1、極值點偏移中點問題的探究【同題特征】若f 6)上凸(加遞就，貝江，言/(/)=0,若f下凸(f 遞勘 則f=0,【基本茉盛】(1)儂一元豌數(shù)FW=f(% + x)-f(a-x)：2)對困數(shù)F(x)求導，判斷導致符號，確定F(x)的單調住(3)結合F(0)=0,知fiF的符號，從而確定f(x0+x)與fj-x)的大力戌系；(4)由 f(x,)= fi2)=(5+(_邑)|= f(2xa-x2f| f(Gf(2%一三戶或者 f(x)=f(x0)= f(Xq-(xfl-Xn) f (xe +(xa-x2)= 2%-%)謾 f(x)2xj或 2%或% + %【例題至理】1.(2010大法理)曲函數(shù) f

2、(xj=xe7(xwR).如果X =x：，且“巧)=(、)，證明1+x： 2. 【解析】法一：C(x) = (lx)e- 令(x)=(1 x”t = 0,貝ijx = l.斯以f(x在區(qū)間(4)內是增函數(shù)，在區(qū)間(工田 )內顆函額.函數(shù)在x=l處取得極大值f。).且“1)=：.記 F(x)= f (1+x)- f(l-x),貝 lF-1(eit-l)當x0時，F(xiàn)x)0,當x0.于是的數(shù)F(x)在區(qū)間R上是增團數(shù).因此當 x0時，F(xiàn)(x)F(0)-0 , f(l + x)0,由f (x)單調性及f (必)=f (切卜得七=與X-町矛盾； 因此(七一1)(工：一1)。.不妨設X1，斫以2-公1,又

3、為2 必，即X十12法二：由題意：工1，7 .勺產Qj= ,設t X.-Xp(t0),則工t + X】， X】 ,e*F =% oel =iii=x. a-2-，x, =t + x. = t+ ，x:、 el-ld-l% + % = 1+ ：l ,+% 2 o t+ 2o(-2)(e*-l)+2t0設 g(t) = (t - 2)(el-l)+2tf(t 0), St(t) = (t-L)el+1, gft) = M 0 ,式t)在叫幽“單i觸塢，g3g(0)=0,斫以虱。在t(0：w)單調遞增，g(t) g(0)=0 ,M而(J2)(e-l) + 2t0,即1 +%2.?。阂部衫胻 = (

4、tD換元來無貝)X【點評】兩種方擊均曷為了發(fā)現(xiàn)好雙堂元的不等灰出七為單空無不著式，才法一劑網(wǎng)歸納的通擊通過 流右來實況r法二則是逼過挾無來賓龍：5百錢專用代映的殳元t堯表示是去比 變式1;已知函數(shù)f(x) = lnx-ax3 a為常數(shù)若困數(shù)f(x)有兩個零點修、試證明：x:x2 e標=ln+ln 2q%+% 2,后續(xù)砌同題 L法二：美中殳走石塊死妁證法二Tlnxaxj = 0 lnx2-ax2 = 0, 二加陽十出工？ =ax十x2)， Inx1一S叼三a(x一向卜 二”一出x? F ,欲證明 XjX. e:,即證lflXi+ltix22,因為10次+ 111工2 = 2|工1 + 乂2)9所

5、以即證 所以原命題等價于證明111缸二111燈 一22 a -過十,即證：In乜馴出仆1盯0 N +勺令 3-t,則 3,設 g(t)=lnt-羋2(tDm1二=巴艾0， gt + 1- c (K1)2 中+ 1所以g在(Mao)單碰fe熠，又因為g0)=O，所以g(t)g=0 , 所以所以x涇1.t 一 1 TOC o 1-5 h z 法三：直揍換存法：E=皿o*=*,設x, = 則凡比， x治laxx,x-4A4In% Itit+lnkit , i _11 , 1nt tlnt= to = t nhi& = Inx. =lntx =lnt+mx. =lnt + 卜tnx1nx,t-1t-1

6、 t-1l&%屋 oln%+lfl% 2 0 1Mt2olnt2.g,(tD.【點評】L方法一道過取對敦化歸到極值點左移，對方在的合理變形是關就(這正是輝決方隹X皆式 同匙的關鍵,所在工因為美江Inxi+也勺2,因此貪彩的方向是：la七口是新杓定的昌教的商個拿 點71是潼豆敬的底優(yōu)點.ln“一 2.飛 飛/.方去二是在音碼In七 =碼口鼻=嗎無法求解件棧妁情況下,文彩渭全支元L 特屋X等式赭換為證一集中變亢后挾元灰現(xiàn)代單變無，法三曷先杓足，再妁爭更關系空馬二 *立找塊元t =五來去斑化羊殳云.安式2.設函數(shù) f3 = e*-a5 + a(aR),象與x軸交于以玉，0)，氏1，)兩點，目2三.

7、證明：網(wǎng)卜0 (尸(。為寇i f(x)的導函數(shù))； 證明：tx2A f記則卜 J7 -L = LpS-(e-e-,設式)-2-何-b)，貝Ijg-2-eb)0,所以g是單調騎函數(shù)， 41a.則有g(s)0,所以尸(生*卜0葭 2 ；：,又 f(x)= e，-a 是單調函數(shù),且，2,” 斫以 f| J%Y )(。法二：x=hia是f(x)的極值點，氤E入clnav、，設F (x卜 f (lna+ x)- f (Ina- x)= a(ex-e-x-2x),(x 0),F (x)m a(/+ e-x-2) 0 F(x)在(0,+8)單i雕墻，因此F(xF(0) = 0,即x0時 f(kia + x)

8、 “l(fā)iia-x)， 易證伍2 f ( Ina (x; -Ina) = f (Zlna-xJ 9 因為f(x)在(flna)單調遞減，所以521球-三=；三lna,即R+；&lna， 又 f3 = e-a是單i雕jg函數(shù)，所以 f(7x)f(taa) = 0.法一：6 W 設9 =工Lil =元一1，易證o vu1V1n L=*L，N =t廣.2出_1) VInt 11 0 g 00 = 2-1y=5- 0： g(x)在(L4c)單， XX X所以g(Di=ing(/)與n一白，從而在 0+%.法二；f(x)=0ofx-l)e-a=i M泡也黠程信-1)=?的雨L 0(x) = (x-l)e*

9、x,赤)=&*)=? cl.d成1)二一(1=(2-/，0在(70t2)遞揩，(2,用，遞減，易證明：12& 因為 X.X, xt+x, Q(Xj -IXx,-1)1 olnCx,-1)+ 1n(x, -l)0 gtij =lfl(七一。三=1 城七 一1),由 1/2m = r 0%, 因it糠問題+ a。4十、0 9f(K)=0oe* =a(x-l)ox =faia +ln(x-l)o-(x-l)-ln(x-l) =lna oe-lnfx -l)lna , 、,為是方程x-l)=lna根，則小叫是e*-x =lna的兩根， gg(x)=y-累，g(u1)=g(u2) , gG)=e、-L限

10、=0,且gO)在GdO)單調遞咸，在電4R)單調遞增，利用歸幽J方法證明極小值點X =0右偏，、；“0即.十50，從而At(兀.十溝.【點部】1. n師)(土裝)()=。化也為極值點刊間越需借助co的單沈號； 2.第二間化上的li程長莉對方愈的文學.2已知修檄 f(x) = a- -lax (aR).(D若尸3求函數(shù)f(x)在(1，J)上的零點通(e為自然對賴的底數(shù)X C2)若 f0有兩零點I，雙x】x。，求證：2x+x, 3ea-l-l.【解析】由嬲，：，故f在35)上單調遞底所以f(x)在(1，6上至多只有一個零點,又fQ)f) = - ； 2. TOC o 1-5 h z 替；利用通法證

11、明f(D = a-：-kH的極值點、=1向左偏移，即1l,則lnt=，故=.于是，xF=X(Hl)=t ，了也-2=，xtt.tinttintkitLa記困數(shù)以力二,-Eh xl,因0,故g的J(b+切上單調遞塔2x2x*于是，tie g(t)g(l=o.又 tntx，斫以，足+X22.再證工也t3/_1.L因底)=0oha)=ax-lTlm=0,胡x，上也是h(x)的兩零點.x-:卜”由h)=a-l-ltDU),得I尸,且犬0潭寸城)00襁通法i而月h=a”lf E的粗直點x =產向右偏移，斫必： 尸即 2即“ ：句 牌 ZZ1+(4+但+)、 ： 2/=3廣4+X* 3ea-1 -1【點評】L方桎的愛杉的京詠三也是無敷f(X)的將個零點，1是求砌的極值工0%工是由數(shù)的0的兩市工匕反ii西蚊的刎點.2,難點%十七 的證明依媒利用A+02放紿，3.己窺甜f(x)=lnx的圖像&與函數(shù)g(x) = ；bx(aO)蹈f|J文于PQ撾PQ的