1、第三章 控制系統(tǒng)的時域分析 第一節(jié) 引言 第二節(jié) 時域性能指標 第三節(jié) 一階系統(tǒng)的時域分析 第四節(jié) 二階系統(tǒng)的時域分析 第五節(jié) 零極點分布對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響 第六節(jié) 高階系統(tǒng)的動態(tài)響應及簡化分析 第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù) 第八節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數(shù)第一節(jié) 引言 控制系統(tǒng)分析方法：時域分析，根軌跡，頻域分析 時域分析：典型測試信號下系統(tǒng)時域響應的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)分析 典型測試信號的選用 溫度調節(jié)系統(tǒng)-用階躍信號 雷達跟蹤系統(tǒng)-用斜坡信號 飛船控制系統(tǒng)-用拋物線信號 時域分析以階躍響應為主（因為階躍典型,極端,寬頻譜) 過渡過程-系統(tǒng)在外作用下由一個穩(wěn)態(tài)轉移至另一個穩(wěn)態(tài)的過程.

2、 例 階躍響應 典型過渡過程反映系統(tǒng)性能,時域性能指標定量說明系統(tǒng)性能第二節(jié) 時域性能指標X 3.2.1 概論X 3.2.2 階躍響應指標 1) 最大超調量 2) 上升時間 3) 峰值時間 4) 調整時間 5) 振蕩周期 6) 衰減率 7) 穩(wěn)態(tài)誤差 X 3.2.3 誤差積分指標 1) 誤差平方積分 2) 誤差絕對值積分 3) 誤差絕對值乘時間積分X 3.2.4 誤差積分指標的比較3.2.1 概論X 時域指標: 階躍響應指標, 誤差積分指標X 階躍響應類型 超調 單調型 無超調 發(fā)散 衰減振蕩 振蕩型 等幅振蕩 發(fā)散振蕩 注: 階躍響應指標針對 三種情況X 誤差積分指標與階躍響應指標的比較(具

3、體與綜合)3.2.2 階躍響應指標X 1) 超調量 (百分比超調 PO Percentage Overshoot) (%) X 2) 上升時間 X 3) 峰值時間 -y(t)到達第一個峰值的時間)()()(100yytypprrrpyyyyyyMmaxmaxmax 0 ( yr為設定值)%0%100%5%95%10%90tttttttttrrrpt3.2.2 階躍響應指標X 4) 調整時間 -y(t) 穩(wěn)定至指定的誤差限(如5%y()內所需時間 X 5) 振蕩周期 -兩個峰值間的時間 X 6) 衰減率X 7) 穩(wěn)態(tài)誤差stctyyyypp121yyerss3.2.2 階躍響應指標trtptse

4、ssyrytcyp1yp25%ytc=0,p=0tc=0,p03.2.3 誤差積分指標X 1) 誤差平方積分(Integral Square Error)X 2)誤差絕對值積分(Integral Absolute Error)X 3)誤差絕對值乘時間積分(Integral of Time-multipled Absolute Error)stdtteISE02)(stdtteIAE0)(sttdtteIAET0)(3.2.4 誤差積分指標的比較X ISE 指標最常用,重大誤差,輕小誤差,選擇性差.X IAE 指標對大小誤差加權平均,選擇性改善.X IAET 指標著重于后期小誤差,選擇性最好.I

5、SEIAEIAET0.75第三節(jié) 一階系統(tǒng)的時域分析 3.3.1 一階系統(tǒng)數(shù)學模型3.3.2 單位階躍響應3.3.3 單位斜坡響應3.3.4 單位脈沖響應 3.3.1 一階系統(tǒng)數(shù)學模型 一階系統(tǒng): 可用一階微分方程表示的系統(tǒng) 典型系統(tǒng):慣性環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié),實際微分環(huán)節(jié) 以慣性環(huán)節(jié)為例進行分析 11)(TssG3.3.2 單位階躍響應 輸入 輸出 分析：3,4T后 y(t)y初速=1/Tess=0T0,慣性環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) T,慣性環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)T2T 3T4T0.6320.8650.9500.9821.0 ts(5%)=3Tts(2%)=4TssX1)(TssTsssXsGsY11111)()()(

6、TtesYLty1)()(13.3.3 單位斜坡響應 輸入 輸出 分析： 初速 Tx(t)y(t)T21)(ssXTssTsTsssXsGsY1221111)()()(TtTeTtsYLty)()(1010tTteTTttess3.3.4 單位脈沖響應輸入 輸出分析： 初速1)(sXTteTsYLtyTssXsGsY1)()(11)()()(10)(1)0(yTy21T0sseTy(t)初始斜率=21TT1第四節(jié) 二階系統(tǒng)的時域分析3.4.1 二階系統(tǒng)的分類3.4.2 二階系統(tǒng)的特征根及對應的單位階躍響應3.4.3 二階系統(tǒng)的單位階躍響應3.4.4 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應3.4.5 欠阻尼標準

7、二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標計算3.4.6 過阻尼標準二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標計算3.4.7 有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)響應分析3.4.1 二階系統(tǒng)的分類 一般式： b1s2+b2s+b3 b1s+b2 a1s2+a2s+a3 a1s2+a2s+a3 b1s b1 a1s2+a2s+a3 a1s2+a2s+a3 標準式： n2 s2+2ns+n23.4.2 二階系統(tǒng)的特征根及對應的單位階躍響應特征方程： s2+2ns+n2=0 特征根：s1,2 = - nn(2-1)根據(jù)阻尼系數(shù)的大小有七種根及階躍響應1）012) =1- nn(1-2) s2s1nS1,211欠阻尼臨界阻尼3.4.2 二階系統(tǒng)的特征根及

8、對應的單位階躍響應 3）1 4) =05)-10s2s1S1S2-nn(1-2) s2s11過阻尼無阻尼負阻尼3.4.2 二階系統(tǒng)的特征根及對應的單位階躍響應 6）=-1 7) -1s2s1S1,2負臨界阻尼 負過阻尼3.4.3 二階系統(tǒng)的單位階躍響應1）01 欠阻尼情況-衰減振蕩 -有阻尼自然振蕩頻率 dnndnnnnnnnnnnnnnnssssssssssssssssY2222222222211112212)(21nd3.4.3 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 -初相角包絡線方程:2）=0 無阻尼情況-等幅振蕩 tesYLtydtnsin111)()(21tnety2111)(211tg22222

9、1)(nnnssssssYtsYLtyncos1)()(13.4.3 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 3）=1 臨界阻尼情況-慣性 4）1 過阻尼情況-慣性 222222112)(nnnnnnnnsssssssssYtesYLtyntn11)()(1212122222)(psCpsBsApspssssssYnnnn3.4.3 二階系統(tǒng)的單位階躍響應22122211 1nnnpppp211212 1pppCpppBAtptpepepppsYLty211221111)()(5）-10 負阻尼情況-發(fā)散振蕩 2222222221112212)(nnnnnnnnnnnnssssssssssssY3.4.3 二

10、階系統(tǒng)的單位階躍響應 -初相角 包絡線方程: 以上表達式與欠阻尼情況的完全相同，但-n021ndtesYLtydtnsin111)()(21211tgtnety2111)(dnndnnsssssY221)( -阻尼自然振蕩頻率3.4.3 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 6）=-1 負臨界阻尼情況-單調發(fā)散 7）-1 負過阻尼情況-單調發(fā)散 這個階躍響應解與1 的形式相同但由于e-p1t和e-p2t項發(fā)散而發(fā)散。nnnnnnnnsssssssssY112)(222222tnnetsYLty11)()(1tptpepepppsYLty211221111)()(3.4.3 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 8）特征根

11、與動態(tài)響應的關系 1）01 欠阻尼情況-衰減振蕩 3.4.4 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應222112222)()(2)(1)()(nnnnnnssLsYLtysssYtLsXtetyntnn221sin1)(2）=0 無阻尼情況-等幅振蕩 3）=1 臨界阻尼情況-慣性 4） 1 過阻尼情況-慣性3.4.4 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應ttynnsin)(tnntety2)(ttnnneety1122212)( (階躍響應)1 1）t tr r的計算的計算( (設設y(ty(tr r)=1)=1) 即 3.4.5 欠阻尼標準二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標計算) 10(2)(222 nnnsssG)sin(111)

12、(2tetydtn21211tgnd 1sin111)(2rdtrtetyrnrdrdtt 0sin3.4.5 欠阻尼標準二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標計算 一定時,n tr 而n一定時, tr2 2） t tp p 的計算的計算 由 可導出 一定時,n tp 而n一定時, tp21nrt0)(dttdy0sinpdt)(12prndpttt 3 3） p p的計算的計算 p 只與 有關, 見右圖. 3.4.5 欠阻尼標準二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標計算Mp p p m212100100sin1cos1001)(100)()()(100eettetyyytypnpntpdpdtppp4 4） 的計算的計算

13、也只與 有關, 參見上頁圖5 5）衰減指數(shù)）衰減指數(shù) m m 的計算的計算 定義特征根的實部與虛部之比為 m3.4.5 欠阻尼標準二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標計算212212131111111212eeeyyyyyypppp2211nnm m 也只與 有關, 參見前圖.6 6） , ,m, m, p p和和 的關系的關系 四者一一對應 7 7）調整時間）調整時間 t ts s 的計算的計算 利用包絡線方程 |z(t)-y|y 即 |z(t)-1|3.4.5 欠阻尼標準二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標計算)9 . 075. 01122( pme)6 .31501100100( mpe21m)344. 0216.

14、 0122 ( mmtnetz2111)( 所以一般 取為0.05 或0.02, 可求得 ts與 n成反比, n為極點至虛軸的距離. 3.4.5 欠阻尼標準二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標計算21tne21tneln1lnln2tnnstln02. 0405. 03 nnst3.4.6 過阻尼標準二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標計算 只有tr ts 有意義，可求得 ts與p1,p2的關系如圖所示 比較: p1tsp2/p14.891=0.052122222)(pspssssssYnnnn221222111nnnpppp tptpepepppsYLty211221111)()(nrt25 . 11213nrnstt

15、3.4.7 有零點的二階系統(tǒng)的動態(tài)響應分析 零點: ,當,有限零點變?yōu)闊o限零點標準二階系統(tǒng) 有零點的二階系統(tǒng)的階躍響應 越小,超調量越大 當零點遠離虛軸時,其影響可忽略不計. 當零點在虛軸右邊時,如何?p 20080 =0.7072222)(nnnssssGn)sin(121)(22tetydtn121tg21有零點的二階系統(tǒng)ns第五節(jié) 零極點分布對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響 極點起慣性延緩作用，離虛軸越近影響越大。 零點起微分加快作用，可抵消最近極點作用。 左極點穩(wěn)，右極點散。復極點振，實極點不振。例1 分析: 0.8s+1 s+11s+110.8s第五節(jié) 零極點分布對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響 例2 s=

16、-1 成為主導極點0.11e-10t-1.1e-t 1-10j-1tteetysssssGsYsssG1011. 01 . 11)(1011. 011 . 11)()(10110)(第五節(jié) 零極點分布對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響 例3 s=-1 s=-1.25 成為偶極子-10-0.78e-10t-0.22e-t 1-1-1.25tteetysssssGsYssssG1078. 022. 01)(1078. 0122. 01)()(10118 . 010)(第六節(jié) 高階系統(tǒng) 的動態(tài)響應及簡化分析 1)定義高階系統(tǒng)-N2的系統(tǒng) 2)分析高階系統(tǒng) 求有s左半平面互異極點時的單位階躍響應 高階系統(tǒng)=若干慣性

17、環(huán)節(jié)+若干振蕩環(huán)節(jié)1211211)(asasasbsbsbsbsGnnnmmmmrkkkkqiimmmmsspssbsbsbsbssGsY122112112)()(teCteBeAGtyrkkktkrkkktkqjtpjkkkkj121211sin 1cos)0()(第六節(jié) 高階系統(tǒng) 的動態(tài)響應及簡化分析 3)簡化分析 * 遠離虛軸的極點影響可忽略 * 若有主導極點存在，則簡化為只有主導極點的系統(tǒng)。主導極點為實極點則簡化為一階系統(tǒng)；主導極點為共軛復極點則簡化為二階系統(tǒng)。 * 主導極點定義： 實部絕對值小于其它的五分之一且附近無零點第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)1). 穩(wěn)定性概念2). 線性

18、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件3). 判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法4). 勞斯判據(jù)5). 勞斯判據(jù)的應用6). 赫爾維茨判據(jù)第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)1). 穩(wěn)定性概念穩(wěn)定性-擾動消失后系統(tǒng)恢復到平衡狀態(tài)的特性 穩(wěn)定 不穩(wěn)定 條件穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定性只與系統(tǒng)內部特性有關，而與輸入無關。第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)2). 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是其系統(tǒng)特征式的所有線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是其系統(tǒng)特征式的所有根都在根都在S S左半平面內左半平面內理解：（一）從齊次微分方程的解（二） 從標準二階系統(tǒng)時域分析tCtBeeAtykkkkttpjkjsincos)(第七節(jié) 控制系統(tǒng)

19、的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)3). 判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法 勞斯(Routh)赫爾維茨(Hurwits)代數(shù)判據(jù) 根軌跡法 奈奎斯特(Nyquist)判據(jù) 李亞普諾夫直接法 求根法第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)4). 勞斯判據(jù)(Routh 1877)(1)判據(jù)描述：若線性系統(tǒng)的特征方程表示為 則此系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程系數(shù)均為正數(shù)且對應勞斯表第一列元素均為正數(shù)。(2)兩個推論:(一)若其勞斯表第一列元素變號m次，則有m個正實部根。(二)若系數(shù)a0至an有缺項或小于零則系統(tǒng)不穩(wěn)定。01110nnnnasasasa第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)(3)勞斯表定義sn r11 r12 r13 r

20、140 a0 a2 a4 a6 sn-1 r21 r22 r23 r240 a1 a3 a5 a7 sn-2 r31 r32 r33 r340sn-3 r41 r42 r43 r440 d es1 rn1 0 f hs0 r(n+1)1 0 fdhfeg) 1, 4 , 3 ;, 2 , 1( 1 , 11, 11 , 21 , 11, 2,nkirrrrrrkikkkikik第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)例1 已知求系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：列勞斯表s4 1 3 5 0s3 2 4 0s2 1 5 0 第一列元素：1，2，1，-6，5s1 -6 0 變號兩次。s0 5 不穩(wěn)定，有兩個有正實部的根。

21、s4+2s3+3s2+4s+5=0第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)(4)勞斯表計算時零元素的處理(一)第一列元素出現(xiàn)零但對應行其它元素有不為零的處理: 令 rk1=0 再進行下一行元素的計算例: s3-3s+2=0s3 1 -3 s2 0 2 令r2,1= 0,則s2 2 s1 s1 (-3-2)/ 0 s0 2 可見變號兩次.第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)(4)勞斯表計算時零元素的處理(二)某一行元素全為零時處理: 用上一行元素構成輔助多項式 令 rk1=0 再進行下一行元素的計算例: s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0s6 1 8 20 16s5 2 12 1

22、6 0 s4 2 12 16 同除2后為 1 6 8 s3 0 0 0 經處理后為 4 12s2 3 8 0s1 4/3s0 8212, 111 , 1knkknksrsr第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)5). 勞斯判據(jù)的應用(1)分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響例求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K。解：G(s)=40K/s(s+4)(s+10)+40K特征方程: s3+14s2+40s+40K=0s(0.1s+1)(0.25s+1)K-第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)勞斯表: s3 1 40 s2 14 40K s1 (560-40K)/14 s0 40K 040K560 0K14(2) 檢驗系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性相

23、對穩(wěn)定性概念：根平面虛軸為穩(wěn)定邊界，若把此邊界左移，針對新邊界的系統(tǒng)穩(wěn)定性為相對穩(wěn)定性。相對穩(wěn)定性反映了系統(tǒng)穩(wěn)定的深度。左移距離被稱為穩(wěn)定裕量。用勞斯判據(jù)檢驗系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性的做法： 先移軸變換，s=z-，再用勞斯判據(jù)。第七節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)例 用上一例系統(tǒng) 特征方程: s3+14s2+40s+40K=0 考慮新穩(wěn)定邊界 s=-1，將s=z-1代入上方程 (z-1)3+14(z-1)2+40(z-1)+40K=0 z3+11z2+15z+40K-27=0 z3 1 15 z2 11 40K-27 z1 (165-40K+27)/11 z0 40K-27 2740K192 0.75K

24、0 a0 a2 1 14 a1 a3 0 7 8 0H3 = a0 a2 0 = 1 14 0 = 7200 系統(tǒng)穩(wěn)定 0 a1 a3 0 7 8 s3+7s2+14s+8=0第八節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數(shù)1). 穩(wěn)態(tài)誤差概念2). 穩(wěn)態(tài)誤差的定義和計算3). 控制系統(tǒng)的類型4). 給定穩(wěn)態(tài)誤差的計算5). 擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差第八節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數(shù)1). 穩(wěn)態(tài)誤差概念穩(wěn)態(tài)誤差-輸出設定值-輸出穩(wěn)態(tài)值給定穩(wěn)態(tài)誤差-針對給定值的改變擾動穩(wěn)態(tài)誤差-針對擾動量的改變隨動控制系統(tǒng)用給定穩(wěn)態(tài)誤差來衡量控制精度恒值控制系統(tǒng)用擾動穩(wěn)態(tài)誤差來衡量控制精度ess=0 - 無差系統(tǒng)es

25、s0 - 有差系統(tǒng)第八節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數(shù)2). 穩(wěn)定誤差的定義和計算 E(s)G1(s)H(s)G2(s)D(s)R(s)Y(s)B(s)-1(s) )()()()()()()(lim)(lim0HtytrtetbtrtessEteestss當?shù)诎斯?jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數(shù)2). 穩(wěn)定誤差的定義和計算 給定穩(wěn)態(tài)誤差計算式: 擾動穩(wěn)態(tài)誤差計算式: )()()()()()(1)()()()()()(11)()()()()()()()(1)()()()()(1)()()(212212122121sEsEsDsHsGsGsHsGsRsHsGsGsYsHsRsEsDsHsGs

26、GsGsRsHsGsGsGsGsYdr)()()(1)(lim210sHsGsGssResssr)()()(1)()()(lim2120sHsGsGsDsHssGesssd= 給定穩(wěn)態(tài)誤差 + 擾動穩(wěn)態(tài)誤差第八節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數(shù)3). 控制系統(tǒng)的類型(按開環(huán)系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)數(shù)分類)若開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)則控制系統(tǒng)被稱為N型系統(tǒng),常見0,1,2型G(s)H(s)R(s)Y(s)-NnjjNmiisTssKsHsG1111)()(第八節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數(shù)4). 給定穩(wěn)定誤差的計算 考慮0,1,2型控制系統(tǒng)在典型測試信號下的穩(wěn)態(tài)誤差(1)單位階躍輸入時 ssR1)(psssssssrKsHsGsHsGsHsGssHsGssRe11)()(lim11)()(11lim)()(1lim)()(1)(lim00100第八節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數(shù)2 01 00 11NNNKessr2