1、自主研究課題報(bào)告書課題：九連環(huán)解法的研究類 型：研究型班 級(jí)：石河子一中高二（6）班研究成員：諶靜、白舒婷、龐明菊、張長(zhǎng)城、朱航、張曉文、孫博文、邵琪玥 指導(dǎo)老師：蔣燕英人員分工：姓名組內(nèi)分工職位諶靜小組策劃、人員組織、方案設(shè)計(jì)、寫文稿組長(zhǎng)白舒婷邵琪玥材料收集與整理組員組員龐明菊孫博文過程記錄組員組員張長(zhǎng)城幻燈片制作組員朱航張曉文方案設(shè)計(jì)、寫文稿組員組員二、課題背景： 對(duì)數(shù)學(xué)教課本必修五59頁閱讀與思考九連環(huán)進(jìn)一步的思考研究；三、課題意義：九連環(huán)是一種流傳于山西民間的智力玩具，它在中國差不多有二千年的歷史，解法、安裝方法步驟繁多、方法復(fù)雜，非常具有挑戰(zhàn)性，而且解九連環(huán)中包含著許多的數(shù)學(xué)知識(shí)，具

2、有很強(qiáng)的研究?jī)r(jià)值；積極學(xué)習(xí)教科書中的閱讀資料并努力做進(jìn)一步的研究，希望用高中數(shù)學(xué)所學(xué)其它知識(shí)進(jìn)一步研究九連環(huán)。四、課題研究的內(nèi)容： 九連環(huán)的介紹九連環(huán)的解法九連環(huán)解法步驟數(shù)的統(tǒng)計(jì)算法在九連環(huán)中的應(yīng)用課題的引申五、課題研究方法：六、課題研究的步驟：準(zhǔn)備階段：組建課題組 網(wǎng)上收集相關(guān)資料 制定課題研究方案實(shí)施階段：研究九連環(huán)的解法 認(rèn)真研究教課本必修五中的閱讀資料九連環(huán)總結(jié)階段：用計(jì)算方法研究九連環(huán)解法的步驟 尋找數(shù)學(xué)同類問題 撰寫報(bào)告論文七、課題研究中的主要困難和解決方法： 困難1：解九連環(huán)最少需要341步，步驟繁多，解法繁瑣，初步嘗試解九連環(huán)中，解到中間發(fā)生錯(cuò)誤無法接環(huán)，而又不能恢復(fù)；困難1解

3、決：全組共同商討，仔細(xì)研究九連環(huán)的解法說明，通過多次的試驗(yàn)將九連環(huán)恢復(fù)；困難2：將九連環(huán)解法及其解法步數(shù)的統(tǒng)計(jì)轉(zhuǎn)化為計(jì)算框圖；困難2的解決：復(fù)習(xí)框圖知識(shí)，多次調(diào)整符號(hào)初始值，在共同研究中解決問題困難3：應(yīng)用所收集的資料時(shí)，不能理解用格雷碼解釋安裝步驟的方法，而且資料有誤，驗(yàn)證過程中，理論不與實(shí)際相符合；困難3的解決：網(wǎng)上繼續(xù)查詢相關(guān)格雷碼的資料，先學(xué)習(xí)了格雷碼，再在反復(fù)的試驗(yàn)與嘗試中糾正了資料的錯(cuò)誤，并且對(duì)資料中的方法做出總結(jié)。八、課題研究成果：(一)、九連環(huán)的介紹：九連環(huán)是中國民間玩具。以金屬絲制成9個(gè)圓環(huán),按照一定的程序反復(fù)操作,可使9個(gè)圓環(huán)分別解開，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝得法者

4、需經(jīng)過81次上下才能將相連的九個(gè)環(huán)套入一柱，再用256次才能將九個(gè)環(huán)全部解下。此解九連環(huán)需要相當(dāng)一段時(shí)間，這也可以訓(xùn)練人的耐心。不僅如此，九連環(huán)還可以根據(jù)需要自行增加環(huán)數(shù)提高難度，但環(huán)數(shù)增加將使解開步驟呈幾何級(jí)數(shù)遞增，且本質(zhì)上并沒有改變解環(huán)方法.(二)、九連環(huán)拆解原理：九連環(huán)的每個(gè)環(huán)互相制約，只有第一環(huán)能夠自由上下。要想下/上第n個(gè)環(huán)，就必須滿足兩個(gè)條件，第一個(gè)環(huán)除外。一、第n-1個(gè)環(huán)在架上；二、第n-1個(gè)環(huán)前面的環(huán)全部不在架上。玩九連環(huán)就是要努力滿足上面的兩個(gè)條件。解下九連環(huán)本質(zhì)上要從后面的環(huán)開始下，而先下前面的環(huán)，是為了下后面的環(huán)，前面的環(huán)還要裝上，不算是真正地取下來。 要想解下第九環(huán)，必

5、須滿足以下兩個(gè)條件：第八環(huán)在架上；而第一七環(huán)全部不在架上。在初始狀態(tài)，前者是滿足的，現(xiàn)在要滿足后者。照這樣推理，就要下第七環(huán)，一直推出要下第一環(huán)，而不是下第二環(huán)。先下第二環(huán)是偶數(shù)連環(huán)的解法。上下第二環(huán)后就要上下第一環(huán)，所以在實(shí)際操作中就同時(shí)上下第一、二環(huán)，這是兩步。 九連環(huán)在任何正常狀態(tài)時(shí)，都只有兩條路可走：上某環(huán)和下某環(huán)，別的環(huán)動(dòng)不了。其中一條路是剛才走過來的，不能重復(fù)走，否則就弄回去了。這樣，就會(huì)迫使連環(huán)者去走正確的道路。而很多人由于不熟悉，常走回頭路，解不了九連環(huán)。首次解九連環(huán)要多思考，三個(gè)環(huán)上下的動(dòng)作要練熟，記住上中有下，下中有上。熟練后會(huì)有更深刻的理解，不需要推理了。(三)、解九連環(huán)

6、的步數(shù)統(tǒng)計(jì)：(四)、九連環(huán)的解法：規(guī)定環(huán)在桿上用1表示，環(huán)在下面用0表示。規(guī)定最左邊的環(huán)是可以任意上下的那一環(huán)，輸出數(shù)據(jù)中最右邊必須是1，也就是說，010100要寫成0101?，F(xiàn)在是X連環(huán),由于“輸出數(shù)據(jù)中最右邊必須是1” ，所以X可以理解為無限大，右邊多余的0在輸出時(shí)都省略。初始化各環(huán)都是0，以下是前9步的情況：步驟 操作方法1 12 113 014 0115 1116 1017 0018 00119 1011數(shù)字規(guī)律：在X連環(huán)裝上過程中，第n步情況，將n轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制，再將二進(jìn)制的格雷碼逆序輸出，即得具體情況。步驟數(shù)二進(jìn)制格雷碼倒序操作步驟11111210111111311100101410

7、01100110115101111111111611010110110171111000010018100011000011001191001110110111011二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為格雷碼的方法：因此，最后一步的格雷碼必定為：111111111，其對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制為：101010101，而對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制即為最后一次操作的步數(shù)，通過下列運(yùn)算可得拆解、組合九連環(huán)最少步驟數(shù)為341次，與前面計(jì)算結(jié)果統(tǒng)一。如果用此方法表示九連環(huán)的拆解，是從最外的環(huán)開始操作，規(guī)定改為環(huán)在桿上用0表示，環(huán)在下面用1表示即可。(五)、課題的總結(jié)與引申：在九連珠解法研究中，不僅讓本組成員對(duì)教材書關(guān)于九連珠解法步驟數(shù)列遞推關(guān)系的講解有更

8、深刻的理解，并且應(yīng)用算法框圖將技術(shù)過程程序化，增強(qiáng)框圖知識(shí)的應(yīng)用；而且用0、1分別表示上、下，用二進(jìn)制的方法列出解法的過程，用數(shù)學(xué)的方法展示解環(huán)步驟，并且將解環(huán)步驟、步驟計(jì)數(shù)書寫公式化，并且學(xué)習(xí)了新的知識(shí)格雷碼。研究過程中數(shù)學(xué)知識(shí)與方法主要應(yīng)用了三個(gè)方面：用數(shù)列遞推式計(jì)算解九連環(huán)的解法步數(shù)；將九連環(huán)解法步數(shù)的計(jì)算過程轉(zhuǎn)化為框圖語言；將二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為格雷碼，用格雷碼的倒序表示解環(huán)的具體步驟，用數(shù)學(xué)的方法羅列解環(huán)的步驟、統(tǒng)計(jì)步數(shù)。數(shù)學(xué)在很多實(shí)踐中，將數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為遞推數(shù)列問題、或?qū)栴}解決過程符號(hào)化，解決方法公式化。具體是列如下：數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為遞推數(shù)列問題實(shí)例：上樓梯 現(xiàn)有階梯12階，某學(xué)生

9、站在階梯的最下面上樓梯，上樓梯的方法為一次只能登一階或兩階樓梯，求該生登上所有階梯的方法個(gè)數(shù)。令該生登上第n階階梯的方法數(shù)為f(n),則f(1)=1,f(2)=2,n2時(shí)，f(n) f(n1) f(n2)由此遞推式可以逐步求解得出f(12)即為所求。問題的解決過程程序化的實(shí)例：魔方范例：依然把十字放在頂層，還原角塊時(shí)，我們首先在底層找有沒有我們要還原的角，沒有的話再到頂層去找！基本的兩種情況為： 公式：D R D R 公式：R D R圖解：公式：D R D R 公式：R D R 將解決問題步驟數(shù)學(xué)公式化，不僅可以應(yīng)用于益智玩具中，而且在生活中廣泛應(yīng)用。如紡織業(yè)將每一種編制方式用不同的符號(hào)表示，問題的解決公式化實(shí)例：紐結(jié)簡(jiǎn)單說，紐結(jié)是一個(gè)解不開的圓圈。紐結(jié)理論的根本問題是研究紐結(jié)的等價(jià)分類，區(qū)分不等價(jià)的紐結(jié)，如下面兩個(gè)扭結(jié)是等價(jià)的。繩子打結(jié)也有運(yùn)算公式： 當(dāng)然，紐結(jié)不是真的要研究繩子的打結(jié)方式與關(guān)系，紐結(jié)是高等數(shù)學(xué)拓?fù)涞姆种?，其理論主要?yīng)用與物理中的磁場(chǎng)研究、化學(xué)中大分子的空間結(jié)構(gòu)的研究，生物鐘遺傳物質(zhì)DNA的