1、 柯西不等式課后作業(yè)一、選擇題1.若a2b21，x2y22，則axby的最大值為()A.1B.2 C.eq r(2) D.4【答案】C【解析】(axby)2(a2b2)(x2y2)2，axbyeq r(2).2.若實(shí)數(shù)a，b，c均大于0，且abc3，則eq r(a2b2c2)的最小值為()A.3 B.1 C.eq f(r(3),3) D.eq r(3)【答案】D【解析】abc1a1b1c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1a1b1c)2(121212)(a2b2c2)，a2b2c23.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時等號成立，eq r(a2b2c2)的最小值為eq r(3).3.已知xy1，且x0，y0

2、，那么2x23y2的最小值是() A.eq f(5,6) B.eq f(6,5) C.eq f(25,36) D.eq f(36,25)【答案】B【解析】2x23y2(2x23y2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)eq f(6,5)eq f(6,5)eq blc(rc)(avs4alco1(r(2)xf(r(2),2)r(3)yf(r(3),3)eq sup21(2)eq f(6,5)(xy)2eq f(6,5)，當(dāng)且僅當(dāng)eq r(2)xeq f(1,r(3)eq r(3)yeq f(1,r(2)，即xeq f(3,5)，yeq f(2,5)時等號成立，2x2

3、3y2的最小值為eq f(6,5).4.若aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)1，beq oal(2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,n)4，則a1b1a2b2anbn的最大值為()A.1 B.1 C.2 D.2【答案】C【解析】(aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)(beq oal(2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,n)(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，故a1b1a2b2anbn2.因此a1b1a2b2anbn的最大值為2.5.已知a2b2c21，x2y2

4、z21，taxbycz，則t的取值范圍為()A.(0,1) B.(1,1) C.(0，1) D.1,1【答案】D【解析】設(shè)(a，b，c)，(x，y，z).|eq r(a2b2c2)1，|eq r(x2y2z2)1，由|，得|t|1.t的取值范圍是1,1.二、填空題6.已知a，b，cR，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_.【答案】12【解析】a2b3c6，1a12b13c6，(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.當(dāng)且僅當(dāng)eq f(1,a)eq f(1,2b)eq f(1,3c)，即a2，b1，ceq f(2,3)時取等號.7.若a(1,0，2)，

5、b(x，y，z)，若x2y2z216，則ab的最大值為_.【答案】4eq r(5) 【解析】由題知，abx2z，由柯西不等式知 1202(2)2(x2y2z2)(x02z)2，當(dāng)且僅當(dāng)向量a與b共線時“”成立，516(x2z)2，4eq r(5)x2z4eq r(5)，即4eq r(5)ab4eq r(5).故ab的最大值為4eq r(5).8.已知aeq r(1b2)beq r(1a2)1，則a2b2_.【答案】1【解析】由柯西不等式得(aeq r(1b2)beq r(1a2)2a2(1a2)(1b2)b21，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(b,r(1a2)eq f(r(1b2),a)時，上式取等號，ab

6、eq r(1a2)eq r(1b2)，a2b2(1a2)(1b2)，于是a2b21.三、解答題9.已知為銳角，a，b均為正數(shù).求證：(ab)2eq f(a2,cos2)eq f(b2,sin2).【證明】設(shè)meq blc(rc)(avs4alco1(f(a,cos )，f(b,sin )，n(cos ，sin )，則|ab|eq blc|rc|(avs4alco1(f(a,cos )cos f(b,sin )sin )|mn|m|n| eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(a,cos )sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(b,sin )sup12(2)eq r(

7、1) eq r(f(a2,cos2)f(b2,sin2)，(ab)2eq f(a2,cos2)eq f(b2,sin2).10.在半徑為R的圓內(nèi)，求周長最大的內(nèi)接長方形.【解】如圖所示，設(shè)內(nèi)接長方形ABCD的長為x，寬為eq r(4R2x2)，于是 ABCD的周長l2(xeq r(4R2x2)2(1x1eq r(4R2x2).由柯西不等式得l2x2(eq r(4R2x2)2eq f(1,2)(1212)eq f(1,2)2eq r(2)2R4eq r(2)R.當(dāng)且僅當(dāng)eq f(x,1)eq f(r(4R2x2),1)，即xeq r(2)R時等號成立.此時，寬eq r(4R2r(2)R2)eq

8、r(2)R，即ABCD為正方形，故周長最大的內(nèi)接長方形為正方形，其周長為4eq r(2)R.能力提升1.函數(shù)yeq r(x22x3)eq r(x26x14)的最小值是()A.eq r(10) B.2eq r(10) C.112eq r(10) D.eq r(10)1【答案】D【解析】yeq r(x122)eq r(3x25).根據(jù)柯西不等式，得y2(x1)22(3x)252eq r(x1223x25)(x1)22(3x)252(x1)(3x)eq r(10)(x1)(3x)2252eq r(10) 112eq r(10)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(x1,3x)eq f(r(2),r(5)，即xeq f

9、(2r(10)1,3)時等號成立.此時，ymineq r(112r(10)eq r(10)1.2.已知a，b，c均大于0，Aeq r(f(a2b2c2,3)，Beq f(abc,3)，則A，B的大小關(guān)系是()A.AB B.AB C.AB D.AB【答案】B【解析】(121212)(a2b2c2)(abc)2，eq f(a2b2c2,3)eq f(abc2,9)，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立.又a，b，c均大于0，abc0，eq r(f(a2b2c2,3)eq f(abc,3).3.設(shè)a，b，c，x，y，z都是正數(shù)，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，則eq f(abc,xyz

10、)_. 【答案】eq f(5,6)【解析】由柯西不等式知：2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)23022536，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(a,x)eq f(b,y)eq f(c,z)k時取“”.由k2(x2y2z2)22536，解得keq f(5,6)，所以eq f(abc,xyz)keq f(5,6).4.已知a1，a2，an都是正數(shù)，且a1a2an1.求證：eq f(aoal(2,1),a1a2)eq f(aoal(2,2),a2a3)eq f(aoal(2,n1),an1an)eq f(aoal(2,n),ana1)eq f(1,2).【證明】根據(jù)柯西不等式得左邊eq f(a

11、oal(2,1),a1a2)eq f(aoal(2,2),a2a3)eq f(aoal(2,n1),an1an)eq f(aoal(2,n),ana1)(a1a2)(a2a3)(a3a4)(an1an)(ana1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a1,r(a1a2)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,r(a2a3)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a3,r(a3a4)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(an1,r(an1an)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(an,r(ana1)eq sup21(2)eq f(1,2)(eq r(a1a2)2(eq r(a2a3)2(eq r(an1an)2(eq r(ana1)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a1,r(a1a2)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,r(a2a3)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(an1,r(an1an)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(an,r(ana1