1、數(shù)學(xué)實驗Mathematical Experiment 主講教師葉傳秀課程目的和工具讓學(xué)生在計算機的幫助下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識.從問題出發(fā)，借助計算機，通過學(xué)生親自設(shè)計和動手，體驗解決問題的過程，從實驗中去學(xué)習(xí)、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.主要用到的軟件：Mathematica4.0 Mathematica5.0 8/9/2022何謂“數(shù)學(xué)實驗”對數(shù)學(xué)進(jìn)行折騰連蒙帶猜找規(guī)律從問題出發(fā)學(xué)生自己動手、動眼、動腦借助于計算機（成千上萬次折騰）嘗試數(shù)學(xué)的探索、發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用8/9/2022 介紹著名數(shù)學(xué)軟件MATHEMATICA的基本功能和使用方法，內(nèi)容包括：MATHEMATICA基礎(chǔ)、基本的符號運算、繪制圖形以及高級應(yīng)

2、用的簡單介紹。借助教材具體實例探索數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法。主要內(nèi)容課程考核方式總評平時期中0.2期末0.7學(xué)習(xí)方式：課堂教學(xué)上機實踐上課每周4課時，上機課每周2課時，其中自主學(xué)習(xí)1課時，實驗輔導(dǎo)課時。上機實驗安排分組方式：每班一組，共2組；地點：本院計算機技術(shù)實驗室509、513；時間：周一 8-9 節(jié)一組：第8節(jié) 二組： 第9節(jié)要求：各組按周輪轉(zhuǎn)，按時上下機。1212學(xué)習(xí)與交流方式在線學(xué)習(xí)：5作業(yè)提交：cxye 備注：作業(yè)應(yīng)按時提交，程序源代碼必須調(diào)試通過方可提交。 程序添加必要的注釋說明，增加程序的可讀性。 FTP登錄用戶名和密碼皆為:maths。一.Mathematic基礎(chǔ)Mathematic簡

3、介數(shù)、變量、函數(shù)、算式和表表達(dá)式的查詢保存、和文件調(diào)入圖形編程Mathematic簡介 Mathematic是美國Wolfram Research公司開發(fā)的著名數(shù)學(xué)軟件，1987年推出了1.0版，1991年推出了2.0版，1996年推出了3.0版，1998年后相繼出現(xiàn)了4.0、5.0版。目前，它已廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)以及工程領(lǐng)域，被認(rèn)為是現(xiàn)代技術(shù)的標(biāo)志。其主要特色和功能如下： 符號運算 數(shù)值計算 繪制圖形 編制程序 Mathematica系統(tǒng)是目前世界上應(yīng)用最廣泛的符號計算系統(tǒng)，它是由美國伊利諾大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)研究中心主任、物理學(xué)、數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)教授Stephen Wolfram 負(fù)責(zé)

4、研制的該系統(tǒng)用語言編寫，博采眾長，具有簡單易學(xué)的交互式操作方式、強大的數(shù)值計算功能及符號計算功能、人工智能列表處理功能以及像和Pascal語言那樣的結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計功能它有Dos環(huán)境下及Windos環(huán)境下的幾種版本版本Mathematica 1.0 (1988) Mathematica 1.2 (1989) Mathematica 2.0 (1991) Mathematica 2.1 (1992) Mathematica 2.2 (1993) Mathematica 3.0 (1996) Mathematica 4.0 (1999) Mathematica 4.1 (2000) Mathemat

5、ica 4.2 (2002) Mathematica 5.0 (2003) Mathematica 5.1 (2004) Mathematica 5.2 (2005) Mathematica 6.0 (2007) Mathematica 6.0.3 (2008) Mathematica 7.0 (2008)為什么選擇Mathematica？美國National Institute of Standards and Technology列出的數(shù)學(xué)軟件有幾十種，包括Mathematica，Maple，Matlab一般認(rèn)為，Maple的符號運算更好一些( MATLAB的符號運算核心用的就是Maple

6、的），而MATLAB的數(shù)值計算功能強大，Mathematica是第一個集成的系統(tǒng)，具有符號運算和數(shù)值計算的能力，可以很方便地進(jìn)行復(fù)雜的演算，也易于掌握。 在Windows環(huán)境下已安裝好Mathematica4.0，啟動Windows后，在“開始”菜單的“程序”中單擊，就啟動了Mathematica4.0，在屏幕上顯示如圖的Notebook窗口，系統(tǒng)暫時取名Untitled-1，直到用戶保存時重新命名為止。Mathematica的啟動和運行軟件界面Title BarMenu BarPalettesThe NotebookCell and Group of CellsThe Input CellT

7、he Output Cell( Result)Magnification Factor窗口操作指令執(zhí)行指令的方法：左：Shift+Enter；右：Enter；執(zhí)行部分指令的方法：Ctrl+Shift+Enter；終止指令進(jìn)行的方法：alt+.；注釋符號：*到*。 Mathematic功能簡介1. 初等數(shù)學(xué)各種數(shù)、代數(shù)式和函數(shù)的計算和化簡2. 微積分可以求極限、導(dǎo)數(shù)（包括高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)）、不定積分和定積分（包括多重積分），將函數(shù)展開成冪級數(shù)，無窮級數(shù)求和及積分變換，解微分方程。3. 線性代數(shù)可進(jìn)行計算行列式、矩陣的各種運算（加法、乘法、求逆矩陣等），解線性方程組，求矩陣的特征值和特征向量，正交

8、化，以及矩陣的分解。4. 解方程組可對方程（組）和微分方程（組）、不等式求解。 符號運算 Mathematic的數(shù)值計算更具有科學(xué)性，它與通常的數(shù)值計算程序有所不同，允許用戶指定任意精度.例如 可以輕而易舉求出 Pi的300位近似值； 可以求出1000！和 等整數(shù)的 準(zhǔn)確值.數(shù)值計算 其繪圖功能也很出色，能繪制各種二維和三維彩色圖形，自動化程度很高. 繪圖功能 在Mathematica中用戶可以自己編制各種程序,開發(fā)新的功能.用戶開發(fā)的功能可以在軟件啟動時被調(diào)入,與軟件本身的功能一樣使用. 編制程序數(shù)、變量、函數(shù)、算式和表數(shù)的表示和計算變量函數(shù)表基本符號運算1)準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù) Mathemat

9、ica以符號運算為主,將實的近似數(shù)稱為實數(shù),而將準(zhǔn)確數(shù)稱為整數(shù)、有理數(shù)、冪、符號數(shù)等.無論準(zhǔn)確數(shù)還是近似數(shù)，都沒有位數(shù)的限制.如 等符號數(shù)表示準(zhǔn)確數(shù) 等帶小數(shù)點的數(shù)表示近似數(shù) 1.數(shù)的表示和計算2)數(shù)的輸出、輸入方法和格式分式 x Ctrl+/ 2 n次方 x Ctrl+ n 開n次方 Ctrl+2 x Ctrl+5 n下標(biāo) x Ctrl+_n 數(shù)學(xué)表達(dá)式二維格式的輸入3)近似數(shù)的精度控制 a) 求近似值的函數(shù)N Mathematica允許用戶任意指定數(shù)值計算的精度,函數(shù)N的調(diào)用格式如下 N表達(dá)式,數(shù)字位數(shù) N表達(dá)式 另:可用函數(shù)NumberFormReal,n規(guī)定 實數(shù)的顯示位數(shù). b)用分

10、數(shù)逼近實數(shù) 一般，我們用實數(shù)作為分?jǐn)?shù)的近似值；同樣，可以用一個分?jǐn)?shù)作為實數(shù)的近似值.可使用如下的轉(zhuǎn)換函數(shù)進(jìn)行Rationalizex 給出x的有理數(shù)近似值Rationalizex,dx 給出x的有理數(shù)近似 值,誤差小于dx.4)數(shù)的進(jìn)制轉(zhuǎn)換 可以使用bnnn將一個b進(jìn)制的數(shù)nnn轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù). 可以使用BaseFormx,b函數(shù)將一個十進(jìn)位數(shù)x化成b進(jìn)位數(shù).Pi 表示 3.14159E 自然對數(shù)的底，e=2.71828.Degree /180i 虛數(shù)單位Infinity 無窮大Infinity 負(fù)的無窮大GoldenRatio 黃金分割數(shù)0.618035)數(shù)學(xué)常數(shù) 在數(shù)的輸出中可以使用轉(zhuǎn)換

11、函數(shù)進(jìn)行不同數(shù)據(jù)類型和精度的轉(zhuǎn)換。另外對一些特殊要求的格式還可以使用如下的格式函數(shù)：NumberFormexpr,n 以n位精度的實數(shù)形式輸出實數(shù)exprScientificFormatexpr 以科學(xué)記數(shù)法輸出實數(shù)exprEngineergFormexpr 以工程記數(shù)法輸出實數(shù)exprln1:=NPi30,30Out1:=8.21289330402749581586503585434 x 1014In2:=NumberForm%,10Out2/NumberForm=8.212893304 x 10146)數(shù)的輸出形式1)變量命名 Mathematica中的變量命名必須是以字母開頭的并由字母或

12、數(shù)字組成的字符串(長度不限),但是不能含有空格或標(biāo)點符號,大寫與小寫字母用于表示不同的變量.例如 x, al, bl2, Tc都是合法的變量名; 2a是不合法的變量名; al與Al是不同的變量.2.變量2)變量賦值 一個變量可以表示各種類型的數(shù)或字符串,也可以表示一個算式.與C語言不同,不必事先聲明變量的類型,Mathematica會根據(jù)用戶給變量所賦的值自動處理.x=Value 給x賦值；X=y=Value 同時給x,y賦相同的值；x,y,=Value1,Value2,在Mathematica中，運算符號“=”或“：=”起賦值作用，一般形式為： 變量=表達(dá)式 或 變量1=變量2=表達(dá)式其執(zhí)行

13、步驟為：先計算賦值號右邊的表達(dá)式，再將計算結(jié)果送到變量中在Mathematica中，“=”應(yīng)理解為給變量一個值在使用“=”定義規(guī)則時,定義式右邊的表達(dá)式立即被求值；而在使用“：=”定義規(guī)則時,系統(tǒng)不做運算，也就沒有相應(yīng)的輸出，定義式右邊的表達(dá)式不被立即求值，直到被調(diào)用時才被求值因此，“：=”被稱為延遲賦值號，“=”被稱為立即賦值號一般的高級語言沒有符號運算功能，因此，在C和Pascal等語言中，一個變量只能表示一個數(shù)值、字符串或邏輯值而在Mathematica中，一個變量可以代表一個數(shù)值、一個表達(dá)式、一個數(shù)組或一個圖形 為了避免隱蔽的錯誤，應(yīng)該及時清除不再使用的變量.其方法有以下幾種： 3)清

14、除變量x=. 清除x的值但保留變量x.Clearx 清除x的值同時清除變量x.Removex 清除變量x.Clear“Global*” 清除所有變量的值.Remove“Global*” 清除所有變量.%是一個重要的Mathematica符號，如下：4)表示輸出的專用符號% 表示前一個輸出的內(nèi)容.% % 表示倒數(shù)第二個輸出的內(nèi)容.% n 表示第n個(即Outn)輸出的內(nèi)容. 所有% n的內(nèi)容一直被Mathematica記憶, 它們可以像其他變量一樣被后面的計算引用,靈活地使用%符號可以節(jié)省大量的輸入時間.如輸入5）變量的替換在給定一個表達(dá)式時其中的變量可能取不同的值，這是可用變量替換來計算表達(dá)式

15、的不同值。方法為：函數(shù) / . 變量名 -數(shù)值或表達(dá)式或函數(shù) /. 變量名1 -數(shù)值1或表達(dá)式1, 變量名2 -數(shù)值2或表達(dá)式2,fnx /. x- 8 可以得到函數(shù)值fn(8)，fnx_,y_:=x3+y2 /. x- a, y-b+2可以得到函數(shù)值fn(a,b+2) Mathematica的基本功能是作為一個最高級的函數(shù)計算器來使用的,各種操作主要靠函數(shù)來實現(xiàn).Mathematica提供的函數(shù)種類繁多且功能強大,函數(shù)一詞也不僅限于數(shù)學(xué)上的含義,有實現(xiàn)各種操作的函數(shù).還可以由用戶自定義函數(shù),加入到Mathematica中,能像系統(tǒng)函數(shù)一樣使用.學(xué)習(xí)Mathematica主要是分門別類地學(xué)習(xí)各

16、種函數(shù)的功能及其調(diào)用方法.下面只介紹一些簡單而又常用的數(shù)學(xué)函數(shù).3.函數(shù)1)基本初等函數(shù)Sinx Cosx Tanx Cotx Secx CscxArcSinx ArcCosx ArcTanx ArcCotx ArcSecx ArcCscxExpx 表示Logx 表示ln (以a為底的對數(shù):Loga,x)Sqrtx 表示函數(shù)的一般形式是： 函數(shù)名參數(shù)1,參數(shù)2,.a)基本初等函數(shù)表 b)系統(tǒng)函數(shù)的書寫規(guī)則 Mathematic的系統(tǒng)函數(shù)書寫規(guī)則很嚴(yán)格,應(yīng)注意以下幾點:函數(shù)名首字符用大寫,后面的字符一般用小寫,當(dāng)函數(shù)名分成幾段時,每段的首字符應(yīng)大寫,函數(shù)名中不能含有空格；參數(shù)用方括號括起來,但是

17、不能用圓括號.Mathematica認(rèn)為圓括號表示相乘. 如f(x+y)- f*(x+y) c) 函數(shù)的嵌套 函數(shù)可以任意嵌套,如 NSin2,31. 如果輸入Sin2,輸出仍是準(zhǔn)確值Sin2,當(dāng)輸入Sin2.0時,Mathematica輸出近似值. 還有一種特殊的,但是常用的使用函數(shù)方法:表達(dá)式/函數(shù)名,將函數(shù)作用于前面的表達(dá)式.如:2.0/Sin. d) 給數(shù)加上單位 角度的默認(rèn)單位是弧度.如果使用度數(shù)作為默認(rèn)單位則在數(shù)據(jù)后面加上Degree或者輸入基本輸入模板上的專用符號“ ”.同樣可以給數(shù)據(jù)加上其他常用單位，如meters,Seconds等.如 2)常用函數(shù)Absx 求實數(shù)x的絕對值或

18、復(fù)數(shù)的模Signx 符號函數(shù)Max 一組數(shù)的最大值Min 一組數(shù)的最小值Rex(Imx) 復(fù)數(shù)x的實(虛)部Argx 復(fù)數(shù)x的輻角Conjugatex 復(fù)數(shù)x的共軛數(shù)Floorx 不超過x的最大整數(shù)Ceilingx 不小于x的最小整數(shù)Roundx 最接近x的整數(shù)Modm,n 整數(shù)m被n除的余數(shù)Quotientm,n整數(shù)m被n除的整數(shù)部分GCD 一組整數(shù)的最大公約數(shù)LCM 一組整數(shù)的最小公倍數(shù)n! (n!) 求n的(雙)階乘Binomialn,k 求FactorIntegern 將整數(shù)分解成素數(shù)的積3)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 雙曲函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的組合，它有許多有趣的性質(zhì).雙曲函數(shù)共有六個,其中最基

19、本的三個函數(shù)是 Sinhx Coshx Tanhx Cothx Sechx CschxArcSinhx ArcCoshx ArcTanhx ArcCothx ArcSechx ArcCschx4)隨機函數(shù) 在Mathematica中有一個內(nèi)置的隨機數(shù)生成器,這個內(nèi)置函數(shù)在概率論與統(tǒng)計分析中非常有用. Randomtype,range,n 產(chǎn)生指定類型、范圍的、具有n位數(shù)字的隨機數(shù),其中類型type只能是Integer,Real,Complex,范圍range由min,max指定(默認(rèn)值是0,1),位數(shù)n的默認(rèn)值是按機器規(guī)定的精度,三個參數(shù)都可以缺省. Random 產(chǎn)生0,1之間的一個實數(shù)Ra

20、ndomInteger 只能產(chǎn)生0或1RandomComplex 產(chǎn)生單位正方形內(nèi)的一 個復(fù)數(shù)RandomReal,max 產(chǎn)生0,max范圍內(nèi)的一個實數(shù)RandomComplex,zmin,zmax 產(chǎn)生左下角為zmin,右上角為zmax的矩形內(nèi)的一個復(fù)數(shù).（1）函數(shù)的立即定義立即定義函數(shù)的語法如下fx_=expr函數(shù)名為f,自變量為x，expr是表達(dá)式。在執(zhí)行時會把expr中的x都換為f的自變量x(不是x_)。函數(shù)的自變量具有局部性，只對所在的函數(shù)起作用。函數(shù)執(zhí)行結(jié)束后也就沒有了，不會改變其它全局定義的同名變量的值。對于定義的函數(shù)我們可以使用命令Clearf清除掉而Removef則從系統(tǒng)中

21、刪除該函數(shù)。 ）函數(shù)的定義（2）多變量函數(shù)的定義也可以定義多個變量的函數(shù)，格式為 fx_,y_,z_,=expr自變量為x,y,z.,相應(yīng)的expr中的自變量會被替換。 如：Fx_,y_=x+y+Sinx y（3）延遲定義函數(shù)延遲定義函數(shù)從定義方法上與即時定義的區(qū)別為“=”與“：=”延遲定義的格式為fx_：=expr其他操作基本相同。那么延遲定義和即時定義的主要區(qū)別是什么？即時定義函數(shù)在輸入函數(shù)后立即定義函數(shù)并存放在內(nèi)存中并可直接調(diào)用。延時定義只是在調(diào)用函數(shù)時才真正定義函數(shù)。（4）使用條件運算符定義和If命令定義函數(shù) 這樣的分段函數(shù)應(yīng)該如何定義，顯然要根據(jù)x 的不同值給出不同的表達(dá)式。一種辦法

22、是使用條件運算符，基本格式為fx_:=expr/;condition ，當(dāng)condition條件滿足時才把expr賦給f.If語句的格式為If條件，值1，值2如果條件成立取“值1”，否則取“值2”（5）函數(shù)求值形式：函數(shù)/.變量名-數(shù)值或表達(dá)式 fx/.X-數(shù)值或表達(dá)式 或者函數(shù)/.變量名1-數(shù)值1或表達(dá)式1,變量名2-數(shù)值2或表達(dá)式2, 表是存儲多個數(shù)變量或等式等對象的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，一個表用一對花括號表示，它的成員(元素)在括號內(nèi)用逗號隔開,同一個表的成員可以有不同的數(shù)據(jù)類型,表的成員還可以是一個表(子表).如4.表tn或Partt,n 表示表t的第n個元素t-n或Partt,-n 表示表t

23、的倒數(shù)第n個元素t 或 Partt, 表示t的第 個元素Ti,j 或 Partt,i,j 表示表t的第i個子表的第j個元素Lengtht 表示表t的元素的個數(shù)1)表的元素的操作 經(jīng)常要提取或改變一個表中的元素，以下函數(shù)是常用的: 下面函數(shù)可以通過提取添加刪除替換一個表中的元素得到一個新表(原來的表不變).Taket,n 提取表t的前n個元素Taket,-n 提取表t的后n個元素Taket,m,n提取表的第m到第n個元素Insertt,expr,n在表t的第n個位置插入元素Insertt,expr,-n在表t的倒數(shù)第n個位置插入元素exprPrependt,expr在表t的第一個元素前面插入元素

24、exprAppendt,expr在表t的尾部插入元素exprDeletet,n 刪除表t的第n個元素Dropt,n 刪除表t的前n個元素Dropt,-n 刪除表t的后n個元素Dropt,m,n 刪除表t的第m到n個元素ReplacePartt,expr,n 用expr替換表t的第n個元素ReplacePartt,expr,-n 用expr替換表t的倒數(shù)第n個元素ReplacePartt,expr,i,j 用expr替換表t的第i個元素中的第j個成員。2)表的操作 通過下列函數(shù)可以進(jìn)行表的運算,生成新表(原來的表不變):Joint1,t2 將表t1,t2連接成一個表Uniont1,t2 取表t1

25、,t2的并集組成一個表Uniont 合并表t中的相同元素得到一個表Intersectiont1,t2 取表t1,t2的交集組成一個表Complementeall,e1,e2, 給出在表eall中但不在e1,e2,中的元素組成的表Partitiont,n 將表t的元素按n個一組生成子表Flattent 展開表t的各個子表Sortt 將表t的元素按標(biāo)準(zhǔn)順序排序Reverset 將表t的元素逆向排列Tablef,i,imin,imax,stepi, j,jmin,jmax, stepj 用于建立通項為f的表,其中f是i,j的函數(shù),min,max,step規(guī)定了初值,終值,步長,min和step的默認(rèn)

26、值是13)某些建表函數(shù) 最重要的建表函數(shù)是Table,其調(diào)用格式如下:以上參數(shù)設(shè)置用于建立一個2層表,實際 上表的層數(shù)是可以任意的. 使用函數(shù)Table,還可以生成具有抽象元素的表.通項f本身也可以具有表的形式注記: 函數(shù)Range用于建立一些特殊的表其調(diào)用格式如下 :Rangemin,max,step 按初值,終值,步長生 成一個表Rangen 生成前n個自然數(shù)的表5.基本的符號運算基本代數(shù)運算微積分線性代數(shù) 代數(shù)運算是一切符號運算的基礎(chǔ), 本節(jié)介紹實現(xiàn)各種基本代數(shù)運算的Mathematica 函數(shù),用于變換數(shù)學(xué)表達(dá)式,解方程和解不等式.其中最重要的是化簡函數(shù),在各種符號演算中都會用到.1

27、化簡計算結(jié)果1)兩個化簡函數(shù)Simplifyexpr 使用變換化簡表達(dá)式FullSimplifyexpr 使用更廣泛的變換化 簡表達(dá)式注:函數(shù)FullSimplify還可以化簡特殊函數(shù)2)帶有條件的化簡 化簡函數(shù)允許帶有條件,條件可以是等式或不等式,還可以使用下面的表達(dá)式指明數(shù)的取值范圍 x domElementx,dom 其中dom只能取下列集合之一:Integers,Rationals,Reals,Complexes,Primes,Algebraics,Booleans.2常用的因式分解函數(shù)1)因式分解 用于因式分解的函數(shù)是:Factorexpr 用于和式的因式分解,也可 以分解分式的分子

28、、分母(還可以先通分,再分解2)合并同類項 合并同類項的函數(shù)是Collect,調(diào)用格式如下:Collectexpr,x 將表達(dá)式expr中的x的同 次冪合并Collectexpr,x,y, 將表達(dá)式expr按x, y,的同次冪合并. 3)表達(dá)式的展開 將表達(dá)式展開的函數(shù)有:Expandexpr ExpandAllexpr 這兩個函數(shù)都可用于乘積的展開,也可以展開分式.后者的展開更為徹底,前者展開分式時只展開分子,后者將分子、分母都進(jìn)行展開.還有兩個特殊的展開函數(shù):ExpandNumeratorexpr 只展開分式的分子ExpandDenominatorexpr只展開分式的分母4)分式的化簡與展

29、開 下列函數(shù)分別用于有理式的合并、化簡與展開Togetherexpr 用于通分,把所有的項 放在同一個分母上并化簡Cancelexpr用于約去分子、分母的公 因式Apartexpr 將有理式分解為最簡分式 的和5)輸出的縮減形式 有時輸出結(jié)果很長,并不需要了解其中的細(xì)節(jié),只需要知道它的結(jié)構(gòu),這時可以使用函數(shù)Short簡化結(jié)果的輸出形式:Shortexpr 將輸出結(jié)果縮略成一行顯示Shortexpr,n 將輸出結(jié)果縮略成n行顯示6)三角函數(shù)式的化簡 還有三角函數(shù)專用的分解、展開、化簡函數(shù):TrigExpandexpr 將三角函數(shù)式展開TrigFactorexpr 將三角函數(shù)式因式分解TrigReduceexpr 用倍角化簡三角函數(shù)式TrigToExpexpr 將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)換成指 數(shù)形式ExpToTrigexpr 前一個函數(shù)的逆變