1、精選ppt1第四節(jié)一、隱函數的導數一、隱函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數 三、相關變化率三、相關變化率 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 隱函數和參數方程求導 相關變化率 第二章 精選ppt231xy一、隱函數的導數一、隱函數的導數若由方程若由方程0),(yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數的函數 ,由由)(xfy 表示的函數表示的函數 , 稱為稱為顯函數顯函數 .例如例如,013 yx可確定顯函數可確定顯函數03275xxyy可確定可確定 y 是是 x 的函數的函數 ,但此隱函數不能顯化但此隱函數不能顯化 .函數為函數為隱函數隱函數 .則稱此則稱此

2、隱函數隱函數求導方法求導方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對兩邊對 x 求導求導(含導數含導數 的方程的方程)y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt3機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 例例1 求方程求方程1xyeexy所確定的隱函數的導所確定的隱函數的導數數d.dyx解：解：方程兩邊分別對方程兩邊分別對 x 求導數，求導數，xeddyyexyddyxx0所以所以d.dxyyeyxex 精選ppt4例例2. 2. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在在 x = 0 處的導數處的導數.0ddxxy解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導

3、)32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 時時 y = 0 , 故故210ddxxy0確定的隱函數確定的隱函數機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 精選ppt5機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 0exyey)(xyy ),(xy),0(y)(xfy )1,0(例例3 求由方程求由方程所確定的隱函數所確定的隱函數的導數的導數并求出并求出寫出通過曲線寫出通過曲線上上點點的切線方程的切線方程.解：解： 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導yeyy10yx0yexyy解出解出y得得將將0

4、x代入代入, 0exyey, 0eey得得1y解得解得所以所以)0(y1)1, 0(01|eye1)1,0(點點的切線方程為的切線方程為1ye1)0( x即即11xey精選ppt6例例4. 求橢圓求橢圓191622yx在點在點)323,2(處的切線方程處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對橢圓方程兩邊對 x 求導求導8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為故切線方程為323y43)2( x即即03843 yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt7例例5. 求由方程求由方程0sin21yyx二階導數。二階導數。確定的隱函數的確定的隱函數的機動 目錄 上頁 下頁

5、返回 結束 解：解：方程兩邊分別對方程兩邊分別對 x 求導數，求導數，1ddyx1dcos2dyyx0所以所以d2.d2cosyxy22ddyxd( )dx22cos y 2(2cos )y02dsindyyx34sin(2cos )yy精選ppt8機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 練：求由方程練：求由方程22arctanlnyxyx所確定的所確定的隱函數的導數隱函數的導數d.dyxd dyxyxxy精選ppt9機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 對數求導法對數求導法： 對冪指函數和某些復雜的根式或分式用此法對冪指函數和某些復雜的根式或分式用此法求導簡便些求導簡便些.

6、 1) 對冪指函數對冪指函數( ) ( )v xyu x，ln( )ln ( )yv xu xyy1( )ln ( )v xu x1( )( )( )v xu xu x( )( )( ) ( )( )ln ( )( )v xv xu xyu xv xu xu x( ), ( )u x v x都可導都可導.兩邊取對數兩邊取對數(化成了隱函數化成了隱函數), 然后按隱函數求導法然后按隱函數求導法求出求出 的導數的導數.y即即精選ppt10例例6. 6. 求求)0(sinxxyx的導數的導數 . 解解: 兩邊取對數兩邊取對數 , 化為隱式化為隱式xxylnsinln兩邊對兩邊對 x 求導求導yy1x

7、x lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 精選ppt112) 有些顯函數用有些顯函數用對數求導法對數求導法求導很方便求導很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數兩邊取對數yln兩邊對兩邊對 x 求導求導yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt12例例7. 設設 ,)4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對對 x 求導求導21yy)4)(3()2)(1(21xx

8、xxy41312111xxxx兩邊取對數兩邊取對數2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求導數。求導數。精選ppt13機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 ,) 12()2)(1(3122xexxxy.ddxy練習練習設設求求解：解：兩邊取對數得兩邊取對數得31lnyln(1)ln(2)xx122ln) 12ln(xex31ln(1)ln(2)xx) 12() 12ln(2xx方程兩邊分別對方程兩邊分別對 x 求導數，求導數，1yy 3111x12x124x232211(1)(2)3(21)xxxyxe 11x12x1

9、24x2精選ppt14二、由參數方程確定的函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數若參數方程若參數方程)()(tytx可確定一個可確定一個 y 與與 x 之間的函數之間的函數)(, )(tt可導可導, 且且,0 )( )(22tt則則0)( t時時, 有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時時, 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時看成此時看成 x 是是 y 的函數的函數 )關系關系,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt15若上述參數方程中若上述參數方程中)(, )(tt二階可導二階可導,22ddxy)dd(ddxyx)(2t

10、)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且且,0)( t則由它確定的函數則由它確定的函數)(xfy 可求二階導數可求二階導數 .利用新的參數方程利用新的參數方程,可得可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt16機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 12222byax) 1 ()2(xydd例例8 已知橢圓的直角坐標方程為已知橢圓的直角坐標方程為求求及及寫出橢圓的參數方程；寫出橢圓的參數方程；解：解：.dd22xy) 1 ()2(橢圓的參數方程為：橢圓的參數方程為：taxcostby

11、sin ddxy為求為求,dd22xy)cos(ta)sin(tb tasintbcostabcot列出參數方程：列出參數方程：taxcostabycot dd22xy)cos(ta)cot(tab tasintab2csctab32csc精選ppt17例例9.9.已知橢圓的參數方程為已知橢圓的參數方程為,sin,costbytax4t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求橢圓在求橢圓在相應的點處的切線方程。相應的點處的切線方程。解解: 當當時，時，4t橢圓上的對應點為橢圓上的對應點為),22,22(ba此點切線斜率為：此點切線斜率為：|4ddtxyk|4)cos()sin(ttatb切線方程

12、為：切線方程為：)22(22axabby|4sincosttatbab精選ppt18機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 ) 1 ()2(例例10 設曲線設曲線 方程為方程為當當時所對應的點時所對應的點與法線方程；與法線方程；解：解：21t) 1 (21tx3tty ddxy)1 (2t)(3tt t 2231t0MC求曲線求曲線 C處的切線方程處的切線方程看成為看成為是是xy如果把曲線如果把曲線 C的函數，的函數，.ddyx求求0M點的坐標為：點的坐標為：)21(21,)21(1(32)83,43(0M點切線斜率為：點切線斜率為：|21ddtxyk 2122)21(31

13、,41精選ppt19機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 )83,43(,410Mk09164yx0M處的處的83y41)43( x即即切線方程為切線方程為: 021832 yx83y4)43( x即即法線方程為法線方程為: )2(看成為看成為是是xy如果把曲線如果把曲線 C的函數，的函數， 則則 ddyx)1 (2t)(3tt t 2231t精選ppt20例例11. 拋射體運動軌跡的參數方程為拋射體運動軌跡的參數方程為 1tvx 求拋射體在時刻求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向的運動速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小:速度的水平分量為速度的水平

14、分量為,dd1vtx垂直分量為垂直分量為,dd2tgvty故拋射體故拋射體速度大小速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求再求速度方向速度方向(即軌跡的切線方向即軌跡的切線方向):設設 為切線傾角為切線傾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 則則yxo2212tgtvy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt21拋射體軌跡的參數方程拋射體軌跡的參數方程22121 tgtvytvx速度的水平分量速度的水平分量,dd1vtx垂直分量垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在剛射出在剛射出 (即即 t = 0 )時時, 傾角為傾角為12arctanvv達

15、到最高點的時刻達到最高點的時刻,2gvt 高度高度ygv2221落地時刻落地時刻,22gvt 拋射拋射最遠距離最遠距離xgvv212速度的方向速度的方向yxo2vt g22vt g機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例12 求由擺線求由擺線)cos1 ()sin(tayttax所確定的函數所確定的函數)(xyy 的二階導數。的二階導數。解解: ddxy )sin(tta )cos1 (ta )cos1 (tatasin2cott dd22xy )sin(tta)2(cott )cos1 (ta2csc212t2)cos1 (1ta精選ppt2

16、3例例13.13.設設)(tfx, 且,0)( tf求求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty練習練習: P112 題8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt24例例14 設由方程設由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數確定函數, )(xyy 求求.ddxy解解: 方程組兩邊對方程組兩邊對 t 求導求導 , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxt

17、yddtxdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt25 三、相關變化率三、相關變化率)(, )(tyytxx為兩可導函數為兩可導函數yx ,之間有聯系之間有聯系tytxdd,dd之間也有聯系之間也有聯系稱為稱為相關變化率相關變化率相關變化率問題相關變化率問題解法解法:找出相關變量的關系式找出相關變量的關系式對對 t 求導求導得相關變化率之間的關系式得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率求出未知的相關變化率機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt26例例15. 一氣球從離開觀察員一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升處離地面鉛直上升,其速率為其速率為,minm140

18、當氣球高度為當氣球高度為 500 m 時時, 觀察員觀察員視線的仰角增加率是多少視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設氣球上升設氣球上升 t 分后其高度為分后其高度為h , 仰角為仰角為 ,則則tan500h兩邊對兩邊對 t 求導求導2sectddthdd5001已知已知,minm140ddth h = 500m 時時,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt27思考題思考題: 當氣球升至當氣球升至500 m 時停住時停住 , 有一觀測者以有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點走來的速率向氣球出發(fā)點走來, 當距離為當距離為500 m 時時, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對對 t 求導求導2sectddtxxdd5002已知已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 精選ppt28機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作作 業(yè)：業(yè)：P111112 1(3); 2； 3 (4) ；4（2）; 7(1); 8(2)精選ppt29求