1、桂林電子科技大學(xué)信息科技學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(論文)課 題： 濾波器設(shè)計方法演示系統(tǒng)院 （系）： 信息與通信學(xué)院 專 業(yè)： 通信工程 學(xué)生姓名： 樓倩倩 學(xué) 號： 0851100106 指導(dǎo)教師單位： 姓 名：職 稱： 講師濾波器設(shè)計方法演示系統(tǒng)摘 要幾乎在所有的工程技術(shù)領(lǐng)域中都會涉及到信號處理問題 ，濾波器作為信號處理的重要組成部分，已發(fā)展的相當(dāng)成熟。本論文首先介紹了濾波器的濾波原理以及模擬濾波器、數(shù)字濾波器的設(shè)計方法。重點介紹了模擬濾波器的設(shè)計和仿真。系統(tǒng)研究了模擬濾波器（包括巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器）的設(shè)計原理和方法，并在此基礎(chǔ)上論述了模擬濾波器（包括低通、高通、帶通、帶阻）的設(shè)計。在此基

2、礎(chǔ)上，用MATLAB虛擬實現(xiàn)模擬濾波器。此設(shè)計擴展性好，便于調(diào)節(jié)濾波器的性能，可以根據(jù)不同的要求在MATLAB上加以實現(xiàn)。通過MATLAB的仿真與實現(xiàn)，可以看出傳統(tǒng)的模擬濾波器設(shè)計方法繁瑣且不直觀，而MATLAB具有較嚴謹?shù)目茖W(xué)計算和圖形顯示這一優(yōu)點，使設(shè)計結(jié)果顯示的更加直觀，而且對濾波器的精度也有了很大的提高，能更好的達到預(yù)期效果。同時，又對模擬濾波器低通至高通、帶通、帶阻的轉(zhuǎn)換進行了理論上的闡述。關(guān)鍵字： 濾波/模擬濾波器/MATLABIMATLAB BASED DESIGN OF ANALOG FILTERSABSTRACTIn almost all areas of engineeri

3、ng and technology will be related to signal processing, signal processing filter as an important component of the development has reached a mature state. This paper introduces the principle of filter and filter analog filters, digital filter design method. Focuses on the design of analog filters and

4、 simulation.Analog filter system (including the Butterworth filter and Chebyshev filter) design principles and methods, and on this basis on the analog filters (including low-pass, high pass, band-pass, band-stop) design. On this basis, the use of virtual realization of analog filters MATLAB. Good s

5、calability of this design, easy to adjust the performance of filters can be based on different requirements to be in the realization of MATLAB.Through the MATLAB simulation and realization of, we can see that the traditional design method of analog filters and do not intuitive red, and MATLAB with m

6、ore stringent scientific computing and graphical display of the advantages of the design showed that the more intuitive, but also to filter accuracy has been greatly improved to better achieve the desired results. At the same time, low-pass analog filters of high pass, band-pass, band-stop conversio

7、n of a theoreticalKEYWORD: Filtering, Analog filters, MATLABII目 錄中文摘要. 錯誤！未定義書簽。 英文摘要. I錯誤！未定義書簽。 1 濾波器簡介 . 11.1 濾波器的工作原理 . 11.1.1 模擬濾波器的工作原理 . 11.1.2 數(shù)字濾波器的工作原理 . 21.2 濾波器的基本特性. 31.2.1 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的基本特性 . 31.2.2 無限沖擊響應(yīng)IIR和有限沖擊響應(yīng)FIR濾波器. 51.3 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo). 5 2 模擬濾波器的設(shè)計 . 62.1 模擬濾波器的設(shè)計方法. 72.2 模擬原型濾波器及最小

8、階數(shù)的選擇 . 82.2.1 巴特沃斯濾波器及最小階數(shù)的選擇. 82.2.2 切比雪夫濾波器及最小階數(shù)的選擇 .122.2.3 橢圓濾波器及最小階數(shù)的選擇.172.2.4貝塞爾濾波器 .18 3 MATLAB仿真 .183.1 MATLAB簡介 .183.2 對低通模擬濾波器的仿真.20 III3.3 模擬高通濾波器的仿真 .213.4 模擬帶通濾波器的仿真 .223.5 對帶阻模擬濾波器的仿真.24 4 頻率轉(zhuǎn)換 .254.1低通至高通的轉(zhuǎn)換 .254.2低通至帶通的變換 .264.3低通至帶阻的變換 .28 5 總結(jié)與展望.30 致 謝 .31 參考文獻.32IV1 濾波器簡介從廣義上講，

9、任何對某些頻率（相對于其他頻率來說）進行修正的系統(tǒng)稱為濾波器。嚴格地講，對輸入信號通過一定的處理得到輸出信號，這個處理通常是提取信號中某頻率范圍內(nèi)的信號成分，把這種處理的過程稱為濾波。實現(xiàn)濾波處理的運算電路或設(shè)備稱為濾波器。在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，廣泛應(yīng)用線性濾波和頻譜分析對信號進行加工處理，模擬濾波是處理連續(xù)信號，數(shù)字濾波則是處理離散信號，而后者是在前者的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。我們知道，無源或有源模擬濾波器是分立元件構(gòu)成的線性網(wǎng)絡(luò)，他們的性能可以用線性微分方程來描述，而數(shù)字濾波器是個離散線性系統(tǒng)，要用差分方程來描述，并以離散變換方法來分析。這些方程組可以用專用的或通用的數(shù)字計算機進行數(shù)字運算來實現(xiàn)

10、。因此，數(shù)字濾波器的濾波過程是一個計算過程，它將輸入信號的序列數(shù)字按照預(yù)定的要求轉(zhuǎn)換成輸出數(shù)列。1.1 濾波器的工作原理1.1.1 模擬濾波器的工作原理我們知道，模擬濾波器是對模擬信號實行線性濾波的一種線性時不變系統(tǒng)，如圖1.1所示。在時域內(nèi)，它的動態(tài)特性可以用系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)的響應(yīng)ha(t)來描述，也就是該濾波系統(tǒng)在任何時刻對輸入單位沖激信號xa(t)=（t）的輸出響應(yīng)ya(t)=ha(t)。這個函數(shù)從時域上反映了該濾波系統(tǒng)的傳輸特性。對于任意輸入信號xa(t)，系統(tǒng)的輸出ya(t)可以卷積表示：ya(t)=-ha(t)xa(t-t)dt =xa(t)ha(t-t)dt (1.1) -上式

11、表明在對線性濾波器系統(tǒng)進行時域分析時，采用了疊加原理，先將任意輸入信號波形分成不同時間的窄脈沖之和，再分別求出各個脈沖通過濾波器之后的響應(yīng)，并進行線性疊加從而得到總的輸出信號。1xx(t) (s)圖1.1模擬濾波器原理在頻域分析時，線性濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)Ha(S)等于系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)的響應(yīng)ha(t)的拉普拉斯變換：-stHah(t)edt- （1.2）很明顯，當(dāng)s=j，上式就是傅立葉變換的表達式，它反映了濾波器的傳輸特性對各種頻率的響應(yīng)，也就是濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Ha(jw)，它決定著濾波特性。當(dāng)濾波器輸入信號xa(t)與輸出信號ya(t)的拉普拉斯變換，得Ya(s)=Ha(s)Xa(s) （

12、1.3）這表明兩信號卷積的變換等于各自變換的乘積。在頻譜關(guān)系上，一個輸入信號的頻譜Xa(jw)，經(jīng)過濾波器的作用后，被變換成Ha(jw)Xa(jw)的頻譜。因此，根據(jù)不同的濾波要求來選定Ha(jw)，就可以得到不同類型的模擬濾波器。還可以看出，濾波器的濾波過程就是完成信號xa(t)與它的單位沖激函數(shù)響應(yīng)ha(t)之間的數(shù)學(xué)卷積運算過程。1.1.2 數(shù)字濾波器的工作原理在數(shù)字濾波中，我們主要討論離散時間序列。如圖1.2所示。設(shè)輸入序列為x(n)，離散或數(shù)字濾波器對單位抽樣序列d(n)的響應(yīng)為h(n)。因d(n)在時域離散信號和系統(tǒng)中所起的作用相當(dāng)于單位沖激函數(shù)在時域連續(xù)信號和系統(tǒng)中所起的作用。)

13、 )圖1.2 數(shù)字濾波器原理數(shù)字濾波器的序列y(n)將是這兩個序列的離散卷積，即2y(n)=h(k)x(n-k) （1.4）k=同樣，兩個序列卷積的z變換等于個自z變換的乘積，即Y(z)=H(z)X(z) （1.5）用z=ejwT代入上式，其中T為抽樣周期，則得到Y(jié)e(jwT)=H(ejwT)X(ejwT) （1.6）式中X(ejwT)和 Y(ejwT) 分別為數(shù)字濾波器輸入序列和輸出序列的頻譜，而H(ejwT)為單位抽樣序列響應(yīng)h(n)的頻譜。由此可見，輸入序列的頻譜X(ejwT)經(jīng)過濾波后，變?yōu)镠(ejwT)X(ejwT) ，按照X(ejwT)的特點和我們處理信號的目的，選取適當(dāng)?shù)腍(ej

14、wT使的濾波后的H(ejwT)X(ejwT)符合我們的要求。 )1.2 濾波器的基本特性1.2.1 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的基本特性如利用模擬電路直接對模擬信號進行處理則構(gòu)成模擬濾波器，它是一個連續(xù)時間系統(tǒng)。如果利用離散時間系統(tǒng)對數(shù)字信號（時間離散、幅度量化的信號）進行濾波則構(gòu)成數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的差分方程表示為：NMy(n)=i=1bky(n-i)+k=0akx(n-k)系統(tǒng)函數(shù)表示:MH(z)=Y(z)X(z)a=k=0Nkz-k-i1-bizi=1數(shù)字濾波器的特性通常用其頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejw)來描述， 包括幅度特性H(ejw)和相位特性arg(H(ejw)。按信號通過系統(tǒng)時的特性（

15、主要是幅頻特性）來分類：可以有低通、高通、帶通 3和帶阻四種基本類型。（1） 低通數(shù)字濾波器：圖1.3所示H(ejwjwH(e) wc )=0 pwwc-fs -fs/2 -fc csfs圖1.3 低通數(shù)字濾波器的頻譜（2） 高通數(shù)字濾波器：圖1.4所示H(ejwjwH(e) p wc)=0 ww1,w2|w|0圖1.5 帶通數(shù)字濾波器的頻譜（4）帶阻數(shù)字濾波器：圖1.6所示H(ejwjwH(e)p ww1,w2|w|0)= 0 ww124圖1.6 帶阻數(shù)字濾波器的頻譜其他較復(fù)雜的特性可以由基本濾波器組合。1.2.2 無限沖擊響應(yīng)IIR和有限沖擊響應(yīng)FIR濾波器按系統(tǒng)沖擊響應(yīng)（或差分方程）可以

16、分成無限沖擊響應(yīng) IIR和有限沖擊響應(yīng)FIR濾波器兩類。這兩種濾波器都可以現(xiàn)實各種頻率特性要求，但它們在計算流程、具體特性逼近等方面是有差別的。(1) FIR濾波器(非遞歸型):N-1y(n)=h(m)x(n-m)m=0N-1H(Z)=h(n)Zn=0-n(2) IIR濾波器（遞歸型）NMkky(n)=ay(n-k)+bx(n-k)k=1k=0MH(z)=Y(z)X(z)bzk-k=k=0N-k1-akzk=1還有一些其他的分類方法，例如在特定場合使用的濾波器。1.3 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)取決于具體的應(yīng)用或相互間的相互關(guān)系。具體的有最大通帶增益（即通帶允許起伏a）；最大阻帶

17、增益b；通帶截止頻率wp；阻帶截止頻率ws。如圖1.7所示5dB0dBdBps圖1.7 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)2 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯（Butterworth濾波器.切比雪夫（Chebyshev）濾波器等。這些工作的理論分析和設(shè)計方法在20世紀30年代就完成，然而煩瑣.冗長的數(shù)字計算使它難以付諸實用。直到50年代，由于計算機技術(shù)的逐步成熟，求出大量設(shè)計參數(shù)和圖表，這種方法才得到廣泛應(yīng)用。這些典型的濾波器各有特點：巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有波動發(fā)，可以提高選擇

18、性。這樣根據(jù)具體要求可以選擇不同類型的濾波器。模擬濾波器按幅度特征可以分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器。它們的理想幅度特性如圖2.1所示，但我們設(shè)計濾波器時，總是先設(shè)計低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器帶通帶阻圖2.1 模擬濾波器理想幅度特性62.1 模擬濾波器的設(shè)計方法利用頻率變換設(shè)計模擬濾波器的步驟為：（1）給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率w0或上、下邊界頻率w1,w2等。 （2）確定濾波器階數(shù)（3）設(shè)計模擬低通原型濾波器。（4）按頻率變換設(shè)計模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)有ap，Wp和Ws，其中ap和Ws分別稱為通帶截止頻率和

19、阻帶截止頻率。ap 是通帶（=0Wp）中的最大衰減系數(shù)，as是阻帶Ws的最小衰減系數(shù)，ap和as一般用dB表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：Ha(j0)Ha(jWp)22ap=10lg（2.1）)2ap=10lgHa(j0)Ha(jWs)2（2.2）如果=0處幅度已歸一化為一，即Ha(jW)=1，ap和as表示為a=-10lgHa(jWp)2p（2.3）as=-10lgHa(jWs) （2.4）2以上技術(shù)指標(biāo)用圖2.2表示，圖中Wc稱為3dB 截止頻率，因Ha(jWc)=,-20Ha(jWc)=3dB7Ha(jwpW s c圖2.2 低通濾波器的幅度特性濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定以后，需要設(shè)計

20、一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)ap和as，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，因此Ha(jW)2=Ha(a)Ha(-s)|s=jW=Ha(jW)Ha*(jW) (2.5)如果能由ap，Wp，as，Ws求出Ha(jW)，那么就可以求出所需的Ha(s)，對于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)有自己的表達式，可以直接引用。這里要說明的是Ha(s)必須是穩(wěn)定的。因此極點必須落在s平面的左半平面，相應(yīng)的Ha(-s)的極點落在右半平面。 22.2 模擬原型濾波器及最小階數(shù)的選擇2.2.1 巴特沃斯濾波器及最小階數(shù)的選擇巴特沃斯濾波器是最基本的逼近方法形式之一。它的幅頻特性模平方為H

21、a(jW)2=(1+(1WWc)2N)2 (2.6)式中N是濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0Ha(jW)=1；當(dāng)=Wc時，Ha(jW)=12，8Wc是3dB截止頻率。不同階數(shù)N的巴特沃斯濾波器特性如圖2.3所示，這一幅頻特性具有下列特點： （1）最大平坦性：可以證明：在=0點，它的前（2N-1）階導(dǎo)數(shù)都等于0，這表明巴特沃斯濾波器在=0附近一段范圍內(nèi)是非常平直的，它以原點的最大平坦性來逼近理想低通濾波器。“最平響應(yīng)”即由此而來。（2）通帶，阻帶下降的單調(diào)性。這種濾波器具有良好的相頻特性。（3）3dB的不變性：隨著N的增加，頻帶邊緣下降越陡峭，越接近理想特性，但不管N是多少，幅頻特性都通過-3dB點。當(dāng)Wc

22、時，特性以20NdB/dec速度下降。圖2.3 不同階數(shù)N的巴特沃斯濾波器特性現(xiàn)根據(jù)式（2.6）求巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha（s）。令=s/j，帶入式（2.6）2W=Ha(jW)sj=Ha(s)Ha(-s)=1+(1sjWc)2N=(jWc)s2N2N2N+(jWc)對應(yīng)的極點：s2N+(jWc)2N=0p1j(2k-1)p+22Nsksk=jWc(-1)2N=Wce2(2.7)即為Ha(s)Ha(-s)的極點，此極點分布有下列特點：(1)Ha(s)Ha(-s)的2N個極點以/N為間隔均勻分布在半徑為Wc的圓周上，這個圓稱為巴特沃斯圓。(2)所有極點以j軸為對稱軸成對稱分布，j軸上沒有極點。

23、9(3)當(dāng)N為奇數(shù)時，有兩個極點分布在s=Wc的實軸上；N為偶函數(shù)時，實軸上沒有極點。所有復(fù)數(shù)極點兩兩呈共軛對稱分布。圖2.4畫出了N=3時的Ha(s)Ha(-s)極點分布。全部零點位于s=處。圖2.4 N=3時Ha（s）Ha（-s）極點分布為得到穩(wěn)定的Ha(s)，取全部左半平面的極點。WcNNHa(s)= （2.8）k(s-s)k=1當(dāng)N為偶數(shù)時Ha(s)=WcN2N=*kWcN22N （2.9） (s-sk)(s-sk=1)sk=1p2k-12-2Wccosp+s+Wc22N當(dāng)N為奇數(shù)時Ha(s)=WcN-12N （2.10） 2(s+Wc)s+Wck=12p2k-1s-2Wcosp+c2

24、2N為使用方便把式（2.9）和式（2.10）對Wc進行歸一化處理，為此，分子分母各除以WcN，并令s=sWc，s稱為歸一化復(fù)頻率：10Ha(s)=1Nk=1p2k-12()s-2cosp+22N1（N為偶數(shù)） （2.11）s+1Ha(s)=（N為奇數(shù)）（2.12）N-12k=1p2k-12()s-2cosp+s+1(s-1)2N2用歸一化頻率W=W/Wc表示的頻率特性稱為原型濾波特性（即歸一化復(fù)頻率s 的虛部）。對式（2.6）所示的低通巴特沃斯特性用表示得到：2Ha(jW)=11+(W)2N（2.13）稱Ha(jW)為巴特沃斯低通原型濾波器幅頻特性。在低通原型濾波頻率特性上，截止頻率Wc=1。

25、若給出模擬低通濾波器的設(shè)計性能指標(biāo)要求：通帶邊界頻率wp，阻帶邊界頻率ws，通帶波紋Rp(dB)，阻帶衰減RS(dB)，要確定butterworth ,，低通濾波器最小階數(shù)N及截止頻率wC(-3dB)。wp，wS，RS，RP的意義如圖所示。 當(dāng)w=wP時，H(jw)=10-RP20即RP=-10lg H(jw)2，以截至頻率wc（幅值下降3dB）w為1，化w為相對w為相對wc的相對頻率w由上式可寫為cRP=-10lg101wp2N)1+(wc。-RS同理，當(dāng)w=wc時，H(jw)=1020，RP=-10lg101wS2N)1+(wC。由此可見N(10=RP/10-1)(10RP/10-1)2l

26、og10(wpwsN應(yīng)向上取整wc=wp2N)(10RP/10，-1)11wc=wS2(10RS/10-1)再用MATLAB 編程計算濾波器最小階數(shù)N和截止頻率wc。2.2.2 切比雪夫濾波器及最小階數(shù)的選擇巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)函數(shù)。當(dāng)通帶邊界處滿足指標(biāo)要求時，通帶內(nèi)肯定會有余量。因此，更有效的設(shè)計方法應(yīng)該是將精確度均勻地分布在整個通帶內(nèi)。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達到。切比雪夫濾波器的振幅特性就是具有這種等波紋特性。它有兩種型式：振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的切比雪夫I型濾波器；振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的切比

27、雪夫II型濾波器。采用何種型式切比雪夫濾波器取決于實際用途。這種濾波器的幅頻特性模平方為：1= （2.14）W22+eTNWcHa(jW)2式中是決定通帶內(nèi)起伏的等波紋參數(shù)，TN(x)是第一類切比雪夫多項式，定義為：cos(narcosx),TN(x)=cosh(Narcoshx),x1x1 （2.15）表2.1列出了對應(yīng)不同階數(shù)N時的切比雪夫多項式TN(x)。圖（2.5）畫出了T1(x)T4(x)多項式特性曲線，從這組特性曲線可以看出：x1時，TN(x)在1之間波動；N不論為何值都有TN(1)=1；當(dāng)x1，TN(x)單調(diào)上升。此外，切比雪夫多項式滿足下列遞推公式TN+1(x)=2xTN(x)

28、-TN-1(x) N=1，2 （2.16）圖2.6（a）是按式（2.14）畫出的切比雪夫等波紋濾波器的幅頻特性，圖2.6（b）是通帶內(nèi)起伏與TN(W)的關(guān)系。12切比雪夫濾波器的濾波特性具有下列特點： （1） 所有曲線在=Wc時通過的截止角頻率。（2） 在通帶內(nèi)/Wc1，Ha(jW)在1和1+e21+e2點，因而把Wc定義為切比雪夫濾波器之間變化；在通帶外，/Wc1，特性呈單調(diào)下降，下降速度為20NdB/dec。（3） N為奇數(shù)，Ha(j0)=1；N為偶數(shù)，Ha(j0)=均勻的，實際上這種逼近稱為最佳一致逼近。（4） 由于濾波器通帶內(nèi)有起伏，因而使通帶內(nèi)的相頻特性也有相應(yīng)的起伏波動。即相位是非

29、線性的，這給信號傳輸時帶來線性畸變，所以在要求群時延為常數(shù)時不宜采用這種濾波器。現(xiàn)根據(jù)式（2.14）求切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。將=122s1+eTNjW1+e2。通帶內(nèi)誤差分布是sj帶入式（2.14）Ha(s)Ha(-s)=（2.17）為求極點分布需求解方程：s1+eTjWc22N=0 （2.18） 表2.1 N=07時切比雪夫多項式TN（x）13圖2.5 T1T4切比雪夫特性曲線sjWc考慮到是復(fù)變量，為解出切比雪夫多項式，設(shè)：sjWc=cosq=cos(a+jb)=cosacoshb=s+jW （2.19）Wc(a)(b) 0.95圖2.6切比雪夫濾波特性及內(nèi)波紋TN(W)關(guān)系

30、另把sjWc=cos14代入式（2.15），并且令此式等于jsTNjWcs=cosNarcosjWc1e，求解，：1=cos(Nq)=j （2. 20） e解的滿足上式的，為2k-1pa=N2 1b=1arsinhNe （2.21）把，值代回式（2.19），求的極點值：2k-1+jWk=-Wcsinp2N11arsinhsinheNsk=sk +jWccos2k-12Npcish1Narsinh1 e，k=1,2,，2N (2.22)sk就是切比雪夫濾波器Ha(s)Ha(-s)的極點，給定N，Wc，即可求的2N個極點分布。由式（2.22）實部與虛部的正弦和余弦函數(shù)平方約束關(guān)系可以看出，此極點分

31、布滿足橢圓方程，其短軸和長軸分別為11a=Wsinharcsinhce Nb=Wcosh1arcsinh1cNe （2.23）圖2.7畫出了N=3時切比雪夫濾波器的極點分布。15極點所在的橢圓可以和半徑為a的圓和半徑為b的圓聯(lián)系起來，這兩個圓分別稱為巴特沃斯小圓和巴特沃斯大圓。N階切比雪夫濾波器極點的縱坐標(biāo)，而橫坐標(biāo)等于N階巴特沃斯小圓極點的橫坐標(biāo)取左半平面的極點：2k-1s=-asinpk2N k=1,2，N （2.24） W=bcos2k-1pk2n則切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：Ha(s)=AN （2.25）k(s-sk=1)其中sk=sk+jWk，常數(shù)A=WcNjWcN-1e2。因而切比雪

32、夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示為：Ha(s)=Wc/e2NNN-1 （2.27）k(s-s)k=1切比雪夫濾波器的截止角頻率Wc不是像巴特沃斯濾波器中所規(guī)定的（-3dB）處角頻率，而是通帶邊緣的頻率。若波紋參數(shù)滿足頻率為11W(-3dB)=WccosharcosheN11+e20.5，可以求的-3dB處的角 （2.28）將式（2.27）表示的Ha(s)對Wc歸一化，得到切比雪夫I型低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)1Ha(s)=e2N-1(s)N+aN-1(s)N-1+L+a1s+a0 （2.29）對不同的N，式（2.29）的分母多項式已制成表格，供設(shè)計參考。16和butterworth低通模擬濾波器設(shè)計一樣，

33、若給定性能指標(biāo)要求：wc，ws，RP，Rs確定Chebyshev低通模擬濾波器最小階數(shù)N和截止頻率wc（-3dB頻率）。2.2.2.1 ChbbyshevI型 由式Ha(jw)=A(w2)=211+eCN(w/wC)22可得e=RP/10R/20故階-1 A=10S數(shù)N可由下式求得N=log10(g+log10(g+1)(2wswp+wswp式中，g=(A2-1)/e2，截至頻)-1)2率wc=wp由上面兩式用Matlab 編程計算濾波器最小階數(shù)N和截止頻率 wc2.2.2.2 ChbbyshevII型ChbbyshevII型通帶內(nèi)是平滑的，而阻帶具有等波紋起伏特性。因此，在階數(shù)N的計算公式上

34、是相同的，而-3dB截止頻率wc則不同。2.2.3 橢圓濾波器及最小階數(shù)的選擇橢圓的模擬低通濾波器圓形的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為 H(jw)2=A(w2)=11+m2E2N(w/wC)式中，m為小于1的正書，表示波紋情況；wc為截止頻率；En(w/wc）為橢圓函數(shù)，定義為m當(dāng)N為偶數(shù)（N=2m）時,EN(W)=k=12K-222K1-WWm當(dāng)N為奇數(shù)（N=2m+1）時,EN(W)=k=12K-222K1-WW其中W=w/wc17橢圓模擬濾波器特點是：在通帶和阻帶內(nèi)均具有等波紋起伏特性。何以上濾波器相比，相同的性能指標(biāo)所需要的階數(shù)最小。但頻率響應(yīng)應(yīng)具有明顯的非線性。由式Ha(jw)=A(w)=2211

35、+mEN(w/wC)/1022K(k)K(-K12濾波器的階數(shù)可由下式確定m=RwpwsP-1，A=10p/2RS/20N=K(k1)K(-K)2，wn=wp 式中k= k1=mA-12K(x)=dq-xsinq22由上式計算濾波器的最小階數(shù)N和截止頻率wC。2.2.4貝塞爾濾波器貝塞爾模擬低通濾波器原型的特點是在零頻時具有最平坦的群延遲，并在整個通(2N)!帶內(nèi)延遲幾乎不變。在零頻時的群延遲為NN!21/N。由于這一特點，貝塞爾模擬濾波器通帶內(nèi)保持信號形狀不變。濾波器傳遞漢書具有下面形式H(S)=k(s-p(1)(s-p(2)L(s-p(n)3 MATLAB仿真3.1 MATLAB簡介整個M

36、ATLAB系統(tǒng)有五個主要部分: MATLAB語言。它是基于矩陣/數(shù)組的高級語言，它包括流程控制語句、函數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和輸入/輸出等，它還具有面向?qū)ο缶幊痰奶攸c。它既適合編寫小巧玲瓏的程序，也適合于開發(fā)復(fù)雜的大型應(yīng)用程序。 MATLAB工作環(huán)境。它集成了一系列的工具和應(yīng)用，方便用戶管理環(huán)境變量，輸入/輸出數(shù)據(jù)，開發(fā)、管理、調(diào)試用戶自己的M-文件以及MATLAB的應(yīng)用程序。 圖形處理。它既包括二維和三維的數(shù)據(jù)可視化、圖像處理、動畫等高層指令，18也包括低層的繪圖指令，允許用戶為應(yīng)用程序設(shè)計自己的用戶圖形界面。 MATLAB數(shù)學(xué)函數(shù)庫。它包括數(shù)量龐大的計算函數(shù)，從簡單的基本函數(shù)到復(fù)雜的矩陣求逆，矩陣的

37、特征值，貝塞爾函數(shù)和快速傅里葉變換等。 MATLAB應(yīng)用程序界面(API)。它是一組動態(tài)的庫函數(shù)，使得用戶在自己的C和Fortran程序中可以和MATLAB交互，調(diào)用MATLAB的動態(tài)鏈接庫作計算。MATLAB語言的特點是:起點高 每個變量代表一個矩陣，它可以有n*m個元素;(2)每個元素都看作復(fù)數(shù)，這個特點在其它語言中不多見;(3)所有的運算，包括加、減、乘、除、函數(shù)運算都對矩陣和復(fù)數(shù)有效。人機界面適合科技人員 語言規(guī)則與科技人員的書寫習(xí)慣相近，因此易讀易寫，易于在科技人員之間交流; 矩陣的行數(shù)、列數(shù)無需定義:若要輸入一個矩陣，在用其它語言編程時必須先定義矩陣的階數(shù)，而用MATLAB語言則不

38、必有階數(shù)定義語句，輸入數(shù)據(jù)的行列數(shù)就決定了它的階數(shù); 鍵入算式立即得到結(jié)果，無需編譯:MATLAB是以解釋方式工作的，即它對每條語句解釋后立即執(zhí)行。若有錯誤也立即作出反應(yīng)，便于編程者馬上改正。這些都大大減輕了編程和調(diào)試的工作量。強大面簡易的作圖功能能根據(jù)輸入數(shù)據(jù)自動確定繪圖坐標(biāo);能繪制三維坐標(biāo)中的曲線和曲面;可設(shè)置不同顏色、線型、視角等;如果數(shù)據(jù)齊全，一條命令即可畫出圖來。智能化程度高、功能豐富、可擴展性強繪圖時自動選擇最佳坐標(biāo)以及按輸入或輸出變元數(shù)自動選擇算法等;做數(shù)值積分時自動按精度選擇步長;自動檢測和顯示程序錯誤的能力強，易于調(diào)試。MATLAB軟件包括基本部分和專業(yè)擴展部分?；静糠职?/p>

39、:矩陣的運算和各種變換、代數(shù)和超越方程的求解、數(shù)據(jù)處理和傅里葉變換、數(shù)值積分等等.專業(yè)擴展部分稱為工具箱.它實際上是用MATLAB的基本語句編成的各種子程序集，用于解決某一方面的專門問題，或?qū)崿F(xiàn)某一類的新算法。易擴展性是MATLAB最重要的特點，每一個MATLAB用戶都可以成為對其有貢獻的人。在MATLAB的發(fā)展過程中，許多科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、工程技術(shù)人員用它開發(fā)出了一些新的、有價值的應(yīng)用程序，所有的程序完全 19不需要使用低層代碼來編寫。通過這些工作，已經(jīng)發(fā)展起來的工具箱有控制系統(tǒng)、信號處理、圖像處理、系統(tǒng)辨識、模糊集合、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)、小波分析等20余個。如果使用MATLAB來開發(fā)光學(xué)方面的應(yīng)用程

40、序，在不久的將來，也可能出現(xiàn)專門用來解決光學(xué)問題的工具箱。3.2 對低通模擬濾波器的仿真第三章所討論的設(shè)計思想，在MATLAB對模擬濾波器進行仿真的過程中依然適用，其具體步驟總結(jié)如下：（1） 確定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率w0（對于低通和高通）或上、下邊界頻率w1,w2；波紋特性；帶阻衰減等。（2） 確定濾波器階數(shù)。（3） 計模擬低通濾波原型濾波器。MATLAB信號處理工具箱的濾波器原型函數(shù)buttap,cheb1ap。（4） 按頻率變換設(shè)計模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。MATLAB信號處理工具箱的頻率變換函數(shù)lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs。但是，按照這種設(shè)計思想的編程較為麻煩。MATLAB信號處理工具箱還提供模擬濾波器的完全設(shè)計函數(shù)：butter,cheby1等。用戶只需調(diào)用一次設(shè)計函數(shù)就可自動完成全部設(shè)計過程，編程十分簡單。下面將以模擬低通Butterworth濾波器的設(shè)計為例，解釋這種設(shè)計方法。設(shè)計指標(biāo)：通帶截止頻率wp=200，阻帶截止頻率ws=300，通帶衰減Rp=1dB，阻帶衰減Rs=16dB。仿真結(jié)果見圖3.1%Matlab program2.1%Design a buttworth analog lowpass filterws=300*pi;wp=200*pi;Rp=1;Rs=16;%compute oder and cuttoff