1、初中幾何模型之“一線三等角模型”一.【一線三等角概念】“一線三等角”是一個常見的相似模型，指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。不同地區(qū)對此有不同的稱呼，“K形圖”，“三垂直”，“弦圖”等,以下稱為“一線三等角”?！疽痪€三等角的分類】2.1全等篇同側(cè)鈍角銳角直角2.2全等篇異側(cè)銳角直角鈍角2.3相似篇同側(cè)2.4相似篇異側(cè)銳角直角鈍角a=a2=a3易得AEC70ABDE.三、【性質(zhì)】1.相似，如圖3-1,由/1=Z2=Z3,或者國3-12.當(dāng)?shù)冉撬鶎Φ倪呄嗟葧r，則兩個三角形全等.如下圖，若CE=ED,則AE0ZBDE.異側(cè)結(jié)果同樣。A圖3-1E

2、3 .點型“一線三等角相似中多了一位兄弟圖3-2如圖3-2,當(dāng)/1=/2=/3,且D是BC中點時，BD修CFNADFE.4 .“中點型一線三等角”的變式（了解）如圖3-3,當(dāng)/1=22且叫NBAC時，點。是ABC的內(nèi)心.可以考慮構(gòu)造“一線三等角”.圖3-35.“一線三等角”的各種變式（圖3-5,以等腰三角形為例進行說明圖3-5四、【“一線三等角"的應(yīng)用】1 .應(yīng)用的三種情況.a.圖形中已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應(yīng)用模型解題；b,圖形中存在“一線二等角”，構(gòu)造“一等角”模型解題;c.圖形中只有直線上一個角，構(gòu)造“二等角”模型解題注意：感覺最后一種情況由現(xiàn)比較多，尤其是壓軸題中，經(jīng)常會

3、有一個特殊角或指導(dǎo)該角的三角函數(shù)值時,我經(jīng)常構(gòu)造“一線三等角”來解題.CEftAEMffi3-62 .適應(yīng)場景：在定邊對定角問題中，構(gòu)造一線三等角是基本手段，尤其是直角坐標系中的張角問題，在軸或y軸（也可以是平行于x軸或y軸的直線）上構(gòu)造一線三等角解決問題更是重要的手段3 .構(gòu)造步驟：找角、定線、構(gòu)相似【引例】21/10,例1如圖，11、12、13是同一平面內(nèi)的三條平行線，l1、l2之間的距離是21/5,12、13之間的距離是等邊ABC的三個頂點分別在1八12、13上，求ABC的邊長.思路引導(dǎo):【腦洞大開-三角構(gòu)造】例1如圖，四邊形ABCD中，/ABC4BAD=90,ZBACD=45,AB=3

4、5AD=5.求BC的長.橫向構(gòu)造斜A相似構(gòu)造:X縱向構(gòu)造斜向構(gòu)造H例2如圖，ABC中,ZBAC=45,AD±BQBD=2,CD=3,求AD的長.橫向縱向一線三垂直的補形:斜向角含半角補形*、練一練：1.如圖，在ABC中，/BAC=135,AC=V2AB,AD±AC交BC于點D,若AD=&，求ABC的面積思路提示:AKfHB0【中點型一線三等角】例1、如圖，在Rt/ABC中，AB=AC=2,/A=90,現(xiàn)取一塊等腰直角三角板，將45角的頂點放在BC中點O處，三角板的直角邊與線段ABAC分別交于點E、F,設(shè)BE=x,CF=y,/BOE=巾(45辟90°).(1

5、)試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫由x的取值范圍；(2)試判斷/BEO與/OEF的大小關(guān)系？并說明理由；(3)在三角板繞O點旋轉(zhuǎn)的過程中，/OEF能否成為等腰三角形？若能，求由對應(yīng)x的值；若不能，請說明理由.(：例2.如圖，ABG口DEFM兩個全等的等腰直角三角形，/BAG/EDI=90°,4DE曲頂點E與ABC勺斜邊BC的中點重合。將DE蹴點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q如圖，當(dāng)點Q在線段AC上,且AP=AQ01求證：BP電CQE(2)如圖，當(dāng)點Q在線段CA的延長線上時，求證：BPaCEQ并求當(dāng)BP=a,C(=9a/2時，P、Q兩點間的【

6、小題精煉（4題）】1 .如圖，ABC中，/B=90,/CAD=45,AB=3,CD=5,求BD的長2 .如圖，在四邊形ABC葉，/BAD4ACB4ACD=45,AC=4,求BCD的周長。B3 .如圖，在R3ABC中，/ACB=30,DA平分/CAB若/CDB=60,CA=473,求AD的長4 .矩形ABCDfc直角坐標系的位置如圖所示，點A（2而,0），點C（0,5）,反比例函數(shù)y=-的圖像交邊ARBC于D、xE兩點，且/DOE=45,貝Uk=【一線三等角在中考壓軸題中的應(yīng)用】2、BC=2AC例1：如圖，直線y=x+2與y軸交于點C,與拋物線y=ax交于A、B兩點(A在B的左側(cè))點P是拋物線上

7、一點.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點P在直線AB的下方，求點P到直線AB的距離的最大值；(3)若點P在直線AB的上方，且/BPC=450,求所有滿足條件的點P的坐標.例2:等邊ABCfe長為6,P為BC邊上一點，/MPN60,且PMPN分別于邊ABAC交于點E、F.(1)如圖1,當(dāng)點P為BC的三等分點，且PELAB時，判斷EPF的形狀；(2)如圖2,若點P在BC邊上運動，且保持PELAR設(shè)BP=x,四邊形AEPFW積的y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫由自變量x的取值范圍；(3)如圖3,若點P在BC邊上運動，且/MPN§點P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF=AE=2時，求PE的長.4922、一,例3

8、:如圖1,已知直線y=kx與拋物線丫=-方必+可交于點A(3,6).273(1)求直線y=kx的解析式和線段OA勺長度；(2)點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點，過點P作直線PM交x軸于點M(點MO不重合)，交直線OA于點Q再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N試探究：線段QMW線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求由這個定值，如果不是，說明理由；(3)如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點，點E在線段OA上(與點QA不重合)，點D(m0)是x軸正半軸上的動點，且滿足/BAm/BEB/AOD0續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個？圖1圖2例4.如圖，直線ACy=2x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)過A、C兩點，與x軸交于另一點B(B在A的右側(cè))，且AOB。AOCA(1)求拋物線的解析式；備用圖【思路拓展】1 .如圖，在ABC中，/0=90,/B=30,AC=4,D為AC的中點