1、高中數(shù)學B版3.1.2 函數(shù)單調性（第2課時）教學設計教學課時：第2課時教學目標：1.結合圖像理解直線的斜率及函數(shù)的平均變化率的概念；2.能借助平均變化率理解和證明函數(shù)的單調性；3.初步感知平均變化率與函數(shù)增長速度之間的關系，培養(yǎng)數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)教學重點：借助平均變化率理解函數(shù)的單調性教學難點：借助平均變化率理解函數(shù)單調性的應用教學過程：一、問題引入1. 復習函數(shù)單調性的概念問題1：從形的角度理解函數(shù)單調性，限制條件的對象是圖像上的任意兩點。我們知道，兩點確定一條直線。那么，能否用圖象上任意兩點連線的相關性質來刻畫單調性呢？2. 直線斜率的概念3. 斜率的幾何意

2、義分析教材P98圖3-1-11，理解直線斜率的幾何意義.設計意圖：從數(shù)與形的角度理解直線的斜率，直觀感知斜率的符號與直線增減趨勢之間的關系，為接下來用平均變化率理解單調性做鋪墊。二、新知探究問題2：對于函數(shù)圖像上的任兩個點，它們所確定的直線的斜率是否一定存在？回顧函數(shù)定義，對于定義域內的任意一個值，有且僅有一個值與其對應，因此對于函數(shù)圖像上的任意兩點，它們連線的斜率一定存在。問題3：結合以上分析，思考是否可以根據(jù)函數(shù)圖像上任意兩點連線斜率的符號判斷函數(shù)的單調性？【學生活動1】嘗試與發(fā)現(xiàn)結合教材P98 圖3-1-12，總結出一般規(guī)律。請學生嘗試將總結的規(guī)律用文字語言及符號語言表達。教師補充修改后

3、呈現(xiàn)結論：文字語言：函數(shù)遞增的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都大于0，函數(shù)遞減的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都小于0。利用上述結論，教師介紹對于函數(shù)y=-2x的單調性的證明。并對比上節(jié)課用定義證明的過程，感受用平均變化率證明的簡潔性。設計意圖：經歷從直觀感受函數(shù)單調性與其圖像上任兩點連線的斜率符號之間的關系到用符號語言表述上述關系的過程，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)；同時通過上節(jié)課例題的再次證明比較不同方法的優(yōu)缺點，體會利用平均變化率證明單調性時的簡潔性。三、知識應用學生獨立完成單調性的判斷過程；教師點評總結：（1）平面直角坐標系中三個點共線，當且僅當其中任意兩點確定的直線的斜率相等或都不存

4、在. 所以例2實質上證明了一次函數(shù)的圖像是一條直線，其中的k即是直線的斜率，且k0時，一次函數(shù)單調遞增；k0時，一次函數(shù)單調遞減。大家熟悉的反比例函數(shù)與二次函數(shù)等都是非線性函數(shù)，它們的特征是：當自變量的增加量相等時，因變量的增加量不一定相等.設計意圖：通過兩個函數(shù)單調性的判斷與證明，體會借助平均變化率刻畫函數(shù)單調性的內涵，提升數(shù)學運算與邏輯推理能力；同時對一次函數(shù)的線性增長性有一定認識，對線性函數(shù)、非線性函數(shù)有所了解。四、綜合應用例3 證明函數(shù)f(x)=x2+2x在(-,-1上是減函數(shù)，在-1,+)上是增函數(shù)，并求這個函數(shù)的最值.學生獨立完成證明過程，教師總結利用平均變化率證明函數(shù)單調性的過程同時總結一般二次函數(shù)的單調性。設計意圖：進一步熟悉用平均變化率證明函數(shù)單調性的過程，同時學會利用單調性求二次函數(shù)的最值. 通過問題啟發(fā)學生思考如何利用平均變化率求出函數(shù)的單調區(qū)間，提升學生的邏輯推理能力.【學生活動2】給定容器倒水問題：如果向給定的容器中倒水，且任意相等的時間間隔內所倒的水體積相等，請將容器內水面的高度 y 關于時間t的函數(shù)圖象與容器形狀對應起來。設計意圖：通過實際問題的探究，初步感知平均變化率與函數(shù)增長速度之間的關系，為后面比較函數(shù)值增長速度作鋪墊。五、歸納小結1. 直線的斜率平均變化率函數(shù)單