1、2.1 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系觀察長(zhǎng)方體，你能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)、棱所在的直線，以及側(cè)面、地面之間的關(guān)系嗎？長(zhǎng)方體由上下、前后、左右六個(gè)面圍成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看作是某個(gè)面內(nèi)的直線等等.空間中的點(diǎn)、直線、平面之間有什么位置關(guān)系，是我們接下來要討論的問題.1.平面的基本知識(shí)(1)平面與我們學(xué)過的點(diǎn)、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念，即為不加定義的原始概念.(2)平面的基本特征是無限延展性.平面是理想的，絕對(duì)的平（平面是處處平直的面）；平面沒有大小、沒有厚薄和寬窄，是不可度量的.光滑的桌面、平靜的

2、湖面等都是我們熟悉的平面形象，數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果.思考:能不能說一個(gè)平面長(zhǎng)4米,寬2米？為什么?不能.畫法立體幾何中通常用平行四邊形來表示平面， 有時(shí)也用圓或三角形等圖形來表示平面.畫平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的銳角通常畫成45，且橫邊長(zhǎng)等于鄰邊長(zhǎng)的2倍.水平放置垂直放置為了增強(qiáng)立體感，如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，常把它遮擋的部分用虛線畫出來.(3)平面的畫法及表示1.平面的基本知識(shí)畫出兩個(gè)豎直放置的相交平面.練習(xí)表示方法：ABCD把希臘字母 等寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如平面 ，平面 .用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示，如平面ABCD

3、.用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示，如平面AC或者平面BD.(3)平面的畫法及表示1.平面的基本知識(shí)(1)點(diǎn)、線、面的表示點(diǎn)(元素):大寫字母A、B、C、D直線(點(diǎn)的集合):小寫英文字母 或者兩個(gè)大寫英文字母平面(點(diǎn)的集合):用希臘字母表示 ； 用平行四邊形頂點(diǎn)字母或者其相對(duì)兩字母表示.(2)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系的表示用集合中的關(guān)系符號(hào)元素與集合關(guān)系：集合與集合關(guān)系：2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系A(chǔ)Ba點(diǎn)A在直線a上，記作點(diǎn)B不在直線a上，記作點(diǎn)A在平面上，記作點(diǎn)B不在平面上，記作AB(1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：(2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系(3

4、)直線與平面的位置關(guān)系：按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分三類直線a與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，稱直線a與平面相交.記為：直線a與平面沒有公共點(diǎn)，稱直線a與平面平行.記為：aAaa直線a與平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，稱直線a在平面內(nèi)，或稱平面通過直線a.記為：公理1注1：情況和統(tǒng)稱為直線a在平面外，記作2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系(4)平面與平面的位置關(guān)系：按有否公共點(diǎn)分兩類a當(dāng)兩個(gè)不同平面與平面有公共點(diǎn)時(shí)，它們的公共點(diǎn)組成直線a，稱平面與平面相交.記作：當(dāng)平面與平面沒有公共點(diǎn)時(shí)，稱平面與平面平行.記作：公理3注2：當(dāng)平面上的所有點(diǎn)都在平面上時(shí)，稱平面與平面重合.公理2（當(dāng)兩個(gè)平面有不共線的三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合)2.

5、點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系小結(jié)：用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：BaaAbaAAB練習(xí)a平面與平面重合桌面AB觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？直尺落在桌面上（直線AB在平面內(nèi)）3.平面的基本性質(zhì)圖形語言：AB(1)公理1：若一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)， 則這條直線在此平面內(nèi).符號(hào)語言：該公理反映了直線與平面的位置關(guān)系：可用于判定直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)，又可用直線檢驗(yàn)平面.3.平面的基本性質(zhì)思考：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)呢？不會(huì)！因?yàn)槠矫媸菬o限延展的.因此，兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，必然有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，并且這些公共點(diǎn)在一條直線上.3.平面的基本性質(zhì)P(2)公理3：若兩個(gè)不重合

6、的平面有一個(gè)公共點(diǎn)， 則它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.圖形語言：符號(hào)語言：該公理反映了平面與平面的位置關(guān)系：i)該公理是用以判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)：只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可判定這兩個(gè)平面必相交于過該點(diǎn)的一條直線.(找兩個(gè)面的交線只要找出兩個(gè)面的兩個(gè)公共點(diǎn)即可)ii)該公理可用以判定點(diǎn)在直線上：點(diǎn)是某兩平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，則該點(diǎn)在交線上.3.平面的基本性質(zhì)CBA觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？自行車需要一個(gè)支腳架就可以保持平衡.3.平面的基本性質(zhì)ABC(3)公理2： 經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.圖形語言：符號(hào)語言：定義的說明：過不在一條直線上的四點(diǎn)，

7、不一定有平面.故要充分重視“不在一條直線上的三點(diǎn)”這一條件；“有且只有一個(gè)”強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩方面，不能用“只有一個(gè)”替代；確定一個(gè)平面的“確定”是“有且只有”的同義詞.3.平面的基本性質(zhì)推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.證明：存在性.因?yàn)锳a，在a上任取兩點(diǎn)B，C.所以過不共線的三點(diǎn)A，B，C有一個(gè)平面.（公理2）因?yàn)锽，C，故經(jīng)過點(diǎn)A和直線a有一個(gè)平面.ABCa因?yàn)锽，C在a上，所以過直線a和點(diǎn)A的平面一定經(jīng)過點(diǎn)A，B，C.由公理2，經(jīng)過不共線三點(diǎn)A，B，C的平面只有一個(gè)，所以過直線a和點(diǎn)A的平面只有一個(gè).唯一性.所以a .（公理1）已知點(diǎn)A a，求證過點(diǎn)A和直

8、線a可以確定一個(gè)平面.3.平面的基本性質(zhì)推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.baab推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.ABCa注3：公理2及其三個(gè)推論是確定平面以及判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)，是證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助平面的依據(jù).ABC公理2： 經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.練習(xí)3.平面的基本性質(zhì)abced我們知道,在同一平面內(nèi), 如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.在空間這一規(guī)律是否還成立呢?觀察 : 將一張紙如圖進(jìn)行折疊 , 則各折痕及邊 a, b, c, d, e, 之間

9、有何關(guān)系？ab c d e 3.平面的基本性質(zhì)符號(hào)表示:caabcc(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.a平行具有傳遞性；注4：該公理是判斷空間兩條直線平行的方法之一.即要證明兩條直線平行，一般利用第三條直線作為聯(lián)系兩直線的中間環(huán)節(jié).3.平面的基本性質(zhì)例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線AB與C1D1 ，AD1與BC1是什么位置關(guān)系？為什么？解：C1ABCDA1B1D11）ABA1B1， C1D1 A1B1， AB C1D1 2）AB C1D1 ，且AB = C1D1 ABC1D1為平行四邊形故AD1 BC1 練習(xí)：上例中，AA1與CC1，AC與A1C1的位置是什么關(guān)系

10、？例2 已知ABCD是四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)平面內(nèi)的空間四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE，求證：EFGH是一個(gè)平行四邊形.問1:若上例加上條件AC=BD，則四邊形EFGH是一個(gè)什么圖形？“見中點(diǎn)找中點(diǎn)”構(gòu)造三角形的中位線是證明平行的常用方法 EH是ABD的中位線，EH FG且EH =FGEFGH是一個(gè)平行四邊形證明：連結(jié)BD，同理，F(xiàn)G BD且FG = BD EH BD且EH = BDAB DEFGHC菱形問2:若上例中四邊形EFGH為矩形，AC與BD垂直嗎？另注：平行線段成比例練習(xí)ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF找兩平面的

11、兩個(gè)公共點(diǎn)例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）Q即交線為QN例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）拓展4.點(diǎn)線共面問題(1)證明的主要依據(jù)：公理1；公理2及其三個(gè)推論.(2)證明的常用方法：納入平面法：先由部分元素確定一個(gè)平面，再證明其余有關(guān)的點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面、重合.例1 證明兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi).ABC已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C求證：直線AB，BC，AC共面.證明：因?yàn)锳BAC=A，所以直線AB，AC確定一個(gè)平面.（推論2）因?yàn)锽AB，CAC，所以B，C，故BC.

12、（公理1）因此直線AB，BC，CA共面.確定一個(gè)面，再證明其余線在該面內(nèi).4.點(diǎn)線共面問題證法二：因?yàn)锳 直線BC上，所以過點(diǎn)A和直線BC確定平面 .（推論1）因?yàn)锽BC，所以B . 又A， 故AB ，同理AC ，所以AB，AC，BC共面.ABC例1 證明兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi).證法三：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過A，B，C三點(diǎn)可以確定平面.（公理2）因?yàn)锳，B，所以AB .（公理1）同理BC ，AC ，所以AB，BC，CA三直線共面.4.點(diǎn)線共面問題4.點(diǎn)線共面問題P51 5 證明：一條直線與兩條平行直線都相交，則這三條直線共面.已知：a/b，ac=A，bc=

13、B.求證：直線a，b，c共面.證明：因?yàn)閍/b，所以直線a，b確定一個(gè)平面 .（推論3）因?yàn)锳a，Bb，所以A，B.又因?yàn)锳c，Bc.故AB .（公理1）因此直線a，b，c共面.4.點(diǎn)線共面問題例2 已知一條直線與三條平行直線都相交，證明這四條直線共面.已知：a/b/c，al=A，bl=B, cl=C.求證：直線l與a，b，c共面.證明：a/b，直線a，b確定一個(gè)平面.（推論3） l a=A， l b=B， A，B.又Al，Bl，故l . 同理，直線b，c確定一個(gè)平面，且l .平面與都過兩相交直線b，l.又兩相交直線確定一個(gè)唯一的平面.與重合.故l與a，b，c共面.證明兩個(gè)平面重合是證明直線在

14、平面內(nèi)問題的重要方法.4.點(diǎn)線共面問題練 已知a ，b ，ab=A，Pb，PQ/a . 求證：PQ .4.點(diǎn)線共面問題(1)證明的主要依據(jù)是公理3： 如果兩個(gè)平面相交，則這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)共線； 如果兩個(gè)平面相交，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一平面的交點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上.(2)證明的常用方法：首先找出兩個(gè)平面，再證這三個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)；選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一個(gè)點(diǎn)也在其上（一般地，這條直線看作某兩個(gè)平面的交線，往證第三個(gè)點(diǎn)也是兩個(gè)面的公共點(diǎn)）；證明三線共點(diǎn)問題：先證明兩條直線交于一個(gè)點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)（轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在線上的問題）5.證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的

15、問題例1 已知三角形ABC的三條邊AB、BC、AC與平面分別交于P、Q、R.求證：P、Q、R共線.BAQRCP證明：同理Q、R也為公共點(diǎn)，所以P、Q、R共線.要證明各點(diǎn)共線，只要證明他們是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn).5.證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的問題P53 3 空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和CB上的點(diǎn)，G，H分別是CD和AD上的點(diǎn)，且EH與FG相交于K.求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn).分析：已知EHFG=K，要證EH，BD，F(xiàn)G共點(diǎn).即要證明B，D，K三點(diǎn)共線.而BD是面ABD和面CBD的交線.所以往證K面ABD面CBD.而顯然，由EH面ABD，KEH，可得K面ABD.同理，由F

16、G面CBD，KFG，可得K面CBD.5.證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的問題小結(jié)：空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系平面的基本性質(zhì)（四個(gè)公理）證明直線平行的常用方法點(diǎn)線共面，三線共點(diǎn)，三點(diǎn)共線問題的證明作業(yè)：P51 5、6 P53 B組2、3 P78 3、4、8精講精練： P18 9、8“見中點(diǎn)找中點(diǎn)”構(gòu)造三角形的中位線是證明平行的常用方法P78 4,5EFG(2) 立體幾何中求解平面的角度邊長(zhǎng)面積等問題時(shí)，注意重新畫出圖形，結(jié)合幾何體找出邊角關(guān)系并利用平面圖形性質(zhì)求解問題.back例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）精講精練P2 4（正方體的截面形狀的研究）back正方體截面形狀小結(jié)形狀特殊情形三角形銳

17、角三角形等腰三角形等邊三角形四邊形平行四邊形長(zhǎng)方形正方形梯形不可能是直角梯形五邊形注意：該五邊形必有兩組分別平行的邊，且不可能是正五邊形六邊形注意：該六邊形必有分別平行的邊，且可以是正六邊形例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）正方體中，試畫出過其中三條棱的中點(diǎn)P，Q，R的平面截得正方體的截面形狀back正方體中，試畫出過其中三條棱的中點(diǎn)P，Q，R的平面截得正方體的截面形狀S即交線為RS交AA1于中點(diǎn)GKGHST即交線為QT交CC1于中點(diǎn)HT例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）backKGHJ例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）正方體中，試畫出過其中三條棱的中點(diǎn)P，Q，R的平面

18、截得正方體的截面形狀back*畫出四面體ABCD中過E,F,G三點(diǎn)的截面與四面體各面的交線.P即交線為GPDH 即交線為FH例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）back1.正方體的各頂點(diǎn)如圖所示，正方體的三個(gè)面所在平面 ,分別記作 ，試用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空 (6)平面A1C1CA平面D1B1BD=A1B1C1D1O1ABCDOOO1練習(xí)backABPQ2.根據(jù)下列符號(hào)表示的語句，說出有關(guān)點(diǎn)、線、面的關(guān)系，并畫出圖形back練習(xí)(1)過一點(diǎn)可以做幾條直線？?jī)牲c(diǎn)呢？(2)過平面內(nèi)一點(diǎn)可以做幾個(gè)平面？?jī)牲c(diǎn)呢？三點(diǎn)呢？思考：back(3)不共面的四點(diǎn)可以確定多少個(gè)平面?(4)共點(diǎn)的三條直線可以確定多少