1、鄖西縣河夾中學 段廉潔最短路徑問題垂線段最短。兩點之間，線段最短。LABABLC問題1 如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ ABCL兩種情形點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點ABllABCBC解決問題 1 作圖lABBC 證明lABBCClABBCC證明:問題 2 （造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）ABMNab解決問題 2 作圖 證明ABMNabAABMNabAMN證明

2、:ABMNabAMN練習 1、如圖1，臺球桌上有一個黑球，一個白球，如何用球桿去擊白球使其撞到AB邊反彈后再撞到黑球?2、如圖2，四邊形ABCD中，BAD=120，B=D=90,在BC，CD上分別找一點M、N，當AMN周長最小時，AMN+ANM的度數(shù)為多少？DBAC圖 1ABDC圖 2AANM鄖西縣河夾鎮(zhèn)初級中學段廉潔造橋選址問題的延伸探索7/11/2022造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA7/11/2022思維分析BA 1、如圖假定任選位置造橋，連接和，從A到B的路徑是

3、AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ 2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？7/11/2022 我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.7/11/2022上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請檢驗.合作與交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢?7/11/2022問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使A1等于河寬，連接A1交河岸于作橋，此時路徑最短.理由；另任作橋，連

4、接，.由平移性質(zhì)可知，.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為，而轉(zhuǎn)化為.在中，由線段公理知A1N1+BN1A1B因此 AM+MN+BN7/11/2022問題延伸一如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）7/11/2022思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有三種：兩個橋長都平移到A點處、都平移到B點處、MN平移到A點處，PQ平移到B點處7/11/

5、2022思維方法一 1、沿垂直于第一條河岸的方向平移A點至AA1使AA1=MN，此時問題轉(zhuǎn)化為問題基本題型兩點（A1、B點）和一條河建橋（PQ）7/11/20222、利用基本問題的解決方法確定橋PQ：（1）在沿垂直于第二條河岸的方向平移A1至A2， 使A1A2=PQ.（2）連接A2B交A2的對岸Q點，在點處建橋PQ.7/11/20223、確定PQ的位置，也確定了BQ和PQ，此時問題可轉(zhuǎn)化為由A點、P點和第一條河確定橋MN的位置.連接A1P交的對岸于點，在點處建橋7/11/2022問題解決沿垂直于河岸方向依次把點、，使，；連接交于點相鄰河岸于點，建橋；連接交的對岸于點，建橋；從點到點的最短路徑為

6、MMN7/11/2022思維方法二 沿垂直于第一條河岸方向平移點至點，沿垂直于第二條河岸方向平移點至點，連接A1B1 分別交A、B的對岸于N、P兩點，建橋MN和PQ.最短路徑AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.7/11/2022思維方法三沿垂直于河岸方向依次把B點平移至B、B，使BBPQ，BBMN；連接BA交于A點相鄰河岸于M點，建橋MN；連接BN交B的對岸于P點，建橋PQ；從點到點的最短路徑為MMNNP轉(zhuǎn)化為AB2+B2B1+B1B7/11/2022問題延伸二如圖，A和B兩地之間有三條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN、PQ和GH.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短

7、？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）7/11/2022思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB橋MN、PQ和GH在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有四種：三個橋長都平移到A點處；都平移到B點處；MN、PQ平移到A點處；PQ、GH平移到B點處7/11/2022問題解決沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；連接A3B交于B點相鄰河岸于H點，建橋GH；連接A2G交第二河與G對岸的P點，建橋PQ；連接A1P交第一條河與A的對岸于N點，建橋MN.此時從A到B點路徑最短.7/11/2022沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；連接A3B交于B點相鄰河岸于H點，建橋GH；連接A2G交第二河與G對岸的P點，建橋PQ；連接A1P交第一條河與A的對岸于N點，建橋MN.此時從A到B點路徑最短.問題解決7/11/2022沿垂直于河岸方向依次把A點平移至A，使AAMN，平移B點