1、-. z.傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型很多醫(yī)學(xué)工作者試圖從醫(yī)學(xué)的不同角度來解釋傳染病傳播時的一種現(xiàn)象，這種現(xiàn)象就是在*一民族或地區(qū)，*種傳染病傳播時，每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)。結(jié)果都不能令人滿意，后來由于數(shù)學(xué)工作者的參與，用建立數(shù)學(xué)模型來對這一現(xiàn)象進展模擬和論證，得到了較滿意的解答。一種疾病的傳播過程是一種非常復(fù)雜的過程，它受很多社會因素的制約和影響，如傳染病人的多少，易受傳染者的多少，傳染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，還有人員的遷入和遷出，潛伏期的長短，預(yù)防疾病的宣傳以及人的個體差異等。如何建立一個與實際比擬吻合的數(shù)學(xué)模型，開場顯然不能將所有因素都考慮進去。為此，必須從諸多因素中，

2、抓住主要因素，去掉次要因素。先把問題簡化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。將所得結(jié)果與實際比擬，找出問題，修改原有假設(shè)，再建立一個與實際比擬吻合的模型。從而使模型逐步完善。下面是一個由簡單到復(fù)雜的建模過程，很有代表性，讀者應(yīng)從中體會這模過程的方法和思路。一.最簡單的模型假設(shè)：(1)每個病人在單位時間傳染的人數(shù)是常數(shù)k；(2)一個人得病后經(jīng)久不愈，并在傳染期不會死亡。以i(t)表示t時刻的病人數(shù)，表示每個病人單位時間傳染的人數(shù)，i(0)=表示最初時有個傳染病人，則在時間增加的病人數(shù)為兩邊除以，并令0得微分方程 2.1其解為 這說明傳染病的轉(zhuǎn)播是按指數(shù)函數(shù)增加的。這結(jié)果與傳染病傳播初期比擬吻合，傳染病傳播初期

3、，傳播很快，被傳染人數(shù)按指數(shù)函數(shù)增長。但由(2.1)的解可知，當(dāng)t時，i(t)，這顯然不符合實際情況。最多所有的人都傳染上就是了。則問題在那里呢？問題是就出在于兩條假設(shè)對時間較長時不合理。特別是假設(shè)(1)，每個病人單位時間傳染的人數(shù)是常數(shù)與實際情況不符。因為隨著時間的推移，病人越來越多，而未被傳染的人數(shù)卻越來越少，因而不同時期的傳播情況是不同的。為了與實際情況較吻合，我們在原有的根底上修改假設(shè)建立新的模型。二.模型的修改將人群分成兩類：一類為傳染病人，另一類為未被傳染的人，分別用i(t)和s(t)表示t時刻這兩類人的人數(shù)。i (0)=。假設(shè)：(1)每個病人單位時間傳染的人數(shù)與這時未被傳染的人數(shù)

4、成正比。即；(2)一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期不會死亡。由以上假設(shè)可得微分方程 (2.2)這是變量別離方程，用別離變量法可求得其解為 (2.3)其圖形如以下圖2-1所示模型(2.2)可以用來預(yù)報傳染較快的疾病前期傳染病頂峰到來的時詢。醫(yī)學(xué)上稱為傳染病曲線，它表示傳染病人的增加率與時間的關(guān)系，如圖2-2所示。由 (2.3)式可得 2.4)再求二階導(dǎo)數(shù)，并令，可解得極大點為 (2.5)從(2.5)式可以看出，當(dāng)傳染病強度k或人口總數(shù)n增加時，都將變小，即傳染病頂峰來得快。這與實際情況吻合。同時，如果知道了傳染率k(k由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到)，即可預(yù)報傳染病頂峰到來的時間，這對于預(yù)防傳染病是有益處的。模

5、型(2.2)的缺點是：當(dāng)t時，由(2.3)式可知i(t)n，即最后人人都要得病。這顯然與實襪情況不符。造成這個結(jié)果的原因是假設(shè)(2)中假設(shè)一人得病后經(jīng)久不愈，也不會死亡。為了得到與實際情況更吻合的模型，必須修改假設(shè)(2)。實際上不是每個人得病后都會傳染別人，因為其中一部份會被隔離，還有由于醫(yī)治和人的身抵抗力會痊愈，有的人會死亡從而也就不再會傳染給別人了。因此必須對模型作進一步的修改，建立新的模型。三.模型的進一步完善從上面的分析我們看到模型(2.2)的假設(shè)(2)是不合理的。即不可能一人得病后會經(jīng)久不愈，必有一部份人因醫(yī)治或自身的免疫力，或是被隔離，或是死去而成為不會再繼續(xù)傳染給別人的第三類人。

6、因此我們把人群分成三類：第一類由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的。用I(t)表示t時刻第一類人數(shù)。第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的，用S(t)表示t時刻第二類人數(shù)。第三類包括患病后死去的人，病愈后具有長期免疫力的人，以及在得病后被隔離起來的人。用R(t)表示t時刻第三類人數(shù)。假設(shè)疾病傳染服從以下法則：(1)在所考慮的時期人口總數(shù)保持在固定水平N，即不考慮出生及其他原因引起的死亡，以及人口的遷入遷出的情況。(2)易受傳染者人數(shù)S(t)的變化率正比于第一類的人數(shù)I(t)與第二類人粉S(t)的乘積。(3)由第一類向第三類轉(zhuǎn)變的速度與第一類的人數(shù)成正比。在這三條假設(shè)情況下

7、可得如下微分方程： (2.6)其中r、為比例常數(shù)，r為傳染率，為排除率。由方程(2.6)的三個方程相加得則 故 因此只要求出S(t)、I(t)即可求出R(t)。方程組(2.6)的第一個和第二個方程與R(t)無關(guān)。因此，由 (2.7)得 (2.8)積分得 由初始條件：當(dāng) 并記 代入上式可確定常數(shù) 最后得 (2.9)下面我們討論積分曲線(2.9)的性質(zhì)，由(2.8)知所以當(dāng)S時，I(S)是S的增函數(shù)，S時，I(S)是S的減函數(shù)。又有I(0)=，由連續(xù)函數(shù)的中間值定理及單調(diào)性知，存在唯一點，使得, 而當(dāng) 時，I(S)0 。由(2.7)知I=0時，所以為方程組(2.7)的平衡點。當(dāng)時，方程(2.9)的

8、的圖形如圖2-3。當(dāng)t由變到時，點(S(t)，I(t)沿曲線(2.9)移動，并沿S減少的方向移動，因為S(t)隨時間的增加而單調(diào)減少。因此，如果小于，則I(t)單調(diào)減少到零，S(t)單調(diào)減少到。所以，如果為數(shù)不多的一群傳染者分散在居民中，且，則這種病會很快被消滅。如果，則隨著S(t)減少到時，I(t)增加，且當(dāng)S=時，I(t)到達最大值。當(dāng)S(t)時I(t) 才開場減少。由上分析可以得出如不結(jié)論：只有當(dāng)居民中的易受傳染者的人數(shù)超過閾值時傳染病才會蔓延。用一般常識來檢驗上面的結(jié)論也是符合的。當(dāng)人口擁擠，密度高，缺少應(yīng)有的科學(xué)文化知識，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時，傳染病會很快蔓延；反

9、之，人口密度低，社會條件好，有良好的醫(yī)療條件和較好的管理而排除率高時，則傳染病在有限圍出現(xiàn)會很快被消滅。傳染病學(xué)中的閾值定理設(shè)，且假設(shè)同1相比是小量。并設(shè)最初傳染者人數(shù)很小，則最終患病人數(shù)為2r。即是易受傳染者的人數(shù)最初比閾值高多少，則最終就會比閾值低多少。這就是有名的傳染病閾值定理。生物數(shù)學(xué)家Kermack和Mekendrick在1927年首先證明了這個定理(證明從略)根據(jù)閾值定理就可以由起初易受傳染者的人數(shù)來估計最終患病的人數(shù)。這定理解釋了研究人員長期以來難以解釋的為什么對于*一民族或地區(qū)，*種傳染病傳播時，每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)的現(xiàn)象。在傳染病發(fā)生的過程中，不可能準(zhǔn)確地調(diào)查每一天

10、或每一星期的得病人數(shù)。因為只有那些來醫(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病，并把他們隔離起來防止傳染。因此，統(tǒng)計的記錄是每一天或星期新排除者的人數(shù)，而不是新得病的人數(shù)。所以，為了把數(shù)學(xué)模型所預(yù)示的結(jié)果同疾病的實際情況進展比擬，必須解出(2.6)中的第三個方程。因為所以 從而有 (2.10)方程(2.10)雖是可別離變量的方程，但是不能用顯式求解，如果傳染病不嚴(yán)重，則R/是小量，取泰勒級數(shù)前三項有從而其解其中 因此 (2.11)方程(2.11)在 平面上定義了一條對稱鐘形曲線，稱為疾病傳染曲線。疾病傳染曲線很好地說明了實際發(fā)生的傳染病的情況：每天報告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值，然后又減少下來。Kermak和Mekendrick把(2.11)得到的值，同取自1905年下半年至1906年上半年在印度孟買發(fā)生的瘟疫資料進展比擬，他們假設(shè)其中t按星期計，在圖2-4中的實際數(shù)字(圖中用.表示)同理論曲線非常一致。這就說明模型(2.6)是在固定居民