1、培養(yǎng)六年級學(xué)生分析分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的能力 內(nèi)容摘要 數(shù)感是人們對數(shù)的直接感知能力，關(guān)系著學(xué)生正確地解決問題的能力。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中數(shù)感能力的主要表現(xiàn)為正確判斷單位“1”的量；正確分析數(shù)量關(guān)系，具有條件、問題間的融會貫通的能力；一題多解、一題多問、一題多換的判斷能力和解決問題的能力。具體的培養(yǎng)方法可以抓住關(guān)鍵句正確感知，多法并舉分析數(shù)量關(guān)系，一題多解追求靈活性，通過溝通分?jǐn)?shù)、整數(shù)應(yīng)用題的聯(lián)系，重視問題反思，提高學(xué)生解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)感。關(guān)鍵字 數(shù)感 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 培養(yǎng) 數(shù)感是人們對數(shù)的直接感知能力。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對數(shù)感的具體體現(xiàn)描述為：“理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的

2、情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ荒芄烙嬤\算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋?！倍?jǐn)?shù)應(yīng)用題主要是指由于分?jǐn)?shù)乘法意義的擴(kuò)展而出現(xiàn)的應(yīng)用題。我們認(rèn)為分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的數(shù)感表現(xiàn)為：正確判斷單位“1”的量；正確分析數(shù)量關(guān)系，具有條件、問題間的融會貫通的能力；一題多解、一題多問、一題多換的判斷能力和解決問題的能力。為此我們培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)感可以從以下三方面入手。一、抓住關(guān)鍵句，正確感知。正確判斷單位“1”的量，是解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵。我們曾對六年級的學(xué)生做過一次測試統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)個別學(xué)生沒有從意義上去分析，只會根據(jù)模式、敘述樣式作機械的判斷。對改變了敘述形式、省略成

3、分的句子，學(xué)生就覺得比較困難。統(tǒng)計情況如下表：試題1試題2試題3題目六年級有男生120人，是女生的9/10，女生有多少人？一個養(yǎng)雞場，母雞的1/5是公雞只數(shù)，公雞有200只，母雞有多少只？一批圖書，故事書占2/5，其中故事書有本，這批書有多少本？類型承前省略比較量改變敘述順序承前省略單位“1”并改變敘述順序正確率97%87%85%為此我們認(rèn)為抓住關(guān)鍵、正確感知、提高數(shù)感的方法有二:1.區(qū)分類型，這是提高準(zhǔn)確判斷單位“1”的第一步。一般來說，單位“1”主要在下列三種句型中體現(xiàn)出來：第一種：“定語式”。這類句子中充當(dāng)單位“1”的量是句子中的定語成分，表達(dá)形式為“誰的幾分之幾（或百分之幾）”。例如柳

4、樹是楊樹的80%，楊樹是單位“1”的量。這是一種最基本的判斷方法。第二種：“顛倒式”。關(guān)鍵句的基本形式是“甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾”，所謂顛倒式就是關(guān)鍵句中類似的主賓位置調(diào)換，如測試題2：“母雞的1/5是公雞只數(shù)”，根據(jù)“定語式”的判斷方法，母雞就是單位“1”的量。第三種：“省略式”。有承前省略、習(xí)慣性省略兩類。如測試題3：“一批圖書，故事書占2/5”，承前省略了單位“1”“一批圖書”，又如 “一種電視機以九五折優(yōu)惠出售”，還有像出油率、合格率、成活率等等都屬于習(xí)慣性口語化的省略。分析這類關(guān)鍵句總是認(rèn)真讀題，把關(guān)鍵句補充成基本型的“甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾”，而后找出單位“1”的量。2.抓住關(guān)鍵句強化

5、對應(yīng)感知能力。有許多學(xué)生解題時喜歡把題目中的已知數(shù)量判斷為單位“1”，或把一個較大的數(shù)量看作單位“1”，實際上單位“1”并不是固定的，它是一個抽象的概念，隨題目的變化而變化。題目的變化，主要體現(xiàn)在含有分率的數(shù)量關(guān)系句的變化上，所以判斷時，一定要抓住含有分率的數(shù)量關(guān)系句去提問、分析、對應(yīng)。我們從測試題2、3的統(tǒng)計情況可以看出，學(xué)生對于改變了敘述的方式和省略了成分的關(guān)鍵句，判斷時錯誤率就高，為此我們要幫助學(xué)生抓住關(guān)鍵句，分清類型，轉(zhuǎn)化補充成基本型的關(guān)鍵句，正確判斷單位“1”的量。如“一批圖書，故事書占2/5”數(shù)感好的學(xué)生一讀就能找出“一批圖書”是單位“1”的量，而數(shù)感比較差的學(xué)生我們就要引導(dǎo)一步步

6、去提問、對應(yīng)：故事書占2/5，說明故事書只有2/5，誰是5/5單位“1”呢，通過對應(yīng)，找到一批圖書是單位“1”的量，故事書只有一批圖書的2/5。二、多法并舉、分析數(shù)量關(guān)系正確的數(shù)量關(guān)系分析，是數(shù)感的重要標(biāo)志，能夠順逆自如的分析數(shù)量關(guān)系，是思維靈活性、多樣性的體現(xiàn)。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是抽象的，學(xué)生的思維也正處在形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)折時期。正確理解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，對培養(yǎng)數(shù)感，發(fā)展思維都有較大的好處。我們在調(diào)查摸底的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對一些典型的數(shù)量關(guān)系掌握得不錯，但是對一些逆思考的、變化的條件問題，沒有真正的理解，也有較高的錯誤率。如題目試題類型正確類別人數(shù)正確率答題類型分析1.建造一座兒童活動中心，實際

7、用了225萬元，比原計劃節(jié)省了25萬元，節(jié)省了百分之幾？逆思考型的“節(jié)省的占計劃的百分之幾的應(yīng)用題”25（225+25）的為35人25(225-25)的為3人90%單位“1”的量求錯，原計劃的量應(yīng)該比現(xiàn)在多，這才叫“節(jié)省”，學(xué)生沒有認(rèn)真的思考。2.電器廠今年生產(chǎn)電冰箱1000臺，比去年增產(chǎn)200臺，今年比去年增產(chǎn)百分之幾？逆思考的增產(chǎn)百分率應(yīng)用題200（1000200）的為31人2001200的2人2001000的2人10001200的2人79%學(xué)生受“1+”、“1-”分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的影響，看見多就加，把去年的量算成了1200，有的沒有看清楚誰與誰比，胡亂憑感覺做題。3.一個農(nóng)場，牛的頭數(shù)比羊少1

8、/5，羊的頭數(shù)比牛多百分之幾？復(fù)雜的純分?jǐn)?shù)意義上的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（5-4）4的18人1/54/5的4人（5-4）5的5人45的有9人56%本題的解題關(guān)鍵為把關(guān)鍵句轉(zhuǎn)化成誰是誰的幾分幾之，從而確定牛羊的份數(shù)，最后求多的百分率。錯誤的同學(xué)中大部分只化出了牛和羊的頭數(shù)比，沒有求出多的分率針對學(xué)生存在的問題，我們主張：1.從問題出發(fā)進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的分析。整數(shù)應(yīng)用題我們認(rèn)為從條件出發(fā)進(jìn)行綜合分析，一步步推導(dǎo)出所求的問題，我們所可以隨學(xué)生的喜好，但對于六年級的學(xué)生，對于六年級的分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題，應(yīng)該用分析法分析比較合適。如測試題1、2、3三題，學(xué)生如果不能從數(shù)量關(guān)系：實際節(jié)省的量計劃投資的量/今年增產(chǎn)的量

9、去年的生產(chǎn)的量/羊比牛多的量牛的量，明白必須先求的量，解題就無從做起。從問題出發(fā)，分析必須知道的兩個量，這是解決分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題的關(guān)鍵。2.抓住關(guān)鍵句比劃關(guān)系也是解題正確關(guān)節(jié)。如測試題1、2，學(xué)生不能從“實際用了225萬元，比原計劃節(jié)省了25萬元”中得出原計劃的量是（225+25），或者不能從“今年生產(chǎn)電冰箱1000臺，比去年增產(chǎn)200臺”中得出去年的量是“（1000200）”，光有正確的數(shù)量關(guān)系式，也是不行的。我們從學(xué)生的錯誤情況分析可以得出總有10%的學(xué)生是見多就加，見少就減的，沒有認(rèn)真分析的習(xí)慣。這個環(huán)節(jié)說明我們要重視關(guān)鍵句的分析，也要重視分析方法的指導(dǎo)，如畫圖、大小數(shù)標(biāo)注、關(guān)鍵詞圈

10、點等，還要重視分析習(xí)慣的培養(yǎng)。有好多學(xué)生就是沒有這種認(rèn)真的態(tài)度去重視，良好的習(xí)慣是推動，正確的方法去實施，憑感覺胡亂解題，導(dǎo)致錯誤，非?？上А?.化分為整，讓抽象變?yōu)榫唧w。通過轉(zhuǎn)化關(guān)鍵句，讀取出關(guān)鍵句中隱含的數(shù)量比、份數(shù)比，從而把分?jǐn)?shù)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為整數(shù)應(yīng)用題，用歸一法來解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。如測試題3，抓住關(guān)鍵句“牛的頭數(shù)比羊少1/5”，轉(zhuǎn)化為“牛的頭數(shù)是羊4/5”，從而讀取出牛和羊的頭數(shù)比是4：5，也就是說牛可以看作4份，羊可以看作5份，求羊的頭數(shù)比牛多百分之幾？只要羊比牛多的分?jǐn)?shù)（5-4）=1份，除以單位“1”的量牛的份數(shù)4，即25%。如果從1/54/5來解題就比解抽象，難以理解。再如測試題1，抓

11、住關(guān)鍵句“梨樹比桃樹多3/4”來分析，轉(zhuǎn)化成“梨樹是桃樹7/4”，即梨樹可以看作7份，桃樹為4份，已知4份的桃樹有48棵，那么7份的梨樹應(yīng)該為（484）7=84棵。這種轉(zhuǎn)化關(guān)鍵句，化分?jǐn)?shù)為整數(shù)的解題策略，在更復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中會更顯身手。這種解題能力的掌握也標(biāo)志著學(xué)生數(shù)感的提升。三、一題多解、追求靈活性用多種方法解決問題，是一個人數(shù)感好壞的重要標(biāo)志，實際上也是區(qū)別整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是否融會貫通的一個重要的衡量指標(biāo)。六年級上冊的相遇問題，我們做了一次調(diào)查：題目為“相距350千米的兩地，甲車單獨開需要5小時，乙車單獨開需要7小時，如果兩車從兩地相對開出，幾小時后相遇？”學(xué)生用兩種

12、方法解答的情況如下：方法1（1/7+1/5）350（350/7+350/5）350（1/7+1/5）350（7/350+5/350）人數(shù)322142正確率82%54%錯誤類型1錯誤類型2我們從上表可以看出，學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣于用分?jǐn)?shù)的方法思考，正確的掌握率已經(jīng)達(dá)到了82%，而對原來的相遇問題的思考方法有點生疏，僅為54%。從錯誤的情況來看，兩種方法混淆在一起，既有整數(shù)的思考成分，也有分?jǐn)?shù)的成分，列出了不倫不類的算式，有的同學(xué)就是空者，只會做一種方法了。1.由淺入深，幫助學(xué)生建立整數(shù)與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的聯(lián)系。學(xué)生能不能用多種方法來解，一定程度上表現(xiàn)為對整數(shù)和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題之間溝通、轉(zhuǎn)換能力的水平高低。所以我們在

13、教學(xué)時一定要由淺入深、以舊引新，把基礎(chǔ)打?qū)嵙?，把知識嚼爛了，只有這樣才能融會貫通，才能有更高、更快的發(fā)展。例如上面的相遇問題，可以從整數(shù)應(yīng)用題入手，要求相遇的時間，必須知道兩車同行的路程和兩車同行的速度，即路程速度和，求出相遇的時間。然后把一條路350千米看作單位“1”，甲車5小時能行完全程，說明甲車每小時能行全程的1/5，就是甲車的速度，同理，乙車每小時行使的路程占全程的1/7，這里的“1”就是代表350千米，也可以在不同的情境中代表另外的一條路的長度，只要在同一問題情境中，相遇的時間只跟甲乙兩車單獨行完全程的時間有關(guān)。最后用多種數(shù)據(jù)驗證一下，如全程為385千米、315千米等，用兩種方法解答

14、，即幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)和整數(shù)應(yīng)用題的聯(lián)系，又讓學(xué)生明白分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的簡潔性。同樣道理，如整數(shù)、份數(shù)比、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的測試題，通過這樣的分析、比較、驗證來建立它們之間的有機聯(lián)系。又如整數(shù)百分比和份數(shù)百分比的比較。題目：“書店運來故事書和科技書共140本，科技書的本數(shù)比故事書的多4/5，故事書比科技書少百分之幾？”，學(xué)生用多種方法解答情況如下：方法（90-50）90（9-5）94/5（1+4/5）140（1+4/5）；4/5140；（5-4）4正確率36%21%8%（錯誤類型）23%從上可以看出，57%以上的學(xué)生能夠轉(zhuǎn)化關(guān)鍵句為：科技書是故事書的9/5，在求比誰多、比誰少百分之幾的應(yīng)用題中，學(xué)生還是喜歡

15、用整數(shù)的方法來解，先用按比例分配的方法求出科技書為90本，故事書為50本，最后求出故事書比科技書少的百分?jǐn)?shù)。對于用份數(shù)來解，學(xué)生還有點陌生，只用1/5的學(xué)生能夠解答。更多的學(xué)生是無從下手，或者整數(shù)、分?jǐn)?shù)相互混淆，沒有清晰的思路。2.舍得花時間加強練習(xí)和自我反思。數(shù)感的形成，一是靠天賦，二是靠熟練，三是靠反思。第一項我們沒有辦法改變，但二三兩項這是我們教師的職責(zé)。一定數(shù)量的練習(xí)，能夠從量變促成質(zhì)變，而反思則是量變到質(zhì)變的一條捷徑。新課標(biāo)指出：反思的思維過程，是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)。荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾指出，“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力”、“通過反思才能使現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)化?！蔽覀冋J(rèn)為通過

16、反思，能夠深化對問題的理解，優(yōu)化思維過程，揭示問題本質(zhì)，探索一般規(guī)律；通過反思，可以溝通知識間的相互聯(lián)系，從而促進(jìn)知識的同化和遷移，產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)。如測試題中的“書店運來故事書和科技書共140本，科技書的本數(shù)比故事書多4/5，故事書比科技書少百分之幾？”對于整數(shù)（90-50）90的解法，學(xué)生說個解題思路應(yīng)該沒有問題，但是對于份數(shù)比的解（9-5）9和分?jǐn)?shù)解4/5（1+4/5）并不是一件易事，我們就得化時間讓學(xué)生說個明白。（9-5）9，算式是簡單，但必須通過反思，讓生知其然有知所以然。首先要轉(zhuǎn)化關(guān)鍵句，科技書是故事書的9/5，其次明白科技書為9份，故事書為5份，故事書比科技書少4份，少的份數(shù)與科技書的9份比，最后求出故事書比科技書少4/9。同樣的道理，4/5（1