1、專題 32 均值不等式常見應(yīng)用【熱點聚焦與擴(kuò)展】高考命題中對基本不等式的考查比較靈活，可以說無處不在，重點考查應(yīng)用基本不等式確定最大值和最小 值問題、證明不等式成立、解答恒成立問題，命題形式以選擇、填空為主，有時以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)有 時與三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等相結(jié)合，考查考生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的靈活性 . 本專題重點說明應(yīng)用基本不等 式解題的常見類型 .1、基本不等式的幾個變形：1） a b 2 ab a,b 0 ：多用在求和式的最小值且涉及求和的項存在乘積為定值的情況2) abab22：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項存在和為定值的情況223） a2 b2 2ab ，本公式雖然可由基本不等

2、式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等式的適用范圍 a,b R2、利用均值不等式求最值遵循的原則： “一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法（ 2）定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點： 若求最值的過程中多次使用均值不等式， 則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立 （彼此不沖突） 若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始 范圍 .3、常見求最值的題目類型（1）構(gòu)造 乘積與和為定值的

3、情況2）已知 ax by1 （ a為常數(shù)），求 m n 的最值， xy此類問題的特點在于已知條件中變量位于分子（或分母）位置上，所求表達(dá)式變量的位置恰好相反，位于 分母（或分子）上，則可利用常數(shù)“1”將已知與所求進(jìn)行相乘，從而得到常數(shù)項與互為倒數(shù)的兩項，然后利用均值不等式求解 .（3）運用均值不等式將方程轉(zhuǎn)為所求式子的不等式，通過解不等式求解：例如：已知 x 0,y 0,2x y xy 4，求 2x y 的最小值解：xy2x2x y22x y 28所以2xxy2x y22x y48即 2x8 2x320 ，可解得 2x y 4 34 ，即 2x y min 4 3 4注：此類問題還可以通過消元

4、求解：2x y xy 44 2x ，1在代入到所求表達(dá)式求出最值即可，但要注意 y 0 的范圍由 x 承擔(dān)，所以 x 0,24、高中階段涉及的幾個平均數(shù)：設(shè)ai 0 i 1,2,L ,n1)調(diào)和平均數(shù)：Hnn1 1 L a1a2an2)幾何平均數(shù)：Gnn a1a2L an3)代數(shù)平均數(shù)：Ana1 a2 Lan4)平方平均數(shù)：Qn2an25、均值不等式：Hn Gn An Qn ，等號成立的條件均為：a1a2an特別的，當(dāng) n 2 時， G2A2ab a b 即基本不等式2【經(jīng)典例題】例 1. 【2018 屆遼寧省遼南協(xié)作校高三一?！縧galgb 0 且ab，A. 2 2,B.2 2,C.2 2,

5、33,D.則2a2 2,3 3,1 的取值范圍為()b答案】 A解析】 lga lgb 0 且 a blgab 0 ，即 ab 1.2 1 ab 2b a 2 2ab 2 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) a 2b 2 時取等號 ab21 的取值范圍為 2 2,ab故選 A.例 2. 【 2018屆云南省曲靖市第一中學(xué) 4 月監(jiān)測卷（七） 】若直線平分圓，則 的最小值為（ ）A.B. 2 C.D.答案】 C則當(dāng)且僅當(dāng)，即 時取等號） . 故選 C例 3.2018 屆北京師范大學(xué)附中二?！恳阎?， ，并且 ， 成等差數(shù)列，則 的最小值為）A. 16 B. 9 C. 5 D. 4成等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng) 且 ，即 時等號

6、成立 . 選 A.例 4. 【2017天津，理 12】若 a,b R ，44ab 0 ，則 a 4b 1的最小值為ab答案】 4【名師點睛】 利用均指不等式求最值要靈活運用兩個公式， （1）a,b R,a2 b2 2ab ，當(dāng)且僅當(dāng) a b時 取等號；（2） a,b R ， a b 2 ab ，當(dāng)且僅當(dāng) a b時取等號；首先要注意公式的使用范圍，其次 還要注意等號成立的條件；另外有時也考查利用“等轉(zhuǎn)不等”“作乘法”“1 的妙用”求最值 .例 5. 已知非零向量 ， ，滿足 ， ，則 的最大值為 .【答案】【解析】分析：詳解：展開式的通項公式為，整理得，故答案是 .例 7【2018 屆百校聯(lián)盟高

7、三 TOP20四月聯(lián)考】已知的內(nèi)角 的對邊分別為，若所以 的最大值為 .例 6. 【2018 屆廣東省模擬（二） 】已知， ， 展開式的常數(shù)項為 ，則 的最小值為 【答案】【解析】分析：由題意在二項展開式的通項公式中，令 的冪指數(shù)等于零，求得 的值，可得展開式的常數(shù) 項，再根據(jù)展開式的常數(shù)項為 ，確定出 ，再利用基本不等式求得 的最小值 .【答案】，即 所以，所以 ，所以，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立，所以 的最小值為故答案為：18例 8. 【2018 屆北京市北京 19中十月月考】已知正數(shù) x,y滿足 x 2y 2,則的最小值為 .yx【答案】 9【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用 . 利用基本

8、不等式求帶有限制條件的不等式的最值問題時， 要合理配湊，如本題中將 1 8 等價變形為 1 8 x 2y 4x 8y ，再利用基本不等式的條件 （一正、 二定、 三相等） y x y x 2y x進(jìn)行求解 .例 9.【 2018屆四川省成都市石室中學(xué)二診】 已知四面體 ABCD的所有棱長都為,O 是該四面體內(nèi)一點 ,且點和 y, 則 + 的最小值是O 到平面 ABC、平面 ACD、平面 ABD、平面 BCD的距離分別為 ,x,答案】答案】 ；. 各個面的面積為, 所以四面體的體積解析】 該幾何體為正四面體 , 體積為, 化簡得,故【點睛】本小題主要考查正四面體體積的計算 , 考查利用分割法求幾

9、何體的體積 , 考查了方程的思想 , 考查了 利用基本不等式求解和的最小值的方法. 首先根據(jù)題目的已知條件判斷出四面體為正四面體 ,由于正四面體的棱長給出 ,所以可以計算出正四面體的體積 , 根據(jù)等體積法求得的一個等式 , 再利用基本不等式求得最小值 .例 10. 【 2018 屆湖南省株洲市統(tǒng)一檢測二】已知數(shù)列的前 項和為 ，且滿足 ，數(shù)列滿足 ，則數(shù)列 中第 項最小【答案】 4【解析】分析：由題可得到數(shù)列 為等差數(shù)列，首項為 1，公差為 1可得數(shù)列 滿足利用累加求和方法即可得出 可得 ，利用不等式的性質(zhì)即可得出時也成立則數(shù)列中第 4 項最小即答案為 4.精選精練】1已知二次函數(shù)的值域為 ，

10、則的最小值為 （A. 1 B. 3 C. 4D. 5答案】 B故選： B2【 2018 屆陜西省咸陽市三?！?已知圓的半徑為 1， ， ， ， 為該圓上四個點， 且 ，則 面積的最大值為（ ）A. 1 B. C. D.【答案】 A 【解析】分析：利用向量關(guān)系，判斷四邊形的形狀，然后求解三角形的面積的最大值即可詳解：如圖所示由知， ABDC為平行四邊形，又 A， B，C， D 四點共圓， ABDC 為矩形，即 BC 為圓的直徑，所以當(dāng) AD是圓的直徑時，面積的最大當(dāng) AB=AC 時， ABC 的面積取得最大值為.故答案為： A點睛：本題主要考查向量的平行四邊形法則和基本不等式等基礎(chǔ)知識 . 看到

11、 ，聯(lián)想到平行四邊 形法則，是解題的一個關(guān)鍵 . 平面向量里高考的高頻考點有向量的加法法則、減法法則、平行四邊形法則、 基底法和坐標(biāo)法等，要做到心中有數(shù) .3設(shè) A、B分別為雙曲線（a0，b0）的左、右頂點， P 是雙曲線上不同于 A、 B的一點，直線AP、 BP的斜率分別為 m、n，則當(dāng)取最小值時，雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D.【答案】 D點睛： 解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式， 再根據(jù)的關(guān)系消掉 得到 的關(guān)系式， 而建立關(guān)于 的方程或不等式， 要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、 點的坐標(biāo)的范圍等 .4【 2018 屆河北省衡水金卷

12、一模】已知點分別在正方形 的邊 上運動，且 ，設(shè)， ，若 ，則 的最大值為（ ）A. 2 B. 4 C. D.【答案】 C【解析】 , 又因為 , 當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時取等號 , 即 的最大值為 , 故選 C.5【 2018 屆貴州省貴陽第一中學(xué)月考卷（七） 】實數(shù) ， ， 滿足 且 ，則下列 關(guān)系式成立的是（ ）A. B. C. D.【解析】.故選 A【答案】 A由 綜上，可得6【 2018屆浙江省嘉興市 4 月模擬】已知（ ），則 的最小值為（ ）A. B. 9 C. D.【答案】 B7【 2018 屆山東省天成大聯(lián)考第二次】若， 且 ，則 的最小值為（ ）A. 2 B. C. 4 D.【

13、答案】 B【解析】 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，又 ，即，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立， 的最小值為 ，故選 B.8在 VABC中 a,b,c分別是角 A, B, C的對邊 ,且 a c 2b,則角 B的取值范圍是 A. 0, B. , C. , D. 0,63 26 23答案】 D點睛：本題考查了余弦定理和基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用，解答中利1用題設(shè)條件和余弦定理、基本不等式求得 cosB ，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考2查了推理與計算能力9【2018 屆山西省一?！?若點 為圓 上的一個動點， 點 ， 為兩個定點， 則的最大值為（ ）A. B. C. D.【答案】 B【解析】 APB=90，由不等式可得故選： B10【 2018 屆安徽省宣城市第二次調(diào)研】已知函數(shù)x 2x sinx ，若正實數(shù)a,b滿足faf 2b 1【答案】942【解析】因為fx此由 faf 2b140 ，則的最小值是abcosx 0,fx 2x sinx f x ，所以函數(shù) fx 為單調(diào)遞增奇函數(shù)，因0 ，得 f af 2b 1f 1 2b a 1 2b,a2b 1,1 4 1 4 因此 1 4 1 4 a2b2b 94a9 2 2b4a9 4 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) b 2a 時取等號 .a b a babab11已知直線恒