1、第五章 二次型一、向量的內(nèi)積 1.向量內(nèi)積的概念2.向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化3.正交矩陣二、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 下頁本章要求 1掌握二次型的矩陣表示 ；本章重點(diǎn) 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 .第五章 二次型2掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法 ；3了解二次型和對應(yīng)矩陣的正定性及其判別法 .下頁一、向量內(nèi)積的概念 定義1 設(shè)a=(a1, a2, , an )T與b=(b1, b2, , bn )T是Rn中的兩個向量，則實(shí)數(shù)稱為向量a和b的內(nèi)積，記為(a , b ).即內(nèi)積的定義第一節(jié) 向量的內(nèi)積 例如，設(shè)a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 則a和b 的內(nèi)積為(a ,

2、 b ) =(-1)2+10+0(-1)+23=4 .下頁內(nèi)積的性質(zhì) 設(shè)a，b，g為Rn中的任意向量，k為常數(shù). (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)，有( a,a ) =0 .內(nèi)積的定義顯然, 下頁向量的長度定義2 對Rn中的向量a=(a1, a2, , an )T，其長度(或模)為 例如，在R2中，向量a=(-3, 4)T的長度為向量長度的性質(zhì)（了解） (1)|a |0，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)，有|a |=0； (2)|

3、ka |=|k|a | (k為實(shí)數(shù))； (3) 三角不等式: |a + b | |a| |b| ； (4)對任意向量a，b，有 |(a ,b )| |a | |b | .下頁 長度為1的向量稱為單位向量. 向量的單位化（標(biāo)準(zhǔn)化）下頁 例2Rn中的n維單位向量組e1，e2，en，是兩兩正交的：(ei ,ej ) =0 (ij) . 例1零向量與任意向量的內(nèi)積為零，因此零向量與任意向量正交.正交向量組定義3 如果向量a與b為非零向量，它們的夾角 定義為： 若(a ,b )=0，則稱向量a與b互相正交(垂直), .下頁正交向量組 定義4 如果Rn中的m個非零向量組 a1，a2，am兩兩正交，即 (a

4、i ,aj )=0(ij)，則稱該向量組為正交向量組. 如果正交向量組a1，a2，am的每一個向量都是單位向量，則稱該向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.定義3 如果向量a與b為非零向量，它們的夾角 定義為： 若(a ,b )=0，則稱向量a與b互相正交(垂直), .下頁 證明：設(shè)a1，a2，am為正交向量組，且有數(shù)k1，k2，km，使 k1a1+k2a2+ +kmam=0 上式兩邊與向量組中的任意向量ai求內(nèi)積， aiT(k1a1+k2a2+ +kmam)=0 (1im)，可得 kiaiTai=0，但ai0，有aiTai0。所以ki=0 (1im)，則a1，a2，am線性無關(guān). 定理1 Rn中的正交向量

5、組是線性無關(guān)的向量組.下頁定理2（施密特正交化方法） 對于Rn中的線性無關(guān)向量組a1，a2，am，令 b1=a1， 向量組b1，b2，bm是正交向量組，并且與向量組a1，a2，am可以相互線性表示.二、向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化下頁 例3設(shè)線性無關(guān)向量組為a1=(1, 1, 1, 1)T，a2=(3, 3,-1,-1)T，a3=(-2, 0, 6, 8)T，試將a1，a2，a3正交化、標(biāo)準(zhǔn)化. 解:(1)先利用施密特正交化方法將向量組正交化，即令 b1=a1=(1, 1, 1, 1)T，=(3, 3, -1, -1)T=(2, 2, -2, -2)T， =(-1, 1, -1, 1)T .(1, 1,

6、 1, 1)T此時(shí) b1， b2， b3，為正交組.下頁(2)再將正交化后的向量組標(biāo)準(zhǔn)化，即令此時(shí) 1，2，3，即為所求標(biāo)準(zhǔn)正交組.說明：求標(biāo)準(zhǔn)正交組的過程為，先正交化，再標(biāo)準(zhǔn)化.下頁三、正交矩陣 例如，單位矩陣E為正交矩陣. 定義5 如果n階實(shí)矩陣A滿足ATA=E或AATE， 則稱A為正交矩陣.下頁 三、正交矩陣定理3 正交矩陣具有如下性質(zhì)： 1A為正交矩陣的充要條件是A-1=AT； 2. 正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣； 3. 兩個正交矩陣的乘積是正交矩陣； 4. 正交矩陣是滿秩的且|A|=1或-1； 5. A為正交矩陣的充分必要條件是其列(行)向量組是標(biāo) 準(zhǔn)正交向量組. （證明見下頁）定義6

7、 如果n階實(shí)矩陣A滿足ATA=E或AATE， 則稱A為正交矩陣.下頁性質(zhì)5 設(shè)A為n階實(shí)矩陣，則A為正交矩陣的充分必要條件是其列(行)向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組. 證明：設(shè)A=(a1，a2，an)，其中a1，a2，an為A的列向量組，則AT的行向量組為a1T，a2T，anT，ATA第i行第j列元素為aiTaj，由此可知ATA=E等價(jià)于即A為正交矩陣的充分必要條件是其列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組. 類似可證，A為正交矩陣的充分必要條件是其行向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.下頁一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 定義含有n個變量的二次齊次多項(xiàng)式叫做n元二次型，當(dāng)二次型的系數(shù)aij ( i ,j=1,2, ,n)都是實(shí)數(shù)時(shí)，稱為

8、實(shí)二次型（本教材只討論實(shí)二次型）.二次型的定義特別地，只含有平方項(xiàng)的n元二次型稱為n元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形第二節(jié) 二次型 下頁一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 二次型的矩陣形式令下頁得一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 下頁一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 下頁，其中一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 所以二次型可以表示為實(shí)對稱矩陣稱A為二次型系數(shù)矩陣, A的秩稱為二次型的秩.若二次型f是標(biāo)準(zhǔn)形,即其系數(shù)矩陣是對角陣.下頁其中,其中則 f 的矩陣形式為(驗(yàn)證在后)一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 若二次型f是標(biāo)準(zhǔn)形,即其系數(shù)矩陣是對角陣.下頁其中則 f 的矩陣形式為驗(yàn)證：例1.寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩(1)(2)(2)二次型系數(shù)矩陣為因r(A)=

9、3,故二次型的秩等于3.因r(B)=2,故二次型的秩等于2.解: (1)二次型下頁系數(shù)矩陣為化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：問題的提出：p11 y1p21 y1pn1 y1p12 y2p22 y2pn2 y2p1n ynp2n ynpnn ynx1x2xn=+-+由變量y1, y2,， yn到x1, x2,， xn線性變換 若|P|0，則上述線性變換稱為可逆(滿秩)線性變換.或 X=PY.問題：如何找一個滿秩線性變換X=PY，使得將其代入二次型后，得到新的二次型只含變量的平方項(xiàng)的形式(標(biāo)準(zhǔn)形) .一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 下頁問題的討論：現(xiàn)將X=PY代入二次型，得 上式右端是關(guān)于變量y1, y2,， yn的二次型.如果其為標(biāo)準(zhǔn)形為其中比較上式兩端得， 那么，這個P 存在嗎？一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 下頁二、矩陣的合同 定義2 設(shè)A,