1、線性系統(tǒng)的復頻率域理論線性系統(tǒng)的復頻率域理論 經典控制理論中頻域法以傳遞函數(shù)（頻率特經典控制理論中頻域法以傳遞函數(shù)（頻率特性性 ）為基礎，研究單輸入）為基礎，研究單輸入/單輸出線單輸出線性定常系統(tǒng)，它和時域法比較有如下優(yōu)點：性定常系統(tǒng)，它和時域法比較有如下優(yōu)點：1)計算量小（相對于微分方程的求解）計算量?。ㄏ鄬τ谖⒎址匠痰那蠼猓?）物理意義強；）物理意義強；3）可用圖形表示，直觀地進行分析；）可用圖形表示，直觀地進行分析；4）可通過實驗建模。）可通過實驗建模。js) s (G)j (G狀態(tài)空間表達式為數(shù)模，研究多輸入狀態(tài)空間表達式為數(shù)模，研究多輸入/多輸出系統(tǒng)的多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間理論，建立了

2、系統(tǒng)能控能觀測的概念，提出狀態(tài)空間理論，建立了系統(tǒng)能控能觀測的概念，提出了狀態(tài)反饋，狀態(tài)觀測器。與此同時，在線性系統(tǒng)狀了狀態(tài)反饋，狀態(tài)觀測器。與此同時，在線性系統(tǒng)狀態(tài)空間法影響下，以多項式矩陣理論為基礎的復頻域態(tài)空間法影響下，以多項式矩陣理論為基礎的復頻域理論應運而生，理論應運而生，Kalman探討并提出最優(yōu)控制問題的探討并提出最優(yōu)控制問題的頻域描述，頻域描述，H.H.Rosenbrock的的“逆奈奎斯特陣列設逆奈奎斯特陣列設計多變量系統(tǒng)計多變量系統(tǒng)”和和W.A.Wolovich提出的特征軌跡設提出的特征軌跡設計法等開創(chuàng)了復頻域理論。該方法既可用于計法等開創(chuàng)了復頻域理論。該方法既可用于SISO

3、系系統(tǒng)又適應統(tǒng)又適應MIMO系統(tǒng)；既可提供系統(tǒng)性能分析又可揭系統(tǒng)；既可提供系統(tǒng)性能分析又可揭示系統(tǒng)結構特性；還可用于系統(tǒng)補償器綜合。示系統(tǒng)結構特性；還可用于系統(tǒng)補償器綜合。第第7章章 多項式矩陣理論多項式矩陣理論7.1 多項式矩陣多項式矩陣以多項式為元組成的矩以多項式為元組成的矩陣陣nmmnmmnnsqsqsqsqsqsqsqsqsq)()()()()()()()()() s (Q212222111211其中，其中， 的的S多項式多項式)(),()(實數(shù)域實數(shù)域ssqij7.2 奇異和非奇異奇異和非奇異方多項式矩陣方多項式矩陣Q(s)如果如果detQ(s)=0,則稱則稱Q(s)為奇異多項式矩陣

4、；如果為奇異多項式矩陣；如果detQ(s)=0,則稱則稱Q(s)為非奇異多項式矩陣。為非奇異多項式矩陣。Q(s)有逆的充分必要條件為有逆的充分必要條件為Q(s)為非奇異的，為非奇異的，且存在且存在)()()()()()()(1sRsQsQsRsQsQsR的逆的逆有有理理分分式式矩矩陣陣多多項項式式多多項項式式矩矩陣陣) s (detQ) s (adjQ) s (Q1 -7.3 線性相關和線性無關線性相關和線性無關多項式向量組多項式向量組 為線性相關，為線性相關，當且僅當存在一組不全為零的多項式當且僅當存在一組不全為零的多項式 使成立使成立)()(),(21sqsqsqm)()(),(21sss

5、m0)()()()()()(2211sqssqssqsmm)()()()()()()()()()()()()()()()(m2121m212211ssqsqsqssssqsqsqsqssqssqsmmm等價于等價于奇異與線性無關奇異與線性無關Q(s)非奇異方多項式矩陣等價于非奇異方多項式矩陣等價于Q(s)行行/列多列多項式向量線性無關。項式向量線性無關。多項式矩陣非奇異多項式矩陣非奇異線性無關等價于線性無關等價于)()()()()()(2121sqsqsqsqsqsqmm線性相關性線性相關性/無關性對組合系數(shù)屬性的依賴性無關性對組合系數(shù)屬性的依賴性多項式向量組多項式向量組 線性相關線性相關/無

6、無關不僅依賴于向量本身，而且同時依賴于標量關不僅依賴于向量本身，而且同時依賴于標量組組 的取值的域（有理分式域的取值的域（有理分式域 或實數(shù)域或實數(shù)域 。)()(),(21sqsqsqm)()(),(21sssm) s ( 域域上上線線性性無無關關在在和和即即，僅僅當當顯顯然然，上上式式為為零零，當當且且（域域上上，域域上上線線性性相相關關，而而在在在在和和即即（和和（可可取取多多項項式式) s () s (00) 1()23() 1s ()2() s () s () s (s) s () s () s (00123123) s () s () s (s)1) s (1ss)123) s (,

7、12) s (212122221122112122222211212221qqssssqqqqssssssqqsssqssq7.4 秩秩定義：如果至少存在一個子式定義：如果至少存在一個子式 不恒等于不恒等于零，而所有等于和大于零，而所有等于和大于 的子的子式恒等于零，則稱式恒等于零，則稱 多項式矩陣多項式矩陣Q(s)的的秩為秩為r.即即rankQ(s)=r1)秩的取值范圍：對一秩的取值范圍：對一 多項式矩陣多項式矩陣Q(s)rrnm) 1(1)(rr),min()(1nmsrankQnm2) 滿秩與降秩滿秩與降秩降秩降秩若若滿秩滿秩若若) s (Q),(min rankQ(s) s (Q),(

8、minrankQ(s)nmnm3）秩和線性無關性）秩和線性無關性rankQ(s)=r Q(s)中有且僅有中有且僅有r個線性無關的個線性無關的列列/行向量行向量4）秩和奇異性）秩和奇異性Q(s)非奇異非奇異 rankQ(s)=n秩的性質：秩的性質：1）對任意非零）對任意非零 多項式矩陣多項式矩陣Q(s),任取非任取非奇異陣奇異陣 P(s)和和 陣陣R(s),則必有則必有rankQ(s)=rankP(s)Q(s)=rankQ(s)R(s)2)Q(s)為為 ，R(s)為為 多項式矩陣，多項式矩陣，則必成立則必成立nmmmnnnmpn)s (rankR),s (rankQ(min) s (R) s (

9、rankQn) s (rankR) s (rankQ7.5 單模矩陣單模矩陣(unimodular matrices)定義：方多項式矩陣定義：方多項式矩陣Q(s)為單模矩陣，當且僅當行為單模矩陣，當且僅當行列式列式detQ(s)=c為獨立于為獨立于s的非零常數(shù)。的非零常數(shù)。性質：性質：1.一個方多項式矩陣為單模矩陣，當僅當其逆陣也一個方多項式矩陣為單模矩陣，當僅當其逆陣也為多項式且是單模的；為多項式且是單模的；2.單模矩陣具有非奇異多項式矩陣的基本屬性，但單模矩陣具有非奇異多項式矩陣的基本屬性，但反命題不成立；反命題不成立；3.任意兩個同維單模矩陣的乘積也為單模矩陣；任意兩個同維單模矩陣的乘積

10、也為單模矩陣；4.單模陣的逆也為單模陣；單模陣的逆也為單模陣；5.奇異，非奇異，單模矩陣奇異，非奇異，單模矩陣0) s (detQ(s)(Q0) s (detQ(s)(Q0) s (detQ(s)(Q復數(shù)域）成立復數(shù)域）成立對所有的對所有的單模單模復數(shù)域）成立復數(shù)域）成立對幾乎所有的對幾乎所有的非奇異非奇異復數(shù)域）成立復數(shù)域）成立不存在一個不存在一個奇異奇異sss7.6 初等變換初等變換第一種初等變換（行初等變換或列初等變換）：第一種初等變換（行初等變換或列初等變換）：功能功能：任意交換多項式矩陣的兩行或兩列。：任意交換多項式矩陣的兩行或兩列。實現(xiàn)實現(xiàn)：初等矩陣的生成初等矩陣的生成列初等矩陣列

11、初等矩陣為為兩列后，兩列后，交換交換行初等矩陣行初等矩陣為為兩行后，兩行后，交換交換nnE,E) s (Q) s (QQ(s)mmE),s (QE) s (QQ(s)1c1c1c1r1r1r導導出出的的常常陣陣；和和行行的的行行為為交交換換和和列列交交換換列列的的對對應應列列初初等等矩矩陣陣導導出出的的常常陣陣；和和列列的的列列為為交交換換和和行行交交換換行行的的對對應應行行初初等等矩矩陣陣jiji) s (QnmEnnjiji) s (QnmEmmn1cm1r4216538142694131536362231153633814269413421656223111111) s (QE) s (

12、Q1111111111E,1536338142694134216562231) s (Q1r1r521r交換交換和列和列列列對對Q(s)作行作行2和行和行5的交換：的交換：第二種初等變換第二種初等變換功能功能：用非零常數(shù)：用非零常數(shù)c乘于多項式矩陣乘于多項式矩陣Q(s)的某行或的某行或某列。某列。實現(xiàn)實現(xiàn)：初等矩陣的生成：初等矩陣的生成：列初等矩陣列初等矩陣為為乘于列后，乘于列后，中用中用行初等矩陣行初等矩陣為為乘于行后，乘于行后，中用中用nnE,E) s (Q) s (QcQ(s)mmE),s (QE) s (QcQ(s)2c2c2c2r2r2r導導出出的的矩矩陣陣；行行乘乘為為列列的的乘乘

13、于于對對應應列列初初等等矩矩陣陣導導出出的的矩矩陣陣；列列乘乘為為行行的的乘乘于于對對應應行行初初等等矩矩陣陣jcj) s (QnmcEnnici) s (QnmcEmmn2cm2r第三種初等變換第三種初等變換功能功能：將非零多項式：將非零多項式d(s)乘于多項矩陣乘于多項矩陣Q(s)的的某行某行/某列所得結果加于另某行某列所得結果加于另某行/另某列。另某列。實現(xiàn)實現(xiàn)：初等矩陣的生成初等矩陣的生成：3c3c3r3rE)s (Q)s (Q)s (Q)s (QE)s (Q)s (Q中中對對列列運運算算后后中中對對行行運運算算后后交交點點處處導導出出的的矩矩陣陣；和和列列行行為為置置于于后后再再加加

14、到到列列列列的的乘乘于于對對應應列列初初等等矩矩陣陣交交點點處處導導出出的的矩矩陣陣；和和行行列列置置于于為為后后再再加加到到行行行行的的乘乘于于對對應應行行初初等等矩矩陣陣jiji) s (Qnm) s (dEnnji) s (dji) s (Qnm) s (dEmmn3cm3r4d(s)12d(s)5d(s)36d(s)65d(s)33814269413421656223115363381426941342165622311d(s)1111) s (QE) s (Q1d(s)111111111E,1536338142694134216562231) s (Q3r3r52d(s)3r交交點點

15、和和行行置置于于列列將將初等矩陣的性質：初等矩陣的性質：1）初等矩陣均是可逆的；）初等矩陣均是可逆的；2）初等矩陣均為單模矩陣。）初等矩陣均為單模矩陣。單模變換和初等變換單模變換和初等變換定義：對定義：對 的多項式矩陣的多項式矩陣Q(s)，設，設 的多項式矩陣的多項式矩陣R(s)和和 的多項式矩陣的多項式矩陣T(s)為為任意單模矩陣，則稱任意單模矩陣，則稱R(s)Q(s),Q(s)T(s),R(s)Q(s)T(s)為為Q(s)的單的單模變換。模變換。nmmmnn推論推論1：初等矩陣的乘積陣為單模陣，對矩陣：初等矩陣的乘積陣為單模陣，對矩陣Q(s)作行初等變換等價于作行初等變換等價于Q(s)左乘

16、相應的單模陣，即左乘相應的單模陣，即相應于左單模變換；對矩陣相應于左單模變換；對矩陣Q(s)作列初等變換等作列初等變換等價于價于Q(s)右乘相應的單模陣，即相應于右單模變右乘相應的單模陣，即相應于右單模變換。換。推論推論2：對矩陣：對矩陣Q(s) 左乘單模陣，即左單模變換，左乘單模陣，即左單模變換，可等價的化為對可等價的化為對Q(s)的相應一系列行初等變換；的相應一系列行初等變換；對矩陣對矩陣Q(s) 右乘單模陣，即右單模變換，可等價右乘單模陣，即右單模變換，可等價的化為對的化為對Q(s)的相應一系列列初等變換。的相應一系列列初等變換。推論：對給定單模陣推論：對給定單模陣Q(s),設設“使使Q

17、(s)按列按列初等變換化為單位陣初等變換化為單位陣I”的各初等矩陣依次的各初等矩陣依次為為 ，其逆，其逆為為 ，則單模陣，則單模陣Q(s)的初等矩陣乘積表達式為的初等矩陣乘積表達式為) s (U),s (U),s (Ua21) s (U),s (U),s (U1a1211) s (U),s (U),s (U),s (UQ(s)111211 -a1a推論：對給定單模陣推論：對給定單模陣Q(s),設設“使使Q(s)按行按行初等變換化為單位陣初等變換化為單位陣I”的各初等矩陣依次的各初等矩陣依次為為 ，其逆，其逆為為 ，則單模陣，則單模陣Q(s)的初等矩陣乘積表達式為的初等矩陣乘積表達式為初等矩陣乘

18、積表達式不唯一。初等矩陣乘積表達式不唯一。) s (V),s (V),s (Va21) s (V),s (V),s (V1a1211) s (V) s (V) s (VQ(s)1a1211 推論推論3：單模變換與初等變換的關系：單模變換與初等變換的關系R(s)Q(s) 對對Q(s)作等價一系列行初等變換作等價一系列行初等變換Q(s)T(s) 對對Q(s)作等價一系列列初等變換作等價一系列列初等變換R(s)Q(s)T(s) 對對Q(s)同時作等價一系列行同時作等價一系列行和列初等變換。和列初等變換。推論推論4：如果：如果Q(s)經有限次初等變換變成經有限次初等變換變成B(s）則）則稱稱Q(s)與

19、與B(s)是等價的，且是等價的，且rankQ(s)=rankB(s) 7.7 埃爾米特形埃爾米特形埃爾米特（埃爾米特（Hermite)形是多項式矩陣的一種規(guī)范形。形是多項式矩陣的一種規(guī)范形。行埃爾米特形：設多項式矩陣行埃爾米特形：設多項式矩陣Q(s),rankQ(s)=rmin(m,n)，則行埃爾米特形，則行埃爾米特形QHr(s) 0000) s (00) s () s () s () s () s () s () s () s () s (00Qrr3r32r321k , rk , 3k , 3k , 1k , 2k , 2k , 1k , 1k , 1k , 1Hr列埃爾米特形設多項式矩陣

20、列埃爾米特形設多項式矩陣Q(s),rankQ(s)=rmin(m,n)，則列埃爾米特，則列埃爾米特形形QHc(s)的形式對偶于行埃爾米特形的形式對偶于行埃爾米特形QHr (s)對于多項式矩陣對于多項式矩陣Q(s)，其行埃爾米特形可由單，其行埃爾米特形可由單模陣模陣V(s)左乘左乘Q(s)得到，其列埃爾米特形可由得到，其列埃爾米特形可由單模陣單模陣U(s)右乘右乘Q(s)得到，即得到，即) s (Q) s (QTHrHc) s (U) s (Q) s (Q) s (Q) s (V) s (QHcHr例：采用初等變換法，化例：采用初等變換法，化Q(s)為行埃爾米特形為行埃爾米特形001s02100

21、1s02ss11sss01s02ss11s01sss02ss112ss1-1sss02ss112ss1-13ss2ss112ss1-2ss113ss) s (Q2) s (rankQ,12ss1-2ss113ss) s (Q22322322232222222變換陣變換陣001s021) s (Q) s (V1)(s-1ss111-0s-1s011111s111111111) 1(s-1111s1) s (V2227.8 公因子和最大公因子公因子和最大公因子使成立，和存在多項式矩陣的一個右公因子，如果和式矩陣為列數(shù)相同的兩個多項多項式矩陣稱pqpppqpp(s)N) s (DN(s) s (DR

22、(s)pp) s (N) s (R) s (N),s (D) s (R) s (DLLLLLL) s (R) s (N) s (N),s (R) s (D) s (D使成立，和存在多項式矩陣的一個左公因子，如果和式矩陣為行數(shù)相同的兩個多項多項式矩陣稱pqLqqLpqLqqLL(s)N) s (D(s)N) s (D(s)Rqq最大公因子的定義：最大公因子的定義：最大右公因子最大右公因子gcrd:)s (R)s (W)s (RW(s)R(s)s (RN(s)D(s),)2(N(s)D(s),R(s) (1)使成立矩陣多項式即存在一個的右乘因子均為如的任一其它右公因子的一個右公因子，是pp如果的一

23、個最大右公因子，和式矩陣為列數(shù)相同的兩個多項多項式矩陣稱pqppN(s) s (DR(s)pp最大右公因子最大右公因子gcrd:) s (W) s (R) s (R(s)Wqq(s)R) s (R(s)N(s),D)2(s)N(s),D(s)R (1)LLLLLLLLLL使成立多項式矩陣即存在一個的左乘因子為均如的任一其它左公因子的一個左公因子，是公因子和最大公因子是不唯一的。公因子和最大公因子是不唯一的。如果的一個最大左公因子，和式矩陣為行數(shù)相同的兩個多項多項式矩陣稱pqLqqLL(s)N) s (D(s)Rqq最大公因子的構造定理最大公因子的構造定理 首先，任意兩個列數(shù)相同的多項式矩陣首先

24、，任意兩個列數(shù)相同的多項式矩陣D(s),N(s)的的最大右公因子總是存在的最大右公因子總是存在的。) s (N) s (D) s (N) s (N) s (D) s (D) s (N) s (DI00I例例如如合合成成矩矩陣陣I0III0II) s (N) s (N) s (D) s (N) s (D) s (N) s (N) s (D) s (N) s (N) s (N) s (D) s (D) s (N) s (N) s (D再比如右因子.gcrd) s (N),s (D) s (N) s (D的一個最大右公因子是因此，合成矩陣結論結論7.11gcrd構造定理構造定理 對列數(shù)相同的兩對列數(shù)

25、相同的兩個多項式矩陣個多項式矩陣D(s),N(s)，如果可找到，如果可找到 的一個單模陣的一個單模陣U(s),使成立使成立則導出的多項式矩陣則導出的多項式矩陣R(s)就為就為D(s),N(s)的的一個一個最大右公因子最大右公因子。0) s (R) s (N) s (D) s (U) s (U) s (U) s (U) s (N) s (D) s (U22211211)()(qpqp證明證明：（1）R(s)為為D(s),N(s)的右公因子。的右公因子。單模陣單模陣U(s)的逆為的逆為V(s),的右公因子。，為)s (N) s (D) s (R) s (R) s (V) s (N),s (R) s

26、 (V) s (D) s (R) s (V) s (R) s (V0) s (R) s (V) s (V) s (V) s (V) s (N) s (D) s (V) s (V) s (V) s (V) s (UV(s)2111211122211211222112111 -(2)證明證明D(s),N(s)的任一其它右公因子均為的任一其它右公因子均為R(s)的右乘因子。的右乘因子。R(s)就為就為D(s),N(s)的一個的一個最大右公因子最大右公因子。的右乘因子。為為多項式矩陣，所以) s (R) s (R) s (W) s (R) s (W) s (R)s (N) s (U) s (D) s

27、(U) s (N) s (U) s (D) s (U) s (R) s (R) s (N) s (N),s (R) s (D) s (D12111211具體求取方法：具體求取方法：gcrd) s (R)3qp0) s (R) s (N) s (D)2) s (N) s (D) 1為的則維維行為零最后進行初等行變換，使得對維維形成矩陣ppqqp例：例：gcrd1s) s (N,2-3ss2s3s2ss) s (D22求求73ss1)3s ()2s (0110000101010010001) 12s(00110)2s (0100010101000011)3s (0010001) s (U101s)

28、 s (R00101s3-s0101s103s01s3s2ss2-3ss2s1s1s2-3ss2s3s2ssN(s)D(s)22222再利用再利用gcrd不唯一屬性，任取于不唯一屬性，任取于R(s)同同維的一個單模陣維的一個單模陣則導出給定則導出給定D(s),N(s) 的另一個的另一個gcrd4s3s2s1s) s (W4s)3s ( s2s) 1s ( s101s4s3s2s1s) s (R) s (W(s)R結論結論7.12gcld構造定理構造定理 對行數(shù)相同的兩個對行數(shù)相同的兩個多項式矩陣多項式矩陣DL(s),NL(s)，如果可找到，如果可找到 的一個單模陣的一個單模陣U(s),使成立使

29、成立則導出的多項式矩陣則導出的多項式矩陣RL(s)就為就為DL(s),NL(s)的一個最大左公因子。的一個最大左公因子。0) s (R) s (U) s (U) s (U) s (U) s (N) s (D) s (U) s (N) s (DL22211211LLLL)()(qpqp最大公因子的性質最大公因子的性質1）最大公因子的不唯一性）最大公因子的不唯一性結論結論7.13 令令 多項式矩陣多項式矩陣R(s)為具有相同列為具有相同列數(shù)數(shù)p的多項式矩陣對的多項式矩陣對 的的一個一個gcrd，則對任意，則對任意 單模矩陣單模矩陣W(s)R(s)也必是的也必是的gcrd.證明：證明：gcrd構造定

30、理，構造定理，pppppqpp) s (N,) s (D0) s (R) s (N) s (D) s (UI00) s (W) s (UU(s)為單模陣，現(xiàn)構造另一個單模陣為單模陣，現(xiàn)構造另一個單模陣0) s (W(s)R) s (N) s (D) s (U) s (U) s (U) s (U0) s (W(s)R0) s (RI00) s (W) s (N) s (D) s (U) s (U為單模陣為單模陣結論結論7.14 令令 多項式矩陣多項式矩陣R1(s)和和R2(s)為具為具有相同列數(shù)有相同列數(shù)p的多項式矩陣對的多項式矩陣對 的任意兩個的任意兩個gcrd，則有，則有ppI) s (W)

31、 s (W, I) s (W) s (W) s (R) s (W) s (W) s (R) s (R) s (W) s (W) s (R) s (R) s (W) s (R),s (R) s (W) s (R) s (W),s (W,gcrd) s (R),s (R1221212212111222112121則則存存在在多多項項式式矩矩陣陣為為證證明明：pqpp) s (N,) s (D為單模為單模為單模為單模非奇異非奇異非奇異非奇異) s (R) s (R) s (R) s (R21212)最大公因子在非奇異性和單模性上的唯一性最大公因子在非奇異性和單模性上的唯一性3）最大公因子非奇異的條件

32、）最大公因子非奇異的條件結論結論7.15 對于具有相同列數(shù)對于具有相同列數(shù)p的多項式矩陣的多項式矩陣對對 ，當且僅當，當且僅當pqpp) s (N,) s (D都為非奇異。都為非奇異。的所有的所有幾乎所有幾乎所有列滿秩列滿秩gcrd) s (N) s (Ds),(p) s (N) s (Drankp) s (N) s (Drankp) s (rankR) s (N) s (Drank) s (N) s (D) s (rankU0) s (Rrank) s (rankR0) s (R) s (N) s (D) s (U證明：證明：結論結論7.16 令令 多項式矩陣多項式矩陣R (s) 為具有相同

33、為具有相同列數(shù)列數(shù)p的多項式矩陣對的多項式矩陣對 的一個的一個gcrd，則必存在，則必存在 多項式矩多項式矩陣陣X(s)和和Y(s)，有，有R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)證明：由證明：由gcrd構造定理，得構造定理，得 R(s)=U11(s)D(s)+U12(s)N(s)令令U11(s)=X(s),U12(s)=Y(s)pppqpp) s (N,) s (D4)最大公因子的基于矩陣對表達式最大公因子的基于矩陣對表達式qppp和和結論結論7.17對多項式對對多項式對d(s),n(s)，其，其gcrdr(s)的次數(shù)必小于的次數(shù)必小于d(s)和和n(s)的次數(shù)。的次數(shù)。 對相同列數(shù)對相

34、同列數(shù)p的多項式矩陣對的多項式矩陣對 其最其最大公因子大公因子gcrd ，則必存在多項式矩陣，則必存在多項式矩陣R (s) 的元多項式次數(shù)可能大于的元多項式次數(shù)可能大于D(s)和和N(s)的元多項式的元多項式次數(shù)。次數(shù)。pp5)最大公因子在次數(shù)上的特點最大公因子在次數(shù)上的特點pqpp) s (N,) s (D例：例：1) 1s ( s11s111s111111) 1s ( s11) s (U100s) s (R00100ssss100sss10ss) s (N) s (Dgcrdss-) s (N,10ss) s (D222其其若取單模陣若取單模陣10s1) s (W11s1s) s (W2k

35、kk或或根據(jù)根據(jù)gcrd的不唯一性，知的不唯一性，知W(s)R(s)也是也是D(s),N(s)的的gcrd.10ss100s10s1) s (R) s (W(s)R1ss1s100s11s1s) s (R) s (W(s)R2k2k11k1kkk1或或R1(s)中元的次數(shù)顯然大于中元的次數(shù)顯然大于D(s),N(s)中元多項式中元多項式的次數(shù)。的次數(shù)。 7.9 互質性（互質性（co-primeness)定義：定義：7.13 右互質右互質列數(shù)相同的多項式矩陣列數(shù)相同的多項式矩陣 為右互質，為右互質，如果其最大右公因子如果其最大右公因子gcrd為單模陣為單模陣。定義：定義：7.14 左互質左互質行數(shù)

36、相同的多項式矩陣行數(shù)相同的多項式矩陣 為左互質，為左互質，如果其最大左公因子如果其最大左公因子gcld為單模陣為單模陣。互質性的常有判據(jù)互質性的常有判據(jù)1）貝佐特）貝佐特(bezout)等式判據(jù)等式判據(jù)) s (N),s (D) s (N),s (D結論結論7.18 列數(shù)相同的列數(shù)相同的 多項式矩陣多項式矩陣D(s)和和N(s) 為右互質，當且僅當存在為右互質，當且僅當存在 多項式矩陣多項式矩陣X(s),Y(s)，是貝佐特等式成立：，是貝佐特等式成立：X(s)D(s)+Y(s)N(s)=Ippqpp和和qppp和和結論結論7.19 行數(shù)相同的行數(shù)相同的 多項式矩陣多項式矩陣DL(s)和和NL(

37、s) 為左互質，當且僅當存在為左互質，當且僅當存在 多項式矩陣多項式矩陣X(s),Y(s)，是貝佐特等式成立：，是貝佐特等式成立：DL(s)X(s)+NL(s) Y(s)=Iqpqqq和和qpqq和和證明證明（1）必要性。即已知）必要性。即已知D(s)和和N(s)為右互為右互質，證明貝佐特等式成立。質，證明貝佐特等式成立。I) s (N) s (Y) s (D) s (X) s (U) s (R) s (Y),s (U) s (R) s (XI) s (N) s (U) s (R) s (D) s (U) s (R) s (R) s (R) s (N) s (D) s (N) s (U) s

38、(D) s (U) s (R0) s (R) s (N) s (D) s (U) s (U) s (U) s (U) s (N) s (D) s (Ugcrd121 -111 -121 -111 -1 -121122211211令存在且為多項式矩陣，為單模矩陣，為右互質，則，由構造定理關系：根據(jù)（1）充分性。即已知）充分性。即已知貝佐特等式成立，證明貝佐特等式成立，證明D(s)和和N(s)為右互質。為右互質。右互質，為單模矩陣，為多項式矩陣。存在，且代入貝佐特等式，多項式矩陣則存在的一個，為) s (N) s (D) s (R) s (N) s (Y) s (D) s (X) s (R) s

39、(RI) s (R)s (N) s (Y) s (D) s (X) s (R) s (N) s (N) s (R) s (D) s (D) s (N) s (Dgcrd,) s (N) s (D) s (R1 -1 -2)秩判據(jù)秩判據(jù)結論結論7.20右互質秩判據(jù)右互質秩判據(jù)對列數(shù)相同對列數(shù)相同 多項式矩陣多項式矩陣D(s),N(s)，其中，其中D(s)為非奇異，則有為非奇異，則有pqpp和和p) s (N) s (Drank) s (N) s (D右互質右互質和和值降秩的多項式矩陣不存在同時中全部判別式右互質和s) s (N) s (D) s (N) s (Dpp推論：推論：結論結論7.21左

40、互質秩判據(jù)左互質秩判據(jù)對行數(shù)相同對行數(shù)相同 多項式矩陣多項式矩陣DL(s),NL(s)，其中，其中DL(s)為非奇異，則為非奇異，則有有pqqq和和q) s (N) s (Drank) s (N) s (DLLLL右互質右互質和和值。降秩的多項式矩陣不存在同時全部中判別式右互質和s) s (N) s (D) s (N) s (DLLLLqq推論：推論：1s , 1s , 0) 1s)(1s (1s2s01sdet2s , 1s , 0s , 0)2s)(1s ( s1s2s1-s2ssdet1s , 1s , 0) 1s)(1s (1s2ss01sdet221s2s1s2ss01s) s (N

41、) s (D.1s2s) s (N,1s2ss01sD(s)2222況：的多項式矩陣降秩的情判別陣判別矩陣對是否右互質例不存在使判別式全部多項式矩陣同時降秩的不存在使判別式全部多項式矩陣同時降秩的s值，值，D(s),N(s)為右互質為右互質3）行列式次數(shù)判據(jù)）行列式次數(shù)判據(jù)結論結論7.22右互質行列式次數(shù)判據(jù)右互質行列式次數(shù)判據(jù) 對列數(shù)相對列數(shù)相同同 多項式矩陣多項式矩陣D(s),N(s)，其中，其中D(s)為非奇異為非奇異，則，則D(s)和和N(s)為右互質，當且僅為右互質，當且僅當存在當存在 多項式矩陣多項式矩陣A(s)和和B(s)，使，使同時成立同時成立：pqpp和和degdetD(s)

42、degdetA(s)0) s (N) s (D) s (A) s (B) s (N) s (A) s (B(s)D-pqqq和和結論結論7.23左互質行列式次數(shù)判據(jù)左互質行列式次數(shù)判據(jù) 對行數(shù)相對行數(shù)相同同 多項式矩陣多項式矩陣DL(s),NL(s)，其中，其中DL(s)為非奇異，則為非奇異，則DL(s)和和NL(s)為左互質，當且為左互質，當且僅當存在僅當存在 多項式矩陣多項式矩陣A(s)和和B(s)，使同時成立使同時成立：pqpp和和(s)degdetDdegdetA(s)0) s (A) s (B-) s (N) s (D) s (A) s (NB(s) s (D-LLLLLpqqq和和

43、0sysxsxY(s)X(s),0ysysxx-1sysxsx-1sysyxsx100110ss) s (Yss-1-s) s (XI) s (N) s (Y) s (D) s (XBezout)1) s (D10s)1s ( s) s (detD) s (D10ss) s (N,ss-1-s) s (D2122221121121211222222112111221122P322不不存存在在多多項項式式矩矩陣陣等等式式判判據(jù)據(jù)非非奇奇異異。時時，的的奇奇異異性性解解：右右互互質質性性，所以，所以，D(s),N(s)非右互質。非右互質。降降秩秩對對降降秩秩對對降降秩秩對對降降秩秩對對秩秩判判據(jù)據(jù)

44、, 0s ,10ssrank-1s1,s , 0s ,s-sss-rank-1s1,s , 0s ,s-s1srank1s , 0s ,ss1srank,10ssss1s) s (N) s (D)22222222所以，所以，D(s),N(s)非右互質。非右互質。非非單單模模陣陣最最大大公公因因子子法法,ss10) s (R0000ss101-s0ss0ss101-sssss1010ssss1s) s (N) s (D) 3223222222所以，所以，D(s),N(s)非右互質。非右互質。左互質性左互質性10011s1s10ss0100ss-1-sY(s)X(s),I) s (Y) s (N)

45、 s (X) s (DBezout)12222qLL存存在在多多項項式式矩矩陣陣等等式式判判據(jù)據(jù)所以，所以，D(s),N(s)左互質。左互質。降降秩秩對對降降秩秩對對降降秩秩對對降降秩秩對對降降秩秩對對秩秩判判據(jù)據(jù), 1s ,1ss1-rank, 0s ,10s-srank1s , 0s ,1ss-srank, 0s ,0sssrank-1s1,s , 0s ,ss1srank10ssss1s) s (N) s (D)2222222222LL不存在使不存在使D(s),N(s)同時降秩的同時降秩的s，所以，所以D(s)和和N(s)左互質。左互質。為為單單模模陣陣最最大大公公因因子子法法0110)

46、 s (R,0001001000s10010s-0s10s10s-0s1ss1010ss0s1s10ssss1s) s (N) s (D)2L22222222LL所以，所以，D(s),N(s)左互質。左互質。最大公因子構造關系式性質的進一步討論最大公因子構造關系式性質的進一步討論gcrd構造關系式構造關系式0) s (R) s (N) s (D) s (U) s (U) s (U) s (U) s (N) s (D) s (U22211211D(s)為為 非奇異多項式矩陣，非奇異多項式矩陣，N(s)為為 多項式矩陣，多項式矩陣， 矩陣矩陣U(s)為單模陣，為單模陣，U11(s)為為 陣，陣，U

47、12(s)為為 陣，陣，U21(s) 為為 陣，陣，U22(s)為為 陣。陣。pp qqpq )()(qpqpqp pp pq 推論推論7.10 行數(shù)相同的行數(shù)相同的 多項式矩多項式矩陣陣U22(s)和和U21(s)為左互質為左互質pqqq和和推論推論7.11 多項式矩陣多項式矩陣U22(s) 為非奇異，為非奇異，且成立：且成立：qq ) s (U) s (U) s (D) s (N21-122-1推論推論7.12 D(s)和和N(s)為右互質，當且僅當為右互質，當且僅當) s (degdetU) s (degdetD22證明：證明：U(s)為單模陣，其逆一定存在，設為單模陣，其逆一定存在，設

48、非奇異非奇異為非奇異，則為非奇異，則為單模陣，為單模陣，) s (V) s (D) s (R) s (R) s (V) s (N) s (R) s (V) s (D) s (R) s (V) s (R) s (V0) s (R) s (V) s (V) s (V) s (V) s (N) s (D0) s (R) s (N) s (D) s (U) s (V) s (V) s (V) s (V) s (V) s (U112111211122211211222112111 -) s (V) s (V) s (V) s (V*I) s (V) s (V0I0) s (V) s (V-) s (VI

49、) s (V) s (V0I0) s (V) s (V) s (V) s (V) s (V) s (V) s (U) s (U) s (U) s (U) s (U, c)s (V) s (V) s (Vdet) s (detV) s (detV) s (V) s (V) s (V0) s (V) s (V) s (V) s (V) s (V) s (VI) s (V) s (V0I12111212211112111121 -111 -11111211121112221121122211211111212211111212212112221121111121非零常數(shù)（單模陣）非零常數(shù)（單模陣）左

50、互質為又且為非奇異陣(s)U(s)Usq(s)U(s)rankUqprankU(s)q),p(q)p() s (U) s (U) s (U) s (D) s (N0) s (N) s (U) s (D) s (U) s (U)s (V) s (V) s (V) s (V) s (U22212221211221 -2221221121112122221(s)degdetU) s (degdetD0degdetR(s)R(s)N(s)D(s),) s (degdetR(s)degdetU) s (degdetD(s)degdetU) s (degdetVc(s)detU/ ) s (detV) s

51、 (detV) s (degdetV) s (degdetR) s (degdetV) s (degdetD) s (R) s (V) s (D222222112211111111則有為單模陣，右互質，如果且已知因 7.10 列次數(shù)和行次數(shù)列次數(shù)和行次數(shù)定義定義7.15 多項式向量的次數(shù)多項式向量的次數(shù)對列或行多項式向量對列或行多項式向量其次數(shù)定義為組成向量的元多項式次數(shù)的最大值，即其次數(shù)定義為組成向量的元多項式次數(shù)的最大值，即) s () s (,) s () s (p1q1(s)(s)p2, 1i),s (degmaxq2, 1i),s (degmaxii(s)(s)(s)(s)的的次次數(shù)

52、數(shù)的的次次數(shù)數(shù)定義定義7.16 列次數(shù)和行次數(shù)列次數(shù)和行次數(shù)對對 多項式矩陣：多項式矩陣：M(s)的列次數(shù)定義為其列向量的列次數(shù)定義為其列向量mj(s),j=1,2p的的次數(shù)，次數(shù)， M(s)的行次數(shù)定義為其行向量的行次數(shù)定義為其行向量mj(s),j=1,2p的次數(shù)，即的次數(shù)，即) s (m) s (m) s (m) s (mMp1q1(s)q2, 1i ,mkMp2, 1j,(s)mkMiririjcjcj(s)M(s)(s)M(s)的的次次數(shù)數(shù)的的次次數(shù)數(shù)pq 列次表達式和行次表達式列次表達式和行次表達式結論結論7.24列次表達式列次表達式對對 多項式矩陣多項式矩陣M(s),令列次數(shù)為令列

53、次數(shù)為 ，再表，再表pq p2, 1j,kMcjcj(s)p1jcjpn1 -k1kcppkkCkn,1ss1ss) s (ss) s (cpc1cpc1S則可表則可表M(s)為列次表達式：為列次表達式：多多項項式式次次數(shù)數(shù)低低于于則則有有即即方方陣陣若若有有的的低低次次多多項項式式矩矩陣陣，且且為為的的系系數(shù)數(shù)組組成成的的列列，中中相相應應列列列列的的列列次次系系數(shù)數(shù)陣陣，且且有有為為cjkhccjkks )(detMdetM(s)M(s),qpp,.2 , 1j ,kp.2 , 1jsjjcjcj(s)MM(s)(s)MM(s)(s)MM(s)(s)M(s)M(s)M(s)M(s)(s)S

54、MM(s)cLcLhchccLccLcLChc例：例：1111ss0102-1-0211-01-0ssss30002111) s (M6kn, 1k, 1k, 1k, 3k3s102-s-22s1s1sss) s (M23cjc4c3c2c13列次表達式列次表達式列次數(shù)列次數(shù)010221102111000011ss30010001ssM) s () s (M),s (M) s (M) s (S) s (M4kn, , 1k, 3k3s102-s-22s1s1sss) s (M23Lrrrlrlhrrrjr21r 3行行次次表表達達式式行行次次數(shù)數(shù)7.11 既約性（既約性（reduced pro

55、perty)既約性反應多項式矩陣在次數(shù)上的不可簡約。既約性反應多項式矩陣在次數(shù)上的不可簡約。定義定義7.17 方陣的既約性方陣的既約性給定給定 方非奇異多方非奇異多項式矩陣項式矩陣M(s)， 為列為列次數(shù)和行次數(shù)，則稱次數(shù)和行次數(shù)，則稱pp p2, 1j,MMrjcj(s)(s)和和p1jrjp1jcjM) s (degdetM) s (MM) s (degdetM) s (M(s)(s)為為行行既既約約，當當且且當當為為列列既既約約，當當且且當當定義定義7.18 非方陣的既約性非方陣的既約性給定給定 非方多非方多項式矩陣項式矩陣M(s)，pq q1irjqjqjp1icipipik)s (d

56、egdetM)s (Mqq)s (M,qp)s (Mk)s (degdetM,)s (Mpp)s (M,pq)s (M即滿足為行既約矩陣，的包含一個至少且為行既約，當且僅當即滿足為列既約矩陣的包含一個至少且為列既約，當且僅當3) s (degdetM4k3) s (degdetM3k3) s (degdetM2k, 2k, 1k, 2k7s3ss42s23s2s) s (M21iri21icir2r1c2c122例：例：M(s)為列既約但非行既約為列既約但非行既約既約性判據(jù)既約性判據(jù)（1）列次）列次/行次系數(shù)矩陣判據(jù)行次系數(shù)矩陣判據(jù)結論結論7.26 方多項式矩陣情形方多項式矩陣情形給定給定 方

57、多項方多項式矩陣式矩陣M(s)，令，令Mhc和和Mhr為列次系數(shù)和行次系為列次系數(shù)和行次系數(shù)矩陣，數(shù)矩陣，kci和和kri為列次數(shù)和行次數(shù)，為列次數(shù)和行次數(shù)，i=1,2,.p.則則M(s)列既約列既約 列次系數(shù)矩陣列次系數(shù)矩陣Mhc非奇異非奇異M(s)行既約行既約 行次系數(shù)矩陣行次系數(shù)矩陣Mhr非奇異非奇異pp 結論結論7.27 非方多項式矩陣情形非方多項式矩陣情形給定給定 非方非方滿秩多項式矩陣滿秩多項式矩陣M(s)，令，令Mhc和和Mhr為列次系數(shù)為列次系數(shù)和行次系數(shù)矩陣，和行次系數(shù)矩陣，kcj和和kri為列次數(shù)和行次數(shù)，為列次數(shù)和行次數(shù)，i=1,2,.q.j=1,2,.p則則M(s)列既

58、約列既約 且且rankMhc=pM(s)行既約行既約 且且rankMhr=qpq pq qp 0102M,7122M,7s3ss42s23s2s) s (Mhrhc22例：例：（2）多項式向量判據(jù)）多項式向量判據(jù)結論結論7.28 方多項式矩陣情形方多項式矩陣情形給定給定 方多項方多項式矩陣式矩陣M(s)，kci和和kri為列次數(shù)和行次數(shù)，為列次數(shù)和行次數(shù)，i=1,2,.p.則則1）M(s)列既約當且僅當對所有列既約當且僅當對所有 多項式向多項式向量量 使如下構成的使如下構成的 多項式向量多項式向量滿足關系式滿足關系式pp M(s)p(s)q(s) 0p(s) 1p1pk)s (degpdegc

59、ii0)s(p, imaxiq(s)（2）M(s)行既約當且僅當對所有行既約當且僅當對所有 多項式多項式向量向量 使如下構成的使如下構成的 多項式向量多項式向量滿足關系式滿足關系式f(s)M(s)h(s) 0f(s) p1k)s (degfdegrjj0)s(f , jmaxjh(s)p1結論結論7.29 既約矩陣的屬性既約矩陣的屬性在一定限制下（列在一定限制下（列次數(shù)次數(shù)/行次數(shù)序列滿足非降性），行次數(shù)序列滿足非降性）， 列既約矩列既約矩陣的列次數(shù)和陣的列次數(shù)和 行既約矩陣的行次數(shù)在單模行既約矩陣的行次數(shù)在單模變換下保持不變。變換下保持不變。pp pp 非既約矩陣的既約化非既約矩陣的既約化結

60、論結論7.30 非既約矩陣的集約化非既約矩陣的集約化給定非既約給定非既約 矩陣非奇異陣矩陣非奇異陣M(s)則必可找到一對則必可找到一對 單模陣單模陣U(s)和和V(s)，使，使M(s)U(s)和和V(s)M(s)為列既約為列既約或行既約?；蛐屑燃s。pp pp 約約。既既非非列列既既約約，又又非非行行既既例例：) s (M5) s (degdetM, 3k, 4k3,k, 4k2s0)2s (1)s ()2s (1)s ()(r2r1c2c1222sM為為行行既既約約進進行行行行初初等等變變換換對對相相當當于于引引入入單單模模陣陣為為列列既既約約。進進行行列列初初等等變變換換對對) s (M)