1、專題17一線三等角模型破解策略在直線AB上有一點P,以AB,P為頂點的/1,/2,/3相等，Z1,Z2的一條邊在直線AB上，另一條邊在AB同側(cè)，Z3兩邊所在的直線分別交/1,/2非公共邊所在的直線于點C,D.1.當點P在線段AB上，且/3兩邊在AB同側(cè)時.(1)如圖，若/1為直角，則有ACmBPD.(2)如圖，若/1為銳角，則有ACPBPD.證明：./DPB=180°-Z3-ZCPA/C=180°-Z1-ZCPA而/1=/3.ZC=/DPB/1=/2,.AC團BPD(3)如圖，若/1為鈍角，則有ACPBPD.2.當點P在AB或BA的延長線上，且/3兩邊在AB同側(cè)時.如圖，則

2、有ACPABPD.證明：./DPB=180°-Z3-ZCPA/C=180°-Z1-ZCPA而/1=/3.ZC=/DPB./1=/2=/PBDACPBPD3.當點P在AB或BA的延長線上，且/3兩邊在AB異側(cè)時.如圖，則有ACPABPD.C證明：/c=Z1-ZCPB/BPD=Z3-ZCPB而/1=Z3C=/BPD./1=/2,.PAC=/DBP.ACHBPD.例題講解例1:已知：/EDF的頂點D在ABC勺邊AB所在直線上(不與點A,B重合).DE交AC所在直線于點MDF交BC所在直線于點N.記ADM勺面積為S,BND勺面積為(1)如圖1,當AB'等邊三角形，/EDF=

3、/A時，若AB=6,AD-4,求S卷的值；(2)當ABO等腰三角形時，設/B=/A=/EDF=a.如圖2,當點D在線段AB上運動時，設A>a,B>b,求S&的表達式(結(jié)果用a,b和a的三角函數(shù)表示).如圖3,當點D在BA的延長線上運動時，設AD-a,BD-b,直接寫出S&的表達式.圖1圖2圖3解：(1)如圖4,分別過點MN作AB的垂線，垂足分別為GH則SSa=1MGAD1NHBD-ADAMSIHABDBN6mB.由題意可知/A=ZB=60o,所以sinA=sinB=3.2由“一線三等角模型”可知AM。BDNAMAD_&=12.AM=AD從而amBN=ADB4

4、8,SBDBN(2)如圖5,分別過點MN作AB的垂線，垂足分別為GH.CAFB則SS2=-MGAD-NHBD=1ADAMsinABDBNginB，224由“一線三等角模型”可得AM。BDN所以幽=AD從而AMBN=ADBD=ab,BDBN1.所以SiS2=a2b2sin2a；4如圖6,分別過點MN作AB的垂線，垂足分別為GH.則SS2=-MGAD-NHBD=-1ADAMsinABDBNSiflR.224由“一線三等角模型”可得AMDBDN所以也=AD從而amBN=ADBD=ab,BDBN1所以Si&=a2b2sin2a；4例2：如圖，在等腰三角形ABC中，/BAC=120,AB=AC=

5、2,點D是BC邊上的一個動點(不與RC重合)，在AC上取一點E,使/ADE=30°.(1)設BD=x,AE=y,求y關于x的函數(shù)關系式并寫出自變量x的取值范圍；(2)當AD比等腰三角形時，求AE的長.解（1）ABC等腰三角形，且/BAC=120°,ABD=/ACB=30, ./ABD=/ADE=30,./ADC=/ADEF/EDC=/ABDF/DAB /ED仔/DAB .ABDhDCE .AB=AC=2,/BAC=120,過A作AFLBC于F, .ZAFB=90, .AB=2,/ABF=30,1 AF=AB=1,2BF=、：3,.BC=2BF=23,貝UDC=2v3-x,E

6、C=2-yAB及DCEABDC-=,BDCE.223-x=,化簡得:12y=_x2x2-y-73x+2(0<x<2點).(2)當AD=DE時，如圖2,AB四DCE則AB=CD即2=23-x,x=2后一2,代入y=-x2-底x+22解得：y=4-2V3,即AE=4_2m§,當AE=ED時，如圖，/EAD=/EDA=30°,/AED=120°,所以/DEC=60,/EDC=90則ED=1EG即y=1(2-y)22-2r一2解得y=2,即AE=2；33當AD=AE時，有/AED-/EDA=30,/EAD=120°此時點D和點B重合，與題目不符，此情

7、況不存在.2所以當是ADE?腰三角形時，AE=42J3或AE=-3進階訓練1 .如圖，在ABC,AB=AC點E在BC邊上移動（不與點B,C重臺）.滿足/DE鼻/B,且點DF.分別在邊ABAC上.當點E移動到BC的中點時，求證：FE平分/DF12 .略【提示】由題意可得/B=/DEF=ZC.由“一線三等角模型”可得BD摩CEF可得BE=DE.而BE=CE-CFEF所以CE=DE,從而dewECF所以/DEF=/EFC即FE平分/DfC.CFEF3 .如圖，在等邊ABC4點D,E分別在ARBC邊上，AD=2BE=6.將DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到EF.取EF的中點G,連結(jié)AG延長CF交AG于點H.若2AH=5HG求BD的長.A4 .BD=9.【提示】如圖，過點F作FI/AC交BC于點I.則/FIE=/ACB=/ABD.易證DB2AEIF,則IF=BE,IE=BD所以BOBE=AD即IC=BE=IF,則/ACH=ZBCH=30°.延長CH變AB