1、第四章（一）本章的學(xué)習(xí)重點及要求教學(xué)參考資料本章建立了在極坐標(biāo)系中，平面問題的基本方程和按應(yīng)力求解的方法，并介紹了一批有實用價值的解答。對于圓型、環(huán)型或由經(jīng)向線和環(huán)向線圍成的物體，宜用極坐標(biāo)求解。因為用極坐標(biāo)表示這些物體的邊界非常簡單，從而使邊界條件簡化，求解方便。極坐標(biāo)是一種最簡單的曲線坐標(biāo)。在極坐標(biāo)中，平面內(nèi)的任一點用經(jīng)向坐標(biāo) 和環(huán)向坐標(biāo) 表示。極坐標(biāo)(,) 和直角坐標(biāo)(x, y) 相比，除了都是正交坐標(biāo)系外，兩者有下列區(qū)別：在直角坐標(biāo)系中， x 和 y 的坐標(biāo)線都是直線，有固定的方向， x 和 y 的量綱都是長度 L。在極坐標(biāo)中， 坐標(biāo)線（=常數(shù)）和 坐標(biāo)線（=常數(shù)）在不同的點有不同的方

2、向； 坐標(biāo)線是直線，而 坐標(biāo)線為圓孤曲線； 的量綱為 L，而 的量綱為 1。這些區(qū)別將引起彈性力學(xué)基本方程的差異。讀者應(yīng)理解和掌握在極坐標(biāo)系中基本方程的建立和按應(yīng)力求解的方法，并與直角坐標(biāo)系中的基本方程進(jìn)行對比，了解兩者的相似之處和不同之處。有關(guān)常微分方程的一些解答見彈性力學(xué)簡明學(xué)習(xí)指導(dǎo)附錄。（二）本章內(nèi)容提要1.極坐標(biāo)中的基本方程和邊界條件（1）平衡微分方程1 f 0,1 2 f 0 o （2）幾何方程 u , 1 uu ,。 1 uuu （3）物理方程（平面應(yīng)力問題） 1 ( ),E ( ),1E 2(1 ) 。E當(dāng)物體的邊界面為 面或 面時，位移或應(yīng)力邊界條件都非常簡單。 2.從直角坐標(biāo)

3、系到極坐標(biāo)系的物理量的變換式變量轉(zhuǎn)換： x cos, y sin ;函數(shù)轉(zhuǎn)換： (x, y) 轉(zhuǎn)換為( ,).u u cos u sin ,v u sin u cos 矢量轉(zhuǎn)換：。導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換：一階導(dǎo)數(shù)（二階和高階導(dǎo)數(shù)可以類推）：xy sin )， (cos cos )。 (sin 21 21算子： 2 2 2 .2 cos2 sin2 2cos sin ,x應(yīng)力轉(zhuǎn)換： sin2 cos2 2cos sin ,y ( ) cos sin2 (cos sin2 ) 。xy3.極坐標(biāo)中按應(yīng)力函數(shù) 求解， 應(yīng)滿足：區(qū)域內(nèi)的相容方程4 0.邊界上的應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）。若為多連體，還須滿

4、足位移單值條件。當(dāng)不記體力時，應(yīng)力分量的表達(dá)式為1 1 2 2, 22 ,2 ( 1 ) o 4.軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移應(yīng)力函數(shù)： A ln B2 ln C2 D。應(yīng)力：A B(1 2 ln ) 2C,2 A B(3 2 ln ) 2C,2 0。位移（平面應(yīng)力問題）： 1 (1 I) A 2(1 )cos sinB， (ln 1) (1 3) u2(1 ) CE4Bu HK sin coIs.E（三）相容方程的通解極坐標(biāo)中滿足相容方程4 0 的應(yīng)力函數(shù) 的通解，可以表達(dá)如下： a0 ln b0 c ln d e 222000a12 sin (b a 1b ln ) cos 3111c12 cos (d c 1d ln ) sin 3111(a b a b ) cos n nn2nn2 nnnnn2(c d c d ) sin n nn2nn2nnnnn2上式第一行中的前三項代表軸對稱的應(yīng)力分布，第四項代表半平面體受均布法向和切向荷載的應(yīng)力解答，第五項給出純剪的解答。上式第二行中的第一項代表 0 在面上荷載沿 為線性分布的解答，其余各項代表一般圓環(huán)被徑彎曲時的解答，綜合第二行所有各項，無限上作用一集中力之解。上式第三行也到相似于第二行的解答，只是