1、第15章 平面圖形的幾何性質(zhì)基本要求1重點(diǎn)內(nèi)容為靜矩、慣性矩的定義，平行移軸公式，主軸和主慣性矩的概念。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要求著重掌握對(duì)稱(chēng)組合截面形心主慣性矩的計(jì)算。2截面幾何性質(zhì)的定義式列表于下：靜 矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩3慣性矩的平行移軸公式應(yīng)注意和軸通過(guò)截面形心。4任何截面圖形必定存在一對(duì)形心主軸，它具有下列特性：1）整個(gè)截面對(duì)形心主軸的靜矩為零；2）整個(gè)截面對(duì)一對(duì)形心主軸的慣性積為零；3）在所有與一形心主軸平行的軸中，截面對(duì)形心主軸的慣性矩最??；4）在所有通過(guò)形心的各軸中，截面對(duì)一對(duì)形心主軸的慣性矩，必取最大值和最小值。5）通過(guò)截面形心并包含對(duì)稱(chēng)軸的一對(duì)軸，必定是形心主軸。教案：

2、平面圖形的幾何性質(zhì)一般與桿件橫截面的幾何形狀和尺寸有關(guān)，下面介紹的幾何性質(zhì)表征量在桿件應(yīng)力與變形的分析與計(jì)算中占有舉足輕重的作用。15-1 靜矩和形心靜矩：平面圖形面積對(duì)某坐標(biāo)軸的一次矩，如圖-1所示。定義式：， （-1）量綱為長(zhǎng)度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標(biāo)和。則由此可得薄板重心的坐標(biāo) 為同理有 所以形心坐標(biāo)， （-2）或，由式（-2）得知，若某坐標(biāo)軸通過(guò)形心軸，則圖形對(duì)該軸的靜矩等于零，即 ， ； ，則 ；反之，若圖形對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過(guò)圖形的形心。靜矩與所選坐標(biāo)軸有關(guān)，其值可能為正，負(fù)或零。如一個(gè)平面圖形是由幾個(gè)簡(jiǎn)單平面圖形組成，稱(chēng)為組合平面圖

3、形。設(shè)第 I 塊分圖形的面積為 ，形心坐標(biāo)為 ，則其靜矩和形心坐標(biāo)分別為， （-3）， （-4）例-1 求圖-2所示半圓形的 及形心位置解：由對(duì)稱(chēng)性， ， ?，F(xiàn)取平行于 軸的狹長(zhǎng)條作為微面積 所以 讀者自己也可用極坐標(biāo)求解。例-2 確定形心位置，如圖-3所示。解：將圖形看作由兩個(gè)矩形和組成，在圖示坐標(biāo)下每個(gè)矩形的面積及形心位置分別為矩形：mm2 mm， mm矩形：mm2 mm， mm整個(gè)圖形形心的坐標(biāo)為15-2 慣性矩和慣性半徑慣性矩：平面圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的二次矩，如圖-4所示。， （-5）量綱為長(zhǎng)度的四次方，恒為正。相應(yīng)定義， （-6）為圖形對(duì) 軸和對(duì) 軸的慣性半徑。組合圖形的慣性矩。設(shè) 為分

4、圖形的慣性矩，則總圖形對(duì)同一軸慣性矩為， （-7）若以 表示微面積 到坐標(biāo)原點(diǎn) 的距離,則定義圖形對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn) 的極慣性矩 （-8）因?yàn)樗詷O慣性矩與（軸）慣性矩有關(guān)系 （-9）式（-9）表明，圖形對(duì)任意兩個(gè)互相垂直軸的（軸）慣性矩之和，等于它對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。下式 （-10）定義為圖形對(duì)一對(duì)正交軸 、 軸的慣性積。量綱是長(zhǎng)度的四次方。 可能為正，為負(fù)或?yàn)榱?。?y ，z 軸中有一根為對(duì)稱(chēng)軸則其慣性積為零。例-3 求如圖-5所示圓形截面的 。解：如圖所示取dA，根據(jù)定義，由于軸對(duì)稱(chēng)性，則有 （I-10a） 由公式（-9） （I-10b） 對(duì)于空心圓截面，外徑為 ，內(nèi)徑為 ，則 （-12a）

5、 （I-12b）例-4 求如圖-6所示圖形的 及 。解：取平行于 軸的狹長(zhǎng)矩形，由于 ，其中寬度 隨 變化，則由，如圖習(xí) 題-1 確定圖示圖形形心的位置。-2 計(jì)算圖示半圓形對(duì)y的靜矩和形心軸的慣性矩。-3 計(jì)算下列圖形對(duì)軸的慣性矩以及慣性積。-4 試確定圖示平面圖形的形心主慣性軸的位置，并求形心主慣性矩。-5 試確定圖示圖形通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)主慣性軸的位置，并計(jì)算主慣性矩和的值。-6 求圖示三角形的形心主慣性矩，并確定形心主慣性軸的位置。 -7 試求圖示正方形截面的慣性矩，和慣性矩，并做出相應(yīng)的結(jié)論。 -3平行移軸公式由于同一平面圖形對(duì)于相互平行的兩對(duì)直角坐標(biāo)軸的慣性矩或慣性積并不相同，如果其中一

6、對(duì)軸是圖形的形心軸 時(shí)，如圖-7所示，可得到如下平行移軸公式 （-13）簡(jiǎn)單證明之：其中 為圖形對(duì)形心軸 的靜矩，其值應(yīng)等于零，則得同理可證（I-13）中的其它兩式。結(jié)論：同一平面內(nèi)對(duì)所有相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩，對(duì)形心軸的最小。在使用慣性積移軸公式時(shí)應(yīng)注意 a ,b 的正負(fù)號(hào)。例-5 由兩個(gè)8號(hào)槽鋼和兩塊 cm2 鋼板組成的截面，如圖 -8 ，求 ， 。解：（1）計(jì)算 根據(jù)平行移軸公式，求得每一鋼板對(duì) 軸的慣性矩為cm4從型鋼表中查得每一槽鋼對(duì) 軸的慣性矩為cm4則該組合截面對(duì) 軸的慣性矩為 cm4（2）計(jì)算 每一鋼板對(duì) 軸的慣性矩為 cm4從型鋼表中查得，每一槽鋼的形心到外側(cè)邊緣的距離為1

7、.43cm，則該形心 與 軸的距離為 cm。又從型鋼表中查得槽鋼對(duì)其形心軸z的慣性矩 及面積 A 分別為 cm4 ， cm2 。故由平行軸公式得每一槽鋼對(duì) 軸的慣性矩為cm4最終可得到整個(gè)組合截面對(duì) 軸的慣性矩為cm4-4轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸任意平面圖形（如圖-9）對(duì) 軸和 軸的慣性矩和慣性積，可由式（-5）（-9）求得，若將坐標(biāo)軸 y , z 繞坐標(biāo)原點(diǎn) 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 角，且以逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為正，則新舊坐標(biāo)軸之間應(yīng)有如下關(guān)系將此關(guān)系代入慣性矩及慣性積的定義式，則可得相應(yīng)量的新、舊轉(zhuǎn)換關(guān)系，即轉(zhuǎn)軸公式 （-14） （-15）若令 是慣性矩為極值時(shí)的方位角，則由條件 ，可得 （-16）由式（-16）可以求出

8、 和 以確定一對(duì)主慣性軸 和 。由（I-16）式求出 sin2 , cos2 后代回式（I-14）與（I-15）即可得到慣性矩得兩個(gè)極值，稱(chēng)主慣性軸。主慣性矩的計(jì)算公式：而此時(shí)慣性積。因此也不可以說(shuō)：圖形對(duì)一對(duì)正交的坐標(biāo)軸的慣性積等于零，這一對(duì)坐標(biāo)軸稱(chēng)為主（慣性）軸。由（I-14）式尚可證明 （I-18）即通過(guò)同一坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一對(duì)直角坐標(biāo)軸的慣性矩之和為一常量，因而兩個(gè)主慣性矩中必然一個(gè)為極大值，另一個(gè)為極小值。若主慣性軸通過(guò)形心，則稱(chēng)形心主慣性軸，相互主慣性矩稱(chēng)形心主慣性矩。例-6 確定圖形的形心主慣性軸位置，并計(jì)算形心主慣性矩(如圖I-10)。解：（1）首先確定圖形的形心。利用平行移軸公式分別求出各矩形對(duì) 軸和 軸的慣性矩和慣性積矩形