1、 淺析兩道二次函數(shù)背景下的 江西中考題 臨川二中 熊曉泉 2013.3.27 一、二次函數(shù)內(nèi)容在江西中考試題中的呈現(xiàn)方式： 近幾年，江西中考數(shù)學卷都是將二次函數(shù)背景的試題作為壓軸題之一（一般是倒數(shù)第二題），且通常將二次函數(shù)與幾何圖形綜合，同時帶有一定的探索開放性，所占分值在910分，難度較大，梯度較高，是體現(xiàn)試卷選拔功能的常用題型.3用配方法可將 化為 ，由此可得到對稱軸直線 ,頂點坐標 .二、 二次函數(shù)基本知識點梳理（一）二次函數(shù)的概念 一般地，形如 （ 是常數(shù)， ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，其中 分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.（二）二次函數(shù)的表達式1三種表達式:2選擇適當表達式的依據(jù)：

2、 想一想？b的值與拋物線對稱軸位置的關(guān)系：當時b=0，對稱軸是直線x=0（即y軸）；當 同號時，對稱軸平行于y軸，且在y軸的左則；當 異號時，對稱軸在y軸的右側(cè). 的符號確定拋物線的開口方向， 的大小決定拋物線的開口程度（大?。?（三）二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)二、二次函數(shù)基本知識點梳理 1二次函數(shù)的圖象是一條拋物線.畫二次函數(shù)的草圖，通?？刹捎谩拔妩c法”（頂點，與x軸的兩個交點，與y軸的交點及其對稱點）. 2若二次函數(shù)的頂點式為 ，（ 是常數(shù), ），則其圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標及函數(shù)的增減性和最值與 的值有關(guān) . 3二次函數(shù) 中系數(shù) 的意義:c的值確定拋物線與y軸交點的位置，它是拋物線與

3、y軸交點的縱坐標.（四）二次函數(shù)圖象的平移 二次函數(shù)基本知識點梳理 1二次函數(shù) 的圖象與拋物線 的形狀相同，只是位置不同，它們之間可通過平移變換由于個得到另一個. 2平移規(guī)律（易錯點）：“左加右減，上加下減”（指平移前后解析式的變化）.二次函數(shù)基本知識點梳理（五）二次函數(shù)與對稱變換 1拋物線是一個軸對稱圖形，拋物線上的每一個點（頂點除外），都可在其對稱軸另一側(cè)的圖象上找到一個對稱點. 2拋物線 關(guān)于x軸、y軸及原點對稱變換后的解析式： 關(guān)于x軸對稱后：關(guān)于y軸對稱后：關(guān)于原點對稱后： 二次函數(shù)基本知識點梳理（六）二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系（數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)）. 1一元

4、二次方程式 是二次函數(shù) 當函數(shù)值y=0時的特殊情況. 2二次函數(shù) 與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程 的根，拋物線 與x軸交點的個數(shù)取決于 值的情況. 3不等式 （或 ）的解集，可轉(zhuǎn)化為求拋物線 當縱坐標 （或 ）時橫坐標的取值范圍.真題淺析例1、（江西2012年中考題）如圖,已知二次函數(shù) 與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C. (1)寫出A、B兩點的坐標; (2)二次函數(shù) (k0),頂點為P. 直接寫出二次函數(shù) 與二次函數(shù) 有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì); 是否存在實數(shù)K,使ABP為等邊三角形?如存在,請求出K的值;如不存在,請說明理由; 若直線 與拋物線 交于E、F兩點，問線

5、段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由.解題過程及評分標準： 解：（1）依照題意，求拋物線與x軸的交點坐標，可解對應(yīng)的一元二次方程或轉(zhuǎn)化成其交點式，得點A,B的坐標分別為（1，0）、（3,0）. 2分（2）二次函數(shù)有關(guān)圖像的兩條相同性質(zhì)： （）對稱軸都為直線 或頂點的橫坐標都為2；3分 （）都經(jīng)過A（1，0）,B（3,0）兩點. 4分存在實數(shù) ，使ABP為等邊三角形. 5分要使ABP為等邊三角形，必滿足 6分 （漏掉一答案，扣1分） 7分 解題過程及評分標準： 線段EF的長度不會發(fā)生變化。 8分直線 9分線段EF的長度不會發(fā)生變化. 10分本題涵蓋的主要知識點

6、及數(shù)學思想方法： 1通過解一元二次方程確定拋物線與x軸的交點坐標（二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系）. 2拋物線相關(guān)性質(zhì)（開口方向、大小、對稱軸、頂點坐標、與x軸、y軸交點情況，對稱變換等）的探究. 3等邊三角形的性質(zhì)及有關(guān)運算.4點到坐標軸的距離與點橫（縱）坐標間的關(guān)系. 5同一坐標軸上（或平行于坐標軸的同一條直線上）兩點間距離的計算. 6函數(shù)圖象交點坐標的確定. 7從所需探究的結(jié)論（或已知條件）入手，通過分析、運算等手段，得出是否存在滿足結(jié)論的條件（或所提問題的結(jié)論）.體現(xiàn)了由“果”索“因”和由“因”探“果”的思維方式. 8.分類討論的思想.江西2012年中考題的拓展與延伸如圖,已知二次函數(shù)

7、與x軸交于A、B 兩點（點A在點B 的左邊），與y軸交于點C.(1)寫出A、B 兩點的坐標.A(1,0),B(3,0)（2）點C的坐標是 ，點C關(guān)于 對稱軸對稱的點 的坐標是 . (4,3)(0,3)（3）不等式 的解集為 .X3（4） 沿y軸翻折后的拋物線的解析式為 .(5)將 繞坐標原點旋轉(zhuǎn) 后，以旋轉(zhuǎn)前后兩拋物線的頂點及與y軸的交點為頂點的四邊形的形狀是 .平行四邊形(6)二次函數(shù) (k0)與y軸交于點D，點D在 上的對稱點記為點 ,試判斷以 為頂點的四邊形的形狀.矩形例2：（2011年江西中考題）將拋物線 沿x軸翻折，得拋物線c2 ，如圖所示（1）請直接寫出拋物線c2的表達式（2）現(xiàn)將

8、拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E當B，D是線段AE的三等分點時，求m的值；在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由 真題嘗試解答過程及評分標準：解：（1） 2分（2）令則拋物線C1 與x軸的兩個交點坐標為（-1,0），（1,0） A(-1-m,0),B(1-m,0) 同理可得：D(-1+m,0),E(1+m,0) 當AD= 時（-1+m）-(-1-m)= (1

9、+m)-(-1-m) 4分當AB= 時，（1-m）-(-1-m)= (1+m)-(-1-m)當 ，B、D是線段AE的三等分點.6分解答過程及評分標準：OM=ON理由：連接AN、NE、EM、MA，依題意可得：M(-m,),N(m,) 即M、N關(guān)于原點O對稱存在 7分A(-1-m,0),E(1+m,0)A、E關(guān)于原點O對稱OA=OE四邊形ANEM為平行四邊形 8分要使平行四邊形ANEM為矩形，必需滿足OM=OA,即 當時，以點A、N、E、M為頂點的四邊形為矩形.10分本題涵蓋的主要知識點及數(shù)學思想方法： 1關(guān)于x軸、原點對稱變換后對稱點坐標間的關(guān)系. 2拋物線與x軸、y軸交點坐標的確定（涉及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，系數(shù) 的意義等）.3坐標平面內(nèi)，點平移前后坐標的變化規(guī)律.