1、【金版學案】2014-2015學年高中數(shù)學 第2章 數(shù)列章末知識整合 蘇教版必修5題型1求數(shù)列的通項公式一、觀察法寫出下列數(shù)列的一個通項公式：(1)1，7,13，19,25，(2)2，eq f(5,2)，eq f(13,4)，eq f(33,8)，eq f(81,16)，(3)eq f(2,7)，eq f(4,11)，eq f(1,2)，eq f(4,5)，2，(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9，分析：觀察數(shù)列中的每一項與它的序號之間的對應關系，以及所給數(shù)列與一些特殊數(shù)列之間的關系解析：(1)原數(shù)列的各項可看成數(shù)列an：1，1,1，1，與數(shù)列bn：1,7,13,19,25，對應項相乘的結

2、果又an(1)n1，bn16(n1)6n5.故原數(shù)列的一個通項公式為cn(1)n1(6n5)(2)原數(shù)列可改寫成1eq f(1,20)，2eq f(1,21)，3eq f(1,22)，4eq f(1,23)，.故其通項公式為anneq f(1,2n1).(3)這個分數(shù)數(shù)列中分子、分母的規(guī)律都不明顯，不妨把分子變成4，然后看分母，從而有eq f(4,14)，eq f(4,11)，eq f(4,8)，eq f(4,5)，分母正好構成等差數(shù)列，從而原數(shù)列的通項公式為aneq f(4,173n).(4)注意到此數(shù)列的特點：奇數(shù)項與項數(shù)相等，偶數(shù)項比項數(shù)大1，故它可改寫成10,21,30,41,50,6

3、1，所以原數(shù)列的通項公式為anneq f(1,2)eq f(1n,2).歸納拓展(1)觀察是歸納的前提，合理的轉換是完成歸納的關鍵(2)由數(shù)列的前n項歸納出的通項公式不一定唯一如數(shù)列5,0，5,0,5，的通項公式可為5coseq f(n1,2)(nN*)，也可為an5sineq f(n,2)(nN*)(3)已知數(shù)列的前n項，寫出數(shù)列的通項公式時，要熟記一些特殊數(shù)列如(1)n，n，2n1，2n，2n1，n2，eq blcrc(avs4alco1(f(1,n)等，觀察所給數(shù)列與這些特殊數(shù)列的關系，從而寫出數(shù)列的通項公式變式遷移1寫出下列數(shù)列的一個通項公式(1)1，eq f(1,4)，eq f(1,

4、9)，eq f(1,16)，；(2)eq r(2)，eq r(6)，2eq r(3)，2eq r(5)，；(3)1,3,6,10,15，；(4)1，4,7，10,13，.解析：(1)an(1)n1eq f(1,n2).(2)原數(shù)列可寫成eq r(2)，eq r(6)，eq r(12)，eq r(20)，易得aneq r(nn1).(3)312,6123,101234,1512345，an123neq f(nn1,2).(4)1,4,7,10,13，組成1為首項，3為公差的等差數(shù)列，易得an(1)n1(3n2)二、利用aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2)求

5、an設Sn為數(shù)列an的前n項的和，且Sneq f(3,2)(an1)(nN*)，求數(shù)列an的通項公式分析：由Sn與an的關系消去Sn(或an)，轉化為an(或Sn)的遞推關系求解解析：Sneq f(3,2)(an1)，當n1時，S1a1eq f(3,2)(a11)，解得a13.當n2時，anSnSn1eq f(3,2)(an1)eq f(3,2)(an11)，得eq f(an,an1)3，當n2時，數(shù)列an是以3為公比的等比數(shù)列，且首項a23a19.n2時，an93n23n.顯然n1時也成立故數(shù)列的通項公式為an3n(nN*)歸納拓展已知數(shù)列的前n項和公式，求數(shù)列的通項公式，其方法是anSnS

6、n1(n2)這里常常因為忽略了n2的條件而出錯，即由anSnSn1求得an時的n是從2開始的自然數(shù)，否則會出現(xiàn)當n1時Sn1S0，而與前n項和定義矛盾可見由anSnSn1所確定的an，當n1時的a1與S1相等時，an才是通項公式，否則要用分段函數(shù)表示為aneq blcrc (avs4alco1(S1n1，,SnSn1n2.)變式遷移2設數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列Sn的前n項和為Tn，滿足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值解析：(1)當n1時，T12S11，而T1S1a1，a12a11，解得a11.(2)求an的通項公式解析：(2)n2時，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22S

7、n2Sn12n1.Sn2Sn12n1，Sn12Sn2n1，得an12an2，即an122(an2)，亦即eq f(an12,an2)2.a123，a226，eq f(a22,a12)2，an2是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，an232n1，故an32n12.三、疊加法已知數(shù)列an滿足a11，an3n1an1(n2)(1)求a2，a3；(2)證明aneq f(3n1,2).分析：已知a1，由遞推公式可以求出a2，a3，因為an3n1an1屬于an1anf(n)型遞推公式，所以可以用疊加法求出an.解析：(1)a11，a2314，a332413.(2)由已知anan13n1，令n分別取2,3,4，

8、n得a2a131，a3a232，a4a333，anan13n1，以上n1個式子相加，得ana131323n1.aneq f(3n1,2)，n1時，a1eq f(311,2)1，aneq f(3n1,2).歸納拓展(1)對n1時，檢驗a1 1是否滿足aneq f(3n1,2)是必要的，否則就要寫成分段的形式(2)如果給出數(shù)列an的遞推公式為anan1f(n)型，并且f(n)容易求和，這時可采用疊加法對n1檢驗是必要的，否則就要寫成分段函數(shù)的形式，這里說的f(n)易求和，指的是f(n)的形式為等差數(shù)列前n項和、等比數(shù)列前n項和，或是常見的特殊公式，如122232n2eq f(nn12n1,6)等變

9、式遷移3已知數(shù)列an滿足an1ann2，且a11，求an的通項公式解析：an1ann2，an1ann2，eq blcrc (avs4alco1(a2a112，,a3a222，,anan1n12.)疊加即得ana11222(n1)2eq f(n1n2n1,6)，aneq f(1,6)n(n1)(2n1)1.四、疊乘法在數(shù)列an中，a12，an1eq f(n2,n)an，求數(shù)列an的通項公式an.分析：由an1eq f(n2,n)aneq f(an1,an)eq f(n2,n)知，已知條件屬于eq f(an1,an)f(n)型遞推公式，所以用疊乘法求出an.解析：由a12，an1eq f(n2,n

10、)an，eq f(an1,an)eq f(n2,n).取n1,2,3，n1得eq f(a2,a1)eq f(3,1)，eq f(a3,a2)eq f(4,2)，eq f(a4,a3)eq f(5,3)，eq f(an1,an2)eq f(n,n2)，eq f(an,an1)eq f(n1,n1).把上述各式兩邊分別相乘，得：eq f(a2,a1)eq f(a3,a2)eq f(a4,a3)eq f(an1,an2)eq f(an,an1)eq f(3,1)eq f(4,2)eq f(5,3)eq f(n,n2)eq f(n1,n1)，eq f(an,a1)eq f(nn1,2)，aneq f(

11、nn1,2)a1，即ann(n1)當n1時，a12適合上式故ann(n1)(nN*)歸納拓展如果數(shù)列an的遞推公式為eq f(an1,an)f(n)型時，并且f(n)容易求前n項的積，這時可采用疊乘法疊乘的目的是出現(xiàn)分子、分母相抵消情況變式遷移4在數(shù)列an中，已知a1eq f(1,4)，an12nan，求an.解析：由an12nan得eq f(an1,an)2n，eq f(a2,a1)21，eq f(a3,a2)22，eq f(an,an1)2n1，疊乘得eq f(an,a1)2222n12eq f(nn1,2)，an2eq f(nn1,2)eq f(1,4)2eq f(n2n4,2)五、構造

12、轉化法已知數(shù)列an中a11，an1eq f(2an,an2)，則通項公式an_.分析：通過觀察給出的遞推公式可以發(fā)現(xiàn)兩邊取倒數(shù)可以得到eq f(1,an1)與eq f(1,an)的關系，也可以將式子乘開得到an1an2an12an兩邊同時除以2anan1，轉化為等差數(shù)列求解解析：解法一：將an1eq f(2an,an2)兩邊取倒數(shù)，得eq f(1,an1) eq f(an2,2an)eq f(1,2)eq f(1,an)，eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2)，數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是首項為eq f(1,a1)1，公差為eq f(1,2)

13、的等差數(shù)列，eq f(1,an)1(n1)eq f(1,2)eq f(n1,2)，aneq f(2,n1).解法二：(1)an1eq f(2an,an2)，an1(an2)2an，an1an2an2an1.兩邊同除以2an1an得eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2).數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是等差數(shù)列，首項為eq f(1,a1)1，公差為eq f(1,2).eq f(1,an)eq f(1,a1)(n1)eq f(1,2)eq f(n1,2).aneq f(2,n1).答案：eq f(2,n1)歸納拓展根據(jù)已知條件構造一個與an有關的新的

14、數(shù)列，通過新數(shù)列通項公式的求解求得an的通項公式新的數(shù)列往往是等差數(shù)列或是等比數(shù)列例如形如anpan1q(p，q為常數(shù))的形式，往往變?yōu)閍np(an1)，構成等比數(shù)列，求an通項公式，再求an.變式遷移5已知數(shù)列an中，a12，an13an2，求an.解析：由an13an2，設an1k3(ank)，其中k是待定系數(shù)，即an13an2k與條件進行對比，得2k2，k1.故an113(an1)，an1是211為首項，公比為3的等比數(shù)列，an113n1，an3n11.題型2數(shù)列的求和一、公式法(1)求147(3n1)的值；(2)若數(shù)列xn滿足logaxn11logaxn(nN*，a0，且a1)且x1x

15、2x3x100100，求x101x102x200的值分析：(1)中1,4,7，3n1是個等差數(shù)列，但容易這樣求解：Sneq f(n13n1,2)eq f(3n2,2)n.這是錯誤的，錯在沒搞清此數(shù)列有多少項(2)可以作個變換logaxn1logaxnlogaeq f(xn1,xn)1，推導出xn是等比數(shù)列再求解解析：(1)數(shù)列中3011，第1項1是n0時得到的，此數(shù)列是首項為1，末項為3n1，項數(shù)為n1的等差數(shù)列Sneq f(n113n1,2)eq f(3n2,2)eq f(5n,2)1.(2)由logaxn11logaxn得logaxn1logaxn1，logaeq f(xn1,xn)1，e

16、q f(xn1,xn)a，數(shù)列xn是公比為a的等比數(shù)列由等比數(shù)列的性質得：x101x102x200(x1x2x100)a100100a100.歸納拓展數(shù)列求和常用的公式有：等差數(shù)列：Sneq f(na1an,2)na1eq f(nn1,2)d；等比數(shù)列：Sneq blcrc (avs4alco1(na1，q1,f(a11qn,1q)f(a1anq,1q)q1；)eq o(,sup6(n),sdo4(k1)k123neq f(1,2)n(n1)；eq o(,sup6(n),sdo4(k1)k2122232n2eq f(1,6)n(n1)(2n1)變式遷移6設an為等比數(shù)列，bn為等差數(shù)列，且b1

17、0，cnanbn，若cn是1,1,2，求cn的前10項之和解析：設an的首項為a，公比為q，bn首項為b，公差為d，b10，由c1a1b11，知a11.c2a2b2qd1，c3a3b3q22d2，解得q2，d1，an2n1，bn1n，cn2n1(1n)cn前10項和為a1a2a10(b1b2b10)eq f(1210,12)eq blcrc(avs4alco1(100f(109,2)1)978.二、分組求和法 求和：eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)2eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,x2)2eq blc(rc)(avs4alco1(xnf(1,xn)

18、2.分析：此數(shù)列的通項公式是aneq blc(rc)(avs4alco1(xnf(1,xn)2x2n2eq f(1,x2n)，而數(shù)列x2n，eq blcrc(avs4alco1(f(1,x2n)是等比數(shù)列，2是常數(shù)，故采用分組求和法解析：當x1時，Sneq blc(rc)(avs4alco1(x22f(1,x2)eq blc(rc)(avs4alco1(x42f(1,x4)eq blc(rc)(avs4alco1(x2n2f(1,x2n)(x2x4x2n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)f(1,x4)f(1,x2n)2neq f(x2x2n1,x21)eq f(x21x

19、2n,1x2)2neq f(x2n1x2n21,x2nx21)2n.當x1時，Sn4n.綜上，Sneq blcrc (avs4alco1(4nx1，,f(x2n1x2n21,x2nx21)2nx1.)歸納拓展將數(shù)列的每一項拆成多項，然后重新分組，將一般數(shù)列求和問題轉化為特殊數(shù)列的求和問題，運用的是化歸的數(shù)學思想，通項變形是這種方法的關鍵變式遷移7已知數(shù)列an的通項公式為ann(n1)，求an的前n項和Sn.解析：ann(n1)nn2，Sn(123n)(122232n2)eq f(nn1,2)eq f(nn12n1,6)eq f(nn1n2,3).三、裂項相消法求數(shù)列eq f(1,122)eq

20、f(1,224)eq f(1,326)eq f(1,428)eq f(1,n22n)的前n項和分析：通項aneq f(1,n22n)eq f(1,nn2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n2)，所以可以使用裂項相消法解析：aneq f(1,n22n)eq f(1,nn2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n2)，Sneq f(1,13)eq f(1,24)eq f(1,35)eq f(1,46)eq f(1,n1n1)eq f(1,nn2)eq f(1,2)eq blcrc (avs4alco1(bl

21、c(rc)(avs4alco1(1f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)eq f(1,4)eq f(1,6)eq blc rc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,n1)f(1,n1)blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,n1)f(1,n2)eq f(3,4)eq f(1,2n2)eq f(1,2n4).歸納拓展裂項相消求和就是將數(shù)列的每一項拆成二項或多項使數(shù)列中的項出

22、現(xiàn)有規(guī)律的抵消項，從而達到求和的目的常見的拆項公式有：(1)eq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1)；(2)eq f(1,2n12n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)；(3)eq f(1,nn1n2)eq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,nn1)f(1,n1n2)；(4)eq f(1,r(a)r(b)eq f(1,ab)(eq r(a)eq r(b)；(5)anSnSn1(n2)變式遷移8已知數(shù)列an的通項公式為aneq f(2n1,n2n12)，求an的前n項和Sn.解析：eq f(2

23、n1,n2n12)eq f(n12n2,n2n12)eq f(1,n2)eq f(1,n12)，Sneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,22)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,22)f(1,32)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,32)f(1,42)eq blcrc(avs4alco1(f(1,n2)f(1,n12)1eq f(1,n12)eq f(nn2,n12).四、錯位相減法求數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(n,2n)的前n項和Sn.分析：此數(shù)列非等差數(shù)列也非等比數(shù)列，其通項公式aneq f(n,2n)可以認為是一個等差數(shù)列b

24、nn與一個等比數(shù)列cneq f(1,2n)相乘得到的，可以用乘公比錯位相減法來求解解析：Sna1a2a3an，Sn1eq f(1,2)2eq f(1,22)3eq f(1,23)neq f(1,2n)，eq f(1,2)Sn1eq f(1,22)2eq f(1,23)(n1)eq f(1,2n)neq f(1,2n1)，得：eq f(1,2)Sneq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,23)eq f(1,2n)neq f(1,2n1)eq f(f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n),1f(1,2)neq f(1,2n1)1eq f(1,2n)neq f(1

25、,2n1)，Sn2eq f(1,2n1)eq f(n,2n).歸納拓展若數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，由這兩個數(shù)列的對應項乘積組成的新數(shù)列為anbn，當求該數(shù)列前n項和時，常常采用將anbn的各項乘以公比，并向后錯一項與anbn的同項對應相減，即可轉化為特殊數(shù)列的求和，這種求和的方法稱為錯位相減法變式遷移9求和：Sn12422723(3n2)2n.解析：因為Sn124227233(n1)22n1(3n2)2n，2Sn1224233(n1)22n(3n2)2n1，所以得Sn1232232332n(3n2)2n13(2222n)(3n2)2n143(2n12)(3n2)2n1432n16

26、3n2n12n242n23(1n)2n110.所以Sn3(n1)2n12n210.五、倒序相加法求和設f(x)eq f(1,2xr(2)，利用教科書上推導數(shù)列前n項和公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值為_分析：若直接求解則相當麻煩，考慮f(x)eq f(1,2xr(2)的特點及f(5)，f(6)；f(4)，f(5)；的特點，f(x)與f(1x)是否有某種特別的聯(lián)系，如果有則可以用求等差數(shù)列前n項和公式的方法解答此題解析：f(x)eq f(1,2xr(2)，f(1x)eq f(1,21xr(2)eq f(2x,2r(2)2x)eq f(f(1,r(2)2x,r(2)2

27、x).f(x)f(1x)eq f(1,2xr(2)eq f(f(r(2),2)2x,r(2)2x)eq f(r(2),2).設Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)，倒過來，則有Sf(6)f(5)f(0)f(4)f(5)，2Sf(5)f(6)f(4)f(5)f(6)f(5)6eq r(2).S3eq r(2).歸納拓展此題運用了倒序相加法求得所給函數(shù)值的和，由此可以看出，熟練掌握重要的定理、公式的推導過程是非常重要的，它有助于同學們理解各種解題方法，強化思維過程的訓練當數(shù)列an滿足akank常數(shù)時，可用倒序相加法求數(shù)列an的前n項和變式遷移10設f(x)eq f(x2,1x2)，求和Sf(

28、2 014)f(2 013)f(2 012)f(1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2 013)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2 014).解析：f(x)eq f(x2,1x2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(1,1x2)，f(x)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)1，Sf(2 014)f(2 013)f(1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)feq blc(rc

29、)(avs4alco1(f(1,2 014)，又Sfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2 014)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2 013)f(1)f(2)f(2 014)，兩式相加得2S2 0142 013，Seq f(4 027,2).題型3數(shù)列應用題一、與等差數(shù)列有關的實際應用題有30根水泥電線桿，要運往1 000米遠的地方安裝，在1 000米處放一根，以后每隔50米放一根，一輛汽車每次只能運三根，如果用一輛汽車完成這項任務(完成任務回到原處)，那么這輛汽車的行程共為多少千米？分析：讀懂題意，將實際問題轉化為等差數(shù)列，關鍵要找準首項、公差，弄清an還

30、是Sn.解析：如下圖所示，假定30根水泥電線桿存放在M處，則a1MA1 000，a2MB1 050，a3MC1 100，a6a35031 250，a30a31509，由于一輛汽車每次只能裝3根，故每運一次只能到a3，a6，a9，a30，這些地方，這樣組成公差為150，首項為1 100的等差數(shù)列，令汽車的行程為S，則S2(a3a6a30)2(a3a31501a31509)2eq blc(rc)(avs4alco1(10a3150f(19,2)9)35.5(千米)，即這輛汽車的行程為35.5千米歸納拓展對于與等差數(shù)列有關的應用題，要善于發(fā)現(xiàn)“等差”的信息，如“每一年比上一年多(少)”“一個比一個多

31、(少)”等，此時可化歸為等差數(shù)列，明確已知a1，an，n，d，Sn中的哪幾個量，求哪幾個量，選擇哪一個公式變式遷移11有一種零存整取的儲蓄項目，它是每月某日存入一筆相同金額，這是零存，到一定時期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取，它的本利和公式如下：本利和每期存入金額eq blcrc(avs4alco1(存期f(1,2)存期存期1利率).(1)試解釋這個本利和公式解析：(1)設每期存入金額為A，每期利率為p，存的期數(shù)為n，則各期利率之和為Ap2Ap3ApnApeq f(1,2)n(n1)Ap，連同本金可得本利和nAeq f(1,2)n(n1)ApAeq blcrc(avs4alco1(nf(1,2)nn1p).(2)若每月初存入100元，月