1、滲流有限元分析理論滲流有限元分析理論 （1 1）設(shè)想將連續(xù)系統(tǒng)分割為數(shù)量有限的單元，單元之間通過指定）設(shè)想將連續(xù)系統(tǒng)分割為數(shù)量有限的單元，單元之間通過指定點(diǎn)即節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，用這樣形成的單元集合體來替代原來的連續(xù)系點(diǎn)即節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，用這樣形成的單元集合體來替代原來的連續(xù)系統(tǒng)。作用于系統(tǒng)上的外荷載用節(jié)點(diǎn)上的等效荷載來代替。統(tǒng)。作用于系統(tǒng)上的外荷載用節(jié)點(diǎn)上的等效荷載來代替。 （2 2）按一定的規(guī)則，對(duì)每個(gè)單元建立起求解未知量與節(jié)點(diǎn)相互作）按一定的規(guī)則，對(duì)每個(gè)單元建立起求解未知量與節(jié)點(diǎn)相互作用力之間的關(guān)系。用力之間的關(guān)系。 （3 3）按一定的條件集合全部單元，邊界條件引進(jìn)后就形成了一組）按一定的條件集

2、合全部單元，邊界條件引進(jìn)后就形成了一組以節(jié)點(diǎn)變量為未知量的代數(shù)方程組，進(jìn)行求解就可得到某個(gè)節(jié)點(diǎn)處以節(jié)點(diǎn)變量為未知量的代數(shù)方程組，進(jìn)行求解就可得到某個(gè)節(jié)點(diǎn)處的待求變量。因此，有限元法的實(shí)質(zhì)是將擁有無限個(gè)自由度的連續(xù)的待求變量。因此，有限元法的實(shí)質(zhì)是將擁有無限個(gè)自由度的連續(xù)系統(tǒng)，抽象為僅有有限個(gè)自由度的單元集合體，使問題更適于數(shù)值系統(tǒng)，抽象為僅有有限個(gè)自由度的單元集合體，使問題更適于數(shù)值求解。求解。2.1.2 2.1.2 有限元法的基礎(chǔ)理論有限元法的基礎(chǔ)理論 由上述可知，有限單元法的重要思想是將一個(gè)連續(xù)域離散化為有由上述可知，有限單元法的重要思想是將一個(gè)連續(xù)域離散化為有限個(gè)單元，這些單元通過有限的

3、節(jié)點(diǎn)相互連接形成一個(gè)等效的集合體。限個(gè)單元，這些單元通過有限的節(jié)點(diǎn)相互連接形成一個(gè)等效的集合體。這些單元之間的連接方式、組合方法均可以不相同，單元自身的形狀又這些單元之間的連接方式、組合方法均可以不相同，單元自身的形狀又是多種多樣，因此可以對(duì)幾何形狀比較復(fù)雜的模型進(jìn)行數(shù)值模擬求解。是多種多樣，因此可以對(duì)幾何形狀比較復(fù)雜的模型進(jìn)行數(shù)值模擬求解。該法是通過將全部求解域內(nèi)將要求解的未知區(qū)域函數(shù)分離到所有單元內(nèi)該法是通過將全部求解域內(nèi)將要求解的未知區(qū)域函數(shù)分離到所有單元內(nèi)假定的逼近相似函數(shù)分區(qū)域表示來實(shí)現(xiàn)的。與此同時(shí)，全部單元里的逼假定的逼近相似函數(shù)分區(qū)域表示來實(shí)現(xiàn)的。與此同時(shí)，全部單元里的逼近相似函

4、數(shù)由未知區(qū)域里的函數(shù)在單元的各個(gè)結(jié)點(diǎn)的數(shù)值以及插值函數(shù)近相似函數(shù)由未知區(qū)域里的函數(shù)在單元的各個(gè)結(jié)點(diǎn)的數(shù)值以及插值函數(shù)表示。隨著單元個(gè)數(shù)的增加單元尺寸不斷縮小、其自由度不斷增加，表示。隨著單元個(gè)數(shù)的增加單元尺寸不斷縮小、其自由度不斷增加，插值函數(shù)更加精確。所得到的解與真實(shí)值的差距將會(huì)不斷縮小，假如該插值函數(shù)更加精確。所得到的解與真實(shí)值的差距將會(huì)不斷縮小，假如該單元的收斂條件得以滿足，那么所求解最終將趨于我們所希望得到的精單元的收斂條件得以滿足，那么所求解最終將趨于我們所希望得到的精確解。確解。 有限元法對(duì)于單元應(yīng)力應(yīng)變的求解只要單元位移確定，就可有限元法對(duì)于單元應(yīng)力應(yīng)變的求解只要單元位移確定，就

5、可以利用幾何方程和物理方程就可以求單元的應(yīng)力和應(yīng)變。下面仍以以利用幾何方程和物理方程就可以求單元的應(yīng)力和應(yīng)變。下面仍以平面四節(jié)點(diǎn)矩形單元為例推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃?。根?jù)彈塑性力學(xué)中平平面四節(jié)點(diǎn)矩形單元為例推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃?。根?jù)彈塑性力學(xué)中平面問題幾何方程能得到單元里任何一點(diǎn)的應(yīng)變表示式如下：面問題幾何方程能得到單元里任何一點(diǎn)的應(yīng)變表示式如下：式中式中B稱為應(yīng)變矩陣，它的分塊子矩陣可表示成：稱為應(yīng)變矩陣，它的分塊子矩陣可表示成： xeeyijlmzBBBBB （2.1）000000iiiiiiiNxxNNByyNNNxyxy（2.2）代入插值函數(shù)后，上式可寫為代入插值函數(shù)后，上式可寫為根據(jù)彈性力學(xué)平面

6、問題物理方程，單元里每一點(diǎn)的應(yīng)力能表示為：根據(jù)彈性力學(xué)平面問題物理方程，單元里每一點(diǎn)的應(yīng)力能表示為：0000(1)010(1)4(1)(1)iiiiibBaabab（2.3）00,ii式中式中 xeeyxyDDBS （2.4）式中式中s表示應(yīng)力矩陣，表示應(yīng)力矩陣，D為彈性矩阼其表達(dá)式為為彈性矩阼其表達(dá)式為E是楊氏模量，是楊氏模量，是泊松比。是泊松比。應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣S的分塊子矩陣可用下式表示：的分塊子矩陣可用下式表示：2101011012ED （2.5）211122iiiiiiiNNNNESNNxyxyyx（2.6）將其代入無量綱形函數(shù)后，上式變?yōu)閷⑵浯霟o量綱形函數(shù)后，上式變?yōu)閷?duì)于平面應(yīng)變問

7、題，只需將上式中的對(duì)于平面應(yīng)變問題，只需將上式中的E和和分別用分別用代替即可代替即可 0000200111141111122iiiiiiibaESbaabaa（2.7）2,11E22 滲流分滲流分析理論析理論 達(dá)西（達(dá)西（Darcy） 于于1852年通過實(shí)年通過實(shí)驗(yàn)研究，總結(jié)出驗(yàn)研究，總結(jié)出了滲流水頭損失了滲流水頭損失與滲流速度之間與滲流速度之間的關(guān)系，后人稱的關(guān)系，后人稱之為達(dá)西定律。之為達(dá)西定律。 設(shè)一均勻滲流裝置，水經(jīng)過設(shè)一均勻滲流裝置，水經(jīng)過達(dá)西通過實(shí)驗(yàn)得出，圓筒內(nèi)達(dá)西通過實(shí)驗(yàn)得出，圓筒內(nèi)的滲流量的滲流量 Q Q 與滲流模型過水?dāng)嗝媾c滲流模型過水?dāng)嗝婷娣e面積 A A 及水力坡度及水力坡

8、度 J J 成正比，與成正比，與土壤的透水性能有關(guān)，即土壤的透水性能有關(guān)，即lh1h2Q，A長(zhǎng)為長(zhǎng)為 L L的砂濾層后，測(cè)壓管水頭的砂濾層后，測(cè)壓管水頭由由 h h1 1 減小為減小為 h h2 2 ，于是其間的水，于是其間的水力坡度力坡度 J J 可表示為可表示為12lhhhJLL式中：式中：V斷面斷面A上的平均流速，或稱達(dá)西流速；上的平均流速，或稱達(dá)西流速； J滲透坡降，即沿流程滲透坡降，即沿流程S的水頭損失率；的水頭損失率； k滲透系數(shù)；滲透系數(shù)； h測(cè)壓管水頭，它是壓力水頭與位置高度之和。測(cè)壓管水頭，它是壓力水頭與位置高度之和。12hhQAkLQdhvkkJAdS (2.8)(2.9)

9、 它指出了滲透速度它指出了滲透速度v與水力梯度與水力梯度J，或滲透坡降的線性關(guān)系。故又稱為線，或滲透坡降的線性關(guān)系。故又稱為線性滲透定律。從公式中可以看到達(dá)西滲透定律是把流速性滲透定律。從公式中可以看到達(dá)西滲透定律是把流速v與滲透坡降與滲透坡降J的關(guān)系的關(guān)系作為正比關(guān)系來考慮的，通過許多學(xué)者的研究證明這一正比關(guān)系在一定的條作為正比關(guān)系來考慮的，通過許多學(xué)者的研究證明這一正比關(guān)系在一定的條件下才能成立，太沙基通過大量試驗(yàn)證明從砂土到黏土達(dá)西滲透定律在很大件下才能成立，太沙基通過大量試驗(yàn)證明從砂土到黏土達(dá)西滲透定律在很大的范圍內(nèi)都能適用，其適用范圍是由雷諾數(shù)（的范圍內(nèi)都能適用，其適用范圍是由雷諾數(shù)

10、（Re）來決定的，也就是說達(dá)西）來決定的，也就是說達(dá)西定律僅適用于線性阻力關(guān)系的層流動(dòng)力。定律僅適用于線性阻力關(guān)系的層流動(dòng)力。 在在水利水電建設(shè)水利水電建設(shè)工程工程中，除了一些水工建筑物諸如堆石壩、堆石排水體中，除了一些水工建筑物諸如堆石壩、堆石排水體這樣的孔隙相當(dāng)大的介質(zhì)中的滲流被認(rèn)為是紊流之外。相當(dāng)一部分滲流都包這樣的孔隙相當(dāng)大的介質(zhì)中的滲流被認(rèn)為是紊流之外。相當(dāng)一部分滲流都包括于層流這個(gè)范圍之內(nèi)，均可運(yùn)用達(dá)西定律進(jìn)行滲流分析。根據(jù)達(dá)西定律所括于層流這個(gè)范圍之內(nèi)，均可運(yùn)用達(dá)西定律進(jìn)行滲流分析。根據(jù)達(dá)西定律所建立起來的滲流分析的數(shù)值分析模型，與很多工程實(shí)際問題還存在一些差別。建立起來的滲流分

11、析的數(shù)值分析模型，與很多工程實(shí)際問題還存在一些差別。故而應(yīng)用達(dá)西滲流理論分析解決實(shí)際滲流問題時(shí)，應(yīng)多考慮工程實(shí)際情況。故而應(yīng)用達(dá)西滲流理論分析解決實(shí)際滲流問題時(shí)，應(yīng)多考慮工程實(shí)際情況。加以靈活運(yùn)用，加以靈活運(yùn)用，2.2.2 滲流連續(xù)性方程滲流連續(xù)性方程 滲流理論基礎(chǔ)之一是水力學(xué)中的連續(xù)性方程，該方程是自然界中質(zhì)滲流理論基礎(chǔ)之一是水力學(xué)中的連續(xù)性方程，該方程是自然界中質(zhì)量守恒定律應(yīng)用于滲流問題的一個(gè)具體表現(xiàn)，它表明，運(yùn)行于滲透介質(zhì)量守恒定律應(yīng)用于滲流問題的一個(gè)具體表現(xiàn)，它表明，運(yùn)行于滲透介質(zhì)中流體，在其運(yùn)行變化的整個(gè)過程中，其質(zhì)量始終保持恒定不變，即不中流體，在其運(yùn)行變化的整個(gè)過程中，其質(zhì)量始終

12、保持恒定不變，即不會(huì)自動(dòng)增加也不會(huì)自動(dòng)減少。會(huì)自動(dòng)增加也不會(huì)自動(dòng)減少。 我們假設(shè)滲透進(jìn)介質(zhì)中流動(dòng)的水是不能被壓縮的均質(zhì)液體，而且僅我們假設(shè)滲透進(jìn)介質(zhì)中流動(dòng)的水是不能被壓縮的均質(zhì)液體，而且僅是涉及豎直方向這一單個(gè)方向的壓縮，那么由質(zhì)是涉及豎直方向這一單個(gè)方向的壓縮，那么由質(zhì)量量守恒定律，通過對(duì)公守恒定律，通過對(duì)公式加以變換就能得到如下可壓縮介質(zhì)的滲流方程（即連續(xù)性方程）：式加以變換就能得到如下可壓縮介質(zhì)的滲流方程（即連續(xù)性方程）：yxzvvvhgnxyzt（2.10） 式中，式中，為多孔介質(zhì)壓縮系數(shù)；為多孔介質(zhì)壓縮系數(shù)； 為水的壓縮系數(shù)；為水的壓縮系數(shù)； 為滲透水的密度；為滲透水的密度； g(+

13、n) 為單位貯水量或貯存率為單位貯水量或貯存率; vx，vy，vz 分別為滲流沿坐標(biāo)軸方向的分速度。分別為滲流沿坐標(biāo)軸方向的分速度。 假設(shè)水體和土體均為不可壓縮的，則上述公式可轉(zhuǎn)化為；假設(shè)水體和土體均為不可壓縮的，則上述公式可轉(zhuǎn)化為； 該公式是不可壓縮液體在剛體介質(zhì)中流動(dòng)的滲流方程，設(shè)方程式是連該公式是不可壓縮液體在剛體介質(zhì)中流動(dòng)的滲流方程，設(shè)方程式是連續(xù)性的，說明在流體中任何一點(diǎn)的單位流量（即流速）的純變化率是零。續(xù)性的，說明在流體中任何一點(diǎn)的單位流量（即流速）的純變化率是零。0yxzvvvxyz(2.11)2.2. 3滲流微分方程滲流微分方程將達(dá)西滲透定律和連續(xù)條件結(jié)合起來將達(dá)西滲透定律和

14、連續(xù)條件結(jié)合起來 式中：式中：vx，vy，vz分別為分別為x，y，z 三個(gè)滲透主軸方向上的滲流流速；三個(gè)滲透主軸方向上的滲流流速； kx，ky，kz分別為分別為x，y，z方向上的滲透系數(shù)。代入式（方向上的滲透系數(shù)。代入式（2.10）中，得）中，得式中，式中，h為總水頭：為總水頭：kx，ky，kz分別為分別為x，y，z方向上的滲透系數(shù)；方向上的滲透系數(shù)；x=g(+n) 為單位貯水量或貯存率；為單位貯水量或貯存率；t為時(shí)間。為時(shí)間。,xxyyxzHHHvkvkvkxyz (2.12)xyzxhhhhhkkkgnxxyyzztt(2.13)當(dāng)土和水為不可壓縮時(shí)，當(dāng)土和水為不可壓縮時(shí)，x=0，上式，上

15、式(213)變?yōu)樽優(yōu)榧捶€(wěn)定滲流情況下的基本微分方程式：即穩(wěn)定滲流情況下的基本微分方程式：在各個(gè)方向上滲透系數(shù)為常數(shù)時(shí)，上式為在各個(gè)方向上滲透系數(shù)為常數(shù)時(shí)，上式為0 xyzhhhkkkxxyyzz(2.14)2222220 xyzhhhkkkxyz(2.15)如果每一方向有相同性質(zhì)，即如果每一方向有相同性質(zhì)，即kx=ky=kz時(shí)，可轉(zhuǎn)換成為常見的拉普拉斯方程時(shí)，可轉(zhuǎn)換成為常見的拉普拉斯方程：由以上推理可直接得出二維穩(wěn)定滲流的微分方程式由以上推理可直接得出二維穩(wěn)定滲流的微分方程式式中：式中：h為總水頭；為總水頭； kx，ky分別為分別為x和和y方向的滲透系數(shù)。方向的滲透系數(shù)。2222220hhhx

16、yz(2.16)0 xyhhkkxxyy(2.17)2.2.4定解條件定解條件 流體的運(yùn)動(dòng)總是發(fā)生在一定的流場(chǎng)內(nèi)，要確定流場(chǎng)的分布流體的運(yùn)動(dòng)總是發(fā)生在一定的流場(chǎng)內(nèi)，要確定流場(chǎng)的分布僅滲流基本微分方程還是不夠的，同時(shí)還必須依靠邊界條件與僅滲流基本微分方程還是不夠的，同時(shí)還必須依靠邊界條件與初始條件來確定。邊界條件是指順著流場(chǎng)邊界發(fā)揮主導(dǎo)作用的初始條件來確定。邊界條件是指順著流場(chǎng)邊界發(fā)揮主導(dǎo)作用的條件；而初始條件指的是研究分析開始時(shí)流場(chǎng)內(nèi)部整體流場(chǎng)狀條件；而初始條件指的是研究分析開始時(shí)流場(chǎng)內(nèi)部整體流場(chǎng)狀態(tài)或?qū)α鲃?dòng)起決定作用的條件（譬如水頭所處區(qū)域等）。通常態(tài)或?qū)α鲃?dòng)起決定作用的條件（譬如水頭所處區(qū)

17、域等）。通常所說的定解條件就是指邊界條件及初始條件這兩個(gè)的合稱。當(dāng)所說的定解條件就是指邊界條件及初始條件這兩個(gè)的合稱。當(dāng)研究穩(wěn)定滲流場(chǎng)問題時(shí)，無需考慮初值問題；而當(dāng)研究非穩(wěn)定研究穩(wěn)定滲流場(chǎng)問題時(shí)，無需考慮初值問題；而當(dāng)研究非穩(wěn)定滲流場(chǎng)問題時(shí)，需要考慮邊界條件，此條件有可能是變化的。滲流場(chǎng)問題時(shí)，需要考慮邊界條件，此條件有可能是變化的。 因?yàn)榉€(wěn)定滲流場(chǎng)問題不需考慮初值條件，要求解，就必須采用因?yàn)榉€(wěn)定滲流場(chǎng)問題不需考慮初值條件，要求解，就必須采用基本微分方程的定解條件之一即邊界條件才可解決，我們稱這樣的基本微分方程的定解條件之一即邊界條件才可解決，我們稱這樣的定解問題為邊界問題。假設(shè)知道了所研究區(qū)

18、域邊界上的水頭值，那定解問題為邊界問題。假設(shè)知道了所研究區(qū)域邊界上的水頭值，那么此邊界條件即可以下式表示：么此邊界條件即可以下式表示：式中，式中，1為滲流區(qū)域邊界：為滲流區(qū)域邊界： f(x，y，z)為已知函數(shù)；為已知函數(shù)；x、y、z處于邊界處于邊界1上。稱此種邊界條件為第一類邊界條件，上。稱此種邊界條件為第一類邊界條件，即水頭邊界條件。即水頭邊界條件。1, , ,h x y zf x y z(2.18) 假設(shè)不能確定研究的滲流邊界上的水頭，然而卻知道邊界上單位面積假設(shè)不能確定研究的滲流邊界上的水頭，然而卻知道邊界上單位面積流出或者流入的流量，那么這樣的邊界條件問題可用下式表示為：流出或者流入的

19、流量，那么這樣的邊界條件問題可用下式表示為： 式中，式中， 2為已知流出或流入流量的邊界段；為已知流出或流入流量的邊界段； n為為2的外法線方向。的外法線方向。 當(dāng)邊界不透水時(shí)，當(dāng)邊界不透水時(shí)，q=0，上式可轉(zhuǎn)變?yōu)椋鲜娇赊D(zhuǎn)變?yōu)?稱此種邊界條件為第二類邊界條件，即流量邊界條件。稱此種邊界條件為第二類邊界條件，即流量邊界條件。2, ,hkq x y zn(2.19)0hn 當(dāng)研究非穩(wěn)定的滲流問題時(shí)，則要將邊界條件及初始條件全當(dāng)研究非穩(wěn)定的滲流問題時(shí)，則要將邊界條件及初始條件全部加以考慮。部加以考慮。水頭邊界：水頭邊界：流量邊界：流量邊界： 不透水邊界我們認(rèn)為是流量邊界條件的特例，即不透水邊界我們

20、認(rèn)為是流量邊界條件的特例，即1, , , , ,h x y z tf x y z t0t (2.20)2, , ,hkq x y z tn0t (2.21)0hn此外，還有以下定解條件此外，還有以下定解條件：混合邊界：混合邊界：初始條件：初始條件：其中其中h0是初始水頭。是初始水頭。hht00, , , ,th x y z thx y z(2.24)2.2.5 滲流分析的有限元法原理滲流分析的有限元法原理 滲流分析的有限元法是通過利用變分原理將滲流基本微滲流分析的有限元法是通過利用變分原理將滲流基本微分方程和它的邊界條件變換成為泛函數(shù)的極值問題加以解決分方程和它的邊界條件變換成為泛函數(shù)的極值問

21、題加以解決的，它是一種分塊近似里茲的，它是一種分塊近似里茲(Ritz)法的應(yīng)用。首先將所研究區(qū)法的應(yīng)用。首先將所研究區(qū)域以適當(dāng)?shù)姆椒ǚ指畛捎邢迋€(gè)適合求解的小區(qū)域，即單元，域以適當(dāng)?shù)姆椒ǚ指畛捎邢迋€(gè)適合求解的小區(qū)域，即單元，單元的角點(diǎn)即為結(jié)點(diǎn)，單元里建立單元局部方程的方法是借單元的角點(diǎn)即為結(jié)點(diǎn)，單元里建立單元局部方程的方法是借助于連續(xù)分片的插值函數(shù)，之后通過結(jié)點(diǎn)之問的關(guān)系裝配全助于連續(xù)分片的插值函數(shù)，之后通過結(jié)點(diǎn)之問的關(guān)系裝配全部單元成為一個(gè)整體，利用計(jì)算機(jī)，再通過線性代數(shù)方程組部單元成為一個(gè)整體，利用計(jì)算機(jī)，再通過線性代數(shù)方程組的形式進(jìn)行求解。有限元法求解滲流場(chǎng)的水頭函數(shù)的形式進(jìn)行求解。有限元

22、法求解滲流場(chǎng)的水頭函數(shù)h有其自有其自身的的方程身的的方程。其一般形式可表示如下其一般形式可表示如下： 式中，式中，K 為滲透矩陣；為滲透矩陣； h一為列向量；一為列向量； f為自由項(xiàng)列向量。為自由項(xiàng)列向量。 故此求解原有的滲流偏微分方程就等價(jià)于求解現(xiàn)在的代數(shù)故此求解原有的滲流偏微分方程就等價(jià)于求解現(xiàn)在的代數(shù)方程組。影響滲流有限元法求解滲流場(chǎng)精度的因素包括劃分好方程組。影響滲流有限元法求解滲流場(chǎng)精度的因素包括劃分好的計(jì)算區(qū)域?qū)υ瓉韰^(qū)域模擬的精度，分片插值對(duì)實(shí)際工程滲流的計(jì)算區(qū)域?qū)υ瓉韰^(qū)域模擬的精度，分片插值對(duì)實(shí)際工程滲流場(chǎng)模擬的精度和代數(shù)方程組自身求解的精度。場(chǎng)模擬的精度和代數(shù)方程組自身求解的精

23、度。 Khf(2.25)2.2.6 有限元法計(jì)算滲流的基本公式有限元法計(jì)算滲流的基本公式 由以上對(duì)滲流微分方程的分析，依據(jù)變分原理，將其和下面取由以上對(duì)滲流微分方程的分析，依據(jù)變分原理，將其和下面取極小值的泛函進(jìn)行等價(jià)。極小值的泛函進(jìn)行等價(jià)。 式中右端的最后一項(xiàng)為第二類邊界積分，經(jīng)過取泛函極小值后，式中右端的最后一項(xiàng)為第二類邊界積分，經(jīng)過取泛函極小值后，在計(jì)算中便自動(dòng)轉(zhuǎn)化為第二類邊界條件；而第一類邊界條件，則是在計(jì)算中便自動(dòng)轉(zhuǎn)化為第二類邊界條件；而第一類邊界條件，則是在計(jì)算時(shí)直接賦給已知的邊界水頭值。將滲流場(chǎng)劃分成有限個(gè)單元在計(jì)算時(shí)直接賦給已知的邊界水頭值。將滲流場(chǎng)劃分成有限個(gè)單元后，便分解為

24、各個(gè)單元的和，則泛函式（后，便分解為各個(gè)單元的和，則泛函式（2.26）可以相對(duì)的分解為）可以相對(duì)的分解為某些單元泛函的和，如下式：某些單元泛函的和，如下式： 222212xyzshhhhI hkkkS hdxdydzqhdxyzt（2.26） 22221112mkxyzsejehhhhI hkkkS hdxdydzqhdxyzt（2.27） 以下順次對(duì)式（以下順次對(duì)式（2.28）中的各項(xiàng)取其導(dǎo)數(shù)，再求出這些項(xiàng)的最小值。）中的各項(xiàng)取其導(dǎo)數(shù)，再求出這些項(xiàng)的最小值。第一項(xiàng)第一項(xiàng)為為上式對(duì)每個(gè)單元中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的水頭上式對(duì)每個(gè)單元中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的水頭h1,h2,hm求導(dǎo)數(shù)，得：求導(dǎo)數(shù)，得： 222212312

25、eeeexyzsehhhhIhkkkS hdxdydzqhdIIIxyzt（2.28）222112exyzehhhIkkkdxdydzxyz（2.29）將單元將單元e內(nèi)任一點(diǎn)表達(dá)式內(nèi)任一點(diǎn)表達(dá)式代入式（代入式（2.30）得：）得：22212221212exyziiexyziiieIhhhkkkdxdydzhhxyzhhhkkkdxdydzhxhyhz（2.30）1MiiihN h11111122221,2,.,eMMMkikikixkykzkkkkieMkikikikxyzkeNNNNNNIkhkhkhdxdydzhxxyyzzNNNNNNhkkkdxdydz iMxxyyzz （2.31）令

26、令則：則： ,jjjiiiijxyzeNNNNNNKkkkdxdydzxxyyzz 111112111212 2222121eMeeeMMMM MMeMIhKKKhIKKKhKhhKKKhIh (2.32)2esehIS hdxdydzt(2.33)求出單元求出單元e的的m個(gè)節(jié)點(diǎn)水頭的導(dǎo)數(shù)，得：個(gè)節(jié)點(diǎn)水頭的導(dǎo)數(shù)，得：令令，則，則:21111eMMkskkkkkieMkskikeMkskikehISN hNdxdydzhthSNN dxdydzthSN N dxdydzt（2.34）ijsijeSSN N dxdydz ，其中，其中S是給水度，則：是給水度，則： 211112112212 222

27、2122eMeeeMMMM MMeMIhSSShISSShShhSSShIh (2.35)hqSt23323111MMMek kkk kkkkhhIqhdShdSN hNdqN hdtt（2.36） 232333111,eMkiikkiiiiMMIhqN dSNNdhthtqN dSN N dSN N dht（2.37）得：得： 313eeeeeMIhhPFtIh 2321;eeijijijMqN dPPPSN N dFqNd（2.38）（2.39）式中式中這樣，對(duì)任意單元這樣，對(duì)任意單元e，有：，有： 對(duì)所有單元的泛函求微分后，使其等于零，就得到泛對(duì)所有單元的泛函求微分后，使其等于零，就得到泛函對(duì)節(jié)點(diǎn)水頭進(jìn)行微分的方程組即：函對(duì)節(jié)點(diǎn)水頭進(jìn)行微分的方程組即：式中，式中，n為節(jié)點(diǎn)總數(shù)。為節(jié)點(diǎn)總數(shù)。對(duì)上面匯總的方程組寫成矩陣形式，為：對(duì)上面匯總的方程組寫成矩陣形式，為： eeeeeeeeIhhKhSPFhtt（2.40） 0,1,2,.,neeiiIh