1、上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬松江實(shí)驗(yàn)學(xué)校 八年級(jí) 彭小珍20.2(3) 一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積問(wèn)題一、教材分析：從數(shù)學(xué)自身發(fā)展的過(guò)程來(lái)看，正是由于引進(jìn)了變量，確立了函數(shù)的思想，才使數(shù)學(xué)發(fā)生了重大轉(zhuǎn)折，實(shí)現(xiàn)了常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)的飛躍和發(fā)展，本章內(nèi)容是學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)一次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的延續(xù)和提高。這一章節(jié)的函數(shù)學(xué)習(xí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法對(duì)學(xué)生觀察問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題都十分有益。本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的定義、解析式、圖像、性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對(duì)一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積的深入研究，其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、方程的數(shù)學(xué)思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的觀察問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力起著重要的作用

2、，是發(fā)展學(xué)生用圖形研究數(shù)量關(guān)系，并把數(shù)量關(guān)系用圖形體現(xiàn)的各項(xiàng)能力的重要內(nèi)容。本節(jié)課在研究一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積的過(guò)程中，完美的融入著數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生感悟體會(huì)“代數(shù)問(wèn)題幾何化、幾何問(wèn)題代數(shù)化”的完美結(jié)合。教學(xué)對(duì)象分析：= 1 * GB3學(xué)生已經(jīng)掌握了一次函數(shù)的定義、解析式、圖像相關(guān)內(nèi)容，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了很好的知識(shí)儲(chǔ)備；= 2 * GB3學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性比較高，基本比較扎實(shí)，已經(jīng)初步具有對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行合作探究的能力；三、教學(xué)設(shè)計(jì)思路：基于學(xué)生對(duì)利用圖形面積求一次函數(shù)解析式時(shí)暴露的三個(gè)方面的問(wèn)題：(1)用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式時(shí)，由于缺乏數(shù)學(xué)抽象能力，對(duì)用含有字母的式子表

3、示點(diǎn)的坐標(biāo)很生疏；(2)在點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度互相轉(zhuǎn)化時(shí)，由于不能區(qū)別兩者之間的必然聯(lián)系，總會(huì)漏掉一種情況；(3)對(duì)數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、方程的思想領(lǐng)悟不透，導(dǎo)致不能很好地利用這些數(shù)學(xué)思想便捷地求解一次函數(shù)的解析式或者檢驗(yàn)結(jié)論的正確性。我對(duì)本課內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了由表及里、以點(diǎn)帶面的本質(zhì)性歸納和梳理，希望學(xué)生們能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，領(lǐng)悟本節(jié)課所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，所以盡可能把題目設(shè)計(jì)的有坡度便于學(xué)生們發(fā)散思維、合作探究。問(wèn)題引入（展現(xiàn)作業(yè)）梳理與歸納（解題步驟）問(wèn)題探究（把握本質(zhì)）問(wèn)題拓展（尋找實(shí)質(zhì)）課堂小結(jié)（領(lǐng)悟思想）基于本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)和八年級(jí)學(xué)生的年齡

4、特征，我以“啟發(fā)式”體驗(yàn)教學(xué)法為主來(lái)完成教學(xué)，讓學(xué)生在問(wèn)題解決的情境中，在教師的引導(dǎo)啟發(fā)下，同學(xué)的合作幫助下，通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。教師轉(zhuǎn)眼于引導(dǎo)，學(xué)生著眼于探索。整個(gè)過(guò)程側(cè)重于學(xué)生能力的提高，思維的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)的體檢。四、現(xiàn)代化教學(xué)手段：PPT、幾何畫板五、教學(xué)目標(biāo)（1） 通過(guò)本節(jié)課的復(fù)習(xí)，會(huì)利用一次函數(shù)解析式求一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積；會(huì)利用圖形面積求一次函數(shù)解析式，并發(fā)現(xiàn)求一次函數(shù)解析式的本質(zhì)； （2）經(jīng)歷分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的探究過(guò)程，感悟數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、方程的數(shù)學(xué)思想； （3）通過(guò)歸納、梳理解題方法與策略，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)； （4）

5、在與“出入相補(bǔ)”原理建立聯(lián)系的過(guò)程中感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)的有用與有趣。六、重難點(diǎn)重點(diǎn)：用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想求一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積；難點(diǎn)：用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想根據(jù)一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積求一次函數(shù)解析式.七、教學(xué)流程（一）問(wèn)題引入 復(fù)習(xí)引入：求一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成 的三角形面積設(shè)計(jì)說(shuō)明：這是20.2（2）的一道課后練習(xí)題，以這道題為出發(fā)點(diǎn)，把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)自于現(xiàn)實(shí)情景，也讓學(xué)生整體感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯性和循序漸進(jìn)性，通過(guò)整體分析，學(xué)生解答，最后梳理解題步驟.歸納梳理：一次函數(shù)解析式 點(diǎn)的坐標(biāo) 轉(zhuǎn)化 線段長(zhǎng)度 圖形面積（二）問(wèn)題探討問(wèn)題1：求一次函數(shù)，的圖像和軸所

6、圍成的三角形面積.設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)類比感受求一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積的通性通法，尋求解題本質(zhì).變式1:求一次函數(shù)，的圖像和軸所圍成的三角形面積_.設(shè)計(jì)說(shuō)明：學(xué)生自己解決，上臺(tái)展示。這是對(duì)問(wèn)題（1）的變式，也是對(duì)問(wèn)題（1）的靈活運(yùn)用，更為問(wèn)題（3）的面積和差做好鋪墊。變式2:求一次函數(shù)，的圖像和坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積是_.設(shè)計(jì)說(shuō)明：學(xué)生討論，總結(jié)方法，融入古老的數(shù)學(xué)思想“出入相補(bǔ)原理”即割補(bǔ)法，并滲透求多邊形的面積的基本方法.問(wèn)題2：求一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是4，求的值.設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)逆向思維讓學(xué)生感知點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化時(shí)的異同，并對(duì)暴露出學(xué)生容易漏解的問(wèn)題進(jìn)行引導(dǎo)和

7、指正，并梳理出解決此類問(wèn)題的不同解法為下變式中方法的選取做好鋪墊.變式：求一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是6，則一次函數(shù)解析式是_.設(shè)計(jì)說(shuō)明：對(duì)上一問(wèn)題的靈活運(yùn)用，強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類討論、數(shù)形結(jié)合和方程思想.（三）思維拓展拓展：正比例函數(shù)y=kx(k0)將一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積分成了面積相等的兩部分，求正比例函數(shù)的解析式.變式1：正比例函數(shù)將一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積分成了面積為1:3的兩部分，求正比例函數(shù)的解析式.變式2：一次函數(shù)將一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積分成了面積為1:3的兩部分，求一次函數(shù)的解析式.設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)系列拓展練習(xí)的探究意在

8、讓學(xué)生嘗試不同方法帶來(lái)的利弊，也通過(guò)拓展把握由圖形面積求一次函數(shù)解析式的本質(zhì)，并在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中蘊(yùn)含的各種數(shù)學(xué)思想及辨析意識(shí)和開(kāi)創(chuàng)意識(shí).（四）課堂小結(jié) 通過(guò)這節(jié)課，你有什么收獲？ 學(xué)到了 領(lǐng)悟了八、板書設(shè)計(jì)：歸納： 一次函數(shù)解析式交點(diǎn)坐標(biāo) 轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)度 圖形面積九、課后作業(yè)1、過(guò)點(diǎn)P（2,2）分別作、軸，垂足分別為點(diǎn)D、E，繞著點(diǎn) B（0， 4）旋轉(zhuǎn)直線AB，使得直線AB把四邊形ODPE的面積分為1:3 兩部分，求直線AB的解析式.2、過(guò)點(diǎn)P（2,2）分別作、軸，垂足分別為點(diǎn)D、E，平移直線AB， 使得平移后直線AB把四邊形ODPE的面積分為1:3兩部分，求平移后直線的 解析

9、式.十、教學(xué)反思根據(jù)“以人為本、以學(xué)定教”的教育理念，整堂課我把著眼點(diǎn)放在如何引導(dǎo)學(xué)生自主探究知識(shí)、獲得知識(shí)、逐步提高能力上，所以本節(jié)課的教學(xué)，我從學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，以學(xué)生自主探索，師生合作、生生合作為主線，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，從而突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。整節(jié)課是一個(gè)動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦猜想、動(dòng)手驗(yàn)證、鞏固應(yīng)用的動(dòng)態(tài)生成過(guò)程，注重學(xué)生能力的培養(yǎng)和習(xí)慣的養(yǎng)成。教師是整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的組織者，策劃者，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人。由于學(xué)生的層次不一，教師要全程關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)可能出現(xiàn)的突發(fā)事件，要因勢(shì)利導(dǎo)，隨機(jī)應(yīng)變，適時(shí)調(diào)整教學(xué)環(huán)節(jié)。同時(shí)將“教學(xué)反映”評(píng)價(jià)和“教學(xué)反饋

10、”評(píng)價(jià)相結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生的自主評(píng)價(jià)，努力推進(jìn)愉快教育的理念，把握評(píng)價(jià)的時(shí)機(jī)與尺度，實(shí)現(xiàn)評(píng)價(jià)主體和形式的多樣化，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激活課堂氣氛，使課堂教學(xué)達(dá)到最佳狀態(tài)。反思一：選題 1、一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積問(wèn)題，在滬教版八下教材第8頁(yè)的第二十章的第二節(jié)課的第二課時(shí)的課后練習(xí)中出現(xiàn)，而課后很多綜合性練習(xí)卻很多，基于這點(diǎn)我對(duì)教材進(jìn)行了深入的挖掘和延伸； 2、通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以在課堂上融合數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、方程的思想，這些數(shù)學(xué)思想是初中數(shù)學(xué)乃至高中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想； 3、本節(jié)課重點(diǎn)解決的問(wèn)題是同學(xué)們?cè)谟删€段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，總是漏掉一種情況，這一問(wèn)題的本質(zhì)就是線段長(zhǎng)

11、度和點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)別與聯(lián)系，也是對(duì)k、b分類討論的應(yīng)用，更是對(duì)高中階段學(xué)習(xí)斜率的初步滲透，這樣能使初、高中相關(guān)知識(shí)得到有效銜接，為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。反思二：教學(xué)活動(dòng) 數(shù)學(xué)教育學(xué)的作者斯托利亞爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”。學(xué)生討論、合作交流和學(xué)生發(fā)言，就是使學(xué)生積極參與到數(shù)學(xué)教學(xué)的思維活動(dòng)中去，只有這樣才能充分發(fā)揮學(xué)生的主體。于是，我在教學(xué)設(shè)計(jì)中盡可能地先讓學(xué)生思考、討論、回答然后師生合作點(diǎn)評(píng)總結(jié)。反思三：教學(xué)思路 首先我通過(guò)一道上一課的課后練習(xí)，開(kāi)始有目的的復(fù)習(xí)，意在讓學(xué)生能通過(guò)自己的解題步驟領(lǐng)悟解決這種問(wèn)題的基本方法； 然后我通過(guò)一道系列問(wèn)題的探究，把問(wèn)題由特殊引向一般，題目的復(fù)雜化導(dǎo)致學(xué)生們的問(wèn)題暴露明顯，由學(xué)生講解學(xué)生點(diǎn)評(píng)，師生互動(dòng)，更能體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位。反思四：教學(xué)效果 雖然本課梳理了兩種方法求解一次