1、分類轉(zhuǎn)化分散難點(diǎn)各個(gè)擊破分類討論的思想方法一、方法整合在解決一些數(shù)學(xué)問題時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法分類討論是一種邏輯的方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想和解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置1. 需要分類討論的情形主要有以下幾個(gè)方面： 問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的如|a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況. 問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是

2、分類給出的如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q=1和qz1兩種情況. 解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論如解不等式ax>2時(shí)分a>0、a=0和a<0三種情況討論.另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，分類解決，以保證其完整性，使之具有確定性2. 分類討論要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論其中最重要的一條是“不漏不重”3. 分類討論問題的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏

3、不重、分類互斥(沒有重復(fù))；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論二. 典例精析例1.設(shè)0<x<1,a>0且az1,比較|loga(1x)|與|loga(1+x)|的大小.(道經(jīng)典高考題)思維啟動(dòng)點(diǎn)：此題中含有絕對(duì)值，去絕對(duì)值可能需要分類處理，對(duì)數(shù)的底數(shù)是字母，比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，所以對(duì)底數(shù)a分兩類情況進(jìn)行討論，如果既要對(duì)絕對(duì)值、又要對(duì)底數(shù)a進(jìn)行雙重分類討論，勢(shì)必麻煩，考慮到x的范圍已經(jīng)確定，我們可以在對(duì)a的范圍進(jìn)行分類時(shí)同時(shí)就考慮去絕對(duì)值.解：0<x<10<1x<1,1+

4、x>1 當(dāng)0<a<1時(shí)，loga(1x)>0,loga(1+x)<0，所以|loga(1x)|loga(1+x)|=loga(1x)loga(1+x)=loga(1x2)>0； 當(dāng)a>1時(shí)，loga(1x)<0,loga(1+x)>0，所以Iloga(1x)|loga(1+x)|=loga(1x)loga(1+x)=loga(1x2)>0；由、可知，Iloga(1x)|>|loga(1+x)|.反思提高：1. 本題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)a>1時(shí)其是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)其是

5、減函數(shù).去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào)，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號(hào)判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性；2. 我們既要善于分類(有時(shí)還必須會(huì)主動(dòng)地去進(jìn)行分類)，又要在不少問題上學(xué)會(huì)避免分類，在此題上我們就巧妙避開了對(duì)絕對(duì)值去除的分類討論例2.已知a>0,函數(shù)F(x)=ax-xa.若F(x)在(0,中處)上有最大值,求a的取值范圍.分析與簡(jiǎn)解：去掉絕對(duì)值得a,：)F(x)=斗_(a1)xax(0,a)由a>0,a1>0知F(x)在(0,a)上單增；a-1有正有負(fù)，因此應(yīng)以1為分類標(biāo)準(zhǔn). a>1時(shí)，F(xiàn)(x)在(0,：)上單增，無最大值； a=1時(shí)，F(xiàn)(x)的最大值=F(a)=1； 0va

6、v1時(shí),F(x)在(0,a)單調(diào)遞增,在(a,=)上單調(diào)遞減.F(x)的最大值=F(a)=a.綜上可知,當(dāng)a，(0,1時(shí)，F(xiàn)(x)在(0,二)上有最大值.反思提煉：確定分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵，不重不漏是要點(diǎn)！例3.設(shè)函數(shù)f(x)=ax22x+2，對(duì)于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍思維啟動(dòng)點(diǎn)：含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問題，需要先對(duì)開口方向討論，再對(duì)其拋物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解.&亠121解：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=a(x)+2aa1或；<4a或s11f(1)=a_2+2&g

7、t;0f(_)=2_>0.aa1十4或af(4)=16a8+20a>1或<a<1或$2當(dāng)a<0時(shí)，鮒尸a2>0，解得$;f(4)=16a8+20當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,不合題意1由上而得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>.2反思提煉：本題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a>0、a<0、a=0三種情況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像，在a>0時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間.本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用例4.解不等式(X

8、4a)(x6a)>o(a為常數(shù)，az丄)2a+12思維啟動(dòng)點(diǎn)：含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a+1的符號(hào)和兩根4a、6a的大小，故對(duì)參數(shù)a分11四種情況a>0、a=0、一<a<0、a<分別加以討論.22解：T2a+1>0時(shí)，a>1;4a<6a時(shí)，a>0.2所以分以下四種情況討論： 當(dāng)a>0時(shí)，(x+4a)(x6a)>0,解得：x<4a或x>6a;當(dāng)一<a<0時(shí),2 當(dāng)a=0時(shí)，x2>0，解得：x豐0;(x+4a)(x6a)>0,解得:x<6a或x>4a;6a<x<4a.

9、 當(dāng)a>丄時(shí)，(x+4a)(x6a)<0,解得:2綜上所述，當(dāng)綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，x<4a或x>6a;當(dāng)a=0時(shí),當(dāng)一1<a<0時(shí),2x<6a或x>4a;當(dāng)a>時(shí)，6a<x<4a.2反思提煉：一道簡(jiǎn)單不等式一旦將一個(gè)數(shù)字系數(shù)改為字母參數(shù)，可能就會(huì)變得很復(fù)雜，這也是高考中參考不衰的問題.本題的關(guān)鍵是確定對(duì)參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏.一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論一些問題必須對(duì)它們進(jìn)行分類才能得到解決，而一些問題的解決本無須對(duì)它們分類，但這樣處理起來卻比較困難，此

10、時(shí)我們可以人為地將它劃分類別，把整體分為若干局部，分散難點(diǎn),然后各個(gè)擊破.，最終求得問題的整體解決.這是一種具有哲學(xué)意義的策略思想.從以下例子可看出，對(duì)分類思想的這一種主動(dòng)應(yīng)用是必要的且是行之有效的.例5對(duì)實(shí)函數(shù)f(x)=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，求證：f(x)的值恒為正數(shù).思維啟動(dòng)點(diǎn)：將f(x)的表達(dá)式分解因式，雖可證得結(jié)論但較難，分析可發(fā)現(xiàn)，若將變量x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)適當(dāng)分類，則問題容易解決.證明：當(dāng)x<0時(shí)/x5-x3-x>0,f(x)>1恒成立； 當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)=x6+(x4-x5)+(x2_X3)+(x-1)4523,/x>x,x&

11、gt;x,1>xf(x)>0成立；當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=1>0成立； 當(dāng)x>1時(shí)f(x)=(x6_X5)+(x4_X3)+(x2-x)+165432/x>x,x>x,x>xf(x)>1成立綜上可知，f(x)>0成立.反思提煉：此題通過主動(dòng)分類，分散了難點(diǎn)，在各類下問題的解決變得很簡(jiǎn)單，是很值得我們學(xué)習(xí)的一種好方法.例6一個(gè)定義在有理數(shù)集合Q上的函數(shù)f(x),對(duì)一切x,yQ都有f(x+y)=f(x)+f(y).求證：對(duì)任意xQ,f(x)=x(x).(此題適合高二年級(jí)以上同學(xué)學(xué)習(xí))思維啟動(dòng)點(diǎn)；直接求證很難，考慮到當(dāng)m,n為互質(zhì)整數(shù)(m工0)時(shí)，

12、n/mQ,故可將x試分為n(nN)、0與-n、1/n(mN)及n/m幾類，從而分散難點(diǎn)、降低難度，分別求解證明：第一步，證明結(jié)論對(duì)一切xN成立 當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=1f(1)成立； 設(shè)x=k(kN)時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)x=k+1時(shí)，f(k+1)=f(k)+f(1)=kf(1)+f(1)結(jié)論也成立；第二步，證明結(jié)論對(duì)零和負(fù)整數(shù)成立/f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),f(0)=0f(1)又Tf(n)+f(-n)=fn+(-n)=f(0)=0,f(-n)=_f(n)=_nf(1),結(jié)論成立；第三步，證明當(dāng)x=1/n(nN)時(shí)結(jié)論成立111)+f()=nf()nnnn個(gè)111)+f()=nf(

13、)nnnn個(gè)1111f(1)=f(+)=f()+f(nnnnJtA丿n個(gè)11f(n)=(-)f(1)nn1111同時(shí)由f(+f(-)=f(0)有f(-7)=(-)f(1)nnnn結(jié)論成立;第四步，證明結(jié)論對(duì)一切有理數(shù)成立n設(shè)mNn乙且n豐0,對(duì)任意有理數(shù)mn1111nf()=f(+)=mf()=f(1)mnnnnm即結(jié)論對(duì)一切有理數(shù)成立.反思提煉此題的求解從對(duì)變量的巧妙劃分到各個(gè)局部的解決充滿了數(shù)學(xué)的策略和美.尤其是在這樣的劃分下，一個(gè)變量是非自然數(shù)的命題居然主要由數(shù)學(xué)歸納法獲得解決！這是通過解決此問題而得到的另一收獲.例7平面內(nèi)k個(gè)整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))兩兩相連得若干條線段，若要保證其

14、中至少一條線段的中點(diǎn)也是整點(diǎn)，k的最小值是多少？x1-x2解由中點(diǎn)坐標(biāo)公式X=知：只有當(dāng)X1、X2同奇偶性時(shí)，x才會(huì)是整數(shù).于是可對(duì)整點(diǎn)進(jìn)行2以下分類：(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)，由抽屜原理知，當(dāng)有五個(gè)或五個(gè)以上整點(diǎn)時(shí)，至少應(yīng)有兩個(gè)點(diǎn)屬于上述四類中的一類，即此兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)同是奇數(shù)或偶數(shù).于是結(jié)論成立.所以，k的最小值是5.三歸納總結(jié),并對(duì),獲取階1 分類討論思想是指依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同的種類劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的思想2 分類討論思想體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想和歸類整理的方法與分類討論思想有關(guān)的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、

15、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人思維的條理性和概括性4. 分類處理時(shí)要注意： 明確分類討論的對(duì)象及其全體范圍；確定分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不重不漏，分類互斥；再對(duì)每一類逐級(jí)討論段性結(jié)果； 歸納小結(jié)，得出綜合結(jié)論四課后精練鞏固提高一.選擇與填空題1. 集合A=x|x|w4，xR,B=x|x3|<a,xR，若A二B，那么a的范圍是A.0waw1B.aw1C.a<1D.0<a<1322. 若a>0且1,p=loga(a+a+1),q=loga(a+a+1)，貝Up、q的大小關(guān)系是A.p=qB.p<qC.p>qD.當(dāng)a>1時(shí)，p>q；當(dāng)0&l

16、t;a<1時(shí)，p<qsinxcosxtgx|ctgx|,3. 函數(shù)y=+亠一+的值域是.|sinx|cosx|tgx|ctgx卄'冗cos0-sin0心士亠4. 右0(0,)，貝ylimnn的值為.2n*cos0+sin0A.1或1B.0或1C.0或1D.0或1或115. 函數(shù)y=x+的值域是.xA.2,+a)B.(-a,-2U2,+a)C.(-s，+a)D.-2,26. 正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)分別為8 4A.-.3B.3C.9 97. 正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)分別為10 4A.-.3B.3C.11 92和4的矩形，則它的體積為2483D.3或39997. 過點(diǎn)P(2

17、,3)，且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是A.3x2y=0B.x+y5=0C.3x2y=0或x+y5=0D.不能確定簡(jiǎn)解1小題：對(duì)參數(shù)a分a>0、a=0、a<0三種情況討論，選B;2小題：對(duì)底數(shù)a分a>1、0<a<1兩種情況討論，選C;3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案4,-2,0;3TJTJT4小題：分0=、0<0<、<0<三種情況，選D44425小題：分x>0、x<0兩種情況，選B;6小題：分側(cè)面矩形長(zhǎng)、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選D;7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選C.解答題1. 在xoy

18、平面上給定曲線y2=2x，設(shè)點(diǎn)A(a,0),aR,曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值為f(a),求f(a)的函數(shù)表達(dá)式.(本題適合高二年級(jí)以上學(xué)生)2. 已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，AAB含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合ClgSngSn2<|gSlgSngSn2<|gS的個(gè)數(shù)：CAUB且C中含有3個(gè)元素；.CnAM0.3. 設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和.證明:是否存在常數(shù)c>0，使得lg(Sn一c)lg(Sn2c)=lg(Sn1-c)成立？并證明結(jié)論.(本題適合高二年2n十級(jí)以上學(xué)生)二解答：1. 分析：求兩點(diǎn)間距離的最小值問題，先用公式建立目

19、標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x>0下的最小值問題，而引起對(duì)參數(shù)a的取值討論.解：設(shè)M(x,y)為曲線y2=2x上任意一點(diǎn)，則|MA|2=(xa)2+y2=(xa)2+2x=x22(a1)x+a2=x(a1)2+(2a1)由于y2=2x限定x>0，所以分以下情況討論：當(dāng)a1>0時(shí)，x=a1取最小值，即|MA2min=2a1;當(dāng)a1<0時(shí)，x=0取最小值，即|MA2min=a2;1莎(a>1時(shí))綜上所述，有f(a)=2a1').Ja|(av1時(shí))反思：本題解題的基本思路是先建立目標(biāo)函數(shù).求二次函數(shù)的最大值和最小值問題我們十分熟悉，但含參數(shù)a，以及還有隱含條件x>0的限制，所以要從中找出正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而得到d=f(a)的函數(shù)表達(dá)式.2. 分析：由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：屬于A元素；不屬于A而屬于B的元素.并由含A中元素的個(gè)數(shù)1、2、3,而將取法分三種.解：C12C；+C22C；+C；2C0=1084反思：本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類，達(dá)到分類完整及每類互斥的要求，還有一個(gè)關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法.另一種解題思路是直接使用“排除法”，即C；0C8=1084.3. 分析：要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解.其中在應(yīng)用