理即可求得 AN的值， 則 ABE周長(zhǎng)最小值=AB+AN

27、即可求解。8.書(shū)籍開(kāi)本有數(shù)學(xué)開(kāi)本指書(shū)刊幅面的規(guī)格大小.如圖，將一張矩形印刷用紙對(duì)折后可以得到2開(kāi)紙，再對(duì)折得到 4開(kāi)紙，以此類(lèi)推可以得到 8開(kāi)紙、16開(kāi)紙若這張矩形印刷用紙的短邊長(zhǎng)為a.(1)如圖，若將這張矩形印刷用紙 ABCD(ABBC世行折疊，使得 BC與AB重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，得到折痕BE;展開(kāi)后，再次折疊該紙，使點(diǎn) A落在E處，此時(shí)折痕恰好經(jīng) AB過(guò)點(diǎn)B,得到折痕BG,求比的值.(2)如圖，2開(kāi)紙BCIH和4開(kāi)紙AMNH的對(duì)角線分別是 HC HM .說(shuō)明HC± HM .(3)將圖中的2開(kāi)紙、4開(kāi)紙、8開(kāi)紙和16開(kāi)紙按如圖所示的方式擺放，依次連接點(diǎn)A、B M、I,則四邊形 A

28、BMI的面積是 .(用含a的代數(shù)式表示，直接寫(xiě)出結(jié)果）【答案】（1）解：四邊形ABCD是矩形， / ABC / C = 90 ,°第一次折疊使點(diǎn) C落在AB上的F處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn) B, / CBE/ FBE = 45 ； / CBE/ CEB = 45 ,° BC CEa, BE 、&. 第二次折疊紙片，使點(diǎn) A落在E處，得到折痕BG,.AB BE =，鳥(niǎo)，AB 二隹BC（2）解：根據(jù)題意和（AM AH /1）中的結(jié)論，有 四邊形ABCD是矩形， / A / B 90 ； .MAHAHBC, / AHM/ BCH. / BCH / BHC 90 ； / AHM +

29、 / BHC 90 , / MHC 90 ; HCXHM .【解析】【解答】解：（3）如圖，根據(jù)題意知(1)中的結(jié)論，有 BC=AD= 2 a, AF=IG=J a, NI=MP= ./ a, OP= I a, 又 / C=Z ADE=90 , / BEC=/ AED,.?BCE ?ADE,- S ?BCE=S?ADE,同理可得，S?AFH=S?IGH, S ?INQ=S ?MPQ,，四邊形 ABMI的面積=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC=卓 .【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)及第一次折疊使點(diǎn)C落在 AB上的F處，可得出/CBE=/ FBE=/ CEB=45,°可得出 C

30、E=BC利用勾股定理可用含 a的代數(shù)式求出 BE的長(zhǎng)， 再根據(jù)第二次折疊紙片，使點(diǎn)A落在E處，得到折痕BG,可用含a的代數(shù)式表示出 AB的長(zhǎng)，然后求出AB與BC的比值。(2)利用(1)的結(jié)論，可用含 a的代數(shù)式表示出AH、BH、AM的長(zhǎng)，就可求出AM 用1切 比，利用矩形的性質(zhì)可得出/ A = / B,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，證明 MAHshbC,利用相似三角形的性質(zhì)，去證明 ZAHM + /BHC = 90 °,然后利用垂直的 定義可解答。(3)利用已知條件證明 ？BCE?ADE,可證得 S?bce=S?ade , S?afh=S?igh, S?inq=S?mpq ,再 根據(jù)四邊形

31、 ABMI的面積=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC ,可求出答案。9.如圖，拋物線 y=ax2 - 5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) A, C, E三點(diǎn)，其中 A (- 3, 0) , CD,點(diǎn)M, N分別是(0, 4)，點(diǎn)B在x軸上，AC=BC過(guò)點(diǎn)B作BD)±x軸交拋物線于點(diǎn)線段CO, BC上的動(dòng)點(diǎn)，且 CM=BN,連接MN, AM , AN.(1)求拋物線的解析式及點(diǎn) D的坐標(biāo)；(2)當(dāng)4CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn) M的坐標(biāo);(3)試求出AM+AN的最小值.【答案】(1 )解：把A ( 3 , 0 )1就二 一-麴 + 15a -f- c = 0，6c = 4 ，解得

32、L ；,C ( 0 , 4 )代入 y=ax2 - 5ax+c 得，拋物線解析式為 y=- 6 x2+ 6 x+4；-. AC=BC, C01AB, .0B=0A=3,B (3, 0),.BDx軸交拋物線于點(diǎn) D,.D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,當(dāng) x=3 時(shí)，y=-J ToX 3+4=5.D點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 5)。（2）解：在 RtOBC中，BC=+ / = 4 干/ =5, 設(shè) M （0, m）,貝U BN=CM=4- m, CN=5 （4m） =m+1, / MCN=Z OCB,.當(dāng) CO &時(shí)，CMNSCOB,貝U / CMN=/COB=90 ；16,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 9 ）;4 - m

33、 m 1Jb即 J 3 ,解得m= 9cm a當(dāng) ET? 遼時(shí)，CMNsCBO,則 / CNM=/COB=90,4 - m nt 1II11即 3/ ,解得m= " ,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 9 ）; 償十？綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, 9 ）或（0, 9 ）。(3)解：連接DN, AD,如圖, . AC=BC, CO±AB, OC 平分 Z ACB,Z ACO=Z BCO, BD / OC,/ BCO=Z DBC, DB=BC=AC=5 CM=BN, .ACMADBN, .AM=DN , .AM+AN=DN+AN,而DN+ANAD (當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) A、N、D共線時(shí)取等號(hào))，D

34、N+AN的最小值=AD=愣=、而,.AM+AN的最小值為 V".【解析】 【分析】(1)將A (-3, 0) , C (0, 4)代入函數(shù)解析式構(gòu)造方程組解出a,c的值可得拋物線解析式；由AC=BQ CO>± AB,根據(jù)等腰三角形的三線合一 ”定理，可得OB=OA=3,而B(niǎo)Dx軸交拋物線于點(diǎn) D,則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,當(dāng)x=3時(shí)求得y的值，即 可得點(diǎn)D的坐標(biāo)。(2)當(dāng)4CMN是直角三角形時(shí)，有兩種情況：/CMN=90 ,或/ CNM=9°0 ,則可得 CMNscoB,或CMNscbq 由對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè) M (0, m),構(gòu)造方程解答即 可。(3)求AM+AN

35、的最小值，一般有兩種方法：解析法和幾何法；解析法：用含字母的函數(shù) 關(guān)系式表示出 AM+AN的值，根據(jù)字母的取值范圍和函數(shù)的最值來(lái)求；幾何法：將點(diǎn)A,M, N三點(diǎn)移到一條直線上；此題適用于幾何法：觀察圖象不難發(fā)現(xiàn)，AC=BD=5,CM=BN,且/BCO=/ DBC,連接 AD,可證得ACM0DBN,貝 U AM=DN,而 DN+AN> AD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) A、N、D共線時(shí)取等號(hào))，求 AD的長(zhǎng)即可。10.(1)如圖1所示，在小JABC中，= 90，AC 比，點(diǎn)加在斜邊曲上，點(diǎn)E在直角邊統(tǒng)上求證.J ACD - J BDE(2)如圖2所示,在矩形ABCL中，泌 沁* , 8c ，仇建，點(diǎn)仍在歐

36、上，連接/力,過(guò)點(diǎn)區(qū)作上萬(wàn)上AE交 Q (或磔的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)產(chǎn).若BE:EC = 為，求仃的長(zhǎng);班的長(zhǎng).AC 玳， 若點(diǎn)/恰好與點(diǎn)心重合，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形，并求 【答案】（1）證明：在兜中，£3 =笫1, .|上/:" 比|,|上水 -= 1的,于加e a尸，（2）解：四邊形H皮Z是矩形,.-.一方二4”士五狂 / ZAEB =90°y.4!爐二/|,，|上屋F 十 ZBEA =90Qy.-./:/儂,.|/戌出 絲AB BE之一不_跳？&7 ' 1：如圖所示，設(shè)班 4,由得八£也 A3,B E CAB BE 4 x. .豌一不,即空

37、 x 1整理，得：/10x 口=心，解得：W = 1 L -百，所以施的長(zhǎng)為血或融通.【解析】【分析】（1）利用平角的定義和三角形的內(nèi)角和證明力龐-2八日即可證得結(jié)論；（2）仿（1）題證明日必 "明,再利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；由得J的E - d田，設(shè)的=4四 ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于x解方程即可求得結(jié)果.11 .已知在 ABC中，AB=AC, AD± BC,垂足為點(diǎn) D,以AD為對(duì)角線作正方形的方程,AEDF, DE點(diǎn)H.交AB于點(diǎn)M, DF交AC于點(diǎn)N,連結(jié)EF, EF分別交AB、AD、AC于點(diǎn)G、點(diǎn)O、(1)求證：EG=HF;四(2)當(dāng)/ BAC=60時(shí)

38、，求 而 的值;HF蘭(3)設(shè)HE 二4AEH和四邊形EDNH的面積分別為 S和a ,求可的最大值.【答案】(1)解：在正方形 AEDF中，OE=OF EF± AD,1 .ADXBC,2 .EF/ BC, ，/AGH=/ B, /AHG=/ C, 而 AB=AC,/ B=/C,/ AGH=/AHG,.AG=AH,3 .OG=OH,4 .OE-OG=OF-OH.EG=FH（2）解：當(dāng)/BAC=60時(shí)，ABC為正三角形, ADXEF,/ OAH=30 ;AO 廠一二 5： % ,設(shè) OH=a,貝U OA=OE=OF=n5 a,EH=（、臺(tái) *，）a, HF=（ '行 一 J ） a, AE/ FN, .AEhMANFH,ah eh /上I . .而一而/, . EF/ BC, .AOHAADC,OH OA /.-.pc 二， .CD=2a,易證HNFsCND,(3)解：設(shè) EH=2m,貝U FH=2km, OA=1 EF= (k+1) m, Si=