1、第 四節(jié) 條件概率一、條件概率的定義及性質引例及概念 在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為 事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率，記作P(B|A). 將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設事件 A為 “至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”. 現(xiàn)在來求已知事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率.解：事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率,記為 引例條件概率的定義: 設A，B是兩事件，且P(A)0，稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.注1.條件概率P（|A）滿足概率定義的三條公理，即1

2、）. 對于每一事件B，有P（B|A）0;2）. P（ |A）=13). 設B1，B2,兩兩不相容，則有概率的一切性質都適用于條件概率，例如：2計算 一般有兩種方法： (1)由條件概率定義：P(B|A)=P(AB)/P(A) （在原樣本空間中求P(AB)、P(A)）(2)按古典概型公式： P(B|A)=NAB/NA （在縮小的樣本空間中考慮） P（|A）=0 P（B|A）=1P（B|A） P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)P(B1B2|A)等例1 擲兩顆均勻骰子,求在已知第一顆擲出6點條件下“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少? 解法(定義）1: 解法（縮小樣本空間）2: 解:

3、 設A=第一顆擲出6點 B=擲出點數(shù)之和不小于10 應用定義在A發(fā)生后的縮減樣本空間中計算由條件概率的定義：即 若P(A)0,則P(AB)=P(A)P(B|A) (1)而 P(AB)=P(BA)若已知P(A), P(B|A)時, 可以反求P(AB).將A、B的位置對調，有故 P(B)0,則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)若 P(B)0,則P(BA)=P(B)P(A|B) 二、概率乘法公式 (1)和(2)式都稱為乘法公式, 利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率當P(A1A2An-1)0時，有P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(A3| A1A2) P(An| A1A2An

4、-1)推廣到多個事件的乘法公式:例2 設某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？解：設A=能活20年以上，B=能活25年以上依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求為P(B|A) .例3 乘法公式應用舉例 一個罐子中包含b個白球和r個紅球. 隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球. 若在罐中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率. （波里亞罐子模型）b個白球, r個紅球 解: 設Ai=第i次取出是白球, 則Ai=第i次取出是

5、紅球， i=1,2,3,4于是 “連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球 ” 的概率應為P(A1A2A3A4)用乘法公式容易求出 當 c0 時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率. 這是一個傳染病模型. 每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.進一步，當 c=0 時，放回抽樣；當 c=-1 時，不放回抽樣。b個白球, r個紅球P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)例4： 一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.5張同樣的卡片，只有一張上寫“入場券”，其余

6、什么也沒寫. 將它們放在一起，洗勻，讓5個人依次抽取.“先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大. ”后抽比先抽的確吃虧嗎？ 解：用Ai表示“第i個人抽到入場券” i1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P( )4/5第1個人抽到入場券的概率是1/5.即則 表示“第i個人未抽到入場券”由于因為若第2個人抽到了入場券，第1個人肯定沒抽到.也就是要想第2個人抽到入場券，必須第1個人未抽到，由乘法公式 計算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5 這就是有關抽簽順序問題的正確解答. 同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到. 因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/

7、5 繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn), 每個人抽到“入場券” 的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后.也就是說， 樣本空間的劃分三、全概率公式與貝葉斯公式 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率.三、全概率公式與貝葉斯公式樣本空間的劃分：設 為試驗E的樣本空間，B1,B2,Bn為E的一組事件，若 （1） BiBj=,ij , i , j =1,2,n;（2） B1B2Bn= ，則稱B1，B2，,Bn為樣本空間 的一個劃分.例如，設試驗E為“擲一顆骰子觀察其點數(shù)”.它的樣本空間為 =1，2，3，4，5，6.E的一組事件A1=1,2,3,A2=4,5,A3=6是 的一個劃分，而事件組B1=1，2，3，

8、B2=3，4，B3=5，6不是 的劃分.設B1,B2,Bn是試驗E的樣本空間 的一個劃分，且P(Bi)0，i =1,2,n. A是任一事件, 則 全概率公式:全概率公式的來由:“全”部概率P(A)被分解成了許多部分之和.它的實用意義在于: 某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,n),每一原因都可能導致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.B1B2B3B4B5B6B7B8A可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結果”.諸Bi是原因,A是結果例5 設一倉庫中有十箱同樣規(guī)格的產品，已知其中有五箱、三箱、兩箱依次為甲廠、乙廠、丙廠生產的.且甲廠、乙廠、丙廠生產的該種

9、產品的次品率依次為1/10、1/15、1/20.從這十箱中任取一箱，再從取得的這箱中任取一件產品，求取得正品的概率.（抽簽問題） 解 設A=取得的是正品, B1=該件產品是甲廠生產的, B2=該件產品是乙廠生產的, B3=該件產品是丙廠生產的. 顯然，B1B2B3= ，且B1、B2、B3互斥由已知得：P(B1)=5/10 P(B2)=3/10 P(B3)=2/10P(AB1)=9/10，P(AB2)=14/15，P(AB3)=19/20由全概率公式得 P(A) = = 0.92 該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出. 它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導致A發(fā)生的每個原因的概率.貝

10、葉斯公式：設B1,B2,Bn是試驗E的樣本空間 的一個劃分，且P(Bi)0，i =1,2,n, A是任一事件且P(A)0, 則 貝葉斯公式可以形象地看成為“由結果推原因”.例6: 對以往數(shù)據(jù)分析結果表明，當機器調整得良好時，產品的合格率為90%，而當機器發(fā)生某一故障時，其合格率為30%。每天早上機器開動時，機器調整良好的概率為75%，試求已知某日早上第一件產品是合格品時，機器調整良好的概率是多少？后驗概率 解: 設A“產品合格”， B“機器調整良好”已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，求P(B|A)，由貝葉斯公式先驗概率 貝葉斯公式中P(Bi)和P(Bi |A

11、)分別稱為原因的先驗概率和后驗概率.P(Bi)(i=1,2,n)是在沒有進一步信息（不知道事件A是否發(fā)生）的情況下，人們對事件Bi發(fā)生可能性大小的認識. 當有了新的信息（知道A發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Bi | A)有了新的估計.貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。 貝葉斯公式在實際中可以幫助人們確定某結果發(fā)生的最可能原因.例7: 假定用甲胎蛋白法診斷肝癌，P(B|A)=0.99,P(B|A)=0.05，其中A表示“被檢驗者患有肝癌”, B 表示“被檢驗者試驗反應為陽性”。據(jù)調查某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率P(A)=0.0004?，F(xiàn)若由該地區(qū)某居民檢驗結果呈陽性，問他患肝癌的概率P(A|B

12、)是多少?解：思考：1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？2. 檢出陽性是否一定患有癌癥? 如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率 P(A1)=0.0004 患者陽性反應的概率是0.99，若試驗后得陽性反應，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為 P(A1 B)= 0.00786 說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.從0.0004增加到0.00786,將近增加約20倍.思考1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？思考2. 檢出陽性是否一定患有癌癥? 試驗結果為陽性,此人確患癌癥的概率為 P(A1B)= 0.00786 即使你檢出陽性，尚可不必過早下結論你有

13、癌癥，這種可能性只有0.786% (平均來說，1000個人中大約只有8人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認. 思考3：條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別 每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的，設A是隨機試驗的一個事件，則P(A)是在該試驗條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A |B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個不同的概念,在數(shù)值上一般也不同. 而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個條件時A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.思考4：條件概率P(A|B)與P(A)數(shù)值關系 條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個條件時A發(fā)生的可能性大

14、小. 那么,是否一定有:或 P(A|B) P(A)?P(A|B) P(A)? 在事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率一般地不等于A的無條件概率. 但是，會不會出現(xiàn)P(A)=P(A |B)的情形呢？這個問題留待下一節(jié)討論.每100件產品為一批, 已知每批產品中次品數(shù)不超過4件, 每批產品中有 i 件次品的概率為 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1從每批產品中不放回地取10件進行檢驗,若發(fā)現(xiàn)有不合格產品,則認為這批產品不合格，否則就認為這批產品合格. 求(1) 一批產品通過檢驗的概率(2) 通過檢驗的產品中恰有 i 件次品的概率例解 設一批產品中有 i 件次品為事件B

15、i , i = 0,1,4A 為一批產品通過檢驗則已知P( Bi )如表中所示，且由全概率公式與Bayes 公式可計算P( A )與結果如下表所示 i 0 1 2 3 4 P( Bi ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.11.0 0.9 0.809 0.727 0.6520.123 0.221 0.397 0.179 0.080為后驗概率，它是得到了信息 A 發(fā)生, 再對導致 A 發(fā)生的原因發(fā)生的可能性大小重新加以修正i 較大時， P( Bi ) 為先驗概率，它是由以往的經(jīng)驗 得到的，它是事件 A 的原因 本例中，i 較小時，信號收發(fā)問題 將A，B，C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概

16、率為，而輸出為其他一字母的概率都是(1)/2.今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的.）應用背景 信號輸入信道后，有可能由于硬件原因，使得輸出的信號與原始信號有差異.此時可以根據(jù)已知的條件，求得出現(xiàn)誤差的概率. 相關知識點1.條件概率2.全概率公式3.貝葉斯公式解題方法首先分別求出輸入的是AAAA，BBBB，CCCC的條件下，輸出為ABCA的條件概率，再利用全概率公式求出輸出為ABCA的概率，最后利用貝葉斯公式求得答案.解題過程 設D表示“輸出信號為ABCA”，B1、B2、B3分別表示“輸入信號為AAAA，BBBB,CCCC”，則B1、B2、B3為一完備事件組，且P(Bi)=pi, i=1, 2, 3.再設A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A的事件，其余類推，依題意有第一步： P (A收| A發(fā))= P (B收| B發(fā))= P (C收| C發(fā))=，P (A收