1、2)幾何法時(shí)期自己動(dòng)手計(jì)算圓周率圓周率的計(jì)算歷程圓周率是一個(gè)極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開始，這個(gè)數(shù)就引進(jìn)了外行人和學(xué)者們的興趣。作為一個(gè)非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關(guān)圓的計(jì)算問題。僅憑這一點(diǎn)，求出它的盡量準(zhǔn)確的近似值，就是一個(gè)極其迫切的問題了。事實(shí)也是如此，幾千年來作為數(shù)學(xué)家們的奮斗目標(biāo)，古今中外一代又一代的數(shù)學(xué)家為此獻(xiàn)出了自己的智慧和勞動(dòng)?；仡櫄v史，人類對 兀的認(rèn)識過程，反映了數(shù)學(xué)和計(jì)算技術(shù)發(fā)展情形的一個(gè)側(cè)面。兀的研究，在一定程度上反映這個(gè)地區(qū)或時(shí)代的數(shù)學(xué)水平。德國數(shù)學(xué)史家康托說： “歷史上一個(gè)國家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度，可以作為衡量這個(gè)國家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo)?！敝钡?

2、19 世紀(jì)初， 求圓周率的值應(yīng)該說是數(shù)學(xué)中的頭號難題。為求得圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路，它的歷史是饒有趣味的。我們可以將這一計(jì)算歷程分為幾個(gè)階段。（ 1）實(shí)驗(yàn)時(shí)期通過實(shí)驗(yàn)對 支值進(jìn)行估算，這是計(jì)算式的的第一階段。這種對 支值的估算基本上都是以觀察或?qū)嶒?yàn)為根據(jù)，是基于對一個(gè)圓的周長和直徑的實(shí)際測量而得出的。在古代世界，實(shí)際上長期使用n=3這個(gè)數(shù)值。在我國劉徽之前 圓徑一而周三”曾廣泛流傳。我國第一部周髀算經(jīng)中，就記載有圓“周三徑一”這一結(jié)論。在我國，木工師傅有兩句從古流傳下來的口訣：叫做：“周三徑一，方五斜七”，意思是說，直徑為1 的圓，周長大約是3,邊長為5的正方形，對角線之長約為

3、7。這正反映了早期人們對圓周率汽和，2這兩個(gè)無理數(shù)的粗略估計(jì)。東漢時(shí)期官方還明文規(guī)定圓周率取3為計(jì)算面積的標(biāo)準(zhǔn)。后人稱之為“古率 ”。 在我國東、西漢之交，新朝王莽令劉歆制造量的容器 律嘉量斛。劉歆在制造標(biāo)準(zhǔn)容器的過程中就需要用到圓周率的值。為此，他大約也是通過做實(shí)驗(yàn)，得到一些關(guān)于圓周率的并不劃一的近似值?，F(xiàn)在根據(jù)銘文推算，其計(jì)算值分別取為3.1547， 3.1992， 3.1498， 3.2031 比徑一周三的古率已有所進(jìn)步。人類的這種探索的結(jié)果，當(dāng)主要估計(jì)園田面積時(shí)，對生產(chǎn)沒有太大影響，但以此來制造器皿或其它計(jì)算就不合適了。憑直觀推測或?qū)嵨锒攘?，來?jì)算支值的實(shí)驗(yàn)方法所得到的結(jié)果是相當(dāng)粗略的

4、。真正使圓周率計(jì)算建立在科學(xué)的基礎(chǔ)上，首先應(yīng)歸功于阿基米德。他是科學(xué)地研究這一常數(shù)的第一個(gè)人，是他首先提出了一種能夠借助數(shù)學(xué)過程而不是通過測量的、能夠把汽的值精確到任意精度的方法。由此，開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的第二階段。阿基米德求圓周率的更精確近似值的方法，體現(xiàn)在他的一篇論文圓的測定之中。在這一書中，阿基米德第一次創(chuàng)用上、下界來確定式的近似值，他用幾何方法證明了圓周長與圓直徑之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ，他還提供了誤差的估計(jì)。重要的是，這種方法從理 ”論上而言，能夠求得圓周率的更準(zhǔn)確的值。到公元150 年左右，希臘天文學(xué)家托勒密得出n=3.1416,取得了自阿基米德以來

5、的巨大進(jìn)步。在我國，首先是由數(shù)學(xué)家劉徽得出較精確的圓周率。公元263 年前后，劉徽提出著名的割圓術(shù)，得出n=3.14,通常稱為 徽率”，他指出這是不足近似值。雖然他提出割圓術(shù)的時(shí)間比阿基米德晚一些，但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，比阿基米德用內(nèi)接同時(shí)又用外切正多邊形簡捷得多。另外，有人認(rèn)為在割圓術(shù)中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法，以致于他將割到 192 邊形的幾個(gè)粗糙的近似值通過簡單的加權(quán)平均，竟然獲得具有4 位有效數(shù)字的圓周率 n=3927/1250 =3.1416。而這一結(jié)果，正如劉徽本人指出的，如果通過割圓計(jì)算得出這個(gè)結(jié)果，需要割

6、到3072 邊形。這種精加工方法的效果是奇妙的。恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻(xiàn)吧。對此，隋書律歷志有如下記載：宋末，南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，胭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈胭二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二?！边@一記錄指出，祖沖之關(guān)于圓周率的兩大貢獻(xiàn)。 其一是求得圓周率 3.1415926 <n< 3.1415927。其二是，得到 支的兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)即：約率為 22/7;密率為355/113。他算出的 汽的8位可靠數(shù)字，不但在當(dāng)時(shí)是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九

7、百多年。以致于有數(shù)學(xué)史家提議將這一結(jié)果命名為“祖率 ”。（3）分析法時(shí)期這一時(shí)期人們開始擺脫求多邊形周長的繁難計(jì)算，利用無窮級數(shù)或無窮連乘積來算汽。1593年，韋達(dá)給出這一不尋常的公式是 冗的最早分析表達(dá)式。甚至在今天，這個(gè)公式的優(yōu)美也會(huì)令我們贊嘆不已。它表明僅僅借助數(shù)字2， 通過一系列的加、乘、除和開平方就可算出冗值。接著有多種表達(dá)式出現(xiàn)。1706年，梅欽建立了一個(gè)重要的公式，現(xiàn)以他的名字命名，再利用分析中的級數(shù)展開，他算到小數(shù)后 100 位。這樣的方法遠(yuǎn)比可憐的魯?shù)婪蛴么蟀肷鷷r(shí)間才摳出的35 位小數(shù)的方法簡便得多。顯然，級數(shù)方法宣告了古典方法的過時(shí)。此后，對于圓周率的計(jì)算像馬拉松式競賽，紀(jì)

8、錄一個(gè)接著一個(gè)。19世紀(jì)以后，類似的公式不斷涌現(xiàn)， 冗 的位數(shù)也迅速增長。1873年，謝克斯利用梅欽的一系列方法，級數(shù)公式將 冗算 到小數(shù)后707 位。為了得到這項(xiàng)空前的紀(jì)錄，他花費(fèi)了二十年的時(shí)間。他死后，人們將這凝聚著他畢生心血的數(shù)值，銘刻在他的墓碑上，以頌揚(yáng)他頑強(qiáng)的意志和堅(jiān)忍不拔的毅力。于是在他的墓碑上留下了他一生心血的結(jié)晶：冗的小數(shù)點(diǎn)后707 位數(shù)值。這一驚人的結(jié)果成為此后74 年的標(biāo)準(zhǔn)。此后半個(gè)世紀(jì)，人們對他的計(jì)算結(jié)果深信不疑，或者說即便懷疑也沒有辦法來檢查它是否正確。以至于在1937年巴黎博覽會(huì)發(fā)現(xiàn)館的天井里，依然顯赫地刻著他求出的冗值。又過了若干年，數(shù)學(xué)家弗格森對他的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生了

9、懷疑， 其疑問基于如下猜想：在冗 的數(shù)值中，盡管各數(shù)字排列沒有規(guī)律可循，但是各數(shù)碼出現(xiàn)的機(jī)會(huì)應(yīng)該相同。當(dāng)他對謝克斯的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)各數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)過于參差不齊。于是懷疑有誤。 他使用了當(dāng)時(shí)所能找到的最先進(jìn)的計(jì)算工具，從 1944 年 5 月到 1945 年 5 月，算了整整一年。1946 年，弗格森發(fā)現(xiàn)第528 位是錯(cuò)的（應(yīng)為4，誤為5）。謝克斯的值中足足有一百多位全都報(bào)了銷，這把可憐的謝克斯和他的十五年浪費(fèi)了的光陰全部一筆勾銷了。對此，有人曾嘲笑他說：數(shù)學(xué)史在記錄了諸如阿基米德、 費(fèi)馬等人的著作之余，也將會(huì)擠出那么一、二行的篇幅來記述1873年前謝克斯曾把冗計(jì)算到小數(shù)707位這件事。這樣

10、，他也許會(huì)覺得自己的生命沒有虛度。 如果確實(shí)是這樣的話，他的目的達(dá)到了。人們對這些在地球的各個(gè)角落里做出不懈努力的人感到不可理解，這可能是正常的。但是， 對此做出的嘲笑卻是過于殘忍了。人的能力是不同的，我們無法要求每個(gè)人都成為費(fèi)馬、高斯那樣的人物。 但成為不了偉大的數(shù)學(xué)家，并不意味著我們就不能為這個(gè)社會(huì)做出自己有限的貢獻(xiàn)。人各有其長，作為一個(gè)精力充沛的計(jì)算者，謝克斯愿意獻(xiàn)出一生的大部分時(shí)光從事這項(xiàng)工作而別無報(bào)酬，并最終為世上的知識寶庫添了一小塊磚加了一個(gè)塊瓦。對此我們不應(yīng)為他的不懈努力而感染并從中得到一些啟發(fā)與教育嗎？1948年1月弗格森和倫奇兩人共同發(fā)表有 808位正確小數(shù)的 冗。這是人工計(jì)

11、算 九的最高記錄。（4）計(jì)算機(jī)時(shí)期1946年，世界第一臺計(jì)算機(jī) ENIAC制造成功，標(biāo)志著人類歷史邁入了電腦 時(shí)代。電腦的出現(xiàn)導(dǎo)致了計(jì)算方面的根本革命。1949年，ENIAC根據(jù)梅欽公式計(jì) 算到2035（一說是2037）位小數(shù)，包括準(zhǔn)備和整理時(shí)間在內(nèi)僅用了70 小時(shí)。計(jì)算機(jī)的發(fā)展一日千里，其記錄也就被頻頻打破。1973 年，有人就把圓周率算到了小數(shù)點(diǎn)后100 萬位，并將結(jié)果印成一本二百頁厚的書，可謂世界上最枯燥無味的書了。1989 年突破10 億大關(guān)，1995 年10月超過 64億位。 1999年 9月 30日，文摘報(bào)報(bào)道，日本東京大學(xué)教授金田康正已求到2061.5843億位的小數(shù)值。如果將這

12、些數(shù)字打印在 A4大小的復(fù)印紙上，令每頁印2 萬位數(shù)字，那么，這些紙摞起來將高達(dá)五六百米。來自最新的報(bào)道： 金田康正利用一臺超級計(jì)算機(jī)，計(jì)算出圓周率小數(shù)點(diǎn)后一兆二千四百一十一億位數(shù)，改寫了他本人兩年前創(chuàng)造的紀(jì)錄。據(jù)悉， 金田教授與日立制作所的員工合作， 利用目前計(jì)算能力居世界第二十六位的超級計(jì)算機(jī)，使用新的計(jì)算方法，耗時(shí)四百多個(gè)小時(shí)，才計(jì)算出新的數(shù)位，比他一九九九年九月計(jì)算出的小數(shù)點(diǎn)后二千六百一十一位提高了六倍。圓周率小數(shù)點(diǎn)后第一兆位數(shù)是二，第一兆二千四百一十一億位數(shù)為五。如果一秒鐘讀一位數(shù)，大約四萬年后才能讀完。自己動(dòng)手計(jì)算圓周率（ 1）課程目的1、理解并掌握蒙特卡羅模擬的基本原理；2、運(yùn)用

13、蒙特卡洛思想解決實(shí)際問題；3、分析總結(jié)蒙特卡洛解決問題的優(yōu)缺點(diǎn)。2）計(jì)算原理用蒙特卡洛思想計(jì)算冗的值分為如下幾部：第一步構(gòu)建幾何原理：構(gòu)建單位圓外切正方形的幾何圖形。單位圓的面積為S0=冗，正方形的面積S1=4;第二步產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)進(jìn)行打把：這里用MATLA斯生均勻隨機(jī)數(shù)。分別生產(chǎn)均勻隨機(jī)數(shù)(x,y)二維坐標(biāo)。X,y的范圍為-1到1.總共生成N個(gè)坐標(biāo)(x,y).統(tǒng)計(jì)隨機(jī)生 成的坐標(biāo)(x,y)在單位圓內(nèi)的個(gè)數(shù) M第三步打把結(jié)構(gòu)處理：根據(jù) S0/S1=M/N計(jì)算出冗的值。因此兀=4*M/N。第四步改變N的值分析冗的收斂性：總數(shù)1000開始打把，依次增長10倍到1百 萬個(gè)計(jì)數(shù)。(3)代碼內(nèi)容1、用mat

14、lab編寫的實(shí)驗(yàn)代碼，總計(jì)數(shù)率為 1000。zfx_x=1,-1,-1,1,1;zfx_y=1,1,-1,-1,1;plot(zfx_x,zfx_y) axis(-3 3 -3 3); hold on;r=1; theta=0:pi/100:2*pi; x=r*cos(theta); y=r*sin(theta); rho=r*sin(theta); figure plot(x,y, '-') N=1000;mcnp_x=zeros(1,N); mcnp_y=zeros(1,N)； M=0;for i=1:Nx=2*(rand(1,1)-0.5);y=2*(rand(1,1)-0.5); if (xA2+yA2)<1) M=M+1; mcnp_x(i)=x; mcnp_y(i尸y； endend plot(mcnp_x,mcnp_y, '.')PI1=4*M/N;2、用matlab繪制的圖形-2 -3 11111-3-2-10123(4)實(shí)驗(yàn)結(jié)果1 .當(dāng)模擬總計(jì)數(shù)為1000時(shí)，某次計(jì)算結(jié)果：PI=3.1282 .改變實(shí)驗(yàn)總數(shù)繪