1、eq avs4al(第七節(jié)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用)備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解直線的方向向量與平面的法向量2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.1.高考中很少考查直線的方向向量，而平面法向量則多滲透在解答題中考查2.利用向量法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系，在高考有所體現(xiàn)，如x年xT18，可用向量法證明3.高考對(duì)空間向量及應(yīng)用的考查，多以解答題形式考查，并且作為解答題的第二種方法

2、考查，如x年xT16，天津T17等.歸納知識(shí)整合1兩個(gè)重要向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè)(2)平面的法向量直線l平面，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫做平面的法向量顯然一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們是共線向量探究1.在求平面的法向量時(shí)，所列的方程組中有三個(gè)變量，但只有兩個(gè)方程，如何求法向量？提示：給其中一個(gè)變量恰當(dāng)賦值，求出該方程組的一組非零解，即可作為法向量的坐標(biāo)2空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2.l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直線l的方向向量為n，平面

3、的法向量為mlnmmn0lnmnm平面、的法向量分別為n，m.nmnmnmnm03.兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則cos |cos |eq f(|ab|,|a|b|)(其中為異面直線a，b所成的角)4直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |eq f(|ne|,|n|e|).5求二面角的大小(1)如圖，AB、CD是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小n1，n

4、2(或n1，n2)探究2.兩向量的夾角的范圍是什么？?jī)僧惷嬷本€所成角呢？直線與平面所成角呢？二面角呢？提示：兩向量的夾角范圍是0，；兩異面直線所成角的范圍是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)；直線與平面所成角的范圍是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)；二面角的范圍是0，注意以上各角取值范圍的區(qū)別6點(diǎn)到平面的距離的向量求法如圖，設(shè)AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則點(diǎn)B到平面的距離deq f(|n|,|n|).自測(cè)牛刀小試1(教材習(xí)題改編)兩條不重合的直線l1和l2的方向向量分別為v1(1，1,2)，v2(0,2,1)，則l1與l2的位置關(guān)系是()A

5、平行B相交C垂直 D不確定解析：選Cv1v210(1)2210，v1v2，從而l1l2.2若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為n(2，0，4)，則()Al BlCl Dl與斜交解析：選Ba(1,0,2)，n(2,0，4)n2a，即an.l.3若平面、的法向量分別為n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則()A BC、相交但不垂直 D以上均不正確解析：選Cn1n22(3)(3)15(4)0，n1與n2不垂直，與相交但不垂直4(教材習(xí)題改編)已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為_(kāi)解析：cosm，neq f(mn,|m|n|)eq

6、 f(1,1r(2)eq f(r(2),2)，即m，n45，其補(bǔ)角為135.兩平面所成的二面角為45或135.答案：45或1355若平面的一個(gè)法向量為n(2,1,2)，直線l的一個(gè)方向向量為a(1,1,1)，則l與所成的角的正弦值為_(kāi)解析：設(shè)直線l與平面所成的角為，則sin |cosn，a|eq f(|na|,|n|a|)eq f(|121112|,r(121212)r(221222)eq f(r(3),9).答案：eq f(r(3),9)用向量法證明平行、垂直例1在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E、F、E1分別是棱AA1，BB1，A1B1的中點(diǎn)(1)求證：CE平面C1

7、E1F；(2)求證：平面C1E1F平面CEF.自主解析以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC1，則C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，E1eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，2).(1)設(shè)平面C1E1F的法向量n(x，y，z)eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，0)，(1,0,1)，eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)即eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)y0，,xz0.)取n(1,2,1)(1，1,1)，n1210，n.又C

8、E平面C1E1F，CE平面C1E1F.(2)設(shè)平面EFC的法向量為m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，eq blcrc (avs4alco1(m0，,m0，)即eq blcrc (avs4alco1(b0，,ac0.)取m(1,0,1)mn1(1)2011110，平面C1E1F平面CEF.保持例題條件不變，求證：CF平面C1EF.證明：由例題可知，E(1,0,1)，F(xiàn)(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，(1,0,1)，(1,0，1)，(0,1,0) 11001(1)0，1001100.，.CFC1F，CFEF.C1FEFF，CF平面C1EF.1.向量法證明空間

9、平行或垂直的關(guān)鍵點(diǎn)利用向量法證明空間中的平行或垂直的問(wèn)題時(shí)，建系是關(guān)鍵的一步，通常借助于幾何圖形中的垂直關(guān)系選擇坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，并讓盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.2.向量法證明線面平行的注意點(diǎn)用向量法證線面平行可以證明直線的一個(gè)方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線平行向量，也可以證明直線的方向向量與平面的某個(gè)法向量垂直，在具體問(wèn)題中可選擇較簡(jiǎn)單的解法.1(xx師大附中模擬)如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE.解：設(shè)ADDE2AB2a，建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，

10、C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，eq r(3)a,0)，E(a，eq r(3)a,2a)F為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)a，f(r(3),2)a，0).(1)證明：eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)a，f(r(3),2)a，0)，(a，eq r(3)a，a)，(2a,0，a)，eq f(1,2)()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)證明：eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)a，f(r(3),2)a，0)，(a，eq r(3)a,0)，(0,0，2a)，0，0，.又CDDED，平面CDE，即AF平面

11、CDE.又AF平面BCE，平面BCD平面CDE.利用空間向量求空間角例2如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EBFB1.(1)求二面角CDEC1的正切值；(2)求直線EC1與FD1所成角的余弦值自主解析(1)以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)，于是(3，3,0)，EC1(1,3,2)，F(xiàn)D1(4,2,2)設(shè)n(x，y,2)為平面C1DE的法向量，則有eq blc rc(avs4alco1(n,n)eq

12、blc rc(avs4alco1(3x3y0,x3y220)xy1，n(1，1,2)，向量(0,0,2)與平面CDE垂直，n與AA1所成的角為二面角CDEC1的平面角或其補(bǔ)角cos eq f(n,|n|)eq f(101022,r(114)r(004)eq f(r(6),3)，由圖知二面角CDEC1的平面角為銳角，tan eq f(r(2),2).(2)設(shè)EC1與FD1所成的角為，則cos eq blc|rc|(avs4alco1(f(,|)eq blc|rc|(avs4alco1(f(143222,r(123222)r(422222)eq f(r(21),14).求平面的法向量的步驟(1)設(shè)

13、出法向量的坐標(biāo)，一般設(shè)為n(x，y，z)；(2)建立方程組，即利用平面的法向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直，建立關(guān)于x，y，z的方程組(3)消元，通過(guò)加減消元，用一個(gè)未知數(shù)表示另兩個(gè)未知數(shù)(4)賦值確定平面的一個(gè)法向量2(x新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCeq f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1BD.(1)證明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小解：(1)證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于D為AA1的中點(diǎn)，故DCDC1.又ACeq f(1,2)AA1，可得DCeq oal(2,1)DC2CCeq oal(2,1)，所以DC1DC.

14、而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.BC平面BCD，故DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，則BC平面ACC1，所以CA，CB，CC1兩兩相互垂直以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)則(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)設(shè)n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，則eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)即eq blcrc (avs4alco1(xyz0，,z0，)可取n(1,1,0)同理，設(shè)m是平面C1B

15、D的法向量，則eq blcrc (avs4alco1(m0，,m0，)可取m(1,2,1)從而cosn，meq f(nm,|n|m|)eq f(r(3),2).故二面角A1BDC1的大小為30.利用向量法求空間距離例3在三棱錐SABC中，ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2eq r(3)，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)B到平面CMN的距離自主解答取AC的中點(diǎn)O，連接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(0,2

16、eq r(3)，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2eq r(2)，M(1，eq r(3)，0)，N(0，eq r(3)，eq r(2)(3，eq r(3)，0)，(1,0，eq r(2)，(1，eq r(3)，0)設(shè)n(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則eq blcrc (avs4alco1(n3xr(3)y0，,nxr(2)z0，)取z1，則xeq r(2)，yeq r(6)，n(eq r(2)，eq r(6)，1)點(diǎn)B到平面CMN的距離deq f(|n|,|n|)eq f(4r(2),3).求平面外一點(diǎn)P到平面的距離的步驟(1)求平面的法向量n；(2)在平面內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量的

17、坐標(biāo)；(3)代入公式deq f(|n|,|n|)求解3已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，GC平面ABCD，且GC2.求點(diǎn)B到平面EFG的距離解：如圖所示，以C為原點(diǎn)，CB、CD、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知B(4,0,0)，E(4,2,0)，F(xiàn)(2,4,0)，G(0,0,2)，(0,2,0)，(4,2，2)，(2,2,0)設(shè)平面GEF的法向量為n(x，y，z)，則有eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)即eq blcrc (avs4alco1(2xyz0，,xy0，)令x1，則y1，z3，n(1,1,3)點(diǎn)B到平

18、面GEF的距離為deq blc|rc|(avs4alco1(|cos，n)eq f(|n|,|n|)eq blc|rc|(avs4alco1(f(0，2，01，1，3,r(11)eq f(2r(11),11).2種方法用向量證平行與垂直的方法(1)用向量證平行的方法線線平行：證明兩直線的方向向量共線線面平行：a.證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；b證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行：a.證明兩平面的法向量為共線向量；b轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題(2)用向量證明垂直的方法線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直：證明直線的方向向量與

19、平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?種角利用向量法求三種角的問(wèn)題在立體幾何中，涉及的角有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等關(guān)于角的計(jì)算，均可歸結(jié)為兩個(gè)向量的夾角(1)求兩異面直線a、b的夾角，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos |cosa，b|.(2)求直線l與平面所成的角可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a的夾角則sin |cosn，a|.(3)求二面角l的大小，可先求出兩個(gè)平面的法向量n1，n2所成的角，則n1，n2或n1，n21個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)利用平面法向量求二面角的易錯(cuò)點(diǎn)利用平面的法向

20、量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面、的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等(一個(gè)平面的法向量指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)平面的法向量指向二面角的外部)，還是互補(bǔ)(兩個(gè)法向量同時(shí)指向二面角的內(nèi)部或外部)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn). 答題模板空間向量在立體幾何中的應(yīng)用典例(xx高考滿分x分)平面圖形ABB1A1C1C如圖所示，其中BB1C1C是矩形，BC2，BB14，ABACeq r(2)，A1B1A1C1eq r(5)，現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊，使ABC與A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接

21、A1A，A1B，A1C，得到如圖所示的空間圖形對(duì)此空間圖形解答下列問(wèn)題(1)證明：AA1BC；(2)求AA1的長(zhǎng)；(3)求二面角ABCA1的余弦值快速規(guī)范審題1審條件，挖解題信息觀察條件：四邊形BB1C1C是矩形，面ABC面BB1C1C，面A1B1C1面BB1C1Ceq o(,sup7(取BC，B1C1的中點(diǎn)D，D1),sdo5(連接DD1)DD1，B1D1，A1D1兩兩垂直2審結(jié)論，明確解題方向觀察結(jié)論：(1)證明：AA1BC，(2)求AA1的長(zhǎng)，(3)求二面角ABCA1的余弦值eq o(,sup7(需建立空間直角坐標(biāo)系),sdo5(正確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo))轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算解決3建聯(lián)系，找解題突

22、破口D1D，D1B1，D1A1兩兩垂直，BC2，BB14，ABACeq r(2)，A1B1A1C1eq r(5)eq o(,sup7(以D1D，D1B1，D1A1所在直線),sdo5(分別為z軸，x軸，y軸)建立空間直角坐標(biāo)系eq o(,sup7(及相關(guān)向量),sdo5()(1)證明0，(2)計(jì)算AA1|，(3)求平面法向量的夾角得相應(yīng)結(jié)論準(zhǔn)確規(guī)范答題坐標(biāo)系建立不當(dāng)，不能準(zhǔn)確地推證ADA1D1，導(dǎo)致點(diǎn)A的坐標(biāo)求錯(cuò). (1)證明：取BC，B1C1的中點(diǎn)分別為D和D1，連接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C為矩形知，DD1B1C1.因?yàn)槠矫鍮B1C1C平面A1B1C1，所以DD1平面A1B1C

23、1.(1分)又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1.(2分)故以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D1xyz.(3分)由題設(shè)， 可得A1D12，AD1.由以上可知AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，于是ADA1D1.(4分)所以A(0，1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(1,0,4)，D(0,0，4)，故(0,3，4)，(2,0,0)，0，(5分)因此，即AA1BC.(6分)求出cosn1，n2eq f(r(5),5)后，不判斷二面角大小直接得出結(jié)論從而失誤.(2)因?yàn)?0,3，4)，所以|5，即AA15.(8分)(3)設(shè)平面A1BC的法向量為n1(x

24、1，y1，z1)，又因?yàn)?1，2,4)，(1，2,4)，(9分)所以eq blcrc (avs4alco1(n10，, n10，)(10分)即eq blcrc (avs4alco1(x12y14z10，,x12y14z10)eq blcrc (avs4alco1(x10，,y12z1.)令z11，則n1(0,2,1)又因?yàn)槠矫鍭BCz軸，所以取平面ABC的法向量為n2(0,0,1)，不注意條件“z軸平面ABC”的應(yīng)用，增大運(yùn)算量.則cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(1,r(5)eq f(r(5),5)，(11分)所以二面角ABCA1的余弦值為eq f(r(5),5)

25、.(12分)答題模板速成利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟：第一步理清題意利用條件分析問(wèn)題，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系第二步確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合建系過(guò)程與圖形，準(zhǔn)確地寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)第三步確立平面的法向量利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出相關(guān)直線的方向向量和平面的法向量，若已知某直線垂直某平面，可直接取直線的一個(gè)方向向量為該平面的法向量第四步轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，空間角轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題去論證，求解第五步問(wèn)題還原結(jié)合條件與圖形，作出結(jié)論(注意角的范圍)第六步反思回顧回顧檢查建系過(guò)程、坐標(biāo)是否有錯(cuò)及是否忽視了所求角的范圍而寫(xiě)錯(cuò)結(jié)論一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1如圖，

26、在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)證明：平面ADB平面BDC；(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求與夾角的余弦值解：(1)證明：折起前AD是BC邊上的高，當(dāng)ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由BDC90及(1)知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設(shè)|DB|1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，eq r(3)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)

27、，f(3,2)，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，r(3)，(1,0,0)，與夾角的余弦值為cos，eq f(,| |)eq f(f(1,2),r(1f(22,4)eq f(r(22),22).2(2013孝感模擬)如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E、F、G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn)(1)求證：PAEF；(2)求二面角DFGE的余弦值解：(1)證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0，1)，F(xiàn)(0,

28、0,1)，G(2,1,0)(1)(0,2，2)，(1,0,0)，0，PAEF.(2)易知(0,0,1)，(2,1，1)設(shè)平面DFG的法向量為m(x1，y1，z1)，則eq blcrc (avs4alco1(m0，,m0，)即eq blcrc (avs4alco1(z10，,2x1y1z10.)令x11，得m(1,2,0)是平面DFG的一個(gè)法向量同理可得n(0,1,1)是平面EFG的一個(gè)法向量，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(2,r(5)r(2)eq f(r(10),5)，由圖可知二面角DFGE為鈍角，二面角DFGE的余弦值為eq f(r(10),5).3.如圖，在正三棱柱AB

29、CA1B1C1中，ABeq r(2)AA1，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A1C1上且DEAE.(1)證明：平面ADE平面ACC1A1；(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值解：(1)證明：由正三棱柱ABCA1B1C1的性質(zhì)知AA1平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE，AA1AEA，所以DE平面ACC1A1.又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1.(2)如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)AA1eq r(2)，則AB2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0，1,0)，B(eq r(3)，0,0)，C1(0,1，eq r(2)，Deq

30、blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，r(2).易知(eq r(3)，1,0)，(0,2，eq r(2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，r(2).設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則有eq blcrc (avs4alco1(nr(3)xy0，,n2yr(2)z0.)解得xeq f(r(3),3)y，zeq r(2)y.故可取n(1，eq r(3)，eq r(6)所以，cosn，eq f(n,|n|)eq f(2r(3),r(10)r(3)eq f(r(10),5).由此即知，直線AD和平面ABC1所成角的

31、正弦值為eq f(r(10),5).4(2012江西高考)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABACAA1eq r(5)，BC4，點(diǎn)A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O.(1)證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的長(zhǎng)；(2)求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值解：(1)證明：連接AO，在AOA1中，作OEAA1于點(diǎn)E，因?yàn)锳A1BB1，所以O(shè)EBB1.因?yàn)锳1O平面ABC，所以A1OBC.因?yàn)锳BAC，OBOC，得AOBC，所以BC平面AA1O，所以BCOE，所以O(shè)E平面BB1C1C，又AOeq r(AB2BO2)1，AA1eq r(5)，

32、得AEeq f(AO2,AA1)eq f(r(5),5).(2)如圖，分別以O(shè)A，OB，OA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，2,0)，A1(0,0,2)，由eq f(1,5)得點(diǎn)E的坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，0，f(2,5)，由(1)得平面BB1C1C的法向量是eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，0，f(2,5)，設(shè)平面A1B1C的法向量n(x，y，z)，由eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)得eq blcrc (avs4alco1(x2y0，,yz0.)令y

33、1，得x2，z1，即n(2,1，1)，所以cos，neq f(n,| |n|)eq f(r(30),10)，即平面BB1C1C與平面A1B1C的夾角的余弦值是eq f(r(30),10).5如圖所示，在多面體ABCDA1B1C1D1中，上，下兩個(gè)底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，AB2A1B12DD12a.(1)求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中點(diǎn)，求證：FB1平面BCC1B1；(3)在(2)的條件下，求二面角FCC1B的余弦值解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

34、則A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(xiàn)(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，|cos，|eq blc|rc|(avs4alco1(f(,| | )eq f(r(3),3)，所以異面直線AB1與DD1所成角的余弦值為eq f(r(3),3).(2)(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，eq blcrc (avs4alco1(0，, 0，)FB1BB1，F(xiàn)B1BC.BB1BCB，F(xiàn)B1平面BCC1B.(3)由(2)知，為平面BCC1B1的一個(gè)法向量設(shè)n(x1，y1，z1)為平面FCC1

35、的法向量，(0，a，a)，(a,2a,0)，eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)得eq blcrc (avs4alco1(ay1az10，,ax12ay10.)令y11，則x12，z11，n(2,1,1)，cos，neq f(n,| |n|)eq f(r(3),3)，即二面角FCC1B的余弦值為eq f(r(3),3).6(2013聊城模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60，Q為AD的中點(diǎn)(1)若PAPD，求證：平面PQB平面PAD；(2)設(shè)點(diǎn)M在線段PC上，eq f(PM,MC)eq f(1,2)，求證：PA平面MQB；(3)在(2)的條件下，若

36、平面PAD平面ABCD，且PAPDAD2，求二面角MBQC的大小解：(1)連接BD，四邊形ABCD菱形，BAD60，ABD為正三角形，又Q為AD中點(diǎn)，ADBQ.PAPD，Q為AD的中點(diǎn)，ADPQ，又BQPQQ，AD平面PQB，AD平面PAD.平面PQB平面PAD. (2)連接AC交BQ于點(diǎn)N，如圖(1)：由AQBC可得，ANQCNB，eq f(AQ,BC)eq f(AN,NC)eq f(1,2).又eq f(PM,MC)eq f(1,2)，eq f(PM,MC)eq f(AN,NC)eq f(1,2).PAMN.MN平面MQB，PA平面MQB， 圖(1)PA平面MQB.(3)由PAPDAD2，

37、Q為AD的中點(diǎn)，則PQAD.又平面PAD平面ABCD，PQ平面ABCD.以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖(2)所示的坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0,0)，B(0，eq r(3)，0)，Q(0,0,0)，P(0,0，eq r(3)設(shè)平面MQB的法向量n(x，y,1)，可得 圖(2)eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0.)PAMN，eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0.)解得n(eq r(3)，0,1)取平面ABCD的法向量m(0,0,1)cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(1,2).故二面角MBQC的大小為60

38、.7(2012福建高考)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD中點(diǎn)(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小為30，求AB的長(zhǎng)解：(1)證明：以A為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，1，0)，B1(a，0,1)，故(0,1,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，1，1)，(

39、a,0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，1，0).eq f(a,2)011(1)10，B1EAD1.(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此時(shí)(0，1，z0)又設(shè)平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得eq blcrc (avs4alco1(axz0，,f(ax,2)y0.)取x1，則yeq f(a,2)，za，得平面B1AE的一個(gè)法向量neq blc(rc)(avs4alco1(1，f(a,2)，a).要使DP平面B1AE，只要n，有eq f(a,2)az00，解得z0eq f(1,2).又DP平面B1AE

40、，存在點(diǎn)P，滿足DP平面B1AE，此時(shí)APeq f(1,2).(3)連接A1D，B1C，由長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，是平面A1B1E的一個(gè)法向量，此時(shí)(0,1,1)設(shè)與n所成的角為，則cos eq f(n,|n|)eq f(f(a,2)a,r(2) r(1f(a2,4)a2) .二面角AB1EA1的大小為30，|cos |cos 30，即eq f(f(3a,2),r(2) r(1f(5a2,4)eq f(r(3),2)，解得a2，即AB的長(zhǎng)為2.1直三棱柱ABC

41、ABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分別為AB、BB的中點(diǎn)(1)求證：CEAD；(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值解：(1)設(shè)a，b，c，根據(jù)題意，|a|b|c|且abbcca0，beq f(1,2)c，ceq f(1,2)beq f(1,2)a.eq f(1,2)c2eq f(1,2)b20.，即CEAD.(2)ac，beq f(1,2)c，|eq r(2)|a|，|eq f(r(5),2)|a|.(ac)(beq f(1,2)c)eq f(1,2)c2eq f(1,2)|a|2，cos，eq f(f(1,2)|a|2,r(2)f(r(5),2)|a|2)eq f(r(10),1

42、0).即異面直線CE與AC所成角的余弦值為eq f(r(10),10).2如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)設(shè)PDAD，求二面角APBC的余弦值解：(1)證明：因?yàn)镈AB60，AB2AD，由余弦定理得BDeq r(3)AD.從而B(niǎo)D2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，B(0，eq r(3)，0)，C(1，eq r(3)，0)，P(0,0

43、,1)(1，eq r(3)，0)，(0，eq r(3)，1)，(1,0,0)設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，) 即eq blcrc (avs4alco1(xr(3)y0，,r(3)yz0，)因此可取n(eq r(3)，1，eq r(3)設(shè)平面PBC的法向量為m(x1，y1，z1)，則eq blcrc (avs4alco1(m0，,m0，)eq blcrc (avs4alco1(r(3)y1z10，,x10，)可取m(0，1，eq r(3)，cosm，neq f(4,2r(7)eq f(2r(7),7).故二面角APBC的余弦值為e

44、q f(2r(7),7).3(2013武漢模擬)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，BAC90.(1)若異面直線A1B與B1C1所成的角為60，求棱柱的高；(2)設(shè)D是BB1的中點(diǎn)，DC1與平面A1BC1所成的角為，當(dāng)棱柱的高變化時(shí)，求sin 的最大值解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AA1h(h0)，則有B(1,0,0)，B1(1,0，h)，C1(0,1，h)，A1(0,0，h)，(1,1,0)，(0,1,0)，(1,0，h)(1)因?yàn)楫惷嬷本€A1B與B1C1所成的角為60，所以cos 60eq f(|,|)，即eq f(1,r(2)r(h21)eq f(1,2)，得eq

45、r(1h2)eq r(2)，解得h1.(2)由D是BB1的中點(diǎn)，得Deq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(h,2)，于是eq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(h,2).設(shè)平面A1BC1的法向量為n(x，y，z)，于是由n，n可得eq blcrc (avs4alco1(n0，,n0，)即eq blcrc (avs4alco1(xhz0，,y0，)可取n(h,0,1)，故sin |cos，n|，而|cos，n|eq f(|n|,|n|)eq f(|hf(h,2)|,r(f(1,4)h22)r(h21)eq f(h,r(h49h28).令f(h)eq f(h,r(h4

46、9h28)eq f(1,r(h2f(8,h2)9)，因?yàn)閔2eq f(8,h2)92eq r(8)9，當(dāng)且僅當(dāng)h2eq f(8,h2)，即heq r(4,8)時(shí)，等號(hào)成立所以f(h)eq f(1,r(92r(8)eq f(1,r(8)1)eq f(2r(2)1,7)，故當(dāng)heq r(4,8)時(shí)，sin 的最大值為eq f(2r(2)1,7).4如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2，ABC60，平面AA1C1C面ABCD，A1AC60.(1)證明：BDAA1；(2)求二面角DA1AC的平面角的余弦值；(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP平面DA1G？若存在，求出P的位置，若不

47、存在，說(shuō)明理由解：連接BD交AC于O，則BDAC，連接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AAeq oal(2,1)AO22A1AAOcos 603.AO2A1O2A1A2，AOA1O，由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O平面ABCD.以O(shè)B，OC，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(0，1,0)，B(eq r(3)，0,0)，C(0,1,0)，D(eq r(3)，0,0)，A1(0,0，eq r(3)(1)由(2eq r(3)，0,0)，(0,1，eq r(3)，則0(2eq r(3)10eq r(3)00，BDAA1，(2)由OB面

48、AA1C1C，平面AA1C1C的法向量n1(1,0,0)，設(shè)n2面AA1D，則eq blcrc (avs4alco1(n2，,n2，)設(shè)n2(x，y，z)，得到eq blcrc (avs4alco1(yr(3)z0，,r(3)xy0，)取n2(1，eq r(3)，1)，cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(r(5),5).二面角DA1AC的平面角的余弦值是eq f(r(5),5).(3)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP面DA1C1，設(shè)，P(x，y，z)，則(x，y1，z)(0,1，eq r(3)得P(0,1，eq r(3)，(eq r(3)，1，eq r(3)設(shè)n3面

49、DA1C1，則eq blcrc (avs4alco1(n3，,n3，)設(shè)n3(x3，y3，z3)，得到eq blcrc (avs4alco1(2y30，,r(3)x3r(3)z30，)不妨取n3(1,0，1)又面DA1C1，n30，eq r(3)eq r(3)0，1.點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1CCP. eq avs4al(第六節(jié)空間向量的運(yùn)算及空間位置關(guān)系)備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置2.會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式3.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示4.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其

50、坐標(biāo)表示5.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.1.高考對(duì)于空間直角坐標(biāo)系的考查，一般是點(diǎn)的坐標(biāo)的求解、距離的計(jì)算等，且多滲透到解答題中，難度不大，如2012年新課標(biāo)全國(guó)T19、江西T19等都滲透對(duì)空間直角坐標(biāo)系的考查2.數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用是高考對(duì)本節(jié)考查的熱點(diǎn)，主要利用向量法證明共線、共面、平行、垂直等，一般體現(xiàn)在解答題中，如2012年天津T17，新課標(biāo)全國(guó)T19等.歸納知識(shí)整合1空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系名稱內(nèi)容空間直角坐標(biāo)系以空間一點(diǎn)O為原點(diǎn)，具有相同的單位長(zhǎng)度，給定正方向，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這時(shí)建立了一個(gè)空

51、間直角坐標(biāo)系Oxyz.坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)O坐標(biāo)軸x軸、y軸、z軸坐標(biāo)平面通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面(2)右手直角坐標(biāo)系的含義：當(dāng)右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向時(shí)，中指指向z軸的正方向(3)空間中點(diǎn)M的坐標(biāo)：空間中點(diǎn)M的坐標(biāo)常用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來(lái)表示，記作M(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)M和有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系探究1.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面把空間分成幾部分？坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？提示：空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面將空間分成8部分坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)是另外兩個(gè)坐標(biāo)均為零

52、2空間兩點(diǎn)間的距離(1)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|eq r(x1x22y1y22z1z22).特別地，點(diǎn)P(x，y，z)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為|OP|eq r(x2y2z2).(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空間中兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2,2)，f(y1y2,2)，f(z1z2,2).3空間向量的概念及運(yùn)算空間向量的概念及運(yùn)算同平面向量基本相同加減運(yùn)算遵循三角形或平行四邊形法則；數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算與平面向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算相同；坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似，僅多出了

53、一個(gè)豎坐標(biāo)4空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得ab.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使pxayb.(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc.其中，a，b，c叫做空間的一個(gè)基底5兩個(gè)向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間中任取一點(diǎn)O，作a，b，則角AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b通常規(guī)定0a，b.若a，beq f(,

54、2)，則稱向量a，b互相垂直，記作ab.(2)兩向量的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積ab|a|b|cosa，b(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：ae|a|cosa，e；abab0；|a|2aaa2；|ab|a|b|.(4)向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：(a)b(ab)；abba(交換律)；a(bc)abac(分配律)探究2.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，若ab0，則一定有a0或b0，而對(duì)于向量a，b，若ab0，則一定有a0或b0嗎？提示：不一定因?yàn)楫?dāng)a0且b0時(shí)，若ab，也有ab0.3對(duì)于非零向量b，由abbcac，這一運(yùn)算是否成立？提示：不成立根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，abbc說(shuō)明a在b方向上的射影與c在b方向

55、上的射影相等，而不是ac.6空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.aba1b2a2b2a3b30；aba1b1，a2b2，a3b3(R)；cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(a1b1a2b2a3b3,r(aoal(2,1)aoal(2,2)aoal(2,3)r(boal(2,1)boal(2,2)boal(2,3) .(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1)自測(cè)牛刀小試

56、1點(diǎn)(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是()Ay軸上BxOy平面上CxOz平面上 Dx軸上解析：選C由于點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，故這樣的點(diǎn)在xOz平面上2如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，M是所在棱上的中點(diǎn)，N是所在棱上的四分之一分點(diǎn)，則M、N之間的距離為_(kāi)解析：由條件知，Meq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，1，0)，故| eq r(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)2012blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0)2)eq f(r(29),4).答案：eq f(r(29),4)3(教材習(xí)題

57、改編)已知a(3,2,5)，b(1，1)若ab，則_.解析：ab，(3)125(1)0，4.答案：44(教材習(xí)題改編)在空間四邊形ABCD中，G為CD的中點(diǎn)，則eq f(1,2)()_.解析：依題意有eq f(1,2)()eq f(1,2)2.答案： 5已知四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)解析：設(shè)D(x，y，z)，(2，6，2)，(cx，7y，5z)，由，得x2,7y6，5z2，即x2，y13，z3，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,13，3)答案：(2,13，3)空間中兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用例1已知點(diǎn)M(3,2,1)，N(1,0,5)，求

58、：(1)線段MN的長(zhǎng)度；(2)到M，N兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)滿足的條件自主解答(1)根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式得線段MN的長(zhǎng)度MNeq r(312202152)2eq r(6)，所以線段MN的長(zhǎng)度為2eq r(6).(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y，z)到M，N的距離相等，所以有eq r(x32y22z12)eq r(x12y02z52)，化簡(jiǎn)得xy2z30，因此，到M，N兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)滿足的條件是xy2z30.求解空間距離的關(guān)鍵點(diǎn)解決空間中的距離問(wèn)題就是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入距離公式計(jì)算，其中確定點(diǎn)的坐標(biāo)或合理設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵若求滿足某一條件的點(diǎn)，要先設(shè)出點(diǎn)的

59、坐標(biāo)，再建立方程或方程組求解1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA12，M為BC1的中點(diǎn)，N為A1B1的中點(diǎn)，求|MN|.解：如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，N(1,0,2)，M(1,1,1)，|MN|eq r(112012212)eq r(2).空間向量的線性運(yùn)算例2(1)如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)化簡(jiǎn)eq f(1,2)eq f(1,2)_；用，表示，則_.(2)向量a(3,5，4)，b(2,1,8)計(jì)算2a3b

60、,3a2b的值自主解答(1)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)().eq f(1,2)eq f(1,2)()，eq f(1,2)()eq f(1,2)eq f(1,2).(2)解：2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(6,10，8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(13,17,4)答案(1)eq f(1,2)eq f(1,2)本例中(1)條件不變，結(jié)論改為：設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且eq f(2,3)，若xyz，試求x，y，z的值解：eq f(2,3)eq f(1,2)()eq f(2,3)eq