1、 第七章第七章 不等概抽樣不等概抽樣放回不等概率抽樣放回不等概率抽樣不放回不等概率抽樣不放回不等概率抽樣利用軟件進(jìn)行抽樣和計(jì)算利用軟件進(jìn)行抽樣和計(jì)算案例分析案例分析第一節(jié) 不等概率抽樣概述一、不等概率抽樣的必要性一、不等概率抽樣的必要性 1、在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，總體(或?qū)?中的每個(gè)單元入樣的概率都相等。等概率抽樣的特點(diǎn)是總體中的每個(gè)單元在該總體中的地位(或重要性)相同，在抽樣時(shí)對(duì)每個(gè)單元采取的是“不偏不倚”的態(tài)度 。等概率抽樣不僅實(shí)施簡(jiǎn)單，而且相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理公式也簡(jiǎn)單。但是在許多實(shí)際問題中，我們還需要使用不等概率抽樣(sampling with unequal probabilities)。2、

2、抽樣單元在總體中所占的地位不一致：例如：要反映某小麥品種的優(yōu)良情況，以村作為抽樣單位，但各村的種植面積不同，一些種植面積大的村莊在抽樣中是否被抽中對(duì)推斷總體的結(jié)果有很大影響 ，所以讓“大單元”被抽到的概率大，“小單元”被抽到的概率小，這樣能夠大大提高樣本的代表性，減少抽樣誤差。 不等概率抽樣概述 不等概率抽樣的特點(diǎn) 2、不等概率抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)是由于使用了輔助信息，提高了抽樣策略的統(tǒng)計(jì)效率， 能顯著地減少抽樣誤差。1、凡需使用不等概率抽樣的場(chǎng)合，必須提供總體單元的某種輔助信息。例如：例如：每個(gè)單元的“大小”度量Mi。注意：注意：比估計(jì)和回歸估計(jì)是估計(jì)方法用到了輔助信息，本章是抽樣方法用到輔助

3、信息.不等概率抽樣的特點(diǎn)3 3、抽樣框的創(chuàng)建比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣成本、抽樣框的創(chuàng)建比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣成本高，更復(fù)雜，因?yàn)樾枰鎯?chǔ)總體中每一個(gè)單元高，更復(fù)雜，因?yàn)樾枰鎯?chǔ)總體中每一個(gè)單元的度量大小的度量大?。? 4、并非在任何情況下都能使用，因?yàn)椴⒉皇敲恳?、并非在任何情況下都能使用，因?yàn)椴⒉皇敲恳粋€(gè)總體都有穩(wěn)定且與主要調(diào)查變量相關(guān)的有關(guān)個(gè)總體都有穩(wěn)定且與主要調(diào)查變量相關(guān)的有關(guān)大小或規(guī)模的度量大小或規(guī)模的度量；5 5、抽樣及估計(jì)（特別對(duì)不放回抽樣）相當(dāng)復(fù)雜、抽樣及估計(jì)（特別對(duì)不放回抽樣）相當(dāng)復(fù)雜； 6 6、 當(dāng)單元大小度量不準(zhǔn)確或不穩(wěn)定時(shí)不適用當(dāng)單元大小度量不準(zhǔn)確或不穩(wěn)定時(shí)不適用。6不等

4、概率抽樣的分類放回不等概抽樣放回不等概抽樣：按照總體單元的規(guī)模大小來確定在每次抽中的概率。抽取后放回總體，再進(jìn)行下一次抽樣，每次抽樣都是獨(dú)立的。這種抽樣稱為放回不等概抽樣(sampling with p probabilities p proportional to s sizes，簡(jiǎn)稱PPS抽樣) 不放回的不等概抽樣不放回的不等概抽樣：每次在總體中對(duì)每個(gè)單元按入樣概率進(jìn)行抽樣，抽出的樣本不再放回總體，因此，在抽取了第一個(gè)單元后，余下的單元再以什么概率被抽取就較復(fù)雜。 這種抽樣不是獨(dú)立的，無論是抽樣方法還是方差估計(jì)，都要比放回抽樣繁復(fù)得多。不放回抽樣通常稱為PS抽樣。抽樣。放回不等概抽樣 PP

5、S PPS抽樣：有放回的不等概抽樣抽樣：有放回的不等概抽樣01100,11NiiNiiiiiNMiiNinMMMZMnZ抽設(shè)總體包含 個(gè)單元，是第 個(gè)單元的大小或規(guī)模的度量， ， ，總體的總規(guī)模度量為：則第 個(gè)單元的抽選概率為：即，一次抽完后再，進(jìn)行下一次抽取。獨(dú)立地進(jìn)行這樣的抽樣 次樣概率正比于規(guī)模度量放回有可能重復(fù)，只調(diào)查一次，但計(jì)算時(shí)按，共抽到 個(gè)重復(fù)數(shù)單元（計(jì)算）。0N1N1jj1N1jj1N1jjN2111211iMMM2M1MMNMM2M1MM2M21M1Mi ，代代碼碼單單元元大大小小單單元元在PPS抽樣中，賦予每個(gè)單元與Mi相等的代碼數(shù)，將代碼數(shù)累加得到M0，每次抽樣都等概等概

6、產(chǎn)生一個(gè)1，M0之間的隨機(jī)數(shù)，設(shè)為m，代碼m所對(duì)應(yīng)的單元被抽中。放回不等概率抽樣實(shí)施方法放回不等概率抽樣實(shí)施方法1.代碼法代碼法累計(jì)累計(jì)代碼代碼10.66616214.5145151715131.515166152166413.713730316730357.87838130438161515053138253171010063153263183.6366676326679660727668727101.11173872873873.8738 例例5.1 設(shè)某個(gè)總體有設(shè)某個(gè)總體有10個(gè)單元，相應(yīng)的單元大小及其代碼個(gè)單元，相應(yīng)的單元大小及其代碼數(shù)如下表，在其中產(chǎn)生一個(gè)數(shù)如下表，在其中產(chǎn)生一個(gè)n=

7、3的樣本。的樣本。 iMi假設(shè)在假設(shè)在1,7381,738 中中等概等概產(chǎn)生第一個(gè)隨機(jī)數(shù)為產(chǎn)生第一個(gè)隨機(jī)數(shù)為354354，再在，再在1,7381,738中產(chǎn)生第二中產(chǎn)生第二個(gè)隨機(jī)數(shù)為個(gè)隨機(jī)數(shù)為553553，最后在，最后在1,7381,738中產(chǎn)生第三個(gè)隨機(jī)數(shù)為中產(chǎn)生第三個(gè)隨機(jī)數(shù)為493493，則它們所，則它們所對(duì)應(yīng)的第對(duì)應(yīng)的第5 5，7 7，6 6號(hào)單元被抽中。號(hào)單元被抽中。 Mi*10例：假設(shè)有例：假設(shè)有10個(gè)鄉(xiāng)，每個(gè)鄉(xiāng)的村莊數(shù)不同，按個(gè)鄉(xiāng)，每個(gè)鄉(xiāng)的村莊數(shù)不同，按pps抽抽3個(gè)鄉(xiāng)個(gè)鄉(xiāng)鄉(xiāng)村莊數(shù)Mi累計(jì)代碼155152283363332659345941473607351083748363812

8、1841217712812212885017812917892180179180108188181188結(jié)合一下整群抽樣、結(jié)合一下整群抽樣、多階段抽樣多階段抽樣2.2.拉希里法拉希里法( (二次抽取法二次抽取法) )（統(tǒng)計(jì)學(xué)家（統(tǒng)計(jì)學(xué)家LahiriLahiri最先提出）：最先提出）：1max 11M ,MM1M M.Mii NaaiiiiiMNMapN M Mi令每次從 ，中簡(jiǎn)單隨機(jī)地抽取一隨機(jī)數(shù)a，同時(shí)再獨(dú)立從 ，中抽取一隨機(jī)數(shù)b。若b則第 個(gè)單元入樣，若b則重抽。第i個(gè)單元被抽中的概率:z =pa=i,b=pa=ib=顯然地，z簡(jiǎn)單隨機(jī)設(shè)設(shè) M1, M2,MN為單元的規(guī)模為單元的規(guī)模放回不

9、等概率抽樣實(shí)施方法放回不等概率抽樣實(shí)施方法拉希里法抽樣舉例：拉希里法抽樣舉例：例例5.1中，中，M=150,N=10.在在1,10,1,150 中分別產(chǎn)中分別產(chǎn)生（生（ i,m）如下）如下:第一次第一次 (3,121) , M3=15121, 舍棄，重抽舍棄，重抽 ；第二次（第二次（8，50），），M8=3677, 第第7號(hào)單元入樣；號(hào)單元入樣；第四次（第四次（5，127），），M5=7877, 第第4號(hào)單元入樣；號(hào)單元入樣；第六次第六次(9,60),M9=6060, 第第9號(hào)單元入樣；號(hào)單元入樣；因此第因此第4，7，9號(hào)單元被抽中。號(hào)單元被抽中。三、三、Hansen-HurwitzHanse

10、n-Hurwitz（漢森漢森- -郝維茨郝維茨）估計(jì)量及其性質(zhì)：）估計(jì)量及其性質(zhì)：112121,1(1) ()1(2) ()()1(3) ()()()(1)nniHHiiHHNiHHiiiniHHHHHHiizzyYnzE YYYV YZYnZyYYV Yn nvz樣本單元被抽中的概率 ， ，則對(duì)總體總量Y的估計(jì)是是的無偏估計(jì)。 因?yàn)槭欠呕爻闃樱允仟?dú)立樣本，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的結(jié)因?yàn)槭欠呕爻闃?，所以是?dú)立樣本，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的結(jié)論可以在這里應(yīng)用。論可以在這里應(yīng)用。放回不等概率抽樣對(duì)總體特征的估計(jì)放回不等概率抽樣對(duì)總體特征的估計(jì)對(duì)上述結(jié)論加以說明：對(duì)上述結(jié)論加以說明： 獨(dú)立同分布樣本y1y2yn抽中概率z1

11、z2zn新變量 ty1/ z1y2 /z2yn/zn22111222111111v()=v(1V T()(1)1()11niniiHHinitHHiHHHHnnitiHHiiiiitytYnnzV tV YYtnnnysttysYnzYnnz樣本均值 （）即 （）的無偏估計(jì)量為：）（）（）漢森漢森-赫維茨估計(jì)量估計(jì)給出總體總量的估計(jì)赫維茨估計(jì)量估計(jì)給出總體總量的估計(jì), 如果對(duì)總體均值估計(jì)可按下公式：如果對(duì)總體均值估計(jì)可按下公式：0100221011()()(1)nHHiHHiiniHHHHiiMyYYMM nzyv YYM n nz假設(shè)是總體規(guī)模大小的度量例：例：某縣農(nóng)業(yè)局要調(diào)查全縣養(yǎng)豬專業(yè)戶

12、今年生豬的出欄頭某縣農(nóng)業(yè)局要調(diào)查全縣養(yǎng)豬專業(yè)戶今年生豬的出欄頭數(shù)，現(xiàn)有全縣數(shù)，現(xiàn)有全縣365365個(gè)養(yǎng)豬專業(yè)戶個(gè)養(yǎng)豬專業(yè)戶去年的生豬存欄數(shù)去年的生豬存欄數(shù)，各專業(yè)，各專業(yè)戶的規(guī)模相差較大，決定以放回方式按與各養(yǎng)豬專業(yè)戶上戶的規(guī)模相差較大，決定以放回方式按與各養(yǎng)豬專業(yè)戶上年末生豬存欄頭數(shù)成比例的年末生豬存欄頭數(shù)成比例的PPS抽樣 從中抽取從中抽取3030戶進(jìn)行調(diào)戶進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下，已知全縣養(yǎng)豬專業(yè)戶上年末生豬存欄頭數(shù)查，結(jié)果如下，已知全縣養(yǎng)豬專業(yè)戶上年末生豬存欄頭數(shù)為為95429542頭，頭，試估計(jì)該縣養(yǎng)豬專業(yè)戶生豬今年出欄總頭數(shù)和試估計(jì)該縣養(yǎng)豬專業(yè)戶生豬今年出欄總頭數(shù)和抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤。抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤

13、。（摘自：（摘自：“應(yīng)用抽樣技術(shù)應(yīng)用抽樣技術(shù)”李金昌）李金昌）imiyiimiyiimiyi11575114025821191242 2232313413412321862226160393713176923372154291521426156242110458451511492574963118516362212643336724133172514527189682917318533283017791374191938382882881019872042304其中第其中第2、19號(hào)被抽中兩次號(hào)被抽中兩次解：根據(jù)題中所給資料，解：根據(jù)題中所給資料，n=30,M0=9542,01119542 7

14、5134177(2.)56163()30152330nniiHHiiyMyYnznm 頭2220112222M1()() =()(1)(1)954275561631345616317756163()()2.() 30 291595422395423095422806070()1675nniiHHHHHHiiiiHHyyYYYn nzvvn nmY（頭）利用漢森利用漢森-郝維茨估計(jì)量，則有：郝維茨估計(jì)量，則有：例例5.25.2：某部門要了解所屬8500家生產(chǎn)企業(yè)當(dāng)月完成的利潤(rùn)，該部門手頭已有一份去年各企業(yè)完成產(chǎn)量的報(bào)告，將其匯總得到所屬企業(yè)去年完成的產(chǎn)量為3676萬噸?？紤]到時(shí)間緊，準(zhǔn)備采用抽樣

15、調(diào)查來推算當(dāng)月完成的利潤(rùn)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，企業(yè)的產(chǎn)量和利潤(rùn)相關(guān)性比較強(qiáng)，且企業(yè)的特點(diǎn)是規(guī)模和管理水平差異比較大，通常大企業(yè)的管理水平較高些，因此采用與去年產(chǎn)量成比例的PPS抽樣，從所屬企業(yè)中抽出一個(gè)樣本量為30的樣本。 iimiyiimiyiimiy1*38.2310926105.501900191.5010213.7010241115.00864208.008030.7513127.00172128.421367242.85301315.00104522*9.01384552.0011021412.30220230.7548065.00600153.864600245.00311710.80290

16、1615.8023702528.43928482.00430179.00940269.9784298.8199218*21.00640275.20510niiiHHmynMY102 . 651070.13102423.381092623.381092630367622121211()()=45%=20%SSnnSSrttrttHHHHHHHHHHHHYY，YYYY773861.0595%t=1.96()1741181.9645%757087srtHHHHHH在置信度為時(shí)，對(duì)應(yīng)的，YY 的相對(duì)誤差為：Y相對(duì)誤差達(dá)到相對(duì)誤差達(dá)到20時(shí)所需樣本量：時(shí)所需樣本量：220.45301520.2n2220

17、11M1()() =()(1)(1)=30317005145.8(1741)8=1nniiHHHHHHiiiiHHyyv YYYn nzn nmv Y解：解：有放回不等概整群抽樣有放回不等概整群抽樣 群規(guī)模不等的整群抽樣中，可采用群規(guī)模不等的整群抽樣中，可采用等概和不等概等概和不等概抽樣；抽樣；如果群規(guī)模如果群規(guī)模差異不大差異不大，可采用，可采用等概等概抽樣；如果群規(guī)模差異抽樣；如果群規(guī)模差異較大較大，各個(gè)群對(duì)總體的影響不同，此時(shí)采用，各個(gè)群對(duì)總體的影響不同，此時(shí)采用不等概不等概抽樣。抽樣。把群規(guī)模作為輔助信息，能提高估計(jì)精度，而且方差估計(jì)把群規(guī)模作為輔助信息，能提高估計(jì)精度，而且方差估計(jì)形式

18、簡(jiǎn)單。但在抽樣時(shí)要掌握輔助信息，比簡(jiǎn)單隨機(jī)復(fù)雜。形式簡(jiǎn)單。但在抽樣時(shí)要掌握輔助信息，比簡(jiǎn)單隨機(jī)復(fù)雜。 假設(shè)群的抽取是按與假設(shè)群的抽取是按與 MMi i成比例的成比例的ppspps抽樣，每次按抽樣，每次按 Z Zi i=M=Mi i/M/M0 0（i=1,2i=1,2，NN）的概率抽取第）的概率抽取第i i個(gè)群。個(gè)群。由漢森由漢森- -赫維茨估計(jì)量，赫維茨估計(jì)量， ppspps整群抽樣總體總值估計(jì)量為整群抽樣總體總值估計(jì)量為01212011()(1 )(),niiniiYvYyMyYnZynnZyM估計(jì)量方差的估計(jì)為：v ( Y ) =Yv () = 例例 某企業(yè)欲估計(jì)上季度每位職工的平均病假天

19、數(shù)。該企業(yè)共8個(gè)分廠，現(xiàn)用不等概整群抽樣擬抽取3個(gè)分廠，并以置信度95%計(jì)算其置信區(qū)間。分廠編號(hào) 職工人數(shù) Mi 累積區(qū)間123456781200450210086028401910390320011200120116501651375037514610461174507451936093619750975112950有放回不等概整群抽樣有放回不等概整群抽樣解：n3，采用PPS抽樣，隨機(jī)抽取的3個(gè)數(shù)為02011，07972，10281。調(diào)查結(jié)果如下：01232110100243204160579011()(1)11 43205790()2.023 210032( )00( )0.0356nni

20、iiiniiiyyyyyYnZn nZMyYyyMM nMnv yv YM，v(Y)=Y=有放回不等概整群抽樣有放回不等概整群抽樣注：注：1、對(duì)于群規(guī)模不等的整群抽樣，采用不等概對(duì)于群規(guī)模不等的整群抽樣，采用不等概PPS抽抽樣，可以得到總體目標(biāo)量的無偏估計(jì)，樣，可以得到總體目標(biāo)量的無偏估計(jì)， 2、估計(jì)量和估計(jì)量的方差都有比較簡(jiǎn)明的形式，估估計(jì)量和估計(jì)量的方差都有比較簡(jiǎn)明的形式，估計(jì)的效率也比較高，是值得優(yōu)先考慮采用的方法，計(jì)的效率也比較高，是值得優(yōu)先考慮采用的方法， 3、使用條件：在抽取樣本前，要掌握各群規(guī)模的信使用條件：在抽取樣本前，要掌握各群規(guī)模的信息。息。多階段有放回不等概抽樣多階段有放

21、回不等概抽樣 當(dāng)初級(jí)單元規(guī)模不等時(shí)，常采用不等概抽樣。對(duì)初級(jí)單當(dāng)初級(jí)單元規(guī)模不等時(shí)，常采用不等概抽樣。對(duì)初級(jí)單元進(jìn)行元進(jìn)行PPS抽樣時(shí)，事先規(guī)定每個(gè)初級(jí)單元被抽中的概率抽樣時(shí)，事先規(guī)定每個(gè)初級(jí)單元被抽中的概率 Z Zi i=M=Mi i/M/M0 0 (i=1N),(i=1N),可利用代碼法，可利用代碼法，對(duì)抽中的對(duì)抽中的初級(jí)初級(jí)單元再單元再抽抽取取m mi i個(gè)二級(jí)單元；個(gè)二級(jí)單元；如果對(duì)第二階段實(shí)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，且如果對(duì)第二階段實(shí)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，且抽相同的樣本數(shù)（抽相同的樣本數(shù)（第一階段抽出來的一般是單元的規(guī)模較第一階段抽出來的一般是單元的規(guī)模較大，而且彼此差別不大大，而且彼此差別不大），

22、此時(shí)估計(jì)形式較簡(jiǎn)單，且是自），此時(shí)估計(jì)形式較簡(jiǎn)單，且是自加權(quán)的。加權(quán)的。這是實(shí)際中經(jīng)常采用的多階段不等概抽樣法。這是實(shí)際中經(jīng)常采用的多階段不等概抽樣法。 111100011222011210i111/1()=()()(1)(1)(), ( )(1)mijnnnijiiiHHiiiiiinmijijnniHHHHiiiiniHHiyM yMYYnznznMMMyMynMYv YYyyn nzn nyyYyv yMn nmm HHY二階抽樣的自加權(quán)形式：多階段有放回不等概抽樣多階段有放回不等概抽樣實(shí)際工作中，如果初級(jí)單元大小不等，實(shí)際工作中，如果初級(jí)單元大小不等，人們喜歡：人們喜歡：1 1、第一階

23、段抽樣時(shí)按放回的與二級(jí)單元成比例的第一階段抽樣時(shí)按放回的與二級(jí)單元成比例的PPSPPS抽抽樣；樣；2 2、第二階抽樣進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，且抽的樣本量相同，第二階抽樣進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，且抽的樣本量相同，這樣得到的樣本是自加權(quán)的，估計(jì)量的形式也非常簡(jiǎn)單。這樣得到的樣本是自加權(quán)的，估計(jì)量的形式也非常簡(jiǎn)單。 例：例：某縣農(nóng)村共有某縣農(nóng)村共有1414個(gè)鄉(xiāng)個(gè)鄉(xiāng)509509個(gè)村，在實(shí)現(xiàn)小康的進(jìn)程中個(gè)村，在實(shí)現(xiàn)小康的進(jìn)程中欲計(jì)算該縣農(nóng)村的恩格爾系數(shù)，欲計(jì)算該縣農(nóng)村的恩格爾系數(shù)，即居民戶的食品支出占即居民戶的食品支出占總支出的比例。首先要調(diào)查全縣的食品總支出，現(xiàn)采用總支出的比例。首先要調(diào)查全縣的食品總支出，現(xiàn)采用

24、了二階段抽樣，第一階段先在了二階段抽樣，第一階段先在1414個(gè)鄉(xiāng)中，按村的數(shù)目多個(gè)鄉(xiāng)中，按村的數(shù)目多少進(jìn)行少進(jìn)行PPSPPS抽樣，共抽了抽樣，共抽了5 5個(gè)鄉(xiāng)，第二階段在抽中的鄉(xiāng)中個(gè)鄉(xiāng)，第二階段在抽中的鄉(xiāng)中隨機(jī)地抽選隨機(jī)地抽選6 6個(gè)村，然后對(duì)抽中的村做全面調(diào)查，取得的個(gè)村，然后對(duì)抽中的村做全面調(diào)查，取得的數(shù)據(jù)如下，數(shù)據(jù)如下，估計(jì)全縣的食品支出總額及其標(biāo)準(zhǔn)誤。估計(jì)全縣的食品支出總額及其標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本鄉(xiāng)序號(hào)村數(shù)樣本村數(shù)樣本村平均食品支出（萬元）119648241617537261084546905366100多階段有放回不等概抽樣例題分析多階段有放回不等概抽樣例題分析多階段有放回不等概抽樣例題分析

25、多階段有放回不等概抽樣例題分析011001222011M =509509=511=1()=()()(1)(1)=nnniiiHHiiiiiinniHHHHiiiiiM yMYYynznznMYv YYyyznMMn nni解：已知村，可按照各單位的入樣概率z =采用公式：（48+175+108+90+100）53037.8（萬元）故全縣農(nóng)村的食品支出總額為：53037.8萬元，其方差估計(jì)為：(1)1040834876199.4HHv Y 誤差有點(diǎn)偏大，要想提高估計(jì)精度，必須誤差有點(diǎn)偏大，要想提高估計(jì)精度，必須 增加第增加第一階段的樣本量一階段的樣本量 例；某小區(qū)有例；某小區(qū)有10座高層建筑，每

26、座高層建筑座高層建筑，每座高層建筑 擁有的樓層數(shù)如下表，擁有的樓層數(shù)如下表， 高層建筑ABCDEFGHIJ樓層12121615101610181620 用二階段抽樣方法抽出用二階段抽樣方法抽出1010個(gè)摟層進(jìn)行調(diào)查，第一階段個(gè)摟層進(jìn)行調(diào)查，第一階段PPSPPS抽出抽出5 5座建筑座建筑，第二階段按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣對(duì)每座建筑，第二階段按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣對(duì)每座建筑抽取抽取兩個(gè)兩個(gè)樓層，具體數(shù)據(jù)如下表所示，對(duì)小區(qū)總居民進(jìn)樓層，具體數(shù)據(jù)如下表所示，對(duì)小區(qū)總居民進(jìn)行估計(jì)，并給出估計(jì)的誤差。行估計(jì)，并給出估計(jì)的誤差。初級(jí)樣本序號(hào)12345居民數(shù)18，1215，1819，13 16，1016，11多階段有放回不等概

27、抽樣例題分析多階段有放回不等概抽樣例題分析解：已知解：已知n=5,m=2,M0=145,11148nmijy 01102201222145148214625214614.8145()()(1)145=(1514.8)(16.514.8).549776.62()98.88()9%/595%nmijniMYynmYyMMv Yyyn nv Yv YY 在 置 信 度 為， 估 計(jì) 的 相 對(duì) 誤 差 為r=1.96這時(shí)，多階抽樣的總樣本量可以這樣確定：這時(shí)，多階抽樣的總樣本量可以這樣確定： 1.1.根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣時(shí)應(yīng)抽樣本量根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣時(shí)應(yīng)抽樣本量 2.2.再乘以設(shè)計(jì)效應(yīng)再乘以設(shè)計(jì)效應(yīng)def

28、fdeff獲得。獲得。 多階抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣相比其效率比較低，多階抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣相比其效率比較低，deffdeff應(yīng)該大于應(yīng)該大于1 1。實(shí)際工作中，可取。實(shí)際工作中，可取deffdeff的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。不同項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。不同項(xiàng)目的目的deffdeff不同。不同。 下面是一案例分析下面是一案例分析多階有放回不等概抽樣多階有放回不等概抽樣例例: : 某調(diào)查公司接受了一項(xiàng)關(guān)于某調(diào)查公司接受了一項(xiàng)關(guān)于全國(guó)城市成年居全國(guó)城市成年居民民人均奶制品每天至少喝一杯奶的人數(shù)的比例人均奶制品每天至少喝一杯奶的人數(shù)的比例情況的調(diào)查。確定抽樣范圍為全國(guó)地級(jí)及以上情況的調(diào)查。確定抽樣范圍為全國(guó)地級(jí)及以上城市中的成年

29、居民。成年居民指年滿城市中的成年居民。成年居民指年滿1818周歲以周歲以上的居民。上的居民。第一步：確定抽樣方法。第一步：確定抽樣方法。 調(diào)查公司決定采用多階抽樣方法進(jìn)行方案調(diào)查公司決定采用多階抽樣方法進(jìn)行方案設(shè)計(jì)，調(diào)查的最小單元為成年居民。確定調(diào)查設(shè)計(jì)，調(diào)查的最小單元為成年居民。確定調(diào)查的各個(gè)階段為城市、街道、居委會(huì)、居民戶，的各個(gè)階段為城市、街道、居委會(huì)、居民戶，在居民戶中利用在居民戶中利用 簡(jiǎn)單隨機(jī)法抽取成年居民。簡(jiǎn)單隨機(jī)法抽取成年居民。第二步：確定樣本量及各階樣本量的配置。第二步：確定樣本量及各階樣本量的配置。 按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣時(shí)，在按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣時(shí)，在9595置信度下，絕置信度下，絕對(duì)

30、誤差為對(duì)誤差為5 5，取使方差達(dá)到最大時(shí)的消費(fèi)奶，取使方差達(dá)到最大時(shí)的消費(fèi)奶制品的居民比例為制品的居民比例為5050，則全國(guó)樣本量應(yīng)為：，則全國(guó)樣本量應(yīng)為： 40005. 05 . 05 . 02dPQtn22220 根據(jù)以往調(diào)查的經(jīng)驗(yàn)，估計(jì)回答率根據(jù)以往調(diào)查的經(jīng)驗(yàn)，估計(jì)回答率b=80b=80，因此調(diào)整樣，因此調(diào)整樣本量為：本量為：多階抽樣的效率比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的效率低，這里取設(shè)計(jì)多階抽樣的效率比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的效率低，這里取設(shè)計(jì)效應(yīng)效應(yīng)deff=3.2deff=3.2，則在全國(guó)范圍內(nèi)應(yīng)調(diào)查的樣本居民為：，則在全國(guó)范圍內(nèi)應(yīng)調(diào)查的樣本居民為：各階的樣本量配置為：各階的樣本量配置為：初級(jí)單元：初級(jí)單元

31、：2020個(gè)樣本城市；個(gè)樣本城市；二級(jí)單元：二級(jí)單元：每個(gè)樣本市內(nèi)抽每個(gè)樣本市內(nèi)抽4 4個(gè)街道，共個(gè)街道，共8080個(gè)街道；個(gè)街道；三級(jí)單元：三級(jí)單元：每個(gè)樣本街道內(nèi)抽每個(gè)樣本街道內(nèi)抽2 2個(gè)居委會(huì)，共個(gè)居委會(huì)，共160160個(gè)居委會(huì)；個(gè)居委會(huì)；四級(jí)單元：四級(jí)單元：每個(gè)樣本居委會(huì)內(nèi)抽每個(gè)樣本居委會(huì)內(nèi)抽1010個(gè)居民戶，個(gè)居民戶，16001600個(gè)居民戶。個(gè)居民戶。 在樣本居民戶內(nèi)，利用隨機(jī)表抽在樣本居民戶內(nèi)，利用隨機(jī)表抽1 1名成年居民。名成年居民。5008 . 0400bnn01 )(16002 . 3500deffnn12人人 第三步：確定抽樣方法。第三步：確定抽樣方法。 第第1 1階，階

32、，在全國(guó)城市中按與人口數(shù)成比例的放回的不等在全國(guó)城市中按與人口數(shù)成比例的放回的不等概抽樣，即概抽樣，即PPSPPS抽樣抽樣(probability propotional to size)(probability propotional to size)。 第第2 2階和第階和第3 3階分別按與人口數(shù)成比例的不等概等距抽階分別按與人口數(shù)成比例的不等概等距抽樣。樣。 以第以第2 2階為例，階為例，在某個(gè)被抽中的樣本城市中，將其所屬在某個(gè)被抽中的樣本城市中，將其所屬的街道編號(hào)，搜集各街道的人口數(shù)，賦予每個(gè)街道與其人口的街道編號(hào)，搜集各街道的人口數(shù)，賦予每個(gè)街道與其人口相同的代碼數(shù)相同的代碼數(shù)；根據(jù)

33、該市總?cè)丝跀?shù)除以樣本量根據(jù)該市總?cè)丝跀?shù)除以樣本量4 4，確定抽樣間，確定抽樣間距；然后對(duì)代碼進(jìn)行隨機(jī)起點(diǎn)的等距抽樣，則被抽中代碼所距；然后對(duì)代碼進(jìn)行隨機(jī)起點(diǎn)的等距抽樣，則被抽中代碼所在的街道為樣本街道。在的街道為樣本街道。 第第4 4階，分別在每個(gè)樣本居委會(huì)中，按等距抽樣抽出階，分別在每個(gè)樣本居委會(huì)中，按等距抽樣抽出1010個(gè)個(gè)民戶。民戶。 即根據(jù)居委會(huì)擁有的居民戶數(shù)除以樣本量即根據(jù)居委會(huì)擁有的居民戶數(shù)除以樣本量1010得到抽樣距，得到抽樣距，然后隨機(jī)起點(diǎn)等距抽樣。然后隨機(jī)起點(diǎn)等距抽樣。 在每個(gè)樣本居民戶中，調(diào)查員按在每個(gè)樣本居民戶中，調(diào)查員按 隨機(jī)表抽取隨機(jī)表抽取1名成年居民名成年居民,1,

34、.,80iiapin1niiaa2042101111120 4 2 101600ijklapa 20211( )()(1)iiv pppn np第四步：推算方法。第四步：推算方法。 記各樣本城市的記各樣本城市的80位樣本居民中，每天至少喝一杯奶位樣本居民中，每天至少喝一杯奶的人數(shù)為的人數(shù)為ai，全國(guó)，全國(guó)1600名居民組成的樣本中，每天至少名居民組成的樣本中，每天至少喝一杯鮮奶的人數(shù)為喝一杯鮮奶的人數(shù)為樣本是自加權(quán)的，故成年居民每天至少喝一杯鮮奶所占比例為樣本是自加權(quán)的，故成年居民每天至少喝一杯鮮奶所占比例為: 的方差的估計(jì)為的方差的估計(jì)為: 其中其中pi是各樣本城市每天至少喝一杯鮮奶的人數(shù)所

35、占比例是各樣本城市每天至少喝一杯鮮奶的人數(shù)所占比例:2 2 不放回的不等概率抽樣不放回的不等概率抽樣 1 1、有放回不等概率抽樣，無論從實(shí)施上還是從估計(jì)計(jì)算、有放回不等概率抽樣，無論從實(shí)施上還是從估計(jì)計(jì)算以及精度估計(jì)都顯得十分方便。但是，一個(gè)單元被抽中兩次以及精度估計(jì)都顯得十分方便。但是，一個(gè)單元被抽中兩次以上總會(huì)使樣本的代表性打折扣，從而引起抽樣誤差的增加。以上總會(huì)使樣本的代表性打折扣，從而引起抽樣誤差的增加。 2 2、不放回不等概率抽樣，是指在抽樣的過程中被抽到的單、不放回不等概率抽樣，是指在抽樣的過程中被抽到的單元不能再被抽中，這種抽樣要求元不能再被抽中，這種抽樣要求 總體中第總體中第i

36、 i個(gè)單元的個(gè)單元的入樣概率入樣概率為為i ，這就是所謂的，這就是所謂的 抽樣。抽樣。 3 3、因?yàn)樵诔槿×说谝粋€(gè)單元后，余下的因?yàn)樵诔槿×说谝粋€(gè)單元后，余下的 ( N-1 ) ( N-1 ) 個(gè)單元以個(gè)單元以什么樣的概率參與第二次抽樣就很復(fù)雜；再在抽第三個(gè)樣本什么樣的概率參與第二次抽樣就很復(fù)雜；再在抽第三個(gè)樣本時(shí)又面臨新問題，如此下去，時(shí)又面臨新問題，如此下去，一是抽樣實(shí)施的復(fù)雜，二是估一是抽樣實(shí)施的復(fù)雜，二是估計(jì)量及其方差計(jì)算的復(fù)雜計(jì)量及其方差計(jì)算的復(fù)雜。因此，在本節(jié)僅討論因此，在本節(jié)僅討論 n n固定，尤其是固定，尤其是n=2n=2時(shí)的情形時(shí)的情形。 ps 不放回不等概率抽樣一、一、 P

37、SPS抽樣與包含概率抽樣與包含概率包含概率：包含概率：在不放回抽樣中，每個(gè)單元被包含到樣本的概率也即入樣概率i及任意兩個(gè)單元都被包含到樣本中的概率ijij1ij1=(n-1)1(1)2NNiiiijNNijjnnn n 對(duì)固定的 ，包含概率滿足：， 特別的,如果每個(gè)單元入樣概率與單元大小成比例的概率抽樣稱這種情形為嚴(yán)格的稱這種情形為嚴(yán)格的 抽樣抽樣ps實(shí)施起來復(fù)雜，實(shí)施起來復(fù)雜， 也不易求得，方差的估算很困難，也不易求得，方差的估算很困難，只有在只有在n=2時(shí)有簡(jiǎn)單的算法；當(dāng)時(shí)有簡(jiǎn)單的算法；當(dāng)n2時(shí)可以通過分層，時(shí)可以通過分層，每層中進(jìn)行嚴(yán)格的每層中進(jìn)行嚴(yán)格的n=2 抽樣抽樣ijps010,N

38、iiiiiMnZnMMM 不放回不等概率抽樣不放回不等概率抽樣2、HorvitzThompson（霍維茨（霍維茨湯普森）估計(jì)量湯普森）估計(jì)量1niHTiiyy HT估計(jì)量與估計(jì)量與HH估計(jì)量是估計(jì)量是 極其相似的。極其相似的。因?yàn)橐驗(yàn)?，它們?cè)谛问缴纤坪跬耆粯樱撬鼈冊(cè)谛问缴纤坪跬耆粯?，但是HH估估計(jì)量中的計(jì)量中的 yi 可以互相重復(fù)，可以互相重復(fù)，而而HT中的中的yi 卻是絕對(duì)地互不相同。卻是絕對(duì)地互不相同。iinZ 21()()NNjiHTijijiijijYYVar y 當(dāng)當(dāng) n 固定時(shí)，固定時(shí)，HT估計(jì)量的方差為：估計(jì)量的方差為：例例5.3 假設(shè)有假設(shè)有5個(gè)居委會(huì)，每個(gè)居委會(huì)的住

39、戶數(shù)個(gè)居委會(huì)，每個(gè)居委會(huì)的住戶數(shù)X已知已知但常住居民未知，我們從但常住居民未知，我們從5個(gè)居委會(huì)抽出個(gè)居委會(huì)抽出2個(gè)來估計(jì)常個(gè)來估計(jì)常住居民的總?cè)藬?shù)。如下表：住居民的總?cè)藬?shù)。如下表： iX（住戶數(shù)） Y（常住居民人數(shù)） zi140011000.80.422506000.50.2532005000.40.241002400.20.1550800.10.05總和1000252021i10種不同的樣本分別利用種不同的樣本分別利用霍維茨霍維茨湯普森估計(jì)量和簡(jiǎn)單湯普森估計(jì)量和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單估計(jì)隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單估計(jì)計(jì)算對(duì)總量的估計(jì)如下表：計(jì)算對(duì)總量的估計(jì)如下表：樣本1，2257542501，32625400

40、01，4257533501，5217529502，3245027502，4240021002，520001700 3，4， 245018503，5205014504，52000800平均25202520p sYs r sY1、從均值上來看，它們都是無偏估計(jì)，均值都是、從均值上來看，它們都是無偏估計(jì)，均值都是2520.2、為比較估計(jì)量的優(yōu)劣，需計(jì)算估計(jì)量的方差，為比較估計(jì)量的優(yōu)劣，需計(jì)算估計(jì)量的方差，這用到這用到每個(gè)樣本被抽出的概率。每個(gè)樣本被抽出的概率。 3、不放回不等概率樣本，每個(gè)樣本被抽出的概率計(jì)算很、不放回不等概率樣本，每個(gè)樣本被抽出的概率計(jì)算很復(fù)雜。復(fù)雜。 不過從直觀上來看，例子用不過

41、從直觀上來看，例子用霍維茨霍維茨湯普森估計(jì)量比湯普森估計(jì)量比簡(jiǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單估計(jì)要精確簡(jiǎn)單估計(jì)要精確結(jié)果分析：結(jié)果分析：（1）Brewer（布魯爾）方法（布魯爾）方法（1963） 假設(shè)對(duì)所有假設(shè)對(duì)所有 ，均有，均有 ，現(xiàn)抽取，現(xiàn)抽取兩個(gè)兩個(gè)單元單元，最通常的，最通常的方法是逐個(gè)選取。方法是逐個(gè)選取。i12iZ 幾種嚴(yán)格的不放回不等概抽樣幾種嚴(yán)格的不放回不等概抽樣iiPSinZ 這里提到的嚴(yán)格的抽樣，是指n固定、嚴(yán)格不放回、包含概率與單元大小嚴(yán)格成比例，即(1) 12iiiZZZN1ij按與成比例從 個(gè)單元中抽取第 個(gè)單元，假設(shè)抽中第 個(gè)單位，不放回，在剩下的單元中，再按與M 成比例

42、抽第二個(gè)單元,假設(shè)抽中第j個(gè)單元。(1)(1 2 )1.iiiizzpz DiN其中其中11(1)1112212NNiiiiiiiZZZDZZ 第一次第第一次第i個(gè)單元被抽中的概率為：個(gè)單元被抽中的概率為：取出第一個(gè)不放回，假設(shè)第一次抽取了第取出第一個(gè)不放回，假設(shè)第一次抽取了第i個(gè)單元，個(gè)單元，第二次單元第二次單元j被抽中的概率為：被抽中的概率為：(| )1jizpjiz這種抽樣方法可以保證每個(gè)單元入樣概率為：這種抽樣方法可以保證每個(gè)單元入樣概率為：2(1,2,)iiZiN 而而(12)(12)ijijijjiZ ZZ ZDZDZ 14(1)(12)(12)(1)12ijijNiijiiZ Z

43、ZZZZZZ 其中其中11(1)1112212NNiiiiiiiZZZDZZ 1211=+(+)2()(HTnjjiiiHTiijijNHTijijijjjijTiHiyyyyyyyYzzE YYvYY 對(duì)總值和方差的估計(jì)如下：對(duì)總值和方差的估計(jì)如下：采用霍維茨采用霍維茨湯普森估計(jì)量湯普森估計(jì)量例例5.4 對(duì)于例對(duì)于例5.3，如果抽樣是按布魯爾法的，則，如果抽樣是按布魯爾法的，則其所有可能樣本的其所有可能樣本的 如下表：如下表：i j樣本1，225750.348791，326250.265741，425750.124571，521750.06092，324500.091352，424000.0

44、40482，520000.019383，424500.029073，520500.013844，520000.00588psYi jBrewer 抽樣方法舉例：抽樣方法舉例：鄉(xiāng)種植面積（千畝）總產(chǎn)量（單位：千公斤） 110100220220330285440360合計(jì)100965例：某縣有四個(gè)鄉(xiāng)，糧食總產(chǎn)量和種植面積如下表：例：某縣有四個(gè)鄉(xiāng)，糧食總產(chǎn)量和種植面積如下表：用布魯爾方法抽取兩個(gè)鄉(xiāng)作樣本估計(jì)本縣的總產(chǎn)量，用布魯爾方法抽取兩個(gè)鄉(xiāng)作樣本估計(jì)本縣的總產(chǎn)量，驗(yàn)證抽選結(jié)果符合驗(yàn)證抽選結(jié)果符合PS的要求，并計(jì)算估計(jì)量方差。的要求，并計(jì)算估計(jì)量方差。 Brewer法第一個(gè)單元的被抽中概率法第一個(gè)單

45、元的被抽中概率鄉(xiāng)種植面積規(guī)模比例第1次被抽中概率1100.10.11250.053462200.20.26670.126753300.30.5250.249504400.41.20.57029合計(jì)2.10421(1)12iiizzz(1)(1)12=12iiiiiizzzzzDzD，第一次被抽中的概率本題計(jì)算過程：本題計(jì)算過程：,(1)(1)100001 21 2121042ijzzzziiiiMizziiPPS第一個(gè)單元的抽選辦法可采用方法中的代碼法相當(dāng)于，將乘以化為整數(shù)，在中隨機(jī)等概抽選一個(gè)數(shù)，該數(shù)落入哪第二個(gè)單元在余下的單元中抽選，按規(guī)模大小成比例，假定第一次抽到了第四單元，第二次對(duì)余下

46、的三個(gè)單元利用個(gè)單元的代碼區(qū)間，該單元即為第代碼法進(jìn)行抽樣。一個(gè)抽中的單元。下面是如何計(jì)算 Brewer法法2個(gè)單元的抽選辦法：個(gè)單元的抽選辦法：第二次抽中第第二次抽中第j個(gè)單元（第一次抽中第個(gè)單元（第一次抽中第i個(gè)單元）的概率為個(gè)單元）的概率為(| )1jizpjiz第一次抽中第第一次抽中第i個(gè)單元，第二次抽中第個(gè)單元，第二次抽中第j個(gè)單元的聯(lián)合概率為個(gè)單元的聯(lián)合概率為( ) ( | )( )1jijizpp i p j ip iz假定第一次抽中第假定第一次抽中第1個(gè)單元，第二次抽中第個(gè)單元，第二次抽中第2個(gè)單元，個(gè)單元，其聯(lián)合概率為：其聯(lián)合概率為：120.2(1) (2|1)0.05346

47、0.011880.9ppp第一次抽中第第一次抽中第1個(gè)單元，第二次抽中第個(gè)單元，第二次抽中第4個(gè)單元的聯(lián)合概率為個(gè)單元的聯(lián)合概率為第一次抽中第第一次抽中第1個(gè)單元，第二次抽中第個(gè)單元，第二次抽中第3個(gè)單元的聯(lián)合概率為個(gè)單元的聯(lián)合概率為130.3(1) (3|1)0.053460.017820.9ppp140.4(1) (4|1)0.053460.023760.9ppp第一次抽中第第一次抽中第2個(gè)單元，第二次抽中第個(gè)單元，第二次抽中第1個(gè)單元的聯(lián)合概率為個(gè)單元的聯(lián)合概率為210.1(2) (1|2)0.126750.015641 0.2ppp第一次抽中第第一次抽中第2個(gè)單元，第二次抽中第個(gè)單元，

48、第二次抽中第3個(gè)單元的聯(lián)合概率為個(gè)單元的聯(lián)合概率為230.3(2) (3|2)0.126750.0475310.2ppp依次可得各種可能被抽中的概率如下表依次可得各種可能被抽中的概率如下表單元第二次抽中 1 2 3 4合計(jì)1234第一次抽第一次抽中中00.011880.017820.023760.053640.0156400.047530.063380.126750.035640.0712900.142570.249500.095060.190090.2851500.57030合計(jì)0.146540.273260.35050.22971110.053460.146540.22Z1同理可驗(yàn)證同理可

49、驗(yàn)證20.126750.273260.42Z230.24950.35050.62Z340.57030.229710.82Z4所以抽選結(jié)果符合所以抽選結(jié)果符合ps要求要求樣本單元1，2100/0.2220/0.410500.027721，3100/0.2285/0.69750.053461，4100/0.2360/0.89500.118822，3220/0.4285/0.610250.118822，4220/0.4360/0.810000.253473，4285/0.6360/0.89250.42772iiyjjy1niHtiyYijijijjipp說明：說明：本題是總體信息已知，對(duì)書中的結(jié)果做

50、了驗(yàn)證。本題是總體信息已知，對(duì)書中的結(jié)果做了驗(yàn)證。我們?cè)趯?shí)際工作中只抽到了一個(gè)我們?cè)趯?shí)際工作中只抽到了一個(gè)PS樣本，比如說，樣本，比如說，抽到了第抽到了第3、4個(gè)單元，個(gè)單元，只用計(jì)算只用計(jì)算p34,p43,算出算出34，其，其余不用計(jì)算。余不用計(jì)算。然后代入公式進(jìn)行計(jì)算即可然后代入公式進(jìn)行計(jì)算即可123434341=+(+)2()()=285=360=0.6=0.8=0.4227njjiiiHTiijijijijjipsijijyyyyyYzzyyv Yyy 其 中，（2）Durbin（德賓）方法（德賓）方法（1967）的概率抽取第二個(gè)樣本。此時(shí)的概率抽取第二個(gè)樣本。此時(shí)以概率以概率 在總體

51、中進(jìn)行一次不等概率抽樣，在總體中進(jìn)行一次不等概率抽樣，設(shè)第設(shè)第 個(gè)單元以概率個(gè)單元以概率 入樣，在剩余的入樣，在剩余的N1個(gè)單元中，以個(gè)單元中，以正比于正比于12(,)NZZZiiZ11()1212jijZZZ 于是可以計(jì)算出于是可以計(jì)算出11()12122jNijiiiij iZZZZZZD (7.19)11()21212Nij iijDZDZZ (7.18)Durbin方法中的方法中的 與與Brewer方法中的方法中的 完全一樣完全一樣這表明兩種不等概率抽樣方法其實(shí)是等價(jià)的。這表明兩種不等概率抽樣方法其實(shí)是等價(jià)的。,iij ,iij 112()121211()1212ijijijijijZ