1、2015數(shù)學(xué)廣東卷(理科)參考公式：樣本數(shù)據(jù) Xl,x 2,Xn的方差s2=- (x 1-x)2+(x 2-X)2+- +(X n-D2，其中表示樣本均值.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分,滿分40分.在每小題給出 的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2015高考廣東卷，理1)若集合M=x|(x+4)(x+1)=0,N=x|(x-4)(x-1)=0, 則 MA N等于(D )(A)1,4(B)-1,-4(C)0(D) 一解析：化簡(jiǎn)集合得M=-4,-1,N=1,4,顯然MH N=?,故選D.2.(2015高考廣東卷，理2)若復(fù)數(shù)z=i(3-2i)(i 是虛數(shù)單位),則W等于(A

2、)(A)2-3i(B)2+3i(C)3+2i(D)3-2i解析：因?yàn)?i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以 z=2+3i,所以?二2-3i,故選A.3.(2015高考廣東卷，理3)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(D )c1(A)y=(B)y=x+ -jt(C)y=2 x+-(D)y=x+ex解析：易知y=>'l +螃與y=2x*是偶函數(shù),y=x+ ；是奇函數(shù)，故選D.S4 .(2015高考廣東卷，理4)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球,5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率為(B )(A)(B)-(C)-(

3、D)1Z1 2121解析：從15個(gè)球中任取2個(gè)球，取法共有續(xù)種，其中恰有1個(gè)白球,1個(gè)紅球的取法有 *X*種，所以所求概率為P您§,故選B. 驗(yàn)215 .(2015高考廣東卷，理5)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是(A )(A)2x+y+5=0 或 2x+y-5=0(B)2x+y+ 4=0 或 2x+y-、g=0(C)2x-y+5=0 或 2x-y-5=0(D)2x-y+ 6=0 或 2x-y-怖=0解析：切線平行于直線2x+y+1=0，故可設(shè)切線方程為2x+y+c=0(c半1),結(jié)合題意可得曰='解得c=± 5.故選A. 喟4x4-

4、5y >8*6 .(2015高考廣東卷，理6)若變量x,y滿足約束條件則z=3x+2y的最小值為(B )(A)4(B)(C)6(D)-R解析：由約束條件畫(huà)出可行域如圖MO由 z=3x+2y 得 y=-：x+二, 易知目標(biāo)函數(shù)在直線4x+5y=8與x=1的交點(diǎn)A（1,1）處取得最小值，故Zmin=,故選 B.7.（2015高考廣東卷，理7）已知雙曲線C:id=1的離心率e=,且其右 也V4焦點(diǎn)為F2（5,0）,則雙曲線C的方程為（C ）J JJ(A).=1(B) (C) =1(D) - 二116 93 4解析：由已知得X解得二,1c = 5/（口= 4,故b=3,從而所求的雙曲線方程為 匚

5、匚=1,故選C.16 98.（2015高考廣東卷，理8）若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等則正整數(shù)n的取值（B ）（A）至多等于3 （B）至多等于4（C）等于5（D）大于5解析：首先我們知道正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)滿足兩兩距離相等，于是可以排除C,D.又注意到正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)也滿足兩兩距離相等 ，于是 排除A,故選B.二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿 分30分.（一）必做題（913題）9.（2015高考廣東卷，理9）在（、區(qū)-1）4的展開(kāi)式中，x的系數(shù) 為._ 4 rrr一人解析：（&-1） 4 的展開(kāi)式通項(xiàng)為 Tr+i=C：（Vi） （-1） r=（-1） r

6、C； 燈 ,令 弓=1，得r=2,從而x的系數(shù)為域（-1） 2=6.2答案：610 .（2015高考廣東卷,理10）在等差數(shù)列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25, 貝 U a2+a8=.解析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a3+a7=a4+a6=2a5,從而 23+&+注+8+&=58=25,故 a5=5,所以a+a=28=10.答案:1011 .（2015高考廣東卷，理11）設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c. 右 a=、3,sin B= -,C=-,貝U b=.16解析：在 ABC中，由sin B= 1可得8=或B=結(jié)合C=可知B=.從而 26 L 66A=

7、兀,利用正弦定理=,可得b=1.3sinJ 儂答案：112 .(2015高考廣東卷，理12)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫(xiě)一條畢業(yè)留言，那么全班共寫(xiě)了 條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)解析：因?yàn)橥瑢W(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫(xiě)一條畢業(yè)留言，且全班共有40人，所以全班共寫(xiě)了 40X 39=1560(條)畢業(yè)留言.答案:156013 .(2015高考廣東卷，理13)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p).若 E(X)=30,D(X)=20,則 p=.解析：因?yàn)閄B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得 n=90,p=二.答案： 3(二)選做題(1415題,

8、考生只能從中選做一題)14 .(2015高考廣東卷，理14)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2 P sin( 02)=。,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A(2M=),則點(diǎn)A44到直線l的距離為.It解析：將直線l的極坐標(biāo)方程2psin（ 0）=於化為直角坐標(biāo)方程為4 x-y+1=0.由A（2也,乙）得A點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（2,-2）,從而點(diǎn)A到直線l的距離d= '三3 A a答案： 215 .（2015高考廣東卷，理15）（幾何證明選講選做題）如圖，已知AB是 圓O的直徑,AB=4,EC是圓。的切線，切點(diǎn)為C,BC=1.過(guò)圓心。作BC的 平行線，分別交EC和AC于點(diǎn)D和點(diǎn)P,則OD=.解

9、析：易得AC='42-l2=i5,由OP/ BC,且O為AB的中點(diǎn)可知CP=AC二, 、32OP=BC=, /APOM ACB=90 .所以/ CPD=90 . 22因?yàn)镋C是切線，所以/ DCPM B,CP M從而 CPS BCA 故一, 3l AC所以 DP=".故 OD=DP+OP+=8. 21 2答案:8三、解答題:本大題共6小題，滿分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明 過(guò)程和演算步驟.16 .（本小題滿分12分）（2015高考廣東卷，理16）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知向量m=（f,- 7），n=（sin x，cos x），x （明.211 2/（1）若ml n,

10、求tan x的值；若m與n的夾角為二求x的值.3解:（1） 因?yàn)?ml n,所以 m- nsin x- -cos x=0.21即 sin x=cos x, 又 x 6 （0,-）,所以 tan x= =1.2 CDS1 易求得 |m|二1,|n|= Vsin2x + cos:x=1.因?yàn)閙與n的夾角為、 a所以 cos-=.3 HN 1X1M 微的 z 入：sin x -cos x=sin（x-）=-.124 2又因?yàn)閤 （0,-）,所以x-6 （- ：）.I 44 4所以x-解得x二 i 6 鰲17 .（本小題滿分12分）（2015高考廣東卷，理17）某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表.工人編

11、號(hào)年齡工人編號(hào)年齡工人編號(hào)年齡工人編號(hào)年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；(2)計(jì)算(1)中樣本的均值評(píng)口方差s2;(3)36名工人中年齡在s與Hs之間有多少人？所占的百分比是多少？(精確到0.01%)?解：(1)由系統(tǒng)抽樣知識(shí)知，將36名工

12、人分為9組(4人一組)，每組抽 取一名工人.因?yàn)樵诘谝环侄卫锍榈降氖悄挲g為 44的工人，即編號(hào)為2的工人，故 所抽樣本的年齡數(shù)據(jù)為44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)均值彳=445T例3+36+37+4郵鋤 _ =40;方差 s2=- X (44-40) 2+(40-40) 2+(36-40) 2+(43-40) 2+(36-40) 2+(37-40)2+(44-40) 2+(43-40) 2+(37-40) 2=. 由(2)可知s=±.由題意，年齡在片 與產(chǎn)s之間，即在區(qū)間37,43 3內(nèi)的工人共有23人，所占的百分比為-X100%63.89%.拓18 .(

13、本小題滿分14分)(2015高考廣東卷，理18)如圖，三角形PDCf在的平面與長(zhǎng)方形 ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F,G分另U在線段 AB,BC上，且 AF=2FB,CG=2GB.(1)證明:PELFG;(2)求二面角P-AD-C的正切值；求直線PA與直線FG所成角的余弦值.(1)證明：因?yàn)镻D=PC點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，所以PEI DC.又因?yàn)槠矫鍼DCL平面ABCD,平面PD3平面ABCD=DC,所以PE1平面ABCD.又FG?平面ABCD所以PE! FG.解：由(1)可知PEJ_AD.因?yàn)樗倪呅蜛BC的長(zhǎng)方形，所以AD! DC.又因?yàn)镻EA

14、DC=E所以ACL平面PDC.而PD?平面PDC所以ADL PD.由二面角的平面角的定義可知/ PD二面角P-AD-C的一個(gè)平面角. 在 RtPDE中,PE= PDDER,所以 tan / PDC=E.DE 3從而二面角P-AD-C的正切值為工3解:連接AC.因?yàn)樾┥隙?AB 8C 3所以 FG/ AC.易求得 AC=3-,PA=二-一- =5.所以直線PAW直線FG所成角等于直線PA與直線A喇成角，即/ PAC,在 PAB ,cos Z PAC鬻孝拶所以直線PA與直線FG所成角的余弦值為三19 .(本小題滿分14分)(2015 高考廣東卷，理 19)設(shè) a>1,函數(shù) f(x)=(1+

15、x 2)ex-a.求f(x)的單調(diào)區(qū)間； 證明:f(x)在(-s,+ s)上僅有一個(gè)零點(diǎn)； 若曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M(m,n)處的切線與直線O呼行(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，證明:mw-1.解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.因?yàn)?f' (x)=2x - ex+(1+x2)ex=(x 2+2x+1)ex=(x+1) 2ex>0,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(- oo,+ 00), 無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.(2)證明：因?yàn)?a>1,所以 f(0)=1-a<0,f(lna)=(1+ln 2a)eln a-a=aln 2a>0,所以

16、f(0) f(ln a)<0,由零點(diǎn)存在性定理可知f(x)在(0,ln a)內(nèi)存在零點(diǎn).又由(1)知f(x)在R上單調(diào)遞增，故f(x)在(-s,+ s)上僅有一個(gè)零點(diǎn).(3)證明：設(shè)點(diǎn)P(x0,y 0),由題意知,2f (x 0)=(x 0+1)：初=0,解得X0=-1.所以 y0=(1+ -)靜-a=-a,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1, ；-a).自所以 kop=a-.由題意可得 f' (m)=(m+1)2em=a-.要證明me 我-1,只需要證明m+K 網(wǎng),只需要證明(m+1)3< a-=(m+1)2em,自只需要證明m+K em.構(gòu)造函數(shù):h(x)=e x-x-1(x R)

17、,則 h' (x)=e x-1.當(dāng)x<0時(shí),h ' (x)<0,即h(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減;當(dāng)x>0時(shí),h ' (x)>0,即h(x)在(0,+ s)上單調(diào)遞增；所以函數(shù)h(x)有最小值，為h(0)=0,則h(x) >0.所以ex-x-1 A0,故em-m-1 >0,即m+K e故原不等式成立.20.(本小題滿分14分)(2015高考廣東卷，理20)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓G:x 2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求圓。的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=

18、k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若 存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.解：(1)由題意知：圓Ci方程為：(x3)2+y2=4圓G的圓心坐標(biāo)為(3,0)(2)由圖可知，令 M(x1,y)|OM |= x2 y12,|GM |=國(guó)-3)2 y22221 |OC1 I2 =|OM 121clM |2222223 =x1 y1 (X1 -3) y(X1 -|)2 y2直線L與圓G交于A、B兩點(diǎn)直線L與圓C1的距離：0 4dM24<X /.V - 9 - 4 +,0 <(x1 -3)2 y2 ：:42.0 <(xi -3)2.-：xi .333 00 95二軌跡C的萬(wàn)程為：

19、(x -)+y =- xw(,3 243(3)直線L: y-與曲線(x.2)2+y2=4僅有1個(gè)交點(diǎn)y=k(x-4)聯(lián)立方程：33 22 9，xw(三,3(x-2)y =43得：(k2 +1)x2 (8k2 +3)x+16k2 =0,在區(qū)間(5,3有且僅有 1 個(gè)解3當(dāng).=(8k2 3)2-64k2(k2+1) = 0時(shí)，k = 43此時(shí)，x="w (5,3,僅有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意 53當(dāng).-一0時(shí)，令 g(x)=(k2 1)x2 -(8k2 3)x 16k2則有:解得:5 , g(3)Lg(3)<0."的取值范圍為：3差乎或k巡 21.(本小題滿分14分) (201

20、5 高考廣東卷,理 21)數(shù)歹！Jan滿足:a+2a+nan=4-f,n N.(1)求a3的值;(2)求數(shù)列a n的前n項(xiàng)和Tn;"v b1=a1,bn+(1+:+:+ - +)an(n >2),證明：數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 n 2 3 aS 滿足 Sn<2+2ln n.(1)解：當(dāng) n=1 時(shí),a 1=1;當(dāng) n=2 時(shí),a 1+2&=2,解得a2=;11T當(dāng) n=3 時(shí),a i+2a2+3a3=-,解得 a3M. 44(2)解：當(dāng) nA2 時(shí),a i+2a2+(n-1)a n-i+nan=4-二，a1+2a2+(n-1)a n-i =4-T,(2由-得 nan=i，所以 an=-；(n A2),經(jīng)檢驗(yàn),a i=1也適合上式，所以an=(n Nl).所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列. f兇1不；1所以 Tn=2- -叼 2(3)證明:b i=1,b n=二-二 +(1+-+-+- 管k *2 3 相當(dāng) n=1 時(shí),Si=1<2+2ln 1.當(dāng) n>2 0(*,b n=+(1+-+-+,+-) , an<1 3ft= +(1+-+-+-) , (T n-T n-1 )ft2 3 m1、T J