1、全屏學(xué)習(xí)大綱要求：、基本求導(dǎo)公式和求導(dǎo)四則運(yùn)算法則，反函數(shù)求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則、參數(shù)表達(dá)函數(shù)的求導(dǎo)法則以及隱函數(shù)求導(dǎo)法則難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的運(yùn)用內(nèi)容：上一節(jié)給出了導(dǎo)數(shù)概念之后，我們要做的工作是給了一個(gè)函數(shù)是否可導(dǎo)，若可導(dǎo)又如何計(jì)算，則是本節(jié)的內(nèi)容，我們把這一切稱之為函數(shù)的微分法。注意到連續(xù)性討論時(shí)的思想。若對(duì)初等函數(shù)討論某一特性時(shí)，根據(jù)初等函數(shù)的概念，只要在基本初等函數(shù)上具有些性質(zhì)，又討論了函數(shù)運(yùn)算關(guān)于此性質(zhì)的法則，則一切初等函數(shù)的關(guān)于此性質(zhì)的問題都解決了。這給我們提供了微分法系統(tǒng)展開的思路。即：）先按定義尋求基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式）討論函數(shù)運(yùn)算的求

2、導(dǎo)法則綜合解決初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算問題，且導(dǎo)數(shù)的存在性也包含其中了，由此，我們的求導(dǎo)運(yùn)算擺脫了求極限運(yùn)算，而成為很簡單的數(shù)學(xué)演算。進(jìn)一步，由于函數(shù)的其它表達(dá)形式還將給出對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，隱函數(shù)求導(dǎo)法和參數(shù)表達(dá)函數(shù)的求導(dǎo)法。它們都可以看成復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的推廣應(yīng)用。一、              利用定義求一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)有冪、指、對(duì)、三角、反三角五大類若干函數(shù)，以下我們僅對(duì)其中幾個(gè)有代表性的函數(shù)進(jìn)行討論，而其它的再結(jié)合反函數(shù)法則等推廣過去。教材中的常數(shù)

3、函數(shù)，指數(shù)為自然數(shù)的冪函數(shù)，正弦函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，為例做了詳細(xì)的推導(dǎo)。在這里我僅從宏觀的思想步驟結(jié)合具體事例進(jìn)行說明。、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟為）給出自變量增量）得出函數(shù)增量）作商）求極限、其中難點(diǎn)在極限是不定型，要能運(yùn)用前面已給的一些求極限運(yùn)算的充分條件的關(guān)鍵是對(duì)的處理上之所以做以上這幾個(gè)特殊函數(shù)，就是因?yàn)樗鼈兊亩伎梢杂谐鯏?shù)時(shí)互等變形公式。例如）自然次數(shù)冪函數(shù)）正弦函數(shù)）對(duì)數(shù)函數(shù)處理好的這些形式在比上求的極限很簡單而借助特殊極限對(duì)數(shù)函數(shù)借助特殊極限很容易求得結(jié)果，于是得公式：作為練習(xí)，類似地大家可以做二、求導(dǎo)運(yùn)算關(guān)于函數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)、關(guān)于四則運(yùn)算）定理3.2若函數(shù)都可導(dǎo)，則）說明：）證明

4、就是利用導(dǎo)數(shù)定義的推演只要能看懂就行。關(guān)鍵在于這些法則的靈活運(yùn)用。加減法很簡單，和差的導(dǎo)數(shù)等于各自導(dǎo)數(shù)后和差。但是乘法除法就特殊了需要理解和記憶。特別是除法，首先是分母函數(shù)平方而分子是兩項(xiàng)之差，因減法沒交換律，一定要分清減數(shù)和被減數(shù)。）加減乘都可以推廣到n個(gè)函數(shù)的情況，例如乘法）數(shù)乘性作為乘法法則的特例若為常數(shù)則這說明常數(shù)可任意進(jìn)出導(dǎo)數(shù)符號(hào)）線性性類似極限運(yùn)算的討論。求導(dǎo)運(yùn)算也是滿足線性性的，即可加性數(shù)乘性，對(duì)于n個(gè)函數(shù)的情況）運(yùn)用這些運(yùn)算法則，在原有的幾個(gè)求導(dǎo)公式基礎(chǔ)上，可推得反函數(shù)求導(dǎo)法則）定理3.3若函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)，則其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在且，這一定理的證明第一是的反函數(shù)存在，第二若可導(dǎo)

5、證其導(dǎo)數(shù)等于其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。）由反函數(shù)求導(dǎo)法則結(jié)合前面基本導(dǎo)數(shù)公式又可得注意這些公式的推導(dǎo)時(shí)，難點(diǎn)在變量還原時(shí)開方的符號(hào)取舍的討論上。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）定理3.4若在點(diǎn)可導(dǎo)在相應(yīng)的點(diǎn)也可導(dǎo)，則其復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)且或記為。）說明對(duì)于此定理的證明，分析一下：給自變量一個(gè)增量通過得到中間變量的一個(gè)增量進(jìn)而又通過外層函數(shù)得到函數(shù)的增量將其比起來可見由于可導(dǎo)必連續(xù)，即時(shí)兩邊取極限又注意到和都存在，即這一證明很簡單且清晰，為什么教材中105的證明如此復(fù)雜繁瑣？實(shí)際上這里的證明有問題，問題出在自變量增量是規(guī)定的，以此得到的中間變量增量完全可能為，若，以上的比值就得不到，教材中的證明繁瑣就是要解決這一問

6、題。這里說明僅是提醒大家，嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明有時(shí)是很麻煩的。只不過對(duì)于我們證明過程并不重要。主要是要會(huì)用此結(jié)論。推廣如果一個(gè)函數(shù)有三次復(fù)合，且都是可導(dǎo)的,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明n次復(fù)合的求導(dǎo)原則。從公式的結(jié)構(gòu)看猶如從外向內(nèi)一層層地進(jìn)行其結(jié)果也是系鏈子一樣一環(huán)扣一環(huán)的連乘積，所以常把它稱為鏈鎖規(guī)則。這里導(dǎo)數(shù)的符號(hào)上有個(gè)容易引起混淆的問題。若復(fù)合函數(shù)其導(dǎo)數(shù)，很容易引起混亂?？梢姶藭r(shí)的Leibniz符號(hào)更好。求導(dǎo)運(yùn)算是哪個(gè)函數(shù)關(guān)于哪個(gè)變量變化下的運(yùn)算問題與此變量無關(guān)的變量是被認(rèn)為無關(guān)的常量在此運(yùn)算下是不變的。Leibniz符號(hào)就很難準(zhǔn)確和清楚。這在變量符更多的時(shí)候更顯其優(yōu)越。強(qiáng)調(diào)注意這一

7、問題并非僅僅是個(gè)形式上的問題，而是能否正確運(yùn)用此法則順利進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算的關(guān)鍵之一，而另一個(gè)關(guān)鍵在于對(duì)復(fù)合函數(shù)的分解，怎樣的分解才合理，必須以基本初等函數(shù)冪、指、對(duì)、三角、反三角的函數(shù)符為基準(zhǔn)。例如解：可看成則再將各變量轉(zhuǎn)換為的函數(shù)形式代入。這樣的做法很細(xì)致，初學(xué)者不容易出錯(cuò)，但是很累贅，且不利于思維的發(fā)展，希望大家多做一點(diǎn)練習(xí)后，盡快地從中擺脫出來，直接地由心算就能將其復(fù)合求導(dǎo)問題解決。例如：（不寫中間變量符不僅是圖方便而且更能放松思維，務(wù)必盡快達(dá)到這一境界）應(yīng)用它解決一般冪函數(shù)的求導(dǎo)公式（為一切實(shí)數(shù)，而前面用定義只解決了指數(shù)為自然數(shù)的求導(dǎo)公式解：用對(duì)數(shù)恒等式可看成復(fù)合函數(shù)注意公式的結(jié)果無論其指

8、數(shù)是自然數(shù)n還是實(shí)數(shù)都是同樣的結(jié)果：為任何實(shí)數(shù)，這個(gè)公式雖然把一般的冪函數(shù)都解決了，而且教材中P108導(dǎo)數(shù)基本公式表中也只列出它，但實(shí)際運(yùn)用中大量涉及倒數(shù)和開平方，雖是冪級(jí)數(shù)特殊形式，因用得太頻繁，所以可單獨(dú)列出來。 4總結(jié)）   至此，我們完成了對(duì)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，并將其結(jié)果列成基本求導(dǎo)公式（教材P108）并且討論了關(guān)于函數(shù)運(yùn)算的求導(dǎo)法則。于是對(duì)于初等函數(shù)，在其有定義的范圍上都可用這套體系求其導(dǎo)函數(shù)了，盡管其導(dǎo)函數(shù)的定義域可能有變化。這一套體系我們稱為微分法。可是它對(duì)于初等函數(shù)求導(dǎo)的強(qiáng)大功能，它把求導(dǎo)這種求型極限的問題轉(zhuǎn)換成了利用基本公式表結(jié)合運(yùn)算法則的相對(duì)簡單且機(jī)

9、械的運(yùn)算問題，稍加練習(xí)后就會(huì)熟練起來，到時(shí)會(huì)看到對(duì)于初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算甚至比中學(xué)的多項(xiàng)式化簡或三角函數(shù)的恒等變形都更好算，因?yàn)樗浅５臋C(jī)械。）   熟記基本導(dǎo)數(shù)表及運(yùn)算法則是最基本的，這里的難點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的靈活運(yùn)用。例子兩相對(duì)比，可見鏈鎖規(guī)則更簡單。這里還剛好有個(gè)倍角公式。所以在一般計(jì)算中，更注意哪怕是的情況，乘一個(gè)常數(shù)后的也要看成自變量的一級(jí)復(fù)合。 3）對(duì)于基本求導(dǎo)公式表中的這16個(gè)公式中，注意指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式若無理數(shù)為底時(shí)，這說明函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)運(yùn)算是個(gè)不變量，即求導(dǎo)運(yùn)算這種作用施于上不起作用，猶如數(shù)的加法中，數(shù)0是其不變量。數(shù)的乘法中數(shù)1是其不變量，這里函數(shù)求導(dǎo)

10、運(yùn)算中函數(shù)是其不變量。正因?yàn)榇?，無理數(shù)在微積分中的重要作用突出出來。而且以它為底的自然對(duì)數(shù)也是導(dǎo)數(shù)公式最簡單。，于是在微積分中大量用自然對(duì)數(shù)。三、特殊的求導(dǎo)法則、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法1）函數(shù)被稱為冪指函數(shù)，在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中會(huì)大量涉及此類函數(shù)，注意到它很特別。既不是指數(shù)函數(shù)又不是冪函數(shù)它的冪底和指數(shù)上都有自變量，所以不能用初等函數(shù)的微分法處理了。這里介紹一個(gè)專門解決此類函數(shù)的方法，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。2）對(duì)于兩邊取對(duì)數(shù)（當(dāng)然取以為底的自然對(duì)數(shù)計(jì)算更方便）。由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。再對(duì)兩邊關(guān)于求導(dǎo)，左端是復(fù)合函數(shù)，右端是乘積與復(fù)合注意，此法的演算思路很簡單，反而公式很復(fù)雜，沒必要記公式而主要是記方法。  

11、 例子  3）冪指函數(shù)必須用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，而在有些能用微分法解決的函數(shù)類型運(yùn)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法可以更簡單。注意到對(duì)數(shù)變換的優(yōu)點(diǎn)是能把三級(jí)運(yùn)算（開方、乘方）轉(zhuǎn)換為二級(jí)運(yùn)算（除、乘），而把二級(jí)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為一級(jí)運(yùn)算（加、減），所以對(duì)一類僅有開方、乘方和乘、除結(jié)構(gòu)的函數(shù)，運(yùn)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法可簡化運(yùn)算。 例子2、隱函數(shù)求導(dǎo)法則系統(tǒng)理論將在多元函數(shù)中討論，這里僅是作為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用，在計(jì)算上的一種方法的介紹。1）  函數(shù)的解析表達(dá)函數(shù)的解析表達(dá)有三種形式： 1、顯式表達(dá) 2、隱式表達(dá) 3、參數(shù)表達(dá)平時(shí)對(duì)函數(shù)泛泛地討論中，僅是一個(gè)抽象的說明，若作為一個(gè)具體函數(shù)的解析式，將函數(shù)變量

12、放在等式一端，另一端只有關(guān)于x的結(jié)構(gòu)式，這被稱為“顯式表達(dá)”，是最簡單的一種，其判斷條件也最多，所以能表達(dá)的范圍也最窄?？梢娺@之前我們?nèi)酝Ａ粼谧詈唵螌?duì)象的程度。函數(shù)的隱式表達(dá)為，即x和y的關(guān)系通過一個(gè)方程的形式實(shí)現(xiàn)，是否是函數(shù)由函數(shù)定義去判斷。當(dāng)然可能y不是x的函數(shù)，但可能x是y的函數(shù)，（隱式函數(shù)存在性在多元函數(shù)時(shí)討論）可見它要一般的多。實(shí)際上顯示表達(dá)是隱式表達(dá)的特殊形式，特殊在，即。就是說在方程中y變量可反解出的時(shí)候。一般的未必能反解出來，比如。函數(shù)的參數(shù)表達(dá)，即x和y的關(guān)系由第三個(gè)參變量t體現(xiàn)，是否y為x的函數(shù)也是由定義判斷。這種形式在實(shí)際問題中大量存在，也是運(yùn)用較多。顯式也是參數(shù)表達(dá)特殊情況，特殊為即參數(shù)變量取為自變量x時(shí)。注意，現(xiàn)在我們還很少接觸隱式和參數(shù)式，但隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)程，它們的出現(xiàn)會(huì)越來越多。2）  隱函數(shù)的求導(dǎo)法則若中存在隱函數(shù)，這里僅是說y為一個(gè)x的函數(shù)并非說y一定被反解出來為顯式表達(dá)。即，盡管y未反解出來，只要y關(guān)于x的隱函數(shù)存在且可導(dǎo)，我們利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則則仍可以求出其反函數(shù)。一般理論公式在多元函數(shù)時(shí)給出，以下僅以實(shí)例說明。例：求解：既然求，即y關(guān)于x的隱函數(shù)存在且可導(dǎo)即方程兩邊對(duì)x