1、2021-2022學年黑龍江省鶴崗市高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單選題1已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則下列說法正確的是（） A復數(shù)z的模為B復數(shù)z的共軛復數(shù)為C復數(shù)z的虛部為D復數(shù)z在復平面內對應的點在第一象限D【分析】先利用復數(shù)的除法化簡得到，再逐項判斷.【詳解】解：，A.，故錯誤；B. ，故錯誤；C. 復數(shù)z的虛部為，故錯誤；D. 復數(shù)z在復平面內對應的點是，在第一象限，故正確.故選：D2已知向量，則（）A6B5C8D7D【分析】先求出，再將兩邊平方，結合數(shù)量積的運算，即可求得答案.【詳解】由得： ，由得，即得，故選：D3已知m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列結論正確的是

2、（）.A若，則B若，則C若，則D若，則D【分析】根據(jù)平面的基本性質判斷A、B、C，由線面垂直、面面平行的性質判斷D即可.【詳解】A：，則或，錯誤；B：，則或，錯誤；C：，則相交或平行，錯誤；D：，則，又，故，正確.故選：D4若圓錐側面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個圓錐表面積與側面積的比為（）ABCDC【分析】利用圓的性質可以列弧長與圓心角的等式，即可求出底面圓半徑，再分別算出圓錐表面積與側面積即可得到比值【詳解】由題，故故選：C5在中，若，三角形的面積，則三角形外接圓的半徑為（ ）AB2CD-2B【分析】利用三角形面積定理、余弦定理求出邊a，再利用正弦定理計算作答.【詳解】在中，則，

3、解得，由余弦定理得：，令外接圓半徑為R，由正弦定理得：，解得，所以三角形外接圓的半徑為2.故選：B6下列命題中是真命題的有（）A一組數(shù)據(jù)2，1，4，3，5，3的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同；B有A、B、C三種個體按的比例分層抽樣調查，如果抽取的A個體數(shù)為9，則樣本容量為30；C若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲；D一組數(shù)1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的分位數(shù)為4A【分析】對于A，直接求出平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)即可判斷；對于B，利用分層抽樣直接求出樣本容量即可判斷；對于C，計算出乙組數(shù)據(jù)的方差，利用方差的意義即可判斷；對于D，直接求出該組數(shù)據(jù)的分位

4、數(shù)即可判斷.【詳解】A選項：平均數(shù)為，眾數(shù)為，將數(shù)據(jù)從小到大排列為中位數(shù)為，A正確；B選項：根據(jù)樣本的抽樣比等于各層的抽樣比知，樣本容量為，B錯誤；C選項：乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的方差為，所以這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，C錯誤；D選項：該組數(shù)據(jù)共個數(shù)，由，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，D錯誤.故選：A.7如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分別是BB1和B1C1的中點，則直線AM與CN所成角的余弦值等于（）ABCDD【分析】利用異面直線的定義找到兩條異面直線所成的角，用余弦定理即可求解.【詳解】作的中點，連接，作的中點，連接、,即為異面直線AM與CN所成的角，由已知條件得

5、，則,由余弦定理得,在中，有余弦定理可知,即,解得，故選：D.8已知的內角的對邊分別為，則下列命題中正確的是（）A若，則為等腰三角形B若，則有唯一解C若為銳角三角形，則D若，則面積的最大值為C【分析】邊化角后使用二倍角化簡可判斷A；由正弦定理及三角形大邊對大角可判斷選項B；根據(jù)銳角三角形可得，然后和差化積可判斷C；由余弦定理及基本不等式，三角形的面積公式可判斷選項D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：若，則，即，因為，所以或即或，所以為等腰三角形或直角三角形，A錯誤；對于B：因為，由正弦定理得，即，故，因為，所以，故為銳角或鈍角，有兩解，故B錯誤；對于C：因為為銳角三角形，所以，所以，所以即，

6、故C正確；對于D：因為，由余弦定理得：，當且僅當時取等號，故，所以面積，即最大值為，故D錯誤故選：C二、多選題9下列說法正確的是（）A甲乙兩人獨立的解題，已知各人能解出的概率分別是和，則題被解出的概率是B若，是互斥事件，則，C某校名教師的職稱分布情況如下：高級占比，中級占比，初級占比，現(xiàn)從中抽取名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應抽取人D一位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生相鄰的概率是BCD【分析】用對立事件判斷A;根據(jù)互斥事件的概念判斷B;根據(jù)分層抽樣方法判斷C;根據(jù)排列組合公式求出位女生相鄰的概率，從而判斷D.【詳解】他們各自解出的概率分別是和，則此題不能解出的概率為，則此

7、題解出的概率為，A選項錯，若、是互斥事件，則，B選項對，高級教師應抽取時人，C選項對，由題意可得女生相鄰的概率，D選項對，故選BCD.10已知正方體的棱長為1，E是的中點，則下列選項中正確的是（）AB平面C異面直線與BD所成的角為60D三棱錐的體積為ABC【分析】對于A：先證明出AC平面BB1D1D，即可得到;對于B：利用線面平行的判定定理證明平面；對于C：先判斷出是異面直線與BD所成的角利用是等邊三角形即可求解；對于D：利用等體積法即可求解.【詳解】對于A：在正方體中，為正方形，所以ACBD.因為面中,所以ACBB1.又，所以AC平面BB1D1D.又平面BB1D1D,.故A正確;對于B：在正

8、方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面,平面,平面.故B正確；對于C：因為BDB1D1,是異面直線與BD所成的角.在正方體中，所以是等邊三角形,所以，所以異面直線與BD所成的角為60,故C正確；對于D：三棱錐的體積為.故D錯誤.故選：ABC11為了解某貧困地區(qū)實施精準扶貧后的成果，現(xiàn)隨機抽取了該地區(qū)三個縣市在2021年建檔立卡人員年人均收人提升狀況.經(jīng)統(tǒng)計，A縣建檔立卡人員年人均收人提升狀況用餅狀圖表示，B縣建檔立卡人員年人均收人提升狀況用條形圖表示，C縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為122（百元），方差為4，A，B，C三縣建檔立卡人數(shù)比例為345，則下列說法正確的有（）AA縣建

9、檔立卡人員年人均收入提升的均值為122BB縣建檔立卡人員年人均收入提升的方差為5.6C估計該地區(qū)建檔立卡人員的年人均收入提升120.75百元DC縣精準扶貧的效果最好BCD【分析】A.利用均值公式求解；B.先求得平均數(shù)，再利用方差公式求解；C. 利用均值公式求解；D.利用平均數(shù)和方差判斷.【詳解】A. A縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為，故錯誤；B. B縣建檔立卡人員年人均收入提升的平均數(shù)為，B縣建檔立卡人員年人均收入提升的方差為，故正確； C. 該地區(qū)建檔立卡人員的年人均收入提升：百元，故正確；D. A縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為，所以，故C縣精準扶貧的效果最好，故正確； 故選：B

10、CD12如圖，在棱長為4的正方體中，分別是的中點，則有（）A平面B二面角大小的余弦值為C三棱錐的內切球半徑為1D過直線與平面平行的平面截該正方體所得截面的面積為18BD【分析】反證法否定選項A；求得二面角大小的余弦值判斷選項B；求得三棱錐的內切球半徑判斷選項C；求得過直線與平面平行的平面截該正方體所得截面的面積斷選項D.【詳解】選項A：假設平面.連接由平面，平面，可得又正方體中，則平面，又平面，則又在平面內，則，這與矛盾.則假設不成立，即與平面不垂直.判斷錯誤；選項B：在平面內，過點作，垂足為K，連接正方體中，平面，平面則，又，則平面，又平面，則則為二面角的平面角中，則則.即二面角大小的余弦值

11、為.判斷正確；選項C：設三棱錐的內切球半徑為r，則則解之得，即三棱錐的內切球半徑為.判斷錯誤；選項D：取中點E，取中點F，連接則，則四邊形為梯形，四點共面正方體中，則四邊形為平行四邊形，則又，則平面平面則過直線與平面平行的平面截該正方體所得截面為梯形梯形中，則即過直線與平面平行的平面截該正方體所得截面的面積為18.判斷正確.故選：BD三、填空題132022北京冬奧會期間，吉祥物冰墩墩成為“頂流”，吸引了許多人購買，使一“墩”難求.甲乙丙3人為了能購買到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購買，若甲乙2人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為，丙購買到冰墩墩的概率為，則甲，乙丙3人中至少有1人購

12、買到冰墩墩的概率為_.【分析】先算出甲乙2人均購買不到冰墩墩的概率，然后算出丙購買不到冰墩墩的概率，進而算出甲乙丙3人都購買不到冰墩墩的概率，最后算出答案.【詳解】因為甲乙2人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為，所以甲乙2人均購買不到冰墩墩的概率.同理，丙購買不到冰墩墩的概率.所以，甲乙丙3人都購買不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率.故答案為.14已知復數(shù)z滿足，則的最大值是_6【分析】先設出復數(shù)，由已知得出復平面內點到的距離為1，再結合圖象即可求出的最大值.【詳解】設，則，則，即復平面內點到的距離為1，又表示復平面內點到原點的距離，結合圖像可知：最大值為原點到的距離

13、加1，即.故6.15某市為了調查中學生的心理健康情況，制作了一份心理調查問卷，校有200名學生參與了調查，心理健康評估分的平均值為，方差為2，校有500名學生參與了調查，心理健康評估分的平均值為，方差為.若，則這兩個學校全體參與調查的學生的心理健康評估分的方差為_.【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式求解即可.【詳解】設校200名學生的心理健康評估分為：，則心理健康評估分的平均值為，方差為，設校500名學生的心理健康評估分為，心理健康評估分的平均值為，方差為.因為，所以這兩個學校全體參與調查的學生的心理健康評估分的方差為故16體積為的四棱錐的底面是邊長為的正方形，底面的中心為，四棱錐的外接球球心

14、到底面的距離為，則點的軌跡長度為_【分析】由已知可得到底面的距離為3，進而可求外接球的半徑，即可知與不可能在面的兩側，則在垂直于且與球心距離為2的平面與的外接球的交線上，即可求的軌跡長度.【詳解】由題意知：到底面的高，又四棱錐的外接球球心到底面的距離為，若外接球半徑為，底面的中心為，面且，與不可能在面的兩側，可得如下示意圖，在垂直于且與球心距離為2的平面與的外接球的交線上，如上圖以OP為半徑的圓上，而，故的軌跡長度為.故答案為.關鍵點點睛：根據(jù)已知求外接球的半徑，由球心到的距離可判斷與的相對位置關系，結合外接球的性質即可求軌跡的長.四、解答題17如圖，在正三棱柱中，D為AB的中點，.(1)求證

15、：平面平面；(2)求點A到平面的距離.(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直，證明面面垂直即可；（2）根據(jù)題意，利用等體積法，即可計算得到點A到平面的距離.【詳解】(1)在正三棱柱中，平面ABC，又因為平面ABC，所以.在正三角形ABC中，D為AB的中點，所以，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.(2)由（1）可知，平面，又因為平面，所以，在正三角形ABC中，在正三棱柱中，平面ABC，又因為平面ABC，所以，所以，因為，所以點A到平面ACD的距離.18從學校的2000名學生中隨機抽取50名學生的考試成績，被測學生成績全部介于65分到145分之間，將統(tǒng)計結果按如

16、下方式分成八組：第一組，第二組，第八組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分（1）求第七組的頻率；（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2000名學生這次考試成績的平均分；（3）若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學生中隨機抽取2名，求他們的分差的絕對值小于10分的概率（1）0.08；（2）102；（3）（1）根據(jù)頻率之和為1即可求出；（2）根據(jù)頻率分布直方圖直接列式即可計算；（3）可得第六組3人，第八組2人，隨機抽取2名，列出所有基本事件，再求出分差的絕對值小于10分包含的基本事件，即可求出概率.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2000名學生這次

17、考試成績的平均分為：，（3）樣本成績屬于第六組的有人，設為A，B，C，樣本成績屬于第八組的有人，設為a，b，從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學生中隨機抽取2名，有，共10種，他們的分差的絕對值小于10分包含的基本事件有，共4種，他們的分差的絕對值小于10分的概率19在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，S為ABC的面積，且(1)求A的大小；(2)若、，D為直線BC上一點，且，求ABD的周長(1)；(2).【分析】（1）利用三角形面積公式及向量數(shù)量積的定義可得，進而即得；（2）利用余弦定理可得，再利用正弦定理結合條件即得.【詳解】(1)，又，即又，；(2)在中，由余弦定理得：，又、，

18、又，在中，由正弦定理得，又，B為銳角，在中，的周長為20如圖，在四棱錐中，平面PAB，且，F(xiàn)為PC中點(1)求證：平面PAB；(2)求直線PD與平面PBC所成角的正弦值(1)證明見解析(2)【分析】（1）取邊的中點，連接，由三角形的中位線定理和平行四邊形的判定，可得四邊形為平行四邊形，再由平行四邊形的性質和線面平行的判定定理，即可得證；（2）過點作于點，即可得到平面，再根據(jù)，可得到平面的距離即為，求出、，再根據(jù)銳角三角函數(shù)計算可得；【詳解】(1)證明：如圖，取邊的中點，連接，則三角形中位線可知，且，由題可知，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，故平面；(2)解：過點作于點，因為平面，平面，所以，因為，所以平面，又，所以到平面的距離即為，又，所以直線與平面所成角為，所以；21在，且，這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答.已知中，三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.(1)求A的值；(2)若，的面積是，點M是BC的中點，求AM的長度.(1)(2)的長度為【分析】（1）選則結合向量共線的坐標運算、正弦定理、三角恒等變換等知識來求得；選則結合正弦定理、三角恒等變換的知識來求得；選則結合三角恒等變換的知識來求得.（2）結合三角形的面積公式、余弦定理以及向量運算來求得.【詳解】(1)若選