1、會計學1微分方程微分方程V函數(shù)函數(shù)11(5.29)nniiiiiidVV dxVfdtx dtx討論方程組( ),(0)0,( ),( )dxf xfdtf xfx連續(xù)（）第1頁/共21頁 李雅普諾夫定理定理4 對于系統(tǒng)（），如果可以找到一個定正函數(shù) ，且此 函數(shù)沿著系統(tǒng)的( )V xV全導數(shù) 為常負函數(shù)或恒等于零，則系統(tǒng)（）dVdt的零解是穩(wěn)定的。第2頁/共21頁定理5 對于系統(tǒng)（），如果可以找到一個定正的函數(shù) ，且沿著系統(tǒng)的全導數(shù) 為( )V xdVdt定負函數(shù)，則系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的。定理6 對于系統(tǒng)（5.20）如果能找到一個V函數(shù) 它在 點的任何鄰域內至少有( )V x0 x 一點

2、，*x*()0(0)Vx那么，如果存在 的某個鄰域 ,使0 x D得在 中 是定正（定負）的，則(6.20)dVdtD系統(tǒng)（）的零解是不穩(wěn)定的。第3頁/共21頁當且僅當 和 同時成立，0a 240acb定理7 函數(shù)2Vbxycy2（x,y）=ax是定正的，是定負的，當且僅當 和0a 240acb同時成立。定理8 對于系統(tǒng)（），如果存在定正的 ，且 常負，( )V x(5.20)dVdt但是使得 點 的集合不含系統(tǒng)x(5.20)0dVdt(5.20)的除零解外的任何整條正半軌線，則（）的零解是漸近穩(wěn)定的。第4頁/共21頁定理9 對于系統(tǒng)（），如果存在函數(shù) 和某一非負常數(shù) ，使得( )V x(5.

3、20)( )dVVW xdt且當 時, 為定正函數(shù)，0( )W x當 時， 為常正函數(shù)或恒為零，0( )W x又在 的任意小的鄰域內，0 x 至少存在某個 使得 ，x( )0V x 則（）的零解是不穩(wěn)定的。第5頁/共21頁注： 例題及定理的證明例1 在二維空間 上 2R221212(,)V x xxx是定正的 函數(shù)。V22121122(,)2V x xxx xx212()xx是常正的。第6頁/共21頁關于 函數(shù)有兩個結論：V結論1 如果函數(shù) 是定正（常正）的 ，( )V x則 定負（常負）的；( )V x結論2 如果 是一個二維定正 函( , )V x yV數(shù)，則對于適當?shù)?是一條包0, (

4、, )hV x yh圍原點的閉曲線。第7頁/共21頁微分方程解的穩(wěn)定性問題。現(xiàn)在討論如何應用 函數(shù)來確定非線性V為了簡單，考慮非線性自治系統(tǒng)( )dxf xdt（5.20）其中:12nxxxx11221212( ,)( ,)( )( ,)nnnnf x xxfx xxf xfx xx第8頁/共21頁復合函數(shù)，對 函數(shù)關于 求導數(shù)得到：Vt1212nndxdxdxdVVVVdtx dtxdtxdt1niiidxVx dt這樣求得的導數(shù) 稱為函數(shù) 沿著方程dVdt( )V x組(5.20)的全導數(shù)，一般情況下它仍為12,nx xx的函數(shù)。（）假設 ，且 在原點的某個鄰域內(0)0f( )f x滿足

5、解的存在唯一性條件。把(5.20)的解 代入函數(shù) 中得 的( )xx tVt第9頁/共21頁例2 求函數(shù) 沿著平221( , )()2V x yxy面自治系統(tǒng)33dxxyxydtdyxydt （）的全導數(shù)。解 利用公式（5.21）得此函數(shù) 沿著系統(tǒng)V(5.22)得全導數(shù)為(5.22)dVV dxV dydtx dty dt332234()()x x y xyy xyxxy x y x y y 第10頁/共21頁例3 利用李雅普諾夫穩(wěn)定型準則判定下面系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性態(tài)。3223(1)2dxxxydtdyx yydt 解 對于系統(tǒng)（1），構造李雅普諾夫函數(shù)221( , )2V x yxy則 是正

6、定的且( , )V x y3223(1)2 ()( 2)dVxxxyyx yydt442xy 是定負的。所以由定理6知系統(tǒng)（1）的零解是漸近穩(wěn)定的。第11頁/共21頁33223(2)242dxxydtdyxyx yydt對于系統(tǒng)（2），構造如（1）中的 函數(shù)則V4224222(2)2422()dVxx yyxydt顯然 在原點鄰域是定正的，而(2)dVdt( , )V x y在原點任何鄰域有大于零的點（其實也是定正函數(shù)），所以由定理7知系統(tǒng)（3）的零解是不穩(wěn)定的。第12頁/共21頁例4 構造二次型 函數(shù)證明系統(tǒng)V22dxxxydtdyyx ydt （5.23） 的零解是漸近穩(wěn)定的。證明 22(

7、 , )V x yaxbxycy2(6.23)(2)()dVaxbyxxydt 2(2)()bxcyyyx 2222 ()a xx y 2222 ()c yx y顯然若取 ，則 ，0,0,0bac240acb因而 定正， 定負 ，( , )V x y(5.23)/dVdt故系統(tǒng)（）的零解是漸近穩(wěn)定的。第13頁/共21頁例題5 利用李雅普諾夫函數(shù)討論數(shù)學擺振動方程等價系統(tǒng)sindxydtdygxydtlm （）零解的穩(wěn)定性。解 構造李雅普諾夫 函數(shù)如下V21( , )(1 cos )2gV x yyxl顯然 在原點鄰域內是定正的，且( , )V x y2(5.24)dVydtm 第14頁/共21

8、頁若 ，則 ，由定理5知零解0(5.24)0dVdt是穩(wěn)定的。若 ，則 是常負的，但是仔細0(5.24)dVdt分析一下，式 的集合是 ，(5.24)0dVdt0y 而在原點鄰域 不是(5.24)的解。0y 系統(tǒng)（）的零解是漸近穩(wěn)定的。第15頁/共21頁定理6的證明證明 由前一個定理知此時系統(tǒng)（）的零解穩(wěn)定的，所以只需證明在此定理條件下零解還是吸引的即可。即證明存在 使得00當： 滿足 時從 點出發(fā)的解：0 x00 x0 x00( )( ,)x tx t tx滿足：lim( )0 xx t （5.25） 下面證明零解的吸引性，由穩(wěn)定性知00必存在 使得當 時對一切00 x0tt00( )( ,

9、 ,)x tx t t xH有由于 定正， 定負，(5.20)dVdt( )V x第16頁/共21頁所以 關于 單調遞減有界，因而有極限( ( )V x ttlim( ( )xV x tc假設 ，必 ，那么對于任何的 ，0c 0c 0tt有( )0 x t( )dV xdtxH所以 在 上連續(xù)，故( )dV xdt在 有最大值，記為：xH( )maxXHdV xMdt且由 的定負性知( )dV xdt0M 由于 有連續(xù)的偏導數(shù)，( )V x第17頁/共21頁于是對于任何 有0tt000( ( )( ( )()()ttdV x tV x tV xdtM ttdt即00( )()()Vx tVxMtt由上式看出當t充分大時， 這( ( )0V x t與 定正矛盾，因此 ,即( ( )V x t0c lim( ( )0 xVx t （5.26） 在此基礎上證 （5.27）lim( )0 xx t 式成立。假設（）式不成立，則由零解的穩(wěn)定性知解 是有界的，因而由聚點原理必可( )x t抽