1、高等數(shù)學(xué) 工科數(shù)學(xué)分析、 常微分方程基礎(chǔ)、 立體解析幾何第1頁(yè)，共56頁(yè)。第二章 一元微分學(xué)第2頁(yè)，共56頁(yè)。 微積分學(xué)的產(chǎn)生是科學(xué)史上最重大的成就之一。 其實(shí)早在公元前五世紀(jì)，從安蒂豐建立所謂的窮竭法，經(jīng)過(guò)歐多克索斯（公元前四世紀(jì)），到阿基米德(公元前三世紀(jì))的探索和發(fā)展，積分學(xué)就曾以另外一種面貌，局部的出現(xiàn)過(guò)（它比導(dǎo)數(shù)思想的出現(xiàn)早得多，當(dāng)然只要有積分，就會(huì)相應(yīng)的有微分的思想萌芽）。 牛頓和萊布尼茨，發(fā)展、整合前人成果，將微分與積分聯(lián)系起來(lái)形成一個(gè)系統(tǒng)，創(chuàng)立了微積分學(xué)。 在牛頓和萊布尼茨之前，笛卡爾，費(fèi)爾馬，巴羅（牛頓的老師）等人，曾經(jīng)為了確定曲線的切線以及函數(shù)的極大、極小值，運(yùn)用了微分或?qū)?/p>

2、數(shù)思想方法。盡管不太成熟，也往往局限于具體的問(wèn)題和計(jì)算。第3頁(yè)，共56頁(yè)。 但是，即便在他們運(yùn)用微積分學(xué)取得了巨大成功的時(shí)候，導(dǎo)數(shù)與微分，在概念的邏輯基礎(chǔ)上，依然存在著巨大的爭(zhēng)議-這便是所謂的無(wú)窮小危機(jī)。 直到十九世紀(jì)，極限概念形成并嚴(yán)格化之后，微積分學(xué)才有了相對(duì)穩(wěn)固的邏輯基礎(chǔ)。 我們將會(huì)看到，無(wú)論是導(dǎo)數(shù)、定積分還是無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，都是某種類(lèi)型的極限。僅從邏輯的角度講，極限是微積分學(xué)的“核”。真正掌握了極限理論，便不難理解微積分學(xué)中的所有重要概念。 但是不能忘記：數(shù)學(xué)理論的生命之源在于現(xiàn)實(shí)。微積分學(xué)不是純粹思辨和邏輯的衍生品。第4頁(yè)，共56頁(yè)。 任何有意義的理論，當(dāng)然包括數(shù)學(xué)，是人類(lèi)在解決各種問(wèn)

3、題中建立的。 數(shù)學(xué)理論總是抽象和形式化的。但正是因?yàn)檫@一點(diǎn)，它一經(jīng)產(chǎn)生，往往會(huì)反映更多的現(xiàn)實(shí)關(guān)系，有更廣泛的應(yīng)用范圍（簡(jiǎn)單考慮一下數(shù)）。 如果不能從理論和邏輯上深刻理解數(shù)學(xué)概念及其關(guān)系，便無(wú)法自由的應(yīng)用數(shù)學(xué)理論。但是如果不能將數(shù)學(xué)理論與現(xiàn)實(shí)關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，也無(wú)法深刻理解數(shù)學(xué)理論的意義。 導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生有著十分直接的現(xiàn)實(shí)背景，分別來(lái)自于力學(xué)和幾何學(xué)。第5頁(yè)，共56頁(yè)。第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)定義以及由定義求導(dǎo)1.導(dǎo)數(shù)概念 1.1問(wèn)題與理論抽象-概念的引入 第一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題：這個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生自力學(xué)，即如何確定（嚴(yán)格說(shuō)是定義）某時(shí)刻的瞬時(shí)速度； 第二個(gè)經(jīng)典問(wèn)題：這是一個(gè)與力學(xué)密切相關(guān)的幾何問(wèn)題?？紤]做曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在

4、每個(gè)瞬間，假設(shè)沒(méi)有外力影響，其運(yùn)動(dòng)的指向應(yīng)該是曲線上過(guò)該質(zhì)點(diǎn)所處位置的切線方向，那么曲線上某點(diǎn)處的切線應(yīng)該如何確定（定義）？ 第6頁(yè)，共56頁(yè)。 【例1】（變速直線運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度） 假設(shè)有一物質(zhì)做直線運(yùn)動(dòng)，取它運(yùn)動(dòng)時(shí)所形成的直線為數(shù)軸OS（圖2-1），物體位置S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的變化規(guī)律為S= f (t)，假設(shè)速度變化是連續(xù)的，現(xiàn)在來(lái)考慮物體在時(shí)刻t0的運(yùn)動(dòng)的快慢設(shè)t0去取增量t，在時(shí)刻t0處位置函數(shù)得到一個(gè)相應(yīng)的增量 S= f (t0+ t)- f (t0)即物體從時(shí)刻t0到時(shí)刻 t0+t的位移，我們稱(chēng) 為物體在時(shí)刻t0到時(shí)刻t0+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度第7頁(yè)，共56頁(yè)。OSS0= f (t0

5、)S0+S（圖2-1）S= f (t0+ t)- f (t0)第8頁(yè)，共56頁(yè)。 只有當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體在任意時(shí)刻的速度與平均速度v一致當(dāng)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，平均速度就不能準(zhǔn)確反映物體在時(shí)刻t0的運(yùn)動(dòng)速度，只能大致反映物體在這一時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動(dòng)的快慢 日常生活中，我們所說(shuō)的速度通常指的是平均速度，而科學(xué)技術(shù)中，卻往往要考慮某一具體時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)的快慢，通常意義下的速度并不能準(zhǔn)確的刻畫(huà)物體在這一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢為此我們需要引進(jìn)一個(gè)能夠準(zhǔn)確合理地描述它的量，這就是瞬時(shí)速度也就是科學(xué)技術(shù)中的“速度”的概念第9頁(yè)，共56頁(yè)。 平均速度v與t有關(guān)，t 很小時(shí)，v可近似看做時(shí)刻t0時(shí)的速度，顯然t 越

6、小，這樣的近似度越好自然地將t 0時(shí) 的極限，即當(dāng)作物體在時(shí)刻t0的運(yùn)動(dòng)速度，我們稱(chēng)它為時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，記作第10頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2】（平面曲線切線的斜率） 與切線的靜態(tài)定義：切線是與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線不同的是，我們從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)定義切線，即切線為變動(dòng)割線的極限位置例如M和N是曲線C上的兩點(diǎn)作割線MN當(dāng)N沿曲線C趨于M時(shí)，割線MN將繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT（如果它存在），直線MT就稱(chēng)為曲線C在點(diǎn)M處的切線 這里極限位置的含義是：只要弦長(zhǎng)MN趨于零，NMT也趨于零CMNT （圖2-2）第11頁(yè)，共56頁(yè)。 將上述幾何直觀轉(zhuǎn)化為代數(shù)分析（確定切線斜率）：設(shè)曲線C為一條連續(xù)的平面曲線

7、，其方程為y=f(x)M (x0 , y0)是曲線C上的一個(gè)點(diǎn)（圖2-3）在點(diǎn)M近旁任取C上的一點(diǎn)N (x , y)，于是割線MN的斜率為 當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M，即xx0時(shí)，如果上式的極限存在，設(shè)其為k，即xCyT （圖2-3） y=f (x)M (x0,y0)N (x,y)Oxx0第12頁(yè)，共56頁(yè)。1.3導(dǎo)函數(shù)：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)與在閉區(qū)間上可導(dǎo)1.4可導(dǎo)與連續(xù)：可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)未必可導(dǎo)（例）1.2導(dǎo)數(shù)的定義及相關(guān)概念-某點(diǎn)處可導(dǎo)與不可導(dǎo)； -相關(guān)的符號(hào)約定與導(dǎo)數(shù)無(wú)窮大； -左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)。 無(wú)論是瞬時(shí)變化率還是斜率，先要經(jīng)過(guò)除法計(jì)算！在這里抽象出來(lái)的共同形式為：差商及其極限。第三：廣義的瞬時(shí)

8、變化率。 特別之處在于，要確定在某一點(diǎn)或某一瞬間處的值，所以便要取極限-無(wú)法擺脫的無(wú)限！第13頁(yè)，共56頁(yè)。 例 【例2-10】討論函數(shù)和函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性第14頁(yè)，共56頁(yè)。 2. 由定義求導(dǎo)數(shù)的例子：（2.1）常值函數(shù)與恒同函數(shù)（2.2）三角函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù)（y=cosx的導(dǎo)數(shù)）（2.3）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2.4）分段定義的函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。（2.4）函數(shù)乘積與倒數(shù)（以及商）的導(dǎo)數(shù)公式第15頁(yè)，共56頁(yè)。 例【例2-8】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x) 例【例2-9】求雙曲線 在 處的切線方程與法線方程，并證明此曲線上任意一點(diǎn) 處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于常數(shù)3.在幾何

9、問(wèn)題上的一個(gè)應(yīng)用（切線與法線方程）第16頁(yè)，共56頁(yè)。第二章第一節(jié)習(xí)題（作業(yè)）P89-902.（2,3）；3；4；6.（2）；8；9（1,3）；10；11；12.【10；11；12】.第17頁(yè)，共56頁(yè)。第二節(jié) 初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的初等化（計(jì)算法則） 問(wèn)題：不難看出，由定義求解導(dǎo)數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)，本質(zhì)上就是求極限。當(dāng)導(dǎo)數(shù)存在的時(shí)候，根據(jù)定義求導(dǎo)數(shù)，總是在考察兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限。盡管有各種極限運(yùn)算法則，很多極限的計(jì)算（因此由定義求解導(dǎo)數(shù)的計(jì)算）還是相當(dāng)復(fù)雜繁瑣。能否簡(jiǎn)化這些計(jì)算呢？哪怕僅僅是一部分簡(jiǎn)化，也是很有意義的。 思考：已知初等函數(shù)是由前面討論過(guò)的四個(gè)基本初等函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算、復(fù)合以及取反函數(shù)得到

10、的（甚至得到多一些）。如果由導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)，得到函數(shù)運(yùn)算時(shí)的求導(dǎo)法則，那么最低限度，初等函數(shù)的求導(dǎo)，就可以簡(jiǎn)單到初等運(yùn)算的程度了！第18頁(yè)，共56頁(yè)。 但是，別忘記了，定義才是基礎(chǔ)！ 任何運(yùn)算法則，總有其適用范圍。一旦所求導(dǎo)數(shù)不在這個(gè)適用范圍之內(nèi)，我們還是要回到定義。 迄今為止，我們接觸到的函數(shù)運(yùn)算（即由有限個(gè)函數(shù)經(jīng)適當(dāng)?shù)囊?guī)則獲得一個(gè)新的函數(shù)），主要是四則運(yùn)算，函數(shù)的復(fù)合，以及取反函數(shù)。 所以我們首先討論求導(dǎo)數(shù)與這些運(yùn)算之間有規(guī)律性的關(guān)系，給出固定的公式-即相關(guān)的運(yùn)算法則。 其次，討論兩類(lèi)特殊形式的函數(shù)關(guān)系-隱函數(shù)和參數(shù)方程（包括極坐標(biāo)表示）-的求導(dǎo)法則，并分別： 由隱函數(shù)求導(dǎo)法則引出一個(gè)技巧（

11、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法）； 由參數(shù)表示的函數(shù)引出“相關(guān)變化率”的概念。第19頁(yè)，共56頁(yè)。例 【例2-15】假設(shè)某物體沿直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是S=3t 4-20t 3+36t 2，問(wèn)該物體何時(shí)向前運(yùn)動(dòng)，何時(shí)向后運(yùn)動(dòng)1.函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則-證明與例1.1函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)公式（務(wù)必熟記）1.2例題（1）多項(xiàng)式函數(shù)； （2）正切和余切函數(shù)（附注：雙曲函數(shù)都是指數(shù)函數(shù)四則運(yùn)算得到的，其導(dǎo)數(shù)計(jì)算很簡(jiǎn)單）； （3）正割和余割函數(shù)； （4）指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積。 1.3在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用第20頁(yè)，共56頁(yè)。 2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2.1 公式與證明（區(qū)分中間變量增量=0和不為0-關(guān)于等式的規(guī)定）。注2：需要特

12、別注意導(dǎo)數(shù)符號(hào)的使用和意義，區(qū)別中間變量與初始變量。特別是要明確：導(dǎo)數(shù)符號(hào)所表示的是以哪一個(gè)變量為自變量在求導(dǎo)數(shù)。注3：在熟練之后，計(jì)算的時(shí)候不必將中間變量都用其它變量符號(hào)表示出來(lái)。但一定要心中有數(shù)。注意到注2中所說(shuō)的，不要引起混亂。2.2多重函數(shù)復(fù)合與鏈?zhǔn)椒▌t注1：鏈?zhǔn)椒▌t，在求導(dǎo)過(guò)程中，幾乎時(shí)時(shí)在用。需多做練習(xí)，熟練掌握。第21頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2.2-16】 【例4.2-18】【例1】一般冪函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。注：一般的冪函數(shù)是被看做指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合。2.3計(jì)算舉例第22頁(yè)，共56頁(yè)。 一個(gè)小結(jié)：到目前為止，我們已經(jīng)可以計(jì)算多項(xiàng)式、有理分式、 一般的冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及雙曲函

13、數(shù)、以及這些函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算、復(fù)合所得到的各種函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)了。 對(duì)數(shù)函數(shù)以及反三角函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式，我們還沒(méi)有給出來(lái)。盡管可以利用某些極限由定義得到這些函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，但是我們想給出更一般的運(yùn)算法則。 我們知道，對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)。如果可以用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，那么就解決了所有初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，并所得更多一些。第23頁(yè)，共56頁(yè)。3反函數(shù)求導(dǎo)法則 3.1公式與證明（注意只要求在一段區(qū)間可逆）。 注1：這個(gè)結(jié)果可以特別容易的從幾何直觀上觀察到。坐標(biāo)平面上的一條曲線，若在某點(diǎn)處有切線。那么在顛倒兩個(gè)變量之后，即把原來(lái)的橫軸換成縱軸，曲線也變換到與

14、對(duì)角線對(duì)稱(chēng)的位置上，該切線的斜率，恰好是原來(lái)斜率的倒數(shù)。只要原來(lái)的斜率不是0，那么變換之后的切線斜率也就存在（不是無(wú)窮大）。 注2：利用這個(gè)法則，需要注意的是，直接利用反函數(shù)求導(dǎo)法則得到的表達(dá)式，其導(dǎo)函數(shù)中的變量是因變量符號(hào)，所以需要利用原來(lái)的函數(shù)關(guān)系，將其變換為自變量表示的函數(shù)。第24頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2-20】求反正弦函數(shù) y= arcsin x 的導(dǎo)數(shù) 【例2-21】求反正切函數(shù) y= arctan x 的導(dǎo)數(shù)3.2例題【例】求對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 注：在變換過(guò)程中，注意到y(tǒng)= arcsin x中的y僅在正負(fù) /2之間，所以cosy只取正值。類(lèi)似考慮arccosx導(dǎo)數(shù)公式中變量代換的符號(hào)取

15、法。 其它反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式作為練習(xí)。現(xiàn)在可以說(shuō)：初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都在掌握之中了！第25頁(yè)，共56頁(yè)。 而且從已知的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以看出，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是初等函數(shù)。 不過(guò)，某些初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的定義域會(huì)有一些變化，即導(dǎo)函數(shù)的定義域有可能比原函數(shù)的定義域少一些點(diǎn)。比如：x的0.5次方，其導(dǎo)數(shù)在0點(diǎn)無(wú)定義。 但是正如前面介紹初等函數(shù)的時(shí)候曾經(jīng)指出，某些重要的函數(shù)關(guān)系，不見(jiàn)得可以直接表示為初等函數(shù)，比如有：隱函數(shù)和參數(shù)表示的函數(shù)關(guān)系。 然而這些函數(shù)關(guān)系的表達(dá)，又往往都是借助于初等函數(shù)列出的方程。那么是否也可以建立某些求導(dǎo)計(jì)算法則，避免只從定義出發(fā)求導(dǎo)呢？第26頁(yè)，共56頁(yè)。4隱函數(shù)求導(dǎo)法

16、則4.1基本計(jì)算方法（暫時(shí)不證明）設(shè)有函數(shù)關(guān)系y=f（x）由方程F（x，y）=0給出。 其方程隱含著這樣的關(guān)系：F（x，f（x）=0。 如果，在式子F（x，y）中，將y看作常量，對(duì)F求對(duì)于自變量x的導(dǎo)數(shù)，所得公式記為： ； 將x看作常量，對(duì)F求對(duì)于自變量y的導(dǎo)數(shù)，所得公式記為： 。那么隱函數(shù)求導(dǎo)法則表示為：=0,或者第27頁(yè)，共56頁(yè)。（3） 。 注：在這個(gè)公式中，f(x)的導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式中往往會(huì)有兩個(gè)變量，尤其是含有因變量y.但這是沒(méi)辦法的事，畢竟原來(lái)就不能將函數(shù)關(guān)系以顯函數(shù)的方式表達(dá)出來(lái)。 但是能夠給出關(guān)系式，總是很有意義的。 上面給出的法則，是以抽象的公式給出的，下面通過(guò)具體計(jì)算，領(lǐng)會(huì)這個(gè)

17、法則是怎樣應(yīng)用的。第28頁(yè)，共56頁(yè)。 4.2隱函數(shù)求導(dǎo)法則的例題： 【例2-22】已知函數(shù)y=y(x)由方程 確定，求 【例2-23】求橢圓 在點(diǎn) 處的 切線方程和法線方程第29頁(yè)，共56頁(yè)。 4.3對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 計(jì)算函數(shù)乘法的導(dǎo)數(shù)，尤其是在乘積因式很多的情況下，往往非常繁瑣。 利用兩邊取對(duì)數(shù)，可以將乘積積變?yōu)榧臃ā?注意到，由于在y=f(x)的兩邊都取對(duì)數(shù)，所得到的公式，在形式上就是一個(gè)隱函數(shù)。 這時(shí)利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則，往往可使某些導(dǎo)數(shù)的計(jì)算簡(jiǎn)化。 下面給出幾道例題：第30頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2-25】 【例2-24】第31頁(yè)，共56頁(yè)。5 參數(shù)式函數(shù)的求導(dǎo)法則 5.1說(shuō)明：參數(shù)式函數(shù)關(guān)系，

18、一種間接或局部的函數(shù)關(guān)系表達(dá)方式。往往有更廣泛的應(yīng)用范圍。 5.2一般參數(shù)式函數(shù)求導(dǎo)公式及其證明 注1：如果將y 看做x的函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)(dy/dx），那么只要x 對(duì)t 的瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）不為零，參數(shù)求導(dǎo)的公式就有效。事實(shí)上，這時(shí)候，起碼在一段區(qū)間上，y 確實(shí)是x 的函數(shù)。 注2：這里涉及幾個(gè)導(dǎo)數(shù)，要搞清楚的是，作為曲線切線斜率的導(dǎo)數(shù)，到底是在哪個(gè)坐標(biāo)平面上的曲線的切線斜率。第32頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2-27】設(shè)半徑為a的動(dòng)圓在x軸上無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，A是圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，開(kāi)始時(shí)點(diǎn)A在原點(diǎn)O處設(shè)參變量為 ，如圖2-6所示則點(diǎn)A的軌跡方程為該曲線稱(chēng)為擺線或旋輪線證明擺線上任一點(diǎn)A(x,y)處的法線必

19、通過(guò)圓與x軸相切的切點(diǎn)BABOxy圖2-65.3例題第33頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2-29】設(shè)雨滴為球體狀，若雨滴聚集水分的速率與表面積成正比，證明雨滴半徑增加的速率為一常數(shù) 【例2-28】求心形線 在對(duì)應(yīng)于 的點(diǎn)處的切線和法線方程5.3對(duì)極坐標(biāo)表示的曲線的幾何性質(zhì)分析 注意，矢徑對(duì)幅角的變化率，并非其所表示曲線的切線斜率。求切線方程還須變換到x-y平面。利用y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)討論曲線的切線或法線方程。5.4相關(guān)變化率-參數(shù)方程組中參數(shù)t的幾個(gè)因變量之間的變化率往往也是相關(guān)的。有時(shí)可利用這種關(guān)系使計(jì)算簡(jiǎn)明。下面舉兩個(gè)例子說(shuō)明這一點(diǎn)。第34頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2-30】某人以2m/s的速度通過(guò)一座橋，橋面

20、高出水面20m，在此人的正下方有一條小船以 m/s的速度在與橋垂直的方向航行，求經(jīng)過(guò)5s后，人與小船相分離的速度20mxys橋面水面注：其實(shí)此類(lèi)問(wèn)題也可直接計(jì)算，不必借用相關(guān)變化率。 采用什么方法，主要是看哪一種簡(jiǎn)單。第35頁(yè)，共56頁(yè)。第二章第二節(jié)作業(yè)（習(xí)題2-2）P99-1003.（2,4,5）；4；5（4,6,7,8）；6；7.（1,3）；9（1,3）；10；11；12（2）；14.15,16作為自己訓(xùn)練的練習(xí)題。第36頁(yè)，共56頁(yè)。第三節(jié) 微分-概念、意義與計(jì)算3.1 微分的定義（1）微分概念的定義及符號(hào)表示（自變量微分符號(hào)的含義）（2）因變量的增量與因變量微分之間的關(guān)系（3）導(dǎo)數(shù)與微

21、分的關(guān)系-可微當(dāng)且僅當(dāng)可導(dǎo)。 （3+）函數(shù)微分的幾何意義-以直代曲。 （2+）線性與主部-代數(shù)意義-因變量增量與其微分之差是自變量增量的高階無(wú)窮小(簡(jiǎn)單例子) 。（4）導(dǎo)數(shù)與微商-含義與形式表達(dá)式第37頁(yè)，共56頁(yè)。注：在用微商表示導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，無(wú)論是因變量的微分還是自變量的微分，都不是什么無(wú)窮小。從它們被引入的方式看，其實(shí)都是在導(dǎo)數(shù)已經(jīng)存在的情況下，利用已知導(dǎo)數(shù)組成的表達(dá)式。但是這種形式上的關(guān)系，也給某些計(jì)算的表示帶來(lái)了很多方便。3.2微分的運(yùn)算公式（1）基本初等函數(shù)的微分公式（自讀-略）。（2）四則運(yùn)算的微分公式（注意熟悉表達(dá)形式）。（3）復(fù)合函數(shù)的微分-一階微分形式不變性。（4）求微分和利

22、用微分形式求導(dǎo)數(shù)的例題第38頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2-31】設(shè)函數(shù) y =x 3求（1）函數(shù)在x=1和x=3處的微分（2）函數(shù)在x=1處x=0.01時(shí)增量和微分 【例2-32】設(shè) 【例2-33】求由方程 y=sin(x+y)確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【例2-34】利用微分計(jì)算sin1和cos46 的近似值第39頁(yè)，共56頁(yè)。3.3微分的應(yīng)用-近似計(jì)算與誤差估計(jì)（1）由等價(jià)無(wú)窮小得到的一些近似計(jì)算關(guān)系。（2）兩道例題-三角函數(shù)的近似計(jì)算（見(jiàn)前頁(yè)）； 核彈頭爆炸當(dāng)量的效率分析（見(jiàn)后頁(yè)，待定）。（3）誤差估計(jì) 絕對(duì)誤差限；相對(duì)誤差限。幾個(gè)概念：絕對(duì)誤差；相對(duì)誤差； 直接測(cè)量值與間接測(cè)量值（利用函數(shù)）例題（見(jiàn)下

23、頁(yè)）第40頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2-36】設(shè)測(cè)得圓的直徑D=60.03mm，測(cè)量D的絕對(duì)誤差限0=0.05，利用公式計(jì)算圓的面積時(shí)，試估計(jì)面積的誤差 第二章第三節(jié)作業(yè)：P1071（2,4,6）；2（2）；3（1）；4。 微分的計(jì)算比較簡(jiǎn)單，幾乎沒(méi)有新東西。人們也比較容易記住利用它做近似計(jì)算。但是微分的概念及其意義，卻往往被人忘記。 希望能很好地理解并記住這個(gè)概念！第41頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2-35】（為什么不宜制造當(dāng)量級(jí)太大的核彈頭） 核武器具有極大的殺傷力，核彈的爆炸量，即核裂變或聚變時(shí)釋放出的能量，通常用相當(dāng)于多少千噸TNT炸藥的爆炸威力來(lái)衡量已知核彈頭在與它的爆炸量的立方根成正比的距離內(nèi)，

24、會(huì)產(chǎn)生每平方厘米0.3516kg的超壓，這種距離稱(chēng)作有效距離若記有效距離為D，爆炸量為x，則二者的函數(shù)關(guān)系為其中，C為比例常數(shù)第42頁(yè)，共56頁(yè)。 又知當(dāng)x為100千噸TNT當(dāng)量時(shí)，有效距離D為32186kg于是解出，所以 如果爆炸當(dāng)量增加至10倍，即變?yōu)?000千噸TNT當(dāng)量時(shí)，則有效距離增加至約為100千噸TNT當(dāng)量時(shí)的2倍這說(shuō)明其作用范圍并沒(méi)有因爆炸量的大幅增加而顯著增加第43頁(yè)，共56頁(yè)。 下面來(lái)研究爆炸量與相對(duì)效率的關(guān)系所謂相對(duì)效率是指核彈的有效距離尺寸爆炸量的變化率dD/dx，即爆炸量沒(méi)增加1千噸TNT當(dāng)量時(shí)，有效距離的增加量由當(dāng)x=100, x=1時(shí)，利用微分近似計(jì)算，得這就是說(shuō)

25、，對(duì)100千噸級(jí)（10萬(wàn)噸級(jí)）爆炸量的核彈來(lái)說(shuō)，爆炸量每增加1千噸時(shí)，有效距離增加10.7m第44頁(yè)，共56頁(yè)。 如果x=1000, x=1，則即對(duì)百萬(wàn)級(jí)的核彈來(lái)說(shuō)，每增加1千噸的爆炸量，有效距離僅增加2.3m，相對(duì)效率反而下降了第45頁(yè)，共56頁(yè)。第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分4.1 高階導(dǎo)數(shù)-定義與計(jì)算 導(dǎo)函數(shù)也是函數(shù)，也有其瞬時(shí)變化率。所以還可以求其導(dǎo)數(shù)。比如說(shuō)距離函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是速度函數(shù)，速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)便是加速度函數(shù)。對(duì)于原來(lái)的函數(shù)而言，其導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就被稱(chēng)為原函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。只要可以，任意有限階的導(dǎo)數(shù)都可以自然引入。 為方便比較，原函數(shù)便被稱(chēng)為自身的0階導(dǎo)數(shù)。符號(hào)的約定：微商形式與撇與上標(biāo)

26、的記法；取值的記法。第46頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2-37】求函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù)【例2-38】方程 e x-e y=xy 確定了y是x的函數(shù)，求4.2 隱函數(shù)和參數(shù)形式的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算 這兩種形式的函數(shù)所得到的導(dǎo)函數(shù)依然是原來(lái)的形式-即隱函數(shù)或參數(shù)形式，所以求高階導(dǎo)，也就是繼續(xù)算下去。第47頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2-39】設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，求 利用參數(shù)形式得到的因變量y與自變量x之間的導(dǎo)函數(shù)，也還是參數(shù)表達(dá)形式。所以繼續(xù)求其導(dǎo)函數(shù)（y對(duì)x的變化率-這里不要混淆它們與參數(shù)的關(guān)系），無(wú)非是繼續(xù)利用參數(shù)求導(dǎo)公式。第48頁(yè)，共56頁(yè)。【例2-40】求指數(shù)函數(shù) y=e x的n階導(dǎo)數(shù) 【例2-41】

27、求正弦函數(shù) y=sinx與余弦函數(shù)y=cosx的n階導(dǎo)數(shù) 【例2-42】求對(duì)數(shù)函數(shù) y=ln(1+x) (x-1)的n階導(dǎo)數(shù)4.3 基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)與萊布尼茨公式 （1）基本初等函數(shù)在研究初等函數(shù)的微積分時(shí)，有基本的重要性，所以不僅要熟記它們的導(dǎo)數(shù)，也要熟悉這些函數(shù)的各階導(dǎo)函數(shù)。就像為了計(jì)算乘法和除法，需要熟記99表一樣。第49頁(yè)，共56頁(yè)。 【例2-46】設(shè) y=x 2 a 2x (a0,a1) ，求y(20) 【例2-43】求冪函數(shù) y= 的n階導(dǎo)數(shù) 【例2-44】求函數(shù) y=cos 2x 的n階導(dǎo)數(shù) 【例2-45】求函數(shù) 的n階導(dǎo)數(shù)（2）求兩個(gè)函數(shù)乘積的高階導(dǎo)-萊布尼茨公式 求導(dǎo)與加減運(yùn)