1、第八章 有限元離散方法 （二維問(wèn)題）8.2 二維邊值問(wèn)題有限元方法1）討論對(duì)象：橢圓型偏微分方程邊值問(wèn)題 2）轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題 其中找一個(gè)函數(shù)uV, 滿足找一個(gè)函數(shù) ，滿足3）有限元離散的有限維子空間下面通過(guò)找基函數(shù)來(lái)構(gòu)造有限維子空間uV 定義區(qū)域離散1）單元編號(hào)，節(jié)點(diǎn)編號(hào)，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 3）邊界點(diǎn)相關(guān)信息2）節(jié)點(diǎn)的局部和整體編碼對(duì)應(yīng)關(guān)系三角形網(wǎng)格剖分 uV 定義區(qū)域離散單元2 任一個(gè)單元的頂點(diǎn)不能是其他三角形的內(nèi)點(diǎn)或除頂點(diǎn)之外的邊界點(diǎn)1 區(qū)域被分割成有限個(gè)互不重疊的三角形單元區(qū)域三角形網(wǎng)格剖分要求：3 單元最小角有下界，盡量大些4 任一個(gè)單元至多有兩個(gè)頂點(diǎn)在邊界上5 解變化劇烈處結(jié)點(diǎn)密些，變化平緩

2、處結(jié)點(diǎn)疏些內(nèi)部節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)頂點(diǎn)(節(jié)點(diǎn))編號(hào)頂點(diǎn)總數(shù)坐標(biāo)結(jié)點(diǎn)編號(hào)原則：（1）單元內(nèi)3個(gè)編號(hào)差盡可能的小例如上例中，兩圖單元?jiǎng)澐窒嗤?，且?jié)點(diǎn)總數(shù)都等于14，但兩者的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方式卻完全不同。(a)圖結(jié)點(diǎn)編號(hào)是按長(zhǎng)邊進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)差d =7，若采取帶寬壓縮存儲(chǔ), 則剛性矩陣存儲(chǔ)量N =14*8=112；而(b)圖是按短邊進(jìn)行編號(hào)，d =2，N =42。顯然(b)的編號(hào)方式可比(a)的編號(hào)方式節(jié)省70個(gè)存儲(chǔ)單元。(a) (b)（2）先內(nèi)點(diǎn)后邊界點(diǎn)編號(hào)單元?jiǎng)偠染仃噯卧幪?hào)單元總數(shù)結(jié)點(diǎn)編號(hào)原則： 先內(nèi)點(diǎn)后邊界點(diǎn)，用3個(gè)結(jié)點(diǎn)號(hào)逆時(shí)針順序表示定義空間：找一個(gè)函數(shù)uV, 滿足找一個(gè)函數(shù) 滿足有限元離散子空間-線性

3、插值定義空間：記那么a,b,c滿足任取一個(gè)單元e上線性插值的基函數(shù)單元e的面積即，子空間Vh定義為4）化為代數(shù)方程組(4.1)單元分析(4.2)總體合成找一個(gè)函數(shù)滿足任取一個(gè)單元單元分析記函數(shù) 和 在結(jié)點(diǎn)的取值分別為面元?jiǎng)偠染仃嚲€元?jiǎng)偠染仃嚸嬖奢d向量線元荷載向量面元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算 設(shè)線元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算 面元荷載的計(jì)算線元荷載的計(jì)算總體合成記函數(shù) 和 在結(jié)點(diǎn)的取值分別為其中則設(shè)若討論對(duì)象：橢圓型偏微分方程邊值問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題 5）約束邊界處理其中找一個(gè)函數(shù) 滿足有限元化試探函數(shù)空間邊界節(jié)點(diǎn)編號(hào)若不在開(kāi)頭，總剛矩陣劃去邊界節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的行與列有限元法內(nèi)容總結(jié)1 明確微分方程2 轉(zhuǎn)化為變分形式；3

4、 有限元離散；區(qū)域剖分；確定單元基函數(shù)；4 轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程單元分析；總體合成；邊界條件的處理；5 解代數(shù)方程。 總結(jié)：實(shí)際計(jì)算步驟1）單元剖分 節(jié)點(diǎn)編號(hào)和坐標(biāo) 單元編號(hào)與對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)(i,j,m) 邊界條件節(jié)點(diǎn)編號(hào)2）有限元離散基函數(shù)單元號(hào)和單元頂點(diǎn)i處參數(shù)(ai,bi,ci) 計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚒卧奢d向量 合成總剛度矩陣與總荷載向量，形成代數(shù)方程組3）根據(jù)邊界調(diào)整K和F，即“掐頭或去尾”4）求解上代數(shù)方程組，得數(shù)值解例題：分析解：平面區(qū)域上無(wú)熱源的定常溫度場(chǎng)，兩邊給出溫度值，另兩邊給出絕熱條件采用三角形剖分，共16個(gè)單元，15個(gè)節(jié)點(diǎn)其中1）節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與編號(hào)2）基函數(shù)與相應(yīng)參數(shù)單元信息結(jié)點(diǎn)號(hào)(i,

5、j,k)參數(shù)值(4,1,5)(-0.5,1)(0,-1)(0.5,0)(2,5,1)(0.5,-1)(0,1)(-0.5,0)(5,2,6)通過(guò)計(jì)算可知，奇數(shù)單元上參數(shù)值相同, 偶數(shù)單元上參數(shù)值相同單元信息結(jié)點(diǎn)號(hào)(i,j,k)(4,1,5)(-0.5,1)(0,-1)(0.5,0)(2,5,1)(0.5,-1)(0,1)(-0.5,0)(5,2,6)單元1剛度矩陣奇數(shù)單元?jiǎng)偠染仃嚻鏀?shù)單元上的剛度矩陣等于 y 13 14 15 (13) (14) (15) (16) (1) (2) (3） (4) 1 2 3 0 1 2 x單元2的剛度矩陣偶數(shù)單元?jiǎng)偠染仃嚺紨?shù)單元上的剛度矩陣等于 y 13 14 15 (13) (14) (15) (16) (1) (2) (3） (4) 1 2 3 0 1 2 x擴(kuò)充單元?jiǎng)偠染仃嚡B加得總體剛度矩陣 y 13 14 15 (13) (14) (15) (16) (1) (2) (3） (4) 1 2 3 0 1 2 x半帶寬為4帶寬為7對(duì)稱3）邊界處理 y 13 14 15 (13) (