1、任意四邊形、 梯形與相似模型進(jìn)而有 S四邊形 DEGF 3 份，S四邊形 FGCB 5 份，所以 S ADE : S四邊形DEGF :S四邊形 FGCB 1:3: 5模型四 相似三角形模型（一） 金字塔模型（） 沙漏模型 AD AE DE AF AB AC BC AG S ADE：S ABC22AF 2: AG2。所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（ 只要其形狀不改變，不論大小怎樣BE 4，那么 FC 的長(zhǎng)改變它們都相似 ） ，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下： 相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比； 相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；

2、連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。 三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半。 相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具。 在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形。例 1】 如圖，已知在平行四邊形 ABCD中， AB 16 ， AD 10， 度是多少？解析】 圖 中有一個(gè)沙漏， 也有金字塔，所以 BF : FC BE:CD 4:16但我們用沙漏就能解決問(wèn)題，41:4 ，所以 FC 10 4因?yàn)?AB 平行于 CD ，例 2】 如圖，測(cè)量小玻璃管口徑的量具ABC， AB的長(zhǎng)為 15厘米， AC 被分為 60等份。如果

3、小玻璃管口 DE 正好對(duì)著量具上 20等份處 （ DE 平行 AB ） ，那么小玻璃管口徑 DE 是多大？解析】 有一個(gè)金字塔模型， 所以 DE:AB DC : AC ，DE :15 40:60 ，所以 DE 10厘米。例 3】 如圖， DE 平行 BC ，若 AD:DB 2:3 ，那么 SADE :S ECB【解析】根據(jù)金字塔模型AD :S ADE :S ABC22:524:25，設(shè)S ADE4份則SABC25S ADE :SECB4:15 。ABAE:ACDE :BC2: (23) 2:5 ，份， S BEC25 53 15份，所以例 4】 如圖， ABC 中， DE ， FG ， BC

4、互相平行， AD DF FB ， 則 SADE :S四邊形 DEGF :S四邊形 FGCB。解析】 設(shè) SADE 1 份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，所 以 S ADE :S AFG AD : AF 1:4 ， S ADE :S ABC AD : AB 1:9 ， 因 此SAFG 4 份， SABC 9 份，鞏固】如圖， DE 平行 BC，且 AD 2， AB 5， AE 4，求 AC 的長(zhǎng)。則 S ADES四邊形 MNQP:S四邊形 PQCB:S四邊形 DEGF:S四邊形 FGNMBC解析】 由金字塔模型得 AD:AB AE:AC DE:BC 2:5 ，所以 AC 4 2 5 10MP PB

5、 ，鞏固】如圖， ABC中，DE ，F(xiàn)G ，MN ，PQ ，BC互相平行， AD DF FM解析】 設(shè) SADE 1份 ， SADE : SAFG AD2:AF2 1:4 ，因 此 SAFG 4份， 進(jìn)而 有S四邊形 DEGF3份，同理有 S四邊形 FGNM5 份， S四邊形 MNQP 7 份， S四邊形 PQCB 9 份所以有 S ADE : S四邊形 DEGFS四邊形 FGNM:S四邊形 MNQP:S四邊形 PQCB1:3: 5:7:9總結(jié)】 繼續(xù)拓展， 我們得到一個(gè)規(guī)律： 平行線等分線段后， 所分出來(lái)的圖形的面積成等差 數(shù)列。例 5】 已知 ABC中，DE平行 BC，若AD:DB 2:3

6、 ，且S梯形DBCE比SADE大8.5 cm2 ， 求 S ABC 。解析】 根 據(jù) 金 字 塔 模 型 AD:AB DE :BC 2: (2 3) 2:5 ，22S ADE :S ABC 2 :5 4:25 ， 設(shè) S ADE 4份，則 S ABC 25 份 ，S梯形 DBCE 25 4 21 份 ， S梯形DBCE 比 SADE 大 17 份 ， 恰 好 是 8.5cm ， 所 以S ABC 12.5 cm例 6】 如圖： MN 平行 BC ， S MPN :S BCP 4: 9， AM 4cm，求 BM 的長(zhǎng)度【解析】 在沙漏模型中， 因?yàn)?SMPN : SBCP 4:9 ，所以 MN:

7、BC 2:3 ，在金字塔模型中有： AM : AB MN :BC 2:3 ， 因 為 AM 4cm ， AB 4 2 3 6 cm ， 所 以 BM 6 4 2 cm鞏固】如圖，已知 DE 平行 BC， BO:EO 3: 2 ，那么 AD:AB 解析】 由沙漏模型得 BO:EO BC:DE 3:2 ，再由金字塔模型得 AD: AB DE:BC 2:3 例 7】 如圖， ABC 中， AE 1 AB ， AD 1 AC ， ED 與 BC 平行， EOD 的面積是 1 44平方厘米。那么 AED 的面積是 平方厘米。11 解析】 因?yàn)?AE 1 AB， AD 1 AC ， ED與BC平行，44根

8、據(jù)相似模型可知 ED:BC 1:4， EO:OC 1:4， S COD 4S EOD 4平方厘米， 則S CDE 4 1 5 平方厘米，15又因?yàn)?S AED :S CDE AD :DC 1:3 ，所以 S AED 5 （ 平方厘米 ） 33例 8】 在圖中的正方形中， A， B ， C分別是所在邊的中點(diǎn)， VCDO 的面積是 VABO面 積的幾倍？解析】例 9】連接 BC ，易知 OAEF ，OA:BE DA:DE 1:2 ，11OA BE AC 可得 CO 24V ABO面積的 3 倍。如圖，線段 AB與 BC垂直， 面積是多少？根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知 OB:OD AE:AD ，且所 以

9、 VCDO 的 面 積 等 于 VCBO 的 面 積 ； 由3OA，所以 SVCDO SVCBO已知 AD EC 4， BD解析】 解法一： 這個(gè)圖是個(gè)對(duì)稱圖形， 且各邊長(zhǎng)度已經(jīng)給出， 看看作輔 助線 BO，則圖 形關(guān)于 BO對(duì)稱 ，有 SVADOSVADO : SVDBO 4:6 設(shè) VADO 的面積為2:3 因?yàn)?SVABE6 1030 8 4 15 解法二：連接 DE 據(jù)相似三角形性質(zhì)， 根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以 S陰影 :S梯形 ADEC3SVABO ，即VCDO 的面積是BE 6 ，那么圖中陰影部分不妨連接這個(gè)圖形的對(duì)稱軸SVCEO ， SVDBOSVEBO ， 且2 份，則 VDBO

10、的面積為 3 份，直角三角形 ABE的面積為 8 份2 30 ，而陰影部分的面積為 4 份，所以陰影部分的面積為、 AC 由于 AD EC 4 ， BD BE 可知 DE:AC BD:BA 6:10 3:5 ，SVDOE : SVDOA : SVCOE : SVCOA 32 : 3 5 :15 15 : 9 15 15 25 15: 32 ，即6 ，所以 DE AC ，根3 5 :52 9 :15 :15 : 25 ，S 15 S ；S陰影S梯形 ADEC ；321 又 S梯形 ADEC2 101 1510 12 6 6=32 ，所以 S陰影 1352S梯形ADEC 15例 10】 （ 200

11、8 年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽） 如圖，四邊形ABCD和 EFGH 都是平行四邊形，四邊形 ABCD的面積是 16， BG:GC 3:1 ，則 四邊形 EFGH 的面積 解析】因?yàn)?FGHE 為平行四邊形，所以 EC/ / AG ，所以 AGCE為平行四邊形 SYABCD41:3 ，根據(jù)沙漏模型， SY AGCE4BG:GC 3:1 ，那么 GC:BC 1: 4，所以 SYAGCE又 AE GC ，所以 AE: BG GC:BGFG:AF BG:AE 3:1 ，所以 SY FGHE例 11 】已知三角形 ABC 的面積為 a， 交 CD 于 G ，求陰影部分的面積AF :

12、 FC2:1116 4 4，E是 BD的中點(diǎn)，且EFBC，解析】 已 知 AF: FC 2:1 ，且 EFEF :BC AF :AC 2:3，所以 EFBC ，2BC ，3用相似三角形性又因?yàn)?E 是 BD 的中點(diǎn)，所以EG 是三角形EG:EF 1223: 4 ，3所以GF :EF 1: 44:9那么EG12BC ，SVAFE1:8所以質(zhì)可知DBC 的中位線， 可 得 SVCFG且 SVAEF : SVABCSVCFG : SVABC1:18 ，那么 SVCFGa18例 12 】AE已知正方形 ABCD ，過(guò) C 的直線分別交10cm ， AF 15cm ，求正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)AB、 A

13、D 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F ，且解析】 方 法一：本題有兩個(gè)金字塔模型，根據(jù)這兩個(gè)模型有BC:AF CE:EF ，1，DC:AE CF:EF ，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 x cm，所以有BC DC CE CFAF AE EF EF 即 x x 1，解得 x 6 ，所以正方形的邊長(zhǎng)為 6cm 15 10 方法二：或根據(jù)一個(gè)金字塔列方程即 x 15 x ，解得 x 610 15例 13 】 如圖，三角形 ABC 是一塊銳角三角形余料，邊米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在AB、 AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？BC 120毫米，高 AD 80 毫BC 上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在H D G7解析】 觀察

14、圖中有金字塔模型 5 個(gè)，用與已知邊有關(guān)系的兩個(gè)金字塔模型，所以有PNAP ， PH BP ，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 x 毫米， PNPHAP BP 1，即BCAB AD ABBCADAB ABxx 1 ，解得 x 48 ，即正方形的邊長(zhǎng)為48毫米12080鞏固】如圖，在 ABC 中，有長(zhǎng)方形 DEFG ， G 、F 在 BC 上，D、E 分別在 AB 、 AC上， AH 是ABC 邊 BC的高，交 DE于 M ， DG:DE 1:2，BC 12厘米， AH 8 厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬解析】 觀察圖中有金字塔模型 5 個(gè)，用與已知邊有關(guān)系的兩個(gè)金字塔模型，所以DEAD ，DGBD ，DEDG所以有B

15、CABAHABBCAH2xx2448所以有1，解得x， 2x1287724厘米ADAB因此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是BADB 1，設(shè) DGx ，則 DE2x，478厘米，例 14】 圖中 ABCD是邊長(zhǎng)為 12cm的正方形， 從G 到正方形頂點(diǎn) C、D 連成一個(gè)三角 形，已知這個(gè)三角形在 AB上截得的 EF 長(zhǎng)度為 4cm，那么三角形 GDC 的面積是 多少？GG解析】 根據(jù)題中條件，可以直接判斷出 EF與 DC平行，從而三角形 GEF與三角形 GDC相 似，這樣，就可以采用相似三角形性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題做 GM 垂直 DC 于 M ，交 AB 于 N 因 為 EF DC ， 所 以 三 角 形 GEF

16、與 三 角 形 GDC 相 似 ， 且 相 似 比 為 EF :DC 4:12 1:3 ，所以GN : GM 1:3 ，又因?yàn)?MN GM GN 12，所以 GM 18 cm ， 所以三角形 GDC 的面積為 1 12 18 108 cm2 2例 15】如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為 2的正方形兩邊長(zhǎng)分別延長(zhǎng) 1和 3，割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積是多少？解析】 根 據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例有：NF 3 ； EM 1；1 2 2 3 2 3 1 2則 NF5，9EM19S陰 122553230例 16 】 （2008 年 101 中學(xué)考題 ） 圖中的大小正方形的邊長(zhǎng)均為整數(shù) （ 厘米 ） ，它們

17、的面積之和等于 52 平方厘米，則陰影部分的面積是n 厘米 （ m n ） ，則 m2 n2 52 ，所以52 ，不合題意， 所以 m只能為 6或 7檢解析】 設(shè)大、小正方形的邊長(zhǎng)分別為 m 厘米、 222m 8 若 m 5 ，則 m2 n2 52 2 50驗(yàn)可知只有 m 6、 n 4滿足題意，所以大、小正方形的邊長(zhǎng)分別為6 厘米和 4厘米根據(jù)相似三角形性質(zhì)， BG:GF AB:FE 6: 4 3: 2，而 BG GF 6，得 1BG 3.6 （厘米 ） ，所以陰影部分的面積為： 1 6 3.6 10.8 （平方厘米 ） 2例 17】 如圖，O是矩形一條對(duì)角線的中點(diǎn)， 圖中已經(jīng)標(biāo)出兩個(gè)三角形的

18、面積為3和 4，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？解析】 連接 OB ,面積為 4 的三 角形占了 矩形面 積的 1 ，所以 SOEB 4 3 1 ,所 以 4OE:EA 1:3 , 所 以 CE:CA 5:8 , 由 三 角 形 相 似 可 得 陰 影 部 分 面 積 為 8 （5）2 25 88F 、G 是 BC邊上的例 18】 已知長(zhǎng)方形 ABCD的面積為 70厘米， E是 AD 的中點(diǎn)， 三等分點(diǎn)，求陰影 EHO 的面積是多少厘米？解析】 因?yàn)?E是 AD 的中點(diǎn)， F 、G 是 BC邊上的三等分點(diǎn)， 由此可以說(shuō)明如果把長(zhǎng)方形 的長(zhǎng)分成 6 份的話，那么 ED AD 3份、 B

19、F FG GC 2份，大家能在圖形中 找到沙漏 EOD和 BOG ：有 EDBG = 34 ，所以 ODBO 34，相當(dāng)于把 BD 分成（ 3 4） 7份，同理也可以在圖中在次找到沙漏：EHD和 BHF也是沙漏，EDBF 32 ，由此可以推出： HDBH 32, 相當(dāng)于把 BD分成 （ 3 2） 5份， 那么我們就可以把 BD分成 35份（ 5和7的最小公倍數(shù) ）其中 OD占15份，BH 占14 35份， HO 占 6份，連接 EB則可知 BED的面積為 70 4，在 BD為底的三角235 6形中 HO 占 6份，則面積為： 35 6 3（平方厘米 ）.2 35例 19 】ABCD 是平行四邊

20、形，面積為 72 平方厘米， E 、 F 分別為 AB 、 BC 的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為 平方厘米解析】 方 法一：注意引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的中位線定理以及平行線的相關(guān)性質(zhì)設(shè)G、 H分別為 AD、 DC的中點(diǎn)，連接 GH 、EF、BD 1可得 SVAED = S平行四邊形 ABCD ，4 BD 被 EF 、23 BD : BD44SVAEO 3對(duì)角線DO :ED所以AC 、GH 平 均 分 成 四 段 ，OM EF ， 所 以2:3 ， OE :EDED OD :ED2 :3 1:3，14 S平行四邊形 ABCD411 72 6 （4方厘米），SVADO 2 SVAEO12 （ 平方厘米

21、 ） 同理可得SV CFM 6 平方厘米， SVCDM12 平方厘米所以 SV ABC SVAEO SVCFM 36 6 624 （ 平方厘米 ），于是，陰影部分的面積為 24 12 12 方法二：尋找圖中的沙漏， AE:CD48（ 平方厘米 ）因此 O,M 為 AC 的三等分點(diǎn)， SODMAO:OC 1:2，1S平行四邊形 ABCD6FC : AD CM : AM 1:2， 172 12 （ 平方厘米 ） ，S AEOSOCD4S陰影 72 12 66 （ 平方厘米 ） ，所以11 12 2 6 （ 平方厘米 ） ，同理 S FMC46 48（ 平方厘米 ） 例 20】 如圖，三角形 PDM

22、 的面積是 8 平方厘米，長(zhǎng)方形 ABCD的長(zhǎng)是 6 厘米，寬是4 厘米， M 是 BC的中點(diǎn)，則三角形 APD 的面積是平方厘米解析】 本 題在矩形內(nèi)連接三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形， 而且其中一點(diǎn)是矩形某一條邊的中點(diǎn)， 一 般需要通過(guò)這一點(diǎn)做垂線取 AD 的中點(diǎn) N ，連接 MN ，設(shè) MN 交 PD 于 K 則三角形 PDM 被分成兩個(gè)三角形，而且這兩個(gè)三角形有公共的底邊 MK ，可知三 18角形 PDM 的面積等于 MK BC 8 （平方厘米 ），所以 MK= （厘米 ），那么 2384NK 4（ 厘米 ） 33因?yàn)?NK 是三角形 APD 的中位線，所以 AP 2 NK 8 （厘米 ） ，所以

23、三角形 APD3的面積為 1 8 6 8 （平方厘米 ） 23例 21 】 如圖，長(zhǎng)方形 ABCD 中， E 為 AD 的中點(diǎn)， AF 與 BE 、 BD 分別交于 G 、 H ， OE垂直 AD于E，交 AF 于O，已知 AH 5cm，HF3cm ，求AG解析】 由于 AB DF ，利用相似三角形性質(zhì)可以得到AB: DFAH: HF5:3例 22 】解析】例 23 】又因?yàn)?E 為 AD 中點(diǎn)，那么有3所 以 AB:OE 5: 10:3210:3 ，AG:GO AB:OE11 而 AO AF2253右圖中正方形的面積為陰影部分的面積OE: FD 1:2，cm1，利用相，所以 AG形性質(zhì)以得到

24、101340 cm13E、 F 分別為 AB、BD 的中點(diǎn)， GC1FC 求3題中條件給出的都是比例關(guān)系， 解，而圖中出現(xiàn)最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性質(zhì) 陰影部分為三角形， 已知底邊為正方形邊長(zhǎng)的一半， 只要求出高， 便可求出面積 可 以作 FH 垂直 BC于H ， GI垂直 BC于I 根據(jù)相似三角形性質(zhì)， CI由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過(guò)比例求:CH CG:CF 1:3 ，又因?yàn)镃I :CB 1:6，即 BI :BC6 1 :6 5: 6，所以 SVBGECH HB ，所以121 5 52 6 24梯形 ABCD 的面積為于 F ，四邊形 CDFE 的面積是

25、12，AB 2CD，E為 AC的中點(diǎn)，BE 的延長(zhǎng)線與 AD 交解析】 延長(zhǎng) BF 、 CD相交于 G 由于 E為 AC的中點(diǎn)，根據(jù)相似三角形性質(zhì)， CG AB 2CD ，GD 1GC 1AB ， 22再 根 據(jù) 相 似 三 角 形 性 質(zhì) ，AF :FDAB:DG2:1 ，GF :GB 1:3 ， 而S ABD :S BCDAB :CD2:1 ，所以 S BCDSABCD1 12 4 ，S GBC2SBCD833又 S GDF 11 1 ，S EBC SGBC ，所以SCDFE111S GBC1S GBC 8 GBC S GBC 2362263 GBC 3E、F 分別為各邊的中點(diǎn)，例 24

26、】 如圖，三角形 ABC 的面積為 60 平方厘米， D 、 那么陰影部分的面積是 平方厘米解析】 陰 影部分是一個(gè)不規(guī)則的四邊形， 不方便直接求面積， 可以將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形 的面積之差 而從圖中來(lái)看， 既可以轉(zhuǎn)化為 BEF 與 EMN的面積之差， 又可以轉(zhuǎn) 化為 BCM 與 CFN 的面積之差（法 1）如圖，連接 DE 由于 D、 E、F 分別為各邊的中點(diǎn)，那么 BDEF 為平行四邊形，且面積為三角形 ABC面積的一半，即 30平方厘米；那么 BEF的面積為平行四邊形 BDEF 面積的 一半，為 15 平方厘米根據(jù)幾何五大模型中的相似模型， 由于 DE為三角形 ABC的中位線， 長(zhǎng)度為

27、BC的 1一半，則 EM :BM DE :BC 1: 2 ，所以 EMEB；31EN:FN DE:FC 1:1 ，所以 EN EF 213 16 ， 所 以 陰 影 部 分 面 積 為那 么 EMN 的 面 積 占 BEF 面 積 的 12115 1 1 12.5 （ 平方厘米 ）6（法 2） 如圖，連接 AM 根據(jù)燕尾定理， S ABM :S BCM AE:EC 1:1， 11所以S BCOS ABC60 20 平方厘米，3311而S BDC S ABC 60 30 平方厘米，所以 22S ACMS FCN:S BCM AD :DB 1:1 ，1S BDC 7.5 平方厘米，4那么陰影部分面

28、積為 20 7.5 12.5（平方厘米 ）總結(jié)】求三角形的面積，一般有三種方法： 利用面積公式：底 高 2 ； 利用整體減去部分；利用比例和模型例 25 】如圖 , ABCD 是直角梯形， 多少 ?AB4, AD 5,DE3，那么梯形 ABCD 的面積是解析】延長(zhǎng)EO交 AB于 F點(diǎn)，分別計(jì)算 AOD,AOB,DOC,BOC 的面積，再求和DEBF DOOB 31S AOD S AOB 31 ； S DOC S BOC 31S AODS BOC1又 SABD4 5 1023S AODSABD 7.5 , S AOB 2.5, S BOC 7.5, SDOC3S BOC 3 7.5 22.5AO

29、D 4 ABDS梯形 ABCD 7.5 2.5 7.5 22.5 40例 26 】邊長(zhǎng)為 8 厘米和 12厘米的兩個(gè)正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面 積是多少平方厘米？解析】例 27 】解析】例 28 】給 圖形標(biāo)注字母， 按順時(shí)針?lè)较驑?biāo)注，分別交 AC,AD于O,H 兩點(diǎn)，AOOC ABEC 1220AOAC 38 ，1212229 S ADCS ADC40 ADCAHAD35，35，S ADCS AHO729 724016.2大正方形為 ABCD ，小正方形為 MNDE ，EBAHBC AOOC 35S AHOS ADC940ABCD 中， EF16， FG 9 ，求 AG的長(zhǎng)如右

30、圖，長(zhǎng)方形因?yàn)?DA BE ，根據(jù)相似三角形性質(zhì)知又因?yàn)?DFAG 所以 AGGE ABFG ，GA ， DG， GB2即 AG 2FG ，GA ，GE FG 25DGGB) 如圖，已知正方形(第 21屆迎春杯試題點(diǎn)， E是 DC邊上的點(diǎn)，且 DE:EC 1:3 ，AG ，GE ，2225 152 ，所以 AGABCD 的邊長(zhǎng)為 4，AF 與 BE 相交于點(diǎn) G15F 是 BC 邊的中 ，求 S ABG解析】 方法一：連接 AE，延長(zhǎng) AF ， DC兩條線交于點(diǎn) M ，構(gòu)造出兩個(gè)沙漏，所以有AB:CM BF :FC 1:1 ，因此 CM 4 ，根據(jù)題意有 CE 3 ，再根據(jù)另一個(gè)沙漏有 GB:

31、GEAB:EM4:7，所以 SABG方法二：連接AE,EF ，S AEF4441232247S ABF :S AEFBG:GE4:7 ，所以 S ABG4S ABE43211(4 42) 47 ABE11分別求S ABF4 2 2 4 ，根據(jù)蝴蝶定理4432S ABE(44 2) 471111F 是 AB 、 AD 的中點(diǎn)，例 29】 如圖所示，已知平行四邊形 ABCD的面積是 1， E、 BF 交 EC于 M ，求 BMG的面積HGBCEM解析】 解 法 一 ： 由 題 意 可 得 ， E 、F 是 AB 、AD 的 中 點(diǎn) ， 得 EF / /BD ， 而FD:BC FH : HC 1:2

32、，EB:CD BG:GD 1:2所以 CH :CF GH :EF 2:3 ， 并得 G 、 H 是 BD的三等分點(diǎn)，所以 BG GH ，所以1111S ABDSY ABCD22241212S BMGS BFDBMG 3535114 30BG:EF BM :MF 2:32所以 BM BF ， S BFD51又因?yàn)?BG 1 BD ，所以3解法二：延長(zhǎng) CE 交 DA于 I ，如右圖， 可得， AI :BC AE:EB 1:1 ， 從而可以確定 M 的點(diǎn)的位置， BM : MF BC:IF 2:3 ，2BM BF5可得 S BMG1BG BD ( 鳥(niǎo)頭定理 )，32 12 1 11S BDFSY

33、ABCD5 35 3 430例 30 】 ( 清華附中入學(xué)試題 F 是 BC的中點(diǎn)，四邊形) 正方形 ABCD 的面積是 BGHF 的面積是120 平方厘米， E 是 AB的中點(diǎn)， 平方厘米解析】欲 求四邊形 BGHF 的面積須求出EBG和DCCHF 的面積1 由題意可得到： EG:GC EB:CD 1: 2 ，所以可得： S EBG S BCEEBG 3 BCE 將 AB 、 DF 延長(zhǎng)交于 M 點(diǎn)，可得：BM :DCMF :FD BF:FC1:1，而 EH:HCEM:CD1(ABAB):CD3:22 ，得 CHCE ，25而 CF1 BC ，所以SCHF12 S BCE1SBCE2255S BCE11ABBC1120302241177S四邊形BGHFS EBCSEBCSEBCSEBC30 14 351515本題也可以用蝴蝶定理來(lái)做， 連接 EF，確定 H 的位置（也就是 FH : HD ） ，同樣也 能解出例 31】如 圖 ， 已 知 SABC 14 , 點(diǎn) D,E,F 分 別 在 AB, BC,CA 上 ， 且AD 2,BD 5,AF FC ， S四邊形DBEF SABE 則 SABE 是多少？解析】 ABC 的面積已知，若知道ABE的面積占 ABC 的幾分之幾