1、P.168習(xí)題i.驗(yàn)證數(shù)集S=1(-i)n+n j有且只有兩個(gè)聚點(diǎn)自1=t和己2=1解 當(dāng)n取奇數(shù)n = 2 k -1時(shí)，S中的互異子列|-1 + 1-1,( k ts )，所2 k -1J以3 =T是S的聚點(diǎn)；當(dāng)n取偶數(shù)n = 2 k時(shí)，S中的互異子列1 + 1- 1- 1,( k t s)， 1I2 k J所以己2= 1是S的聚點(diǎn).設(shè)實(shí)數(shù) a。-1，a 牛 1.取 = 1minl a +11,1 a-11，因?yàn)樽恿?1 + 1-1和 。2I 2 k -11子列I + 31的極限都不是a，所以在鄰域U(a; )內(nèi)最多只有子列-1 + 1-1及子I2 k J。12 k - 1J列(1 + 2k

2、j中的有限多項(xiàng)，從而只有數(shù)集S = |(-1) + ；j中的有限多項(xiàng)，所以a不是數(shù) 集S的聚點(diǎn).證明：任何有限數(shù)集都沒有聚點(diǎn).證明 設(shè)有限數(shù)集S .由聚點(diǎn)乙的定義，在白的任何鄰域內(nèi)都含有S中無窮多個(gè)點(diǎn)， 而S只有有限個(gè)點(diǎn)，所以S沒有聚點(diǎn).設(shè)%a.n)是一個(gè)嚴(yán)格開區(qū)間套，即滿足a 1 a2 , an bn , b2 b1且lim(b -a)=。.證明：存在唯一的一點(diǎn)自，使得a” 自 an =自，矛盾.故 an 自，n = 1, 2,.同理，嚴(yán)格遞減有界數(shù)列,也有極限，且 limb = lima =5,a & b , n = 1, 2,.n Ts n n Ts nnn唯一性的證明與教材P.162區(qū)

3、間套定理7.1相同.4試舉例說明：在有理數(shù)集內(nèi)，確界原理、單調(diào)有界定理、聚點(diǎn)定理和柯西收斂準(zhǔn) 則一般都不成立.解 設(shè)a = （1 + -）n , b = （1 + -）n+1, n = 1,2,，則a 是單調(diào)遞增的有理數(shù)列， nnnnnbj是單調(diào)遞減的有理數(shù)列，且limb = lima” 二 e （無理數(shù)）n T8n-8（1 ）點(diǎn)集an n = 1, 2,-）非空有上界，但在有理數(shù)集內(nèi)無上確界；點(diǎn)集 b I n = 1, 2,非空有下界，但在有理數(shù)集內(nèi)無下確界.n（2）數(shù)列單調(diào)遞增有上界，但在有理數(shù)集內(nèi)無極限；單調(diào)遞減有下界，但 在有理數(shù)集內(nèi)無極限.（3）an I n = 1, 2,是有界無限

4、點(diǎn)集，但在有理數(shù)集內(nèi)無聚點(diǎn).（4）數(shù)列ta 滿足柯西收斂準(zhǔn)則條件，但在有理數(shù)集內(nèi)沒有極限. n（5）a ,b 是一閉區(qū)間套，但在有理數(shù)集內(nèi)不存在一點(diǎn)自，使得&e a ,b ， nnnnn = 1, 2, .設(shè) H = （）I n = 1, 2,.問 n+2 nH能否覆蓋（0, 1）?（2）能否從H中選出有限個(gè)開區(qū)間覆蓋（0,12）, （ii） （1/100,1） ?解 （1） H能覆蓋（0,1）.因?yàn)閷?duì)任何x e （0,1）,必有自然數(shù)n ,使得 x 1n+2 n（2）不能從H中選出有限個(gè)開區(qū)間覆蓋（0,12）.因?qū)中任意有限個(gè)開區(qū)間，設(shè)其11左端點(diǎn)最小的為;；，則當(dāng)0 x 0 , Uo (

5、x; ) c a, b W0，故x為a, b 的聚點(diǎn).反之，若x為a, b的聚點(diǎn)，則必有x e a, b.事實(shí)上，若x電a, b，則x b.不妨設(shè)x a，取= a-x，那么U (x; ) c a, b = 0，這與x為a, b 的聚點(diǎn)矛盾.設(shè))為單調(diào)數(shù)列.證明：若%”存在聚點(diǎn)，則必是唯一的，且為%的確界.證明 設(shè)%” 為單調(diào)增加數(shù)列，自為的聚點(diǎn).先證自是唯一的.假設(shè)“也是)的 聚點(diǎn)，不妨設(shè)自 N時(shí)，x”之xN .于是在白 的鄰域U也;)內(nèi)最多只有” 中有限多個(gè)點(diǎn)：x 1, x2,，xN_1.這與自為h”的聚點(diǎn)相 矛盾.故自為h 的唯一聚點(diǎn).”其次證明：自為h” 的上確界.先證自是” 的一個(gè)上界

6、.假設(shè)自不是” 的一個(gè)上 界，于是存在xN 自.這時(shí)取 = xN 己，則在白的鄰域U也;)內(nèi)最多只有”中有限 多個(gè)點(diǎn)：x1, x2,-, xN_1,這與工為h”的聚點(diǎn)相矛盾.然后證明：:是k” 的最小上 界.V 0 ,在白的鄰域U &; )內(nèi)有中無限多個(gè)點(diǎn)，設(shè)xN e U化;),從而 xN 己一 .所以自=supx”.試用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理.證明 設(shè)S為實(shí)軸上有界無限點(diǎn)集，則存在M 0，使S u -M, M.假若 一M, M中任何點(diǎn)都不是S的聚點(diǎn)，則Vx e 一M, M，必存在相應(yīng)的3 x 0，使得在U (x, 5 )內(nèi)最多只含S的有限個(gè)點(diǎn).設(shè)H = U (x, 5 )| x e 一 M

7、, M ，則H是一 M, M xx的一個(gè)開覆蓋，由有限覆蓋定理，H中存在有限個(gè)開區(qū)間：U(xj, 5 x), j = 1, 2,、”,覆蓋了 -M, M,當(dāng)然也覆蓋了 S ,由于在每一個(gè)U(xj,5 x)內(nèi)最多只含S的有限個(gè)點(diǎn),故s為有限點(diǎn)集，這與S為無限點(diǎn)集矛盾.所以-M, M中必有S的聚點(diǎn).試用聚點(diǎn)定理證明柯西收斂準(zhǔn)則.證明 只證充分性：設(shè)Vs 0，3N 0，Vm, n N，I a - a l 0，當(dāng)n N時(shí)，有I an - aN討l 1，于是I a ll aI +1 ,令 M = maxl a I, I a I,I a I, I a I +1，則I a l 0, n f83N 0 , V

8、m, n N , I a 一 a I 0, Vk N , I ak f8 nk22nk I N 時(shí)，有（任取 k N ） , I a 一己 II a - a I + I a 一& I 0有 I f (x)一 f (x)l 1.令)，使得當(dāng) X: X I ,且 I x 一 x l 0，使得在a , b 上 I f (x)l M .另一方面，當(dāng) x e a, a ) c I 時(shí)，有 I x - a lb ，于是 I f (x) - f (a ) l i，I f (x )ll f (ai)l +i ；同樣當(dāng) x e (bb c I 時(shí)，有 lf( x )llf(bjl +i.令 M = max Mj

9、lfmjl +i, lf(bjl +i)，則對(duì)任何 x e I，都有l(wèi)f(x) l 0, 35 0，當(dāng) 0 x 5 時(shí)，有,sin x -sIil 0，當(dāng)x N時(shí)，有,sin x , sl k 5. x2sin x令a =5 ;2 , b = N + 5 ;2，顯然在a, b連續(xù)，于是在a, b 一致連續(xù)，iix而 35 0，當(dāng) x: xe a, b且I x- xlb 時(shí)，有I sin xx 2 sin x , lsx 現(xiàn)在取5 = min5J2,5 2)，當(dāng)x, x e (0, +8)且lx-x l 5時(shí)，則必有以下三種情形之一發(fā)生：x , x e (0,或者 x, x e a, b或者 x

10、, x e (N, + 8)若x, x e (0,，由式sin xsin x sin x sin x llil + I1 I s s-11 + = s2 2若X: x建(N, +8)，由式，有Isin xsin x sin xIII + Isin x若x , x e a, b，由式，有I- xx xsin xI 8x ff sin x , I e/2 + e;2 = 8xsin x所以f (x)=在(0, + 8)上一致連續(xù).x4.試用有限覆蓋定理證明根的存在定理.證 設(shè)f在凡b 連續(xù)，f (a) 0,由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在8 0,使得在a, a +6 )內(nèi) f (x) 0.假設(shè)對(duì)任何x

11、0 e (a, b),都有f (x0)豐0 ,則由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在x0的某 鄰域U(x0; 6x ) = (x0-6x , x J6x ),使得在此鄰域內(nèi)f (x)中0且f (x)的符號(hào)與 f (x )的符號(hào)相同.集合族 0H = (x-8 , x + 8 )I x e (a,b) u a, a + 8) u(b -8, b是a, b的一個(gè)開覆蓋，由有限覆蓋定理，存在H的一個(gè)有限子集H* = (x. -8., x. +8.)1 i = 1, 2, n u a, a + 8) u (b -8, b覆蓋了 a, b .將H *中的鄰域分成兩部分：使f (x) 0的鄰域記為H*. H*的所

12、有開區(qū)間中右端點(diǎn)最大的區(qū)間記為(x -8 , x +8 )，令這個(gè)最 21k k k k大的右端點(diǎn)x +8 =己.因?yàn)樵?b-8, b 內(nèi)f (x) 0，所以自中b，匕中a，即&e (a, b). kk因?yàn)镠 *覆蓋了 a, b ,所以存在H *中的一個(gè)區(qū)間(x -8 , x +8 ),使得 i i i i&e (x, 8, x, +8,).由于自是H;的所有開區(qū)間右端點(diǎn)中最大的，故區(qū)間(x -8 , x +8 )不屬于H*而屬于H*,從而Vx e (x -8 , x +8 ),有 f (x) 0.因?yàn)?i i i i12i i i i區(qū)間(xk -8k, xk +8k)的右端點(diǎn)xk +8k

13、=己屬于區(qū)間(x, -8i, x, +8i),所以區(qū)間 (x, -8, x, +8,)必與區(qū)間(xk -8k,xk +8k)相交，那么在這兩個(gè)區(qū)間相交的公共部分(xxk +Sk)內(nèi)f既大于零，又小于零，矛盾.5.證明：在(凡b)上的連續(xù)函數(shù)f為一致連續(xù)的充要條件是f (a + 0)與f (b - 0)都 存在.證(必要性)設(shè)f在(a, b)上一致連續(xù)，故V 0，38 0，當(dāng)x: x (a, b)且I x一 x18 時(shí)，成立 I f (x)一 f (x)le .于是當(dāng) x: x e (a, b)， 0 x - a 8 ， 0 x a 8 時(shí)，必有 I x - x l 8，從而lf( x) f (

14、x) l .由Cauchy收斂準(zhǔn)則，可知f (a + 0)存在，同理可證f (b 0)存 在.(充分性)補(bǔ)充定義f (a) = f (a + 0)，f (b) = f (b 0)，則f在a, b連續(xù)，于是f在a, b 一致連續(xù)，從而f在(a, b) 一致連續(xù).P.175習(xí)題.求以下數(shù)列的上、下極限：n TOC o 1-5 h z 1 + (1)n(2) (1)n -n +12 n . n兀、2n +1(4) -sin-n +14、n2 +1 .冗n冗 sin(6) n|cos-| n n3解 (1)數(shù)列1 + (1)n 的收斂子列的極限只有兩個(gè)，分別為：2, 0,故其上極限 為2,下極限為0.

15、n. 一, . ，一 11(2)數(shù)列(1)n -一-的收斂子列的極限只有兩個(gè)，分別為：-,，故其上極 2 n +12211限為5,下極限為一方(3)數(shù)列2n +1是正無窮大量，故其上極限、下極限都為+82 n . n兀、，(4)數(shù)列-7sm的收斂子列的極限只有五個(gè)，分別為：-2, 一：2 , 0, v2 ,n +142,故其上極限為2,下極限為-2.兀sin n 2 +1 .兀 n 2 +1 兀 n(5)因?yàn)閘imsin- = lim-n =兀,故其上極限、下極限都為冗n S nn n S n nnn九11n冗，(6)因?yàn)镮cos-l只取兩個(gè)值：,1,所以5 Vlcos，lV1則 lim n

16、Ts alim annn Ts,于是，當(dāng)n t s時(shí)， J乙乙Jn 九，r I = 1，故其上極限、下極限都為1.一 1 1:, n 九， 一.有 1 n二-n1 Icos-I nnnTsn lim a + lim b 0，存在N 0，當(dāng)n N n Tsn Ts時(shí)，有a A-= , b B-=,于是a + b A + B-s .再由定理7.8得， n 2 n 2n nlim(a + b ) A + B -s ,由 s 的任意性得 lim(a + b ) A + B .nTsnTs若 a 0 , b 0 ( n =1, 2,)，則 lim a lim b - lim(a b ),nTs nTsn

17、Tslima limb lim(a b ) nTs n nTs n nTs n n證 設(shè)lima = A , limb = B，由定理7.7,對(duì)任給的s 0，存在N 0，當(dāng)n N nTsnTs時(shí)，有 an A-s , bn B-s，于是 a,” AB - (A + B + s)s .再由定理 7.8 得，lim(a b ) AB - (A + B-s)s .由 s 的任意性得lim(a b ) AB .nTsnTslim a 0,nTs同理可證：lima limb lim(a b ) nTs n nTs n nTs n n證 設(shè)liman = A，由定理7.7，對(duì)任給的8 0，存在N 0，當(dāng)n

18、 N時(shí)，有 n-81.于是一 an TOC o 1-5 h z 11，從而lim + 8，由8的n8 aAn11任意性得lim 一 0存在N 0，當(dāng)n N時(shí)，1有1 一 B 81 一 B 8 n B從而lim ann811任意性得lima ，即lim一n-8 n Bn8 an=B lim an1所以lim一 =n8 anlim ann-83 .證明：若an為遞增數(shù)列,則 limann-8=lim an n-8證 若a 為遞增無上界數(shù)列，則lima =+8 .因?yàn)閘ima liman n8nn8n8，所以也有 nlima = +8 n-8 n為遞增有上界數(shù)列，則a 極限存在，且lima = su

19、pak.又因?yàn)閍n是n n-8k 1遞增數(shù)列，所以對(duì)任何正整數(shù)n，有supak = supak，從而k 1liman n-8=lim supa = sup a = lim a .kn-8 k nk k 1n n-84.證明：若 a” 0 ( n = 1, 2,則數(shù)列an收斂.)且 lima - lim = 1，nan8n8 jn總練習(xí)題.證明：xj為有界數(shù)列的充要條件是 的任一子列都存在其收斂子列.證 (必要性)設(shè)匕為有界數(shù)列，則匕的任一子列都為有界數(shù)列，由致密性定 理，知其存在收斂子列.(充分性)反證法.假設(shè)xj無界，則對(duì)任何正整數(shù)k，存在數(shù)列 X”中的某項(xiàng)X”，使得x k ( k = 1,

20、2,)，于是lim x =+8，從而子歹ij x 不存在收斂子列.”k”k.設(shè)f在(a, b)內(nèi)連續(xù)，且lim f (x )= lim f (x ) = 0.證明：f在(a, b)內(nèi)有最大xfa +x-b -值或最小值.證 令F(x) = f ,)a x m,則因F(a) = F(b),使得最大值M與最小值m至少有一個(gè)在(a, b)內(nèi)取得，從而f在(a, b)內(nèi)有最大值或最小值.設(shè)f在a, b上連續(xù)，又有xjua, b，使lim f (xJ=A .證明：存在”f8”e a，b,使 f( x 0) = A.證 因x” ua, b ,故x”有界，由致密性定理，知其存在收斂子列x” .設(shè)limx=x

21、 e a, b，因?yàn)閒在a, b上連續(xù)，所以 kf8 ”k0f (x0)= lim f (x“kf8”k)= lim f (x )= A”f8 ”.設(shè)函數(shù)f和g都在區(qū)間I上一致連續(xù).若I為有限區(qū)間，證明f g在I上一致連續(xù)；證 因?yàn)閒和g都在區(qū)間I上一致連續(xù)，所以f和g都在區(qū)間I上有界(P.172習(xí)題 2),于是存在M 0，使得對(duì)任何x e I有l(wèi)f( x )l M，I g (x) l 0，35 0，使得 V x ； x e I，只要 lx x l3，就有I f (x) f (x )l ， I g (x) g (x)l .從而有l(wèi) f (x) g (x) f (x) g (x)ll f (x) g (x) f (x) g (x)l + l f (x) g (x) f (x) g (x)ll f (x，) l . l g (x) g (x ) l + l g (x ) l . l f (x) f (x ) l 0，對(duì)5= 1( n = 1, 2,), TOC o 1-5 h z 0n存在相應(yīng)的兩點(diǎn)x, x