1、會計學1函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性650652一、連續(xù)與間斷的概念一、連續(xù)與間斷的概念定義2.10 設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內有定義.(1)如果則稱f(x)在點x0連續(xù),并稱x0為f(x)的一個連續(xù)點.00lim( )() (2.22)xxf xf x(2)如果f(x)在開區(qū)間(a,b)內每點都連續(xù),則稱f(x)在(a,b)內連續(xù).(3)如果x0不是f(x)的連續(xù)點,則稱x0為f(x)的間斷點,或稱f(x)在點x0間斷.第1頁/共29頁3若令00,( )(),xxxyf xf x 00()()0 (0)yf xxf xx 則式(2.22)等價于 連續(xù)與間斷的幾何解析:若f(x)連續(xù),則曲線

2、y=f(x)的圖形是一條連續(xù)不斷的曲線;若x0是f(x)的間斷點,則曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)出發(fā)生斷裂.第2頁/共29頁4定義2.11 (1)若f(x)在點x0的某左鄰域內有定義,且f(x00)= f(x0),則稱f(x)在點x0左連續(xù);若f(x)在點x0的某右鄰域內有定義,且f(x0+0)= f(x0),則稱f(x)在點x0右連續(xù). (2)若f(x)在閉區(qū)間a,b上有定義,在開區(qū)間(a,b)內連續(xù),且在點a右連續(xù)、在點b左連續(xù),則稱f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù).若f(x)在點x0的某鄰域內有定義f(x)在點x0連續(xù) f(x)在點x0既左連續(xù)又右連續(xù).第3頁/共29頁5例例2.2

3、5 討論函數(shù)21, 0( )1, 015, 1xxf xxxxx在點x=0和x=1處的連續(xù)性.解解 在點x=0處,有f(0)=1+0=100lim( )lim(1)1xxf xx200lim( )lim(1)1xxf xx由此可知0lim( )1(0)xf xf 第4頁/共29頁6所以,f(x)在x=0處連續(xù).在點x=1處,有211lim( )lim(1)2xxf xx2(1)1 12f 11lim( )lim(5)4xxf xx因左、右極限不相等,故 不存在,x=1是f(x)的間斷點.1lim( )xf x由f(10)=f(0)=2可知,f(x)在x=1處左連續(xù).第5頁/共29頁7(2) 存

4、在;(1)f(x)在點x0處有定義;0lim( )xxf x00(3)lim( )()xxf xf x 這三個條件中只要有一個條件不滿足,則依定義, f(x)在x0不連續(xù)或x0是f(x)的間斷點.函數(shù)在f(x)在點x0連續(xù)必須滿足三個條件:第6頁/共29頁8(2)若x0為f(x)的間斷點,且f(x00)與f(x0+0)至少有一個不存在,則稱x0為f(x)的第二類間斷點.其中,若f(x00) ,f(x0+0)中至少有一個為無窮大,則稱x0為無窮間斷點;否則稱x0為非無窮第二類間斷點.定義2.12 (1)若x0是f(x)的間斷點,且左、右極限f(x0), f(x+0)皆存在,則稱x0為f(x)的第

5、一類間斷點.其中,若f(x00)=f(x0+0) f(x0) 或f(x0)無定義,則稱x0為f(x)的可去間斷點(重新定義f(x0)=f(x00)=f(x0+0) 可消去間斷);若f(x00)f(x0+0) ,則稱x0為跳躍間斷點.第7頁/共29頁9第8頁/共29頁10二、連續(xù)函數(shù)的性質二、連續(xù)函數(shù)的性質定理2.9(連續(xù)函數(shù)的四則運算) 設f(x)與g(x)在點x0(或區(qū)間I上)連續(xù),則(1)f(x)g(x) 在點x0(或I上)連續(xù);(2) f(x) g(x) 在點x0(或I上)連續(xù); (3)當g(x0)0 (或g(x0)0,xI )時, f(x)/ g(x) 在點x0(或在I上)連續(xù).第9頁

6、/共29頁11由 在x0連續(xù)和上式,可得定理2.10(復合函數(shù)的連續(xù)性) 設函數(shù)y=f(u)在點u0連續(xù), 在點x0連續(xù),且 ,則復合函數(shù) 在x0連續(xù),即有( )ux00()xu ( )yfx00lim ( ) ()xxfxfx注意：( ) x00lim ( )lim ( ) (2.23)xxxxfxfx第10頁/共29頁12定理2.11(反函數(shù)的連續(xù)性) 設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調、連續(xù),且f(a)=,f(b)=,則其反函數(shù)y=f1(x)在區(qū)間,或,上單調、連續(xù).基本初等函數(shù)在其定義域內連續(xù).初等函數(shù)在其定義區(qū)間內連續(xù).第11頁/共29頁13例例2.26 求下列極限:000ln(1

7、)1(1)lim; (2)lim(0,1)1(3)lim(1)1, xxxxxaaaxxxx為常數(shù).解解 (1)由對數(shù)函數(shù)連續(xù)性,得100ln(1)limlimln(1)xxxxxx10lnlim(1)xxx=ln e=1.第12頁/共29頁14(2)令u=ax1,則 .由指數(shù)函數(shù)ax的連續(xù)性知, x0時, u0 ,ln(1)lnuxa001lnlimlimln(1)xxuauaxu于是,由本例(1),得10ln(1)(ln )limlnuuaua第13頁/共29頁15(3)由于ln(1)(1)1e1xxxx其中l(wèi)n(1)1 (0,xxx由本例(1)ln(1)e1lne (0,ln(1)xxx

8、由本例(2)所以0(1)1limxxxln(1)ln(1) e1ln(1)xxxx第14頁/共29頁16我們又得到如下等價無窮小:0 , ln(1) 0 , 1ln (01) (2.24)0 , (1)1xaxxxxaxaaxxax時時時知識鏈接：第15頁/共29頁17例例2.27 求 .10lim(1),0 xxxaxa解解 令u=ax,則x0 時, u0 ,且有211()1(1)(1)xauuxaaxu而10lim(1)e,uuu于是10lim(1)e .xaxxax201lim(),uauaa第16頁/共29頁18故f(x)在 內連續(xù).例例2.28 討論函數(shù)1 (2)1 e, 2( )

9、sin(), 2xxf xxx 的連續(xù)性.解解 f(x)在(,2)內f(x)=1e1/(x 2) 為初等函數(shù),在2,+)內f(x)=sin(/x) 也為初等函數(shù),(,2)(2,)在分段點x=2處,有1 (2)22lim( )lim(1 e)1(2)xxxf xf 22lim( )limsin()1(2)xxf xxf 第17頁/共29頁19因此, f(x)在x=2處既左連續(xù)又右連續(xù),從而f(x)在x=2處連續(xù).綜上所述,f(x)在其定義域(,+)內連續(xù).第18頁/共29頁20三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質定義2.13 設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義.若存在x0I,使對I內

10、的一切x,恒有00( )() ( )()f xf xf xf x或則稱f(x0)是f(x)在I上的最大值或最小值.最大值與最小值合稱為最值.第19頁/共29頁21定理2.12(最值定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在a,b上必能取得最大值與最小值.即在a,b上至少存在兩點x1,x2,使對任意的xa,b,恒有12( )( )().f xf xf x第20頁/共29頁22定理2.13(介值定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f(x)在a,b上的最大值為M、最小值為m,則對任何實數(shù)C,mCM,至少存在一點x0(a,b),使得f(x0)=C推論2.6 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是有界函數(shù).第21頁/共29頁23推論2.7(零值定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)f(b)0, f(1)=e30,g(b)0,則由零值定理可知,存在x*(a,b) ,使得 g(x*)=0即 f(x*)