1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁【高中數(shù)學(xué)競賽專題大全】 競賽專題17 其它綜合類競賽題（50題競賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）一、填空題1（2019全國高三競賽）計(jì)算:=_.2（2019全國高三競賽）設(shè)是空間中體積為1的一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn).則k_.3（2019全國高三競賽）給定函數(shù).則函數(shù)與反函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo)為_.4（2019全國高三競賽）把函數(shù)的系數(shù)按其自然位置排成兩行兩列，記為二階矩陣其中，每一個(gè)數(shù)字稱為二階矩陣的元素又記的系數(shù)所組成的二階矩陣為A的平方，即觀察二階矩陣乘法的規(guī)律，寫出中的元素_5（2018江西高三競賽）、為正整數(shù)，滿足，則所有正整數(shù)對的個(gè)數(shù)為_6

2、（2018湖南高三競賽）如圖，將一個(gè)邊長為1的正三角形分成四個(gè)全等的正三角形，第一次挖去中間的一個(gè)小三角形，將剩下的三個(gè)小正三角形，再分別從中間挖去一個(gè)小三角形，保留它們的邊，重復(fù)操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基縷墊.設(shè)是第n次挖去的小三角形面積之和（如是第1次挖去的中間小三角形面積，是第2次挖去的三個(gè)小三角形面積之和），則前n次挖去的所有小三角形面積之和的值為_.7（2018湖南高三競賽）已知n為正整數(shù)，若是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)的值等于_.8（2019全國高三競賽）設(shè)為常數(shù).若對一切，有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.9（2019全國高三競賽）定義數(shù)列：，令.則的最大值為_.10（2019

3、全國高三競賽）如圖，設(shè)圓臺的軸截面為等腰梯形，其中，若圓臺的高為，是下底面與夾角為的直徑，則異面直線、所成角的余弦值為_11（2018甘肅高三競賽）設(shè)滿足若只在點(diǎn)處取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_12（2018全國高三競賽）若函數(shù)的反函數(shù)為，且，則滿足的最小正整數(shù)_13（2018全國高三競賽）方程的解集為_14（2018全國高三競賽）已知，一元二次方程有重根.則的值是_.15（2018全國高三競賽）設(shè)定義在上，其值域，且對任意，都有，及則_16（2018全國高三競賽）已知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒成立.則的最大值是_.17（2018全國高三競賽）直角坐標(biāo)平面上兩曲線與圍成的圖形的面積為_18（2

4、019全國高三競賽）已知關(guān)于的方程的兩根均為整數(shù)則實(shí)數(shù)的值為_19（2021全國高三競賽）若，則的值為_20（2019全國高三競賽）不等式的解集為_21（2019全國高三競賽）已知函數(shù)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并且，則的值是_22（2019全國高三競賽）設(shè)實(shí)常數(shù)k使得方程在平面直角坐標(biāo)系中表示兩條相交的直線,交點(diǎn)為P.若點(diǎn)A、B分別在這兩條直線上,且,則_.23（2019全國高三競賽）已知、是一個(gè)直角三角形三邊之長，且對大于2的自然數(shù)，成立則_24（2018山東高三競賽）已知，且為方程的一個(gè)根，則的最大可能值為_25（2018貴州高三競賽）方程組的實(shí)數(shù)解為_.26（2018全國高三競賽）已知為方程

5、的三個(gè)不同的根，則的值為_27（2018全國高三競賽）使得方程只有整數(shù)解的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為_.28（2018全國高三競賽）某人排版一個(gè)三角形,該三角形有一個(gè)內(nèi)角為60,該角的兩邊邊長分別為和9.這個(gè)人排版時(shí)錯(cuò)把長的邊排成長,但發(fā)現(xiàn)其他兩邊的長度沒變.則_.29（2018全國高三競賽）已知在區(qū)間上的值域?yàn)閯t滿足條件的區(qū)間為_30（2018全國高三競賽）30 ！末尾最后一個(gè)不為零的數(shù)字為_.31（2018全國高三競賽）平面區(qū)域的面積等于_.32（2018上海高二競賽）分解因式：_.33（2021全國高三競賽）若一個(gè)分?jǐn)?shù)（a，b均為正整數(shù)）化為小數(shù)后，小數(shù)部分出現(xiàn)了連續(xù)的“2020”，例如，就稱它為“好

6、數(shù)”.則“好數(shù)”的分母的第二小的可能值為_.二、雙空題34（2018全國高三競賽）閱讀下面一道題目的證明，指出其中的一處錯(cuò)誤題目：平面上有六個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)都是三邊互不相等三角形的頂點(diǎn)，則這些三角形中有一個(gè)的最短邊又是另一個(gè)三角形的最長邊證明：第一步，對已知的六個(gè)點(diǎn)作兩兩連線，可以得出15條邊，記為，.第二步，由于任何三點(diǎn)組成的都是“三邊互不相等的三角形”，因此，15條邊互不相等不妨設(shè).第三步，由于“任何三點(diǎn)都是三邊互不相等三角形的頂點(diǎn)”，因此，任取三條邊都可以組成三角形，則、組成的三角形的最長邊，也是、組成的三角形的最短邊,命題得證.這三步中，第_步有錯(cuò)誤，理由是_.三、解答題35（2019全

7、國高三競賽）在直角坐標(biāo)系中，有三只青蛙A、B、C，其起始位置分別為，首先，A以B為中心跳到其對稱點(diǎn)上，然后，B以C為中心跳到其對稱點(diǎn)上，接著，C以A為中心跳到其對稱點(diǎn)上，依此類推設(shè)A、B、C第n次跳到的位置分別為，的三邊長分別為a、b、c，面積為S證明:36（2019全國高三競賽）設(shè)異面直線、成角，它們的公垂線段為，且，線段的長為4，兩端點(diǎn)、分別在、上移動.求線段中點(diǎn)的軌跡方程.37（2018全國高三競賽）求所有三次多項(xiàng)式，使得對一切，均有.38（2018全國高三競賽）已知多項(xiàng)式，其中，為實(shí)數(shù)證明：對任意的實(shí)數(shù)，方程總有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根39（2018全國高三競賽）給定正整數(shù),求,其中,表示不超

8、過實(shí)數(shù)的最大整數(shù).40（2018全國高三競賽）試求所有的正整數(shù)及實(shí)數(shù)，使得與均為有理數(shù).41（2018全國高三競賽）實(shí)數(shù) 滿足，試求的值.42（2018全國高三競賽）已知非零實(shí)數(shù)、滿足（1）求證：二次方程必有實(shí)根，且是方程的一個(gè)實(shí)根；（2）當(dāng)，時(shí)，求、.43（2018全國高三競賽）設(shè)、為復(fù)數(shù)，求證：44（2019全國高三競賽）已知非常數(shù)的整系數(shù)多項(xiàng)式滿足.證明：對所有正整數(shù)，至少有五個(gè)不同的質(zhì)因數(shù).45（2019貴州高三競賽）我們知道，目前最常見的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個(gè)洞(或數(shù)字)，其相對兩面之?dāng)?shù)字和必為七.顯然，擲一次六面骰，只能產(chǎn)生六個(gè)數(shù)之一(正上面).現(xiàn)欲要求你設(shè)計(jì)一個(gè)“十進(jìn)制骰”，使其擲一次能產(chǎn)生09這十個(gè)數(shù)之一，而且每個(gè)數(shù)字產(chǎn)生的可能性一樣.請問：你能設(shè)計(jì)出這樣的骰子嗎?若能，請寫出你的設(shè)計(jì)方案；若不能，寫出理由.46（2019全國高三競賽）設(shè)二元函數(shù)的定義域是.（1）求（點(diǎn)）的取值范圍；（2）求所有的實(shí)數(shù)，使得在空間直角坐標(biāo)系中，曲面（點(diǎn)）與另一個(gè)曲面相交.47（2019全國高三競賽）設(shè)直線與函數(shù)的圖像恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).求出所有這樣的直線方程.48（2018全國高三競賽）已知為實(shí)數(shù),且,對的子集,定義.其中,規(guī)定，問：從個(gè)這樣的和中至多可以選出多少個(gè),使得其中任何兩個(gè)的差的絕對值都小于1?4