1、線性代數(shù)在捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)中的運用學號：BX1503537姓名：李子月摘要：線性代數(shù)是捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)算法實現(xiàn)的數(shù)學理論基礎，對導航算法研究具有重要指導意義。文章對捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)的標定測試、導航解算算法進行了 推導，針對線性代數(shù)理論中集合、線性空間、線性變換等思想在上述算法中的應用情況和重要性進行了重點分析，最后對線性代數(shù)理論在工程上的應用情況以及 未來發(fā)展進行了總結和展望。關鍵字：線性代數(shù)、集合、線性變換、捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)；Abstract: Linear algebra is the mathematical basis of the strapdown inertial navigat

2、ion system (SINS), which has important guiding significance to the research of SINS algorithms. Calibration and navigation algorithms of SINS were deduced in this paper. The relation between SINS algorithms and linear algebra was discussed in detailed. The important concepts of linear algebra such a

3、s set, linear space and linear transformation were introduced. The basic situation of linear algebra concepts using in engineering was analyzed. Finally, the linear system theory in engineering application are summarized and the basic situation future development prospect. Key word: Linear algebra;

4、set; linear transformation; SINS 1引言線性代數(shù)是一門基礎學科，研究對象主要為集合、群、線性空間，被廣泛地 應用于抽象代數(shù)和泛函分析中。線性代數(shù)中的概念和思想在系統(tǒng)與控制理論中具 有重要的指導意義，例如映射、線性變換。映射是集合中一個重要的概念，反映 了一個集合中元素到另外一個集合元素的轉換關系1,不僅是數(shù)學中最重要的基 本概念和工具，在工程領域也有極其廣泛的應用。線性變換理論中引入的矩陣思想，為實際工程中方程求解、坐標系變換提供了巨大幫助。捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)以慣性基本原理為基礎，通過固聯(lián)在一起的加速度計和陀 螺儀分別測量出載體自身相對于慣性坐標系的加速度和角速度

5、2,并通過積分運算和姿態(tài)矩陣投影，獲取載體實時的姿態(tài)、位置、速度等信息。由于不接收也不 向外界發(fā)射信息，慣性導航系統(tǒng)具有自主性、隱蔽性、實時性、信息完備等一些 列優(yōu)勢，廣泛應用于軍事、工程和科學研究領域，例如飛機、艦船、潛艇、航天器、導彈、礦井、車輛等載體導航。捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)的標定測試、導航解算、組合導航冏等算法均大量運用了 映射、線性變換等線性代數(shù)思想，所以，線性代數(shù)理論可以為解決捷聯(lián)慣性導航 系統(tǒng)應用過程中的技術難題提供理論幫助。2捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)算法捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)算法主要包含標定測試算法、初始對準算法、導航解算算 法和組合導航算法，下面對標定測試算法和導航解算算法進行推導o2.1標定

6、測試算法捷聯(lián)慣導系統(tǒng)的慣性組件通常包括互相正交安裝的三個陀螺和互相正交的其中加速度計的誤差模型三個加速度計。以石英撓性加速度計及激光陀螺為例, 可寫為4:1fb =B；、Mafb - Da f b2；aBax! Sax M axYMaxzlPfxb I-daxBayM ayXSayM ayZfyb-Baz.MazX M azY0.00dax000daxIJLb2 yb2 z式中，B；:加速度計零偏向量；fb：加速度計輸入比力向量；6Ma：加速度計安裝誤差及刻度系數(shù)誤差矩陣；Da :與加速度計二次項相關的誤差矩陣；加速度計隨機噪聲向量同理可得激光陀螺誤差模型為:、。=B： 、：Mg- 0；g-B

7、gxlSgxBgyMgyX_Bgz 一”gzXMgxYSgyMgzYM,M,S,gxzgyzgzJKJ L；gxgygz標定技術是捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)的關鍵技術，慣性器件在正式使用前都需要進 行精密標定，以得到加速度計及陀螺的各項誤差參數(shù)并對其進行補償。根據(jù)標定 原理和方法不同，標定方法種類較多，本文對十二位置分離標定方法進行推導。MSIMaxYayaxZayZazYSaz J Laz J J十其中Yai (i =x, y,z )為加速度計輸出，ai (i =x, y, z)為加速度計輸入，3(i = x,y,z)為干擾噪聲。其余參數(shù)為待估計量。以X加速度計為例,根據(jù)表1中各位置加速度計輸入以及采

8、集不同位置下加速度計的輸出，可列出 式如下：12個方程，寫成矩陣形-Yax(1 )1-10g00(1)1Yax (2 )10g00%x(2)yax (3 )10g00；ax (3 )yax (4 )10g00Kax。1S；ax(4)yax (5 )1g000w%x(5)yax (6)=1002 ggaxMaxY+；ax(6)yax (7)1一g0020MaxZw%x(7)yax (8 )yax (9 )11000-gg0-g 0-dax -;ax一(9)yax(10)10-g00zax(10)yax(11)10-g00Jzax(11):yax (12)10-g00zax(12)_記為:Yax

9、=：,axKax，根據(jù)最小二乘理論，由轉動位置可以保證 ：xax滿秩,從而待求參數(shù)Kax的最優(yōu)估計為:T,T-Kax = Max ,ax ax Yax用同樣的方法可以標定出Y軸和Z軸加速度計誤差模型系數(shù)的最優(yōu)估計。2.2姿態(tài)解算算法設由運載體的機體軸確定的坐標系為b ,慣導系統(tǒng)采用的導航坐標系為n,則由b系到n系的坐標變化矩陣C：稱為運載體的姿態(tài)矩陣。姿態(tài)更新是指根據(jù)慣性器件的實時輸出計算出C：矩陣。由于Cbg?述兩個坐標系之間的轉換關系，可以用一個姿態(tài)四元數(shù)Q與之對應?？梢越⒆藨B(tài)四元數(shù)的微分方程為:dQ 1 b -=_ ,nb 二 Qdt 2表示成矩陣形式為:其中式b為載體相對于導航系n的

10、旋轉角速度在載體系b下的投影，可由陀螺測qO一0-xf y9zlqi0 X08z9yqi一210V8z-z0V0-ax切X0 _q2州一為了避免噪聲的微Bz為X、 y、z陀螺在htk書采樣時間的角增量?？傻米藨B(tài)得。激光陀螺的輸出一般情況下是采樣時間間隔內(nèi)的角增量,1 Ik_ .3 L+ n dT 6bdTQ (tk* )= eQ(tk)0-x Ny 一01f-0-2， 一tk 4-0 x00 zy8 0其中，取AO =y.yy出=4k&y 0Z00 X8y-Ad0 z & yx01典 3分放大，應直接用角增量來確定四元數(shù)，則姿態(tài)四元數(shù)解為:- = z ze z730應-f0其中工、y四元數(shù)的更

11、新為:e)Q tk 1 =Q&)A0 sin 2cos十 AG-2 日其中年+3線性系統(tǒng)理論在捷聯(lián)慣性導航算法中的應用情況分析和總結由2.1和2.2節(jié)內(nèi)容可見，慣導系統(tǒng)標定算法和解算算法中大量運用了集合、 線性空間以及線性變換的思想。慣導標定算法中誤差的分離與解算是通過線性變換實現(xiàn)的，通過矩陣運算的 方式對各誤差參數(shù)求解。目前，如何設計最優(yōu)路徑實現(xiàn)慣導系統(tǒng)誤差的充分激勵 和分離是慣導標定算法領域研究的熱點和難點，而在線性代數(shù)領域，這是一個多 元未知數(shù)求解問題，因此，線性代數(shù)理論可指導慣導標定算法研究。慣導系統(tǒng)解算過程中涉及到慣性坐標系、 本體坐標系、導航坐標系轉換，該 坐標系轉換即是通過矩陣運算實現(xiàn)的。矩陣運算的過程中，多矩陣相乘存在不可 交換性，而慣性導航解算為了提高算法的效率， 矩陣未按照順序進行運算，算法 雖然對該部分誤差進行了補償，但殘余不可交換誤差仍會造成慣導系統(tǒng)圓錐誤 差。