1、會(huì)計(jì)學(xué)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(sh l tn j)自考必備自考必備復(fù)習(xí)資料復(fù)習(xí)資料第一頁，共73頁。第1頁/共72頁第二頁，共73頁。7.減法：;ABBAABBA()()AB CA BC()();ABCABC()()();AB CACBC()()()ABCABAC;ABAB;ABABABAB第2頁/共72頁第三頁，共73頁。0( )1P A( )=1P S12,nA AA,ijA Aij1212()()()P AAP AP A第3頁/共72頁第四頁，共73頁。12,nA AA()( )( )()P ABP AP BP AB1212()()()()nnP AAAP AP AP AA

2、1P AP A AB()= ( )( )P BAP BP A( )0,P( )1P S ( )1P A ()( )( )( )P ABCP AP BP C()()()P ABP ACP BC()P ABCAB()( )( )P ABP AP B第4頁/共72頁第五頁，共73頁。5.條件概率的計(jì)算公式：ABA中包含的基本事件中包含的基本事件 |P ABP BAP A第5頁/共72頁第六頁，共73頁。121()0nP A AA12,nA AA(2)n 12121121()(|) ()nnnnP A AAP AA AAP A AA1211122211(|,) (|,)(|) ()nnnnP AA A

3、AP AA AAP AA P A第6頁/共72頁第七頁，共73頁。123=1 2 34 56BBB， ，12,nB BB, ,1,2,ijB Bij i jn12nBBBS12,nB BB1 2 3 4 5 6S ，123=1 2 33 45 6CCC， ，第7頁/共72頁第八頁，共73頁。12,nB BB()0(1,2, )iP Bin1122nn( )( |) ()( |) ()( |) ()P AP A B P BP A B P BP A B P B12,nB BB第8頁/共72頁第九頁，共73頁。( )0, ()0.(1,2, )iP AP Bin12,nB BB1122nn()( |

4、) ( )( | )=( )( |) ( )( |) ()( |) ()iiiiP ABP A B P BP B AP AP A B P BP A B P BP A B P B()iP B(|)iP BA第9頁/共72頁第十頁，共73頁。第10頁/共72頁第十一頁，共73頁。(1,2, )kkP Xxp kXkp1p1x2xnx2pnp1、寫出可能取值即寫出了樣本點(diǎn)2、寫出相應(yīng)的概率即寫出了每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率分布(fnb)律（概率分布(fnb)）第11頁/共72頁第十二頁，共73頁。 0 1Xkp1-p p1()(1),0,1kkP Xkppk三種重要(zhngyo)的離散型隨機(jī)變量第12

5、頁/共72頁第十三頁，共73頁。n隨機(jī)(su j)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為n當(dāng)n=1時(shí)，即為(0-1)分布。(1)kkn knC ppA 1P Ap ,0,1,2,kn00()nnkkn knkkP XkC p q()nqp1( , )XB n p第13頁/共72頁第十四頁，共73頁。() 0,1,2, 0!keP Xkkk，( )XpPoisson定理 設(shè) 是一個(gè)常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè) ， 則對(duì)于任一固定(gdng)的非負(fù)整數(shù)k，有 0nnplim(1)!kkknknnnneC ppk 第14頁/共72頁第十五頁，共73頁。當(dāng) 時(shí)近似(jn s)公式近似(jn s)效果更佳。

6、10100npn，20,0.05, 1, kn kkknnpeC ppnpk二項(xiàng)分布與泊松分布有 以下近似公式 ：當(dāng)時(shí)其中！第15頁/共72頁第十六頁，共73頁。( )F xP Xx1221P xXxP XxP Xx21()()F xF x分布(fnb)函數(shù)( )F x 的幾何意義：xX注: 分布(fnb)函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值表示x落在區(qū)間 上的概率。第16頁/共72頁第十七頁，共73頁。( )kkxxF xP XxP Xx0( )1F x,()lim( )1xFF x ,()lim( )0 xFF x kkP Xxp分布(fnb)函數(shù)1221 0()()()P xXxF xF x( )

7、F x 的性質(zhì)：第17頁/共72頁第十八頁，共73頁。( ),f x( )( )xF xf t dt( ),F x, x( )f x其中(qzhng) 稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)，第18頁/共72頁第十九頁，共73頁。00()( )( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx ( )f x 的性質(zhì)：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx211221123) () ( ) 0 xxxx xxP xXxf t dtP Xa對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ，4) ( ) ( )( )f xx F xf x在連續(xù)點(diǎn) ，

8、( )f x即在的連續(xù)點(diǎn)( )yf x1x2x1面積為12 P xXx第19頁/共72頁第二十頁，共73頁。1 ( )0 axbf xba其他三種重要(zhngyo)的連續(xù)型隨機(jī)變量( , )XU a b第20頁/共72頁第二十一頁，共73頁。0 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxb f x0bxa1b a F x0bxa1第21頁/共72頁第二十二頁，共73頁。 0( ) (0)0 xexf x 0 0( ) (0) 1 0 xxF xex2.指數(shù)分布( )XE第22頁/共72頁第二十三頁，共73頁。,(0) 2()2212( )()xf xex , 2( ,)XN 三種(sn zhn)

9、重要的連續(xù)型隨機(jī)變量第23頁/共72頁第二十四頁，共73頁。9.分布函數(shù)F(x)x0, hPhxPxh x12( )f12( )fx ( )0f x 22()()22221122( )ttxxF xedtedt第24頁/共72頁第二十五頁，共73頁。10.例，求(0,1)XN0,12212( )xxe2212( )tx xedt()1( )x x ( ) x(0,1)XN 2.013.25PX第25頁/共72頁第二十六頁，共73頁。性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(fnb)，然后查書中第382頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(fnb)表得解11.例，求(0,1)XZN( )()XxxF xP XxP2( ,)XN 2(

10、 ,)XN 1212xxXP xXxP21()()xx(1,4)XN01.6PX第26頁/共72頁第二十七頁，共73頁。X -1 0 1 2 -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 0.2 0.3 0.1 0.4kp2YX問題(wnt)提出：已知隨機(jī)變量X的概率分布，且已知Y=g(X)， 求Y的概率分布。關(guān)鍵是找出Y的等價(jià)事件。第27頁/共72頁第二十八頁，共73頁。( )0Yfy 11( ) ()( )( )YXFyP YyP g XyP XgyFgy111( )( )( )( ) ( )YYXXfyFyFgyfgygy第28頁/共72頁第二十九頁，共73頁。( ),( )0 (

11、)0)() XXfxxg xg xYg XY ：設(shè)，或。， 則 具有概率密度為：定定理理( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yyfy其他min( (),() max( (),()( )( )ggggh yxyg x其中，第29頁/共72頁第三十頁，共73頁。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字(shz)特征第30頁/共72頁第三十一頁，共73頁。111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p絕對(duì)收設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布律為：若級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量的，數(shù)學(xué)期記望為即 斂， , 0，有2()().D XP XE X切比雪夫不等式的等價(jià)(dngji

12、)形式2()()1.D XP XE X 注：注： 1. 切比雪夫不等式可用來估計(jì)不是服從正態(tài)分布的隨切比雪夫不等式可用來估計(jì)不是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量落在機(jī)變量落在E(X)附近的概率。附近的概率。 2. 切比雪夫不等式的主要切比雪夫不等式的主要(zhyo)作用是進(jìn)行概率論作用是進(jìn)行概率論的理論研究。的理論研究。第39頁/共72頁第四十頁，共73頁。第六章 樣本(yngbn)及抽樣分布第40頁/共72頁第四十一頁，共73頁。1. 每個(gè)Xi與X同分布2. X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量說明：后面提到的樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。第41頁/共72頁第四十二頁，共73頁。 22123123212332

13、3121, 1 2 2 3 max, 1 4 5 iiNXXXXXXXXXXXXX 思考題：設(shè)在總體中抽取樣本其中 已知，未知指出在哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量，為什么？答：只有(4)不是統(tǒng)計(jì)量。12,nXXX12,ng XXX12,nXXX簡(jiǎn)言之，樣本(yngbn)的不含任何未知參數(shù)的函數(shù)。第42頁/共72頁第四十三頁，共73頁。11niiXXn22111niiSXXn22111niiXnXn22111niiSSXXn11,1,2,nkkkiiAXXkn11,2,3,nkkiiBXXkn第43頁/共72頁第四十四頁，共73頁。 22122221,0,1 1,2, 11ininiXXXXXNi

14、nnn 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量相相互互獨(dú)獨(dú)立立， 則 則稱稱 服 服從從自自由由度度為為 的的， 指 指式式右右端端包包分分布布記記為為含含的的獨(dú)獨(dú)立立自自由由變變義義度度定定：量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) 20,1 ,XNYnX YXtnttt nY n 設(shè)設(shè)并并且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立， 服服從從自自由由度度為為 的的 分分布布，記記 則 則稱稱隨隨變變量量為為機(jī)機(jī)定定義義： 221211212212, ,/,/ UnVnX YU nFn nFFF n nV nnn設(shè)設(shè)且且獨(dú)獨(dú)立立， 則 則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量服服定定義義：從從自自由由度度的的 分分布布，記記為為 其 其中中稱稱為為第第一一自自由由度度，稱

15、稱為為第第二二自自由由度度第44頁/共72頁第四十五頁，共73頁。2 分分布布的的一一些些重重要要性性質(zhì)質(zhì)： 22221. ,2nEn Dn設(shè)則有22211221212122. ,YnYnY YYYnn設(shè)且相互獨(dú)立，則有22分布的可加性性質(zhì) 稱為，可推廣到有限個(gè)的情形： 221211,mmiimiiiiYnY YYYn設(shè)且相互獨(dú)立，則 22222,01,nnfny dyn為分布的上對(duì)給定的概率稱滿足條件的點(diǎn)上 分位點(diǎn)的分位值可查點(diǎn)分布表. 2n02分布的分位點(diǎn)x( )f x0.1,25n例：20.12534.381第45頁/共72頁第四十六頁，共73頁。 20,1 ,XNYnX YXtnttt

16、 nY n 設(shè)設(shè)并并且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立， 服服從從自自由由度度為為 的的 分分布布，記記 則 則稱稱隨隨變變量量為為機(jī)機(jī)定定義義： , 01,tnh t dttnt ntt對(duì)給定的稱滿足條件的點(diǎn)為分布的。 分布的上 分位點(diǎn)可上位點(diǎn)查分分布表t分布 121222 1, nnntt nh ttnn 分布的概率密度為： tn f xx0t分布的分位點(diǎn)10n 313x( )f x1n 4n 2021t分布的密度函數(shù)1( )( )tntn 第46頁/共72頁第四十七頁，共73頁。 221211212212, ,/,/ UnVnX YU nFn nFFF n nV nnn設(shè)設(shè)且且獨(dú)獨(dú)立立， 則 則稱稱隨

17、隨機(jī)機(jī)變變量量服服定定義義：從從自自由由度度的的 分分布布，記記為為 其 其中中稱稱為為第第一一自自由由度度，稱稱為為第第二二自自由由度度F分布 111212221121221212 ,2,0 2210,nnnnF n nnnn nyyynnn y n分布的概率密度為：其它11221( ,),(,)FF n nFF n n性質(zhì)：則 第47頁/共72頁第四十八頁，共73頁。121212,1212, 01,;,Fn nf x n ndxFn nF n nFn nF 對(duì)于給定的稱滿足條件的點(diǎn)為分布的。的值可分位點(diǎn)查上分布表0 x12 f x21,20nn 225n 210n F分布的密度函數(shù)0 x1

18、2,Fn n( )f xF分布的分位點(diǎn)111221( ,)(,)Fn nF n n0.955,10F例如(lr)：0.05110.211.10,54.74F第48頁/共72頁第四十九頁，共73頁。z,0,1 ,01XNZP XZZ此外 設(shè)標(biāo)若滿足準(zhǔn)正態(tài)條件 分布的上則稱點(diǎn)為分位點(diǎn)。1ZZ 第49頁/共72頁第五十頁，共73頁。第七章 參數(shù)估計(jì)第50頁/共72頁第五十一頁，共73頁。 121212121;, 1,2, ,1 1,2, ,1121,212kkkvvknnvviiXF xXkE XE XvkXXXXvAXvkkAknA 設(shè)總體 的分布函數(shù)為是待估計(jì)的未知參數(shù)，假定總體 的 階原點(diǎn)矩存

19、在，則有：對(duì)于樣用樣本矩作為總體矩的估計(jì)，即本其 階樣本：矩是：令 12122 ,12kkAkkk 解此方程即得的一個(gè)矩估計(jì)量第51頁/共72頁第五十二頁，共73頁。( )0L 的( )L( )L( )L( )( )LL與l nln ( )0Lln ( )0L1.單參數(shù)(cnsh)第52頁/共72頁第五十三頁，共73頁。121122ln ( ,)0 ln ( ,)0 LL 1211221212( ,);,;,;, nLp xp xp x最大似然估計(jì)(gj)法第53頁/共72頁第五十四頁，共73頁。 ,nEliEm E若那么若則稱為估計(jì)量 的偏差漸近稱 是 的無偏估計(jì)量 12,nXXEX滿足 則

20、稱定義是 的一若參數(shù) 的估計(jì)個(gè)無偏量：估計(jì)量。第54頁/共72頁第五十五頁，共73頁。 121212 , DD設(shè)是 的兩個(gè)無偏估計(jì)， 如果對(duì)一切成立，且至少對(duì)某一個(gè)上式中的不等式成立， 定 則稱 比義：有效。第55頁/共72頁第五十六頁，共73頁。1,0 0, nnXXnlim P設(shè)為參數(shù) 的估計(jì)量， 若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)， 依概率收斂于 ， 定 即有：義成立 則稱 為 的相合估計(jì)量：，或一致估計(jì)量第56頁/共72頁第五十七頁，共73頁。2, N單個(gè)正態(tài)總體的情形2212, 1nXXXNXS 來自和分別為樣本均值和方差 置信度為1. 均值 的置信區(qū)間 21 已知時(shí), 0,1XXNn是 的無偏估計(jì)

21、由 21XPZn 有221P XZXZnn 即22,XZXZnn置信區(qū)間為： 2u1222u第57頁/共72頁第五十八頁，共73頁。 22 未知時(shí)1431Xt nSn由第頁定理三有： 22111XPtntnSn 有22111SSP XtnXtnnn 即221 ,1SSXtnXtnnn置信區(qū)間為： 2t1222t第58頁/共72頁第五十九頁，共73頁。22. 方差的置信區(qū)間設(shè) 未知22214311nSn由第頁定理二有： 22212221111nSPnn 有2222221211111nSnSPnn 即222221211,11nSnSnn置信區(qū)間為： 1-?思考題:均方差 的置信度為的置信區(qū)間是什么

22、22212122第59頁/共72頁第六十頁，共73頁。第60頁/共72頁第六十一頁，共73頁。第八章 假設(shè)檢驗(yàn)第61頁/共72頁第六十二頁，共73頁。問題(wnt)：設(shè)X ，已知，未知。給定 ，問 ？)(2，N00假設(shè)(jish). 0100：，：HH 稱為(chn wi)原假設(shè)(零假設(shè))， 稱為(chn wi)備擇假設(shè)(對(duì)立假設(shè))。0H1H通過某種方式確定常數(shù)k。若 ，則接受 ，若 ，則拒絕 (接受 )。0 xk0H0 xk0H1H犯兩類錯(cuò)誤的概率： 若 為真而被拒絕，我們稱為犯第一類錯(cuò)誤(又稱犯“棄真”錯(cuò)誤，其概率記為。一般， 0.1. 若 為假而被接受，我們稱為犯第二類錯(cuò)誤(又稱犯“取偽

23、”錯(cuò)誤，其概率記為。0H0H第62頁/共72頁第六十三頁，共73頁。記).()(0000HPHHP拒絕為真拒絕取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0/XZn我們稱拒絕(jju) 的區(qū)域W為拒絕(jju)域，將接受 的區(qū)域稱為接受域。0H0H 的拒絕域?yàn)閃=Z ， 的接受(jishu)域?yàn)?=Z 。0H0H2/z2/zW0(|)|2/kkP XkPZP Znn2/kP Zn即第63頁/共72頁第六十四頁，共73頁。 0 0 0 0 0u檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法 ( 2 2 已知已知) )原假設(shè)原假設(shè) H0備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布為真時(shí)的分布拒絕域拒絕域nXu/0) 1,0( N/2uu/2uu /2uu第64頁/共72頁第六十五頁，共73頁。 0 0 0 02tt 0tttt 0 (1)XtSnt n t 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法 ( 2 2 未知未知) )原假設(shè)原假設(shè) H0備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布為真時(shí)的分布拒絕域拒絕域第65頁/共72頁第六十六頁，共73頁。 2 02 2 0222(1)