1、1999年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷第1至 2頁(yè)。第II卷3至8頁(yè)。共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。第I卷（選擇題共60分）注意事項(xiàng)1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫 在答題卡上。2,每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改 動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試卷卷上。3.考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回。參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式sin coscos sincos cossin sin1 . sin21 . sin21 cos21 co

2、s2sinsincoscos正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式a 側(cè) 2 c c l其中c、c分別表示上、下底面周長(zhǎng), 臺(tái)體的體積公式V臺(tái)體 1s SS Sh3其中S、S分別表示上、下底面積，一、選擇題：本大題共14小題；l表示斜高或母線長(zhǎng)h表示高第（1） （10）題每小題4分，第（11）一（14）題每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的。（1）如圖，I是全集，M、P、S是I3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是(MAP) n S(MAP) U S(C)(MAP) n S(D) (MAP) U S（2）已知映射f : A B,其中，集合A3, 2, 1,1,2,3,4，集

3、合B中的元素(3)(5)(6)都是A中元素在映射f下的象，且對(duì)任意的a A,在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是a ,則集合B中元素的個(gè)數(shù)是(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7若函數(shù)y(A) a)函數(shù)fM, f bf X的反函數(shù)是(B) ax M sin xM，則函數(shù)g x(A)是增函數(shù)(C)可以取得最大值若f X sin X是周期為(A) sin x ( B )在極坐標(biāo)系中，曲線g x , f a b, abcos(B)(D)的奇函數(shù)，則fcosx4 sin(C) b(D) b 1區(qū)間 a,b上是增函數(shù)，且在a,b上是減函數(shù)可以取得最小值Mx可以是(C) sin2x(D) cos2x(A)直線一軸對(duì)稱

4、3(B)直線5 .，,-軸對(duì)稱6(C)點(diǎn)2,-中心對(duì)稱3(D)極點(diǎn)中心對(duì)稱(7)若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面的高度是(A) 673cm(B) 6cm(C) 2318cm(D) 3312cm-4(8)若 2x 32a0axa2xa3x3，則 a0a22& a3 2的值為(A) 1(9)直線.3x(B)2.3(C) 0(D) 20截圓x2y2 4得的劣弧所對(duì)的圓心角為(B)(C)(10)如圖，在多面體 ABCDEF中，是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF/AB, EF(D)-32已知面ABCD3, EF與面2AC的

5、距離為2,則該多面體的體積為9(A) 92(B) 5(C)6/c、15(D)-22 / 15(11)若 sin tg ctg，則2(D)(A), 一 (B),0(C)0,一2444(12)如果圓臺(tái)的上底面半徑為5,下底面半徑為R,中截面把圓臺(tái)分為上、 下兩個(gè)圓臺(tái)，它們的側(cè)面積的比為 1: 2,那么R=(A) 10(B) 15(C) 20(D) 25(13)已知兩點(diǎn)M 1,- ,N44,4，給出下列曲線方程:4x 2y 1 0 x22y2 3t y22 y在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP的所有曲線方程是(A)(B)(C)(D)(14)某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò) 500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60

6、元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒,則不同的選購(gòu)方式共有(A) 5 種(B) 6 種(C) 7 種(D) 8 種1999年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)第II卷(非選擇題共90分)注意事項(xiàng)：1.第II卷共6頁(yè)，用鋼筆或圓珠筆直接寫答在試卷卷中2.答卷前將密封線內(nèi)的工程填寫清楚。題號(hào)二三總分192021222324分?jǐn)?shù)得分評(píng)卷人二 填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。22(15)設(shè)橢圓 寺 4 1ab 0的右焦點(diǎn)為E,右準(zhǔn)線為1i ,若過(guò)Fi且垂 a b直于X軸的弦長(zhǎng)等于點(diǎn)Fl到11的距離，則橢圓的率心率是

7、。(16)在一塊并排10龔的田地中，選擇2龔分別種植A、B兩種作物，每種 作物種植一龔，為有利于作物生長(zhǎng)，要求 A、B兩種作物的間隔不小于 6龔，則不同的選龔方法共有 種(用數(shù)學(xué)作答)。(17)若正數(shù)a、b滿足ab a b 3,則ab的取值范圍是。(18)、 是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面 及 之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：三、解答題：本大題共6小題；共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或 演算步驟。得分評(píng)卷人(19)(本小題滿分10分)31oga x 2 21oga x 1 a 0, a 1 .得分評(píng)卷人(20)(

8、本小題滿分12分)設(shè)復(fù)數(shù)z 3cos i2sin .求函數(shù)y argz 0 一的最大值以及對(duì) 2應(yīng)的值得分評(píng)卷人(21)(本小題滿分12分)如圖，已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1,點(diǎn)E在棱DiD上，截面EAC /DiB ,且面EAC與底面ABCD所成的角為45 , AB a.求截面EAC的面積；求異面直線人81與AC之間的距離；4 / 15(III)求三棱錐B1 EAC的體積得分評(píng)卷人(22)(本小題滿分12分)右圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖。冷軋機(jī) 由若干對(duì)軋輾組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過(guò) 各對(duì)軋輾逐步減薄后輸出。(I)輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對(duì)軋輾的減薄率不超過(guò)r。問(wèn)冷軋機(jī)

9、至少需要安裝多少對(duì)軋銀?(一對(duì)軋輾減薄率輸入該對(duì)的帶鋼厚度從該對(duì)輸出的帶鋼厚度輸入該對(duì)的帶鋼厚度(II)已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋銀，所有軋輾周長(zhǎng)均 為1600mm.若第k對(duì)軋銀有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，庇點(diǎn)的間距為 Lk.為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算Li、L2、L3并填入卜表(軋鋼過(guò)程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗)軋銀序號(hào)k1234疵點(diǎn)間距Lk (單位：mm)1600得分評(píng)卷人(23)(本小題滿分14分)已知函數(shù)y fx的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線，當(dāng)n y n in 0,1,2,時(shí)，該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b 1),設(shè)數(shù)列xn由f x

10、n n n 1,2, 定義。求X1、X2和Xn的表達(dá)式；(II)求f X的表達(dá)式，并寫出其定義域；(III)證明：y f x的圖象與y x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)。5 / 15得分評(píng)卷人(24)(本小題滿分14分)如圖，給出定點(diǎn)A a,0 a 0和直線l : x 1.B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)， BOA的角平 分線交AB于點(diǎn)C。求點(diǎn)C的軌跡方程，并討 論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系。1999年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷(理工農(nóng)醫(yī)類)參考解答及評(píng)分規(guī)范說(shuō)明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本題解答不同，可根據(jù)試卷的主要考查內(nèi)容比照

11、評(píng)分規(guī)范制 訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確 解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較重的錯(cuò)誤，就不再給分。三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)運(yùn)算。第(1) ( 10)每小題4分，第(11) (14)題每小題5分，滿分60分。C A A C B B B A C D B D D C二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題 4分，滿分16分。-(15) (16)

12、 12(17) 9,2(18) m, n , m n 或 m n, m , n三、解答題(19)本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)不等式、無(wú)理不等式解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的思想。滿分10分。解：原不等式等價(jià)于3loga x 2 0, 12-3loga x 2 2loga x 1 , 22loga x 1 0. 36 / 15由得由得由得由此得loga xloga xloga xloga x2一,33 .一，或 loga x 1 ,4123 -一,或4loga x1.3a41時(shí)得所求的解是3a1時(shí)得所求的解是x | a2a310分(20)本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、三角公式和不等式等基礎(chǔ)

13、知識(shí)，考查綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。滿分12分。解：由0萬(wàn)得tg0.由 z 3cos i sin 得 0 argz一及tg argz2sin3 cos3tg.3 tg2tg當(dāng)且僅當(dāng)3 tg2tg 0時(shí)，即tg26時(shí)，上式取2故 tgy tg arg ztg 2 tg 3224 tg12tg tg2tg 2,6, tg612 TOC o 1-5 h z 66所以當(dāng)arctg 2 時(shí)，函數(shù)tgy取得最大值 .212arg z 得 y,.由于在一，一 內(nèi)正切函數(shù)是遞增函數(shù)， 函數(shù)y2 22 2也取最大值arctg 7f.12分(21)本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角和距離的概念，邏輯思維

14、能力、空間想象能力及運(yùn)算能力。滿分12分。(1) 解：如圖，連結(jié)BD交AC于O,連結(jié)EO 底面ABCD是正方形，DOXAC又EDL底面AC ,EOXAC/ EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角。一2分EOD 45 .DO a,AC2,2a,EO淀 a sec45 a. 2故 S eac- a2.4 分2(II)解：由題設(shè) ABCD A1B1c1D1是正四棱柱，得 A1A，底面AC, A1AXAC,又 A1A, A1B1，A1A是異面直線 A1 B1與AC間的公垂線。6分 D1B1 /面EAC,且面DBD與面EAC交線為EO, 心D1B1 / EO又O是DB的中點(diǎn)，E 是 D1D 的中點(diǎn)

15、，D1 B1 =2EO=2 aDDD1B2 DB2、2a.異面直線 AB1與AC間的距離為 52a.8 / 15(III) 解法一：如圖，連結(jié)D1B1DiD =DB= .2aBDD1B1是正方形連結(jié)Bi D交Di B于P,交EO于QB1D D1B , EO / D1B ,B1D XEO又 AC EO, AC LED.ACm BDD1B1 ,B1D XAC；B1D，面 EAC TOC o 1-5 h z B1Q是三B隹B1 EAC的高。10分由 DQ=PQ, , VB1 EAC所以三棱錐,一 33得 B1Q -B1D -a. 4212 2 -2-a - a a.-224B1 EAC的體積是E2a

16、-.12分4解法一:連結(jié) B1O ,則 Vb1 EAC 2VA EOB110 分AO，面 BDD1B1 ,AO是三棱錐AEOB1 的高，AO a.2在正方形BDDBi中,E、O分別是DD、DB的中點(diǎn)（如右圖）, , Vb1 EACS EOB11 3 2-a3 42 3 a .49 / 15 TOC o 1-5 h z 所以三棱錐B1 EAC的體積是ila3.12分4(22)本小題主要考查等比數(shù)列、對(duì)數(shù)計(jì)算等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿分12分。解：厚度為 的帶鋼經(jīng)過(guò)減薄率均為 r0的n對(duì)軋組后厚度為 a 1 r0 n.為使輸出帶鋼的厚度不超過(guò)，冷軋機(jī)的軋輻數(shù)(以對(duì)

17、為單位)應(yīng)滿足a 1 ro即1r0.3 分a由于1 r0 n 0,- 0,對(duì)比上式兩端取對(duì)數(shù)，得 anlg 1rlg.a由于lg 1 r。0,所以lg lg alg 1 r0因此，至少需要安裝不小于lg虹旦的整數(shù)對(duì)軋輻。6分lg 1 r0(II)解法一：第k對(duì)軋輻出口處疵點(diǎn)間距離為軋輻周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為k1600 a 1 r 寬度其中r 20% ,而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為L(zhǎng)k a 1 r 4寬度k因?qū)挾认嗟?，且無(wú)損耗，由體積相等得1600 a 1 r k Lk a 1 r 4 r 20% ,即Lk 1600 0.8k 4.9 分由此得L3 2000 mm ,L2

18、 2500 mm ,L13125 mm填表如下10 / 15軋銀序號(hào)k1234疵點(diǎn)間距Lk (單位：mm)312525002000160012分解法二：第3對(duì)軋輻出口處疵點(diǎn)間距為軋輻周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼體積與冷 軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔?，?600L3 1 0.2 ,所以L31600 2000 mm .9 分0.8一 eL3同理L2 4 2500 mm ,0.8L1 3125 mm .0.8填表如下軋銀序號(hào)k1234疵點(diǎn)間距Lk (單位：mm)312525002000160012分(23)本小題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識(shí)，考查歸納、推理和綜

19、合的能力。滿分 14分。(I)解：依題意f 0 0,又由f x11,當(dāng)0 y 1時(shí)，函數(shù)y f x的圖象是斜率為b01的線段,故由f x1x1又由f x22,當(dāng)2時(shí),函數(shù)y f x的圖象是斜率為 b的線段，故由f x2f x1即x2x1x2x11 得 x21b記x00.由函數(shù)y圖象中第n段線段的斜率為bn 1 ,故得f xn f xn 1bn 1xnxnxnn, fxn 1一 xnxn 1n 1,n1.2得 x11.由此知數(shù)列xn，一,， 1xn 1為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為 1,公比為一.b因b 1,得 / 15xnXkxk 1xn(II)解:從(I)可知yx,當(dāng)0 x 1 時(shí)，f x x.1時(shí)，

20、即當(dāng)xnx xn 1時(shí)，由(I)可知bnxxn xn xXn I,n 1,2,3為求函數(shù)的定義域，須對(duì)xnb 1 n1 bbb 11,2,3,進(jìn)行討論。當(dāng)b 1時(shí),lim xnnblim 一 n當(dāng)0 b 1時(shí)，n,Xn也趨向于無(wú)窮大。綜上，當(dāng)b 1時(shí),f X的定義域?yàn)?,當(dāng)0 b 1時(shí),y f x的定義域?yàn)?,10分(III ) 證法一：首先證明當(dāng)b 1,1 x時(shí),恒有f x x成立。用數(shù)學(xué)歸納法證明:(i)由(II)知當(dāng)n 1時(shí)，在1,x2上，y f x所以f x x x 1 b 10成立(ii)假設(shè)n k時(shí)在xk,xk1上恒有f可得f xk 1xk 1 ,在xk1, xk 2 上,xk所以

21、bk 1 x xk 1bk1 1x xk 1 k 1 xk 10也成12 / 15由(i)與(ii)知，對(duì)所有自然數(shù)n在xn,xn1上都有f x x成立.b一即 1 x 時(shí)，恒有f x x.13分b 1其次，當(dāng)b 1,仿上述證明，可知當(dāng)x 1時(shí)恒有f x x成立.故函數(shù)y f x的圖象與y x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于 1的交點(diǎn).14分b證法一：首先證明當(dāng)b 1,1 x 時(shí)恒有f x x成立.b 1b對(duì)任,國(guó)的x 1,，存在xn,使xn x xn 1 ,此時(shí)有b 1f x f xnbn x x0 x xn n 1 ,f x x f xnxn，bn 1又 f xn n 1, f xn xn 0 ,xn f x x f xn TOC o 1-5 h z 即有 f x x成立.13分其次，當(dāng)b 1,仿上述證明，可知當(dāng) x 1時(shí)，恒有f xx成立。故函數(shù)f x的圖象與y x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于 1的交點(diǎn)。 14分(24)本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。滿分14分。解法一：依題意，記B 1,b b R,則直線OA和OB的方程分別為y 0和y bx.設(shè)點(diǎn)C x, y ,則有0 x a ,由OC平分/ AOB ,知點(diǎn)C到OA、OB距離相等。根 據(jù)點(diǎn)